Este documento presenta un resumen de conceptos básicos de álgebra, trigonometría y geometría analítica. Explica expresiones algebraicas, fracciones algebraicas, monomios, polinomios, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. También cubre temas como factorización, diferencia de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos y suma y diferencia de cubos. El objetivo es proporcionar una introducción general a estos temas fundamentales del álgebra.

1. ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y
GEOMETRIA ANALITICA
551108_31
Miguel Alfonso Rodríguez Posada
CC 1070598357
Licenciatura en Matemáticas
2021
UNAD

2. Expresiones algebraicas
Se llaman expresiones algebraicas enteras a aquellas que no
contienen denominadores algebraicos. Ninguna letra está en
el denominador ni afectada por una raíz o por un exponente
negativo

3. 01
Ejemplos:
02
(X + 5/X + 2) + (4X +
5/X + 2)
X + 5 + 4X + 5/ X + 2
5X + 10/X + 2
5(X + 2)/X + 2
5

4. Fracciones algebraicas.
Se conoce como una fracción algebraica aquella que está representada
por el cociente de dos polinomios que muestran un comportamiento similar a
las fracciones numéricas. En matemáticas, se puede operar con dichas
fracciones realizando multiplicaciones y divisiones. Por lo tanto, se debe
expresar que la fracción algebraica está representada por el cociente de dos
expresiones algebraicas donde el numerador es el dividendo y el
denominador el divisor.

5. :
Ejemplos:
Suma. Resta.

6. Monomios

7. Monomios
Los monomios son expresiones
algebraicas ampliamente
utilizadas que cuentan con una
constante que se llama coeficiente y
una parte literal, que se representa
con letras y se puede elevar a
diferentes potencias. Por ejemplo, el
monomial 2x² tiene 2 como su
coeficiente y x² es la parte literal.

8. Suma y resta de monomios
Para poder realizar sumas entre dos
monomios lineales, es necesario mantener
la parte lineal y sumar los coeficientes. En
las restas de dos monomios lineales, se
debe mantener, al igual que en las sumas,
la parte lineal para poder restar los
coeficientes, luego se multiplican los
coeficientes y se suman los exponentes
con las mismas bases
01
02

9. Monomios:
No es más que otro
monomio cuyo coeficiente es el
cociente de los coeficientes
obtenidos que, además, poseen
una parte literal obtenida de las
divisiones entre las potencias
que tienen exactactamente la
misma base.
Se trata de un monomio cuyo
coeficiente es el producto o
resultado de los coeficientes,
las cuales tienen una parte
literal que ha sido obtenida a
través de la multiplicación de
potencias que tienen
exactamente la misma base.

10. Cuando hablamos de polinomios, se hace
referencia a una operación algebraica de
sumas, restas y multiplicaciones ordenadas
hechas de variables, constantes y
exponentes. En álgebra, un polinomio puede
tener más de una variable (x, y, z), constantes
(enteros o fracciones) y exponentes (que solo
pueden ser números enteros positivos).
Polinomios

11. Suma y resta de polinomios
La suma de polinomios implica
combinar términos. Los términos
similares se refieren a los monomios
que tienen la misma variable o
variables elevadas a la misma
potencia.
01
02

12. Multiplicación de polinomios
Multiplicación de monomios o ejercicios entre polinomios y
monomios, es una operación que se lleva a cabo para
encontrar el producto resultante, entre un monomio
(expresión algebraica basada en la multiplicación de un
número y una carta elevada a un exponente entero y positivo)
y otra expresión, si este es un término independiente, otro
monomio o incluso un polinomio (suma finita de monomios y
términos independientes).

13. Ejemplos:

14. División de polinomios
También conocido como el método de
Ruffini. Nos permite dividir un polinomio
entre un binomio y además permite localizar
las raíces de un polinomio para factorizarlo
en binomios. En otras palabras, esta técnica
posibilita dividir o descomponer un
polinomio algebraico de grado n, en un
binomio algebraico, y luego en otro
polinomio algebraico de grado n-1. Y para
que esto sea posible se necesita saber o
conocer por lo menos una de las raíces del
polinomio único, con el propósito de que la
separación sea exacta.

15. Factorización
Cuando se habla de factorizar una expresión algebraica, consiste en hallar
dos o más factores, cuyo producto sea igual a la expresión propuesta. Por
ejemplo:
• 15= (3)(5)
• 14ab= (2)(7)(a)(b)
• 5x + 5y= (5)(x + y)

16. Factor común
Al factor que aparece en todos los términos de una expresión se le
llama factor común.
Si en una expresión todos sus términos tienen factor común, este
será uno de los factores de factorización.
Por lo cual lo primero que se tiene que hacer es determinar en la
expresión el factor común, y luego dividir todo el binomio o
polinomio dado entre dicho factor, indicando la factorización como
el producto del factor común por el cociente obtenido.

17. 4ab + 10ac=
El factor común es a, por lo tanto la expresión quedaría de la
siguiente manera:
a(4b + 10c) ó 2a(2b + 5c), ya que en la expresión anterior
todavía se puede seguir factorizando.

18. Agrupación de términos
Algunos polinomios no tienen un factor común a todos los
términos; pero puede ocurrir que grupos de términos tengan
cierto factor común.
Agrupándolos y factorizando cada grupo puede resultar un
factor común a todos los grupos del polinomio.
Estas factorizaciones se llaman por agrupación de
términos.

19. Factoricemos ax + 2a + bx + 2b.
Notemos que el polinomio no tiene un factor común
a todos los términos, pero se puede agrupar
tomando en cuenta los términos que tengan algún
factor común.
(ax + bx) + (2a + 2b), donde los dos primeros
términos tienen a x como factor común, y los dos
últimos 2.

20. Factorizando cada grupo quedaría: x(a + b) + 2(a +
b).
Resulta que (a + b) es un factor común de todo el
polinomio, por lo que factorizándolo se tiene:
x(a + b) +2(a + b)= (x + 2)(a + b)
Así ax + 2a + bx + 2b= (x + 2) (a + b)

21. Diferencia de cuadrados
La diferencia de cuadrados es igual al producto de
dos binomios conjugados formados por las raíces
cuadradas de los términos de esta diferencia,
teniendo en cuenta que los términos simétricos de
los binomios conjugados deben corresponder a la
raíz cuadrada del sustraendo en la diferencia de
cuadrados.

22. Factoricemos 9a2 – 16b2
Obtengamos la raíz cuadrada de 9a2 es: 3a
Determinamos la raíz cuadrada de 16b2 es: 4b
Obtenemos los binomios conjugados multiplicando la
suma de estas raíces (3a +4b) por su diferencia (3a –
4b) y tendremos:
9a2 – 16b2= (3a + 4b)(3a - 4b)

23. Trinomio Cuadrado Perfecto
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando su raíz
cuadrada es racional.
Al elevar un binomio al cuadrado se obtiene un
trinomio, este se denomina trinomio cuadrado
perfecto, ya que se obtiene al elevar al cuadrado el
binomio a + b, es decir:
(a + b)2= a2 + 2ab +b2

24. X2 + 14x + 49
La raíz cuadrada del primer término x2 es: x
La raíz cuadrada del tercer término 49 es: 7
Por lo tanto, x2 y 49 son cuadrados perfectos y ambos
términos tienen signos positivos.
El doble del producto de las raíces es (2)(7)(x)= 14x, el
segundo término
Así x2 + 14x + 49 es cuadrado perfecto

25. Trinomio de la forma x2 + bx +c
A el resultado del producto de dos binomios con un
término común se le conoce como: trinomio de la
forma x2 + bx +c, cuyo primer término es cuadrado
perfecto, el segundo término tiene un factor igual a la
raíz cuadrada positiva del primero y el tercer término es
independiente de la letra del primer término.

26. x2 + 5x + 6
Se debe obtener dos binomios cuyo primer término sea
x, ósea la raíz cuadrada del primer término del trinomio
(x )(x ).
Ahora se debe encontrarlos segundos términos, que
deben ser 2 números cuyo producto debe ser igual a 6
(el término independiente), y cuya suma sea 5 (el
coeficiente de x)

27. El producto (+6) es positivo, lo que indica que ambos
términos deben ser positivos o negativos, además la
suma también es positiva (+5), por lo que ambos deben
ser positivos.
Los números buscados son 2 y 3, ya que el producto de
estos da 6, y la suma de los mismos da 5.
Por lo cual x2 + 5x + 6= (x +2)(x + 3)

28. Trinomio de la forma ax2 + bx + c
Trinomios de este tipo provienen de multiplicar
dos binomios, donde los términos de un
binomio son semejantes a los términos del otro
binomio.

29. Factoricemos 5x2 + 16 x +3
Una forma de resolverlo es la siguiente: podemos
convertir este trinomio en otro que tenga la forma x2
+ bx + c, esto es posible multiplicándolo por el
coeficiente del primer término así:
5(5x2) +5(16x) +5(3)
Escribiéndolo de otro modo (5x)2 + 5(16x) + 5(3)

30. Los factores deben ser dos binomios cuyo primer
término sea 5x y los segundos términos deben ser dos
números cuyo producto sea 15 y cuya suma sea 16:
(5x)2 +16(5x) +15= (5x + 15)(5x + 1)
Factorizando: = 5(x + 3)(5x + 1)
Debido a que al trinomio original lo multiplicamos por 5,
la expresión anterior la dividiremos entre 5 para tener
la factorización del trinomio original:
5x2 +16x + 3= (x + 3)(5x + 1)

31. Suma y diferencia de cubos
•Se tiene una suma o diferencia de cubos cuando en un binomio
ambos términos tienen raíz cúbica racional.
•La suma de los cubos de 2 términos se factoriza como el producto
de dos factores, uno de los cuales es la suma de las raíces cúbicas
de esos términos, y el otro es la suma de los cuadrados de las
mismas raíces, disminuida en su producto.
•La diferencia de los cubos de dos términos se factoriza como el
producto de dos factores, uno de los cuales es la diferencia de las
raíces cúbicas de esos términos, y el otro es la suma de los
cuadrados de las mismas raíces, incrementada en su producto.

32. Factoricemos x3 + 27
La Raíz cúbica de x3 + 27 es: (x + 3)
El binomio anterior (x + 3) se eleva al cuadrado
(x + 3)[(x)2 -3(x) + 32)=
(x + 3)(x2 - 3x + 9)

33. GRACIAS.