Factorización - apuntes ALGEBRA

1. Elaborado por:Ing. Cecilio Filemón CastilloCano
Factorización.
La factorización es un proceso matemático que se realiza con el objetivo de modificar
expresiones algebraicas convirtiéndolas en otras que sean equivalentes. Factorizar significa
encontrar factores que puedan originar una cantidad.
Existen varios métodos de factorización, según el tipo de expresión algebraica que se desee
Factorizar. A continuación se desarrolla cada uno de estos métodos.
Factorización por factor común
Factorizar un polinomio significa expresar una suma o resta de términos en una
multiplicación equivalente, de dos o más factores.
El factor común de polinomio o expresión algebraica se obtiene calculando al máximo
divisor común de los coeficientes y al máximo exponente común de cada una de las
variables.
Ejemplo. Factorizar la expresión 12𝑥5
𝑦 + 9𝑥4
𝑦2
+ 3𝑥3
𝑦3
Primero determinamos el factor común de todo elpolinomio. De los coeficientes el que esta
presente como factor en todos los términos es el 3. Para las variables, ambas se encuentran
en todos los términos del polinomio, sólo necesitamos seleccionar el máximo exponente
posible y común a todos los sumandos. Observamos que en el caso de 𝑥 el máximo
exponente que está presente en todos los términos es 3, y en el caso de 𝑦 es el 1.
Por lo tanto el factor común es 3𝑥3
𝑦
Una vez determinado el factor común, necesitamos determinar por cuál polinomio
debemos multiplicarlo para que al hacerlo debemos nos de cómo resultado el polinomio
original.
De esta manera la factorización será:
12𝑥5
𝑦 + 9𝑥4
𝑦2
+ 3𝑥3
𝑦3
= 3𝑥3
𝑦(4𝑥2
+ 3𝑥𝑦 + 𝑦2)
Puesto que los dos factores del segundo miembro de la ecuación, al multiplicarse dan
justamente 12𝑥5
𝑦 + 9𝑥4
𝑦2
+ 3𝑥3
𝑦3
.

2. Elaborado por:Ing. Cecilio Filemón CastilloCano
Factorización por agrupación
Lafactorización por agrupación es una doble factorización por factor común. Se llevaa cabo
cuando el polinomio en su totalidad no tiene un factor común, por lo que se procede
agrupándolos en dos (o más) partes, después factorizando cada grupo mediante factor
común y volviendo a factorizar.
Ejemplo. Factorizar el polinomio 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑏𝑦
Observemos que no hay un factor común de todo el polinomio. También vemos que los dos
primeros términos si tienen un factor común y los dos últimos términos también tienen un
factor común.
Primer paso: agrupar el polinomio en dos partes que sean factorizables por factor común.
𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑏𝑦 = ( 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦) + ( 𝑏𝑥 + 𝑏𝑦)
Segundo paso: factorizar cada agrupación por factor común.
( 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦) + ( 𝑏𝑥 + 𝑏𝑦) = 𝑎( 𝑥 + 𝑦) + 𝑏( 𝑥 + 𝑦)
Tercer paso: volver a factorizar por factor común.
𝑎( 𝑥 + 𝑦) + 𝑏( 𝑥 + 𝑦) = ( 𝑥 + 𝑦)( 𝑎 + 𝑏)
∴ 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑏𝑦 = ( 𝑥 + 𝑦)( 𝑎 + 𝑏)
Lo cual puede comprobarse efectuando la multiplicación indicada.

3. Elaborado por:Ing. Cecilio Filemón CastilloCano
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es aquel que procede del desarrollo de un binomio al
cuadrado.
Para determinar si un trinomio es cuadradoperfecto se puede seguir los siguientes pasos:
1. Extraer raíz cuadrada al término cuadrático.
2. Extraer raíz cuadrada al término independiente.
3. Multiplicar por 2 el producto de ambas raíces.
4. Si el producto es igual al término lineal del trinomio, entonces el trinomio es
cuadrado perfecto.
Una vez que se identifica el trinomio cuadrado perfecto su proceso de factorización es:
1. Extraer la raíz cuadrada del primer término del trinomio y la del tercero.
2. Con estas raíces se forma un binomio que tendrá el signo del segundo término del
trinomio.
3. Este binomio será la raíz cuadrada del trinomio, por lo que deberá expresarse
multiplicado por sí mismo o elevado al cuadrado para que sea igual al trinomio
cuadrado perfecto.
Ejemplo. Factorizar el trinomio 𝑥2
+ 8𝑥 + 16
a) La raíz cuadrada de 𝑥2
es 𝑥
b) La raíz cuadrada de 16 es 4
c) El producto de ambas raíces es 4𝑥, multiplicando este producto por 2, queda 8𝑥
d) 8𝑥 es exactamente el término lineal del trinomio dado
Por lo tanto, el trinomio dado se factoriza como:
𝑥2
+ 8𝑥 + 16 = ( 𝑥 + 4)2

4. Elaborado por:Ing. Cecilio Filemón CastilloCano
Cubo perfecto de un binomio
El cubo perfecto de un binomio es un polinomio de 4 términos que procede del desarrollo
de un binomio al cubo.
El polinomio es cubo perfecto si cumple con las condiciones:
1. Elprimer término y el cuarto deben sercubos perfectos. Esto quiere decir que deben
tener raíz cubica exacta
2. El segundo término debe ser el triple producto del cuadrado de la raíz cubica del
primer término por la raíz cubica del cuarto término.
3. El tercer término debe ser igual al triple producto de la raíz cubica del primer
término por el cuadrado de la raíz cubica del cuarto término.
Una vez que hemos visto cómo se identifica el cubo perfecto de un binomio, podemos
realizar la factorización siguiendo los pasos:
1. Se extraer la raíz cúbica del primer término y del cuarto término del polinomio dado
de 4 términos.
2. La factorización será el cubo de la suma o de la diferencia de estas raíces cúbicas.
a. Si los signos de todos los términos del polinomio son positivos, la factorización
será el cubo de la suma de un binomio.
b. Si los signos de los términos del polinomio son +, −, +,− la factorización será el
cubo de la diferencia de un binomio.
Ejemplo. Factoriza el polinomio 27𝑎3
− 54𝑎2
𝑏 + 36𝑎𝑏2
− 8𝑏3
a. La raíz cúbica del primer término es √27𝑎33
= 3𝑎
b. La raíz cúbica del cuarto término es √−8𝑏33
= −2𝑏
Así, 27𝑎3
− 54𝑎2
𝑏 + 36𝑎𝑏2
− 8𝑏3
= (3𝑎 − 2𝑏)3

5. Elaborado por:Ing. Cecilio Filemón CastilloCano
Factorización de una diferencia de cuadrados
Si recordamos que una diferencia de cuadrados resulta de la multiplicación de dos binomios
conjugados, entonces es claro que, inversamente, una diferencia de cuadrados se debe
factorizar como un producto de dos binomios conjugados.
Para factorizar una diferencia de cuadrados se hace lo siguiente:
1. Se extrae la raíz cuadrada a los dos términos. (recuerda que el signo negativo que el
antecede al segundo término representa la operación de resta)
2. La factorización será el producto de la suma de estas raíces cuadradas por su
diferencia.
Ejemplo. Factorizar la expresión 𝑎2
− 𝑏2
Sabemos que la expresión 𝑎2
− 𝑏2
proviene del producto ( 𝑎 + 𝑏)( 𝑎 − 𝑏).
Por lo tanto, la diferencia 𝑎2
− 𝑏2
se deberá factorizar como:
𝑎2
− 𝑏2
= ( 𝑎 + 𝑏)( 𝑎 − 𝑏)

6. Elaborado por:Ing. Cecilio Filemón CastilloCano
Factorización de suma o una diferencia de cubos
Una suma de cubos tiene la forma general 𝑎3
+ 𝑏3
Y una diferencia de cubos tiene la forma 𝑎3
− 𝑏3
Para determinar cómo se factorizan estas expresiones nos valdremos de las divisiones
𝑎3
−𝑏3
𝑎−𝑏
,
𝑎3
+𝑏3
𝑎+𝑏
previamente vistas en la sección de división de polinomios.
Recordamos:
𝑎3
−𝑏3
𝑎−𝑏
= 𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
De donde si despejamos 𝑎3
− 𝑏3
queda:
𝑎3
− 𝑏3
= ( 𝑎 − 𝑏)( 𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2 )
Y así obtenemos la igualdad que nos indica cómo se factoriza una diferencia de cubos.
Para factorizar la diferencia de dos cubos:
1. Se obtienen dos factores, un binomio y un trinomio.
2. El binomio es la diferencia de las raíces cúbicas de los términos de la diferencia de
cubos.
3. Eltrinomio es elcuadrado de laprimera raíz cúbica,más elproducto de las dos raíces
cúbicas más el cuadrado de la segunda raíz cúbica.
De igual forma, de la división
𝑎3
+𝑏3
𝑎+𝑏
= 𝑎2
− 𝑎𝑏 + 𝑏2
Despejamos 𝑎3
+ 𝑏3
y queda:
𝑎3
+ 𝑏3
= ( 𝑎 + 𝑏)( 𝑎2
− 𝑎𝑏 + 𝑏2 )
Esta igualdad nos indica la forma como debe factorizarse una suma de cubos.
Para factorizar la suma de cubos:
1. Se obtienen dos factores, un binomio y un trinomio.

7. Elaborado por:Ing. Cecilio Filemón CastilloCano
2. El binomio es la suma de las raíces cúbicas de los términos de la suma de cubos.
3. El trinomio es el cuadrado de la primera raíz menos el producto de las dos raíces
cúbicas más el cuadrado de la segunda raíz cúbica.
Ejemplo. Factorizar la diferencia 𝑥3
− 1:
Las raíces cúbicas son 𝑥, 1
Por lo tanto la factorización de la diferencia es:
𝑥3
− 1 = ( 𝑥 − 1)( 𝑥2
+ 𝑥 + 1)
Factorizar 𝑥3
+ 1:
𝑥3
+ 1 = ( 𝑥 + 1)( 𝑥2
− 𝑥 + 1)

8. Elaborado por:Ing. Cecilio Filemón CastilloCano
Factorización de trinomios de la forma 𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
Un trinomio que tiene la forma 𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 se factoriza como el producto de dos binomios
con un término en común.
Las características de un trinomio de la forma 𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 son las siguientes:
1. El primer término es cuadrático y con coeficiente +1: 𝑥2
2. El segundo término es lineal, 𝑏𝑥 formado por un coeficiente b y la misma literal del
primer término pero con exponente1.
3. El tercer término es independiente, es decir, no tiene una parte literal; es solo un
número 𝑐.
Los dosbinomiosen quese descomponeuntrinomiodelaforma 𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 se obtienen
de la siguiente manera:
1. El primer término de ambos factores (el término común) es la raíz cuadrada del
primer término del trinomio dado.
2. Los dos términos que faltan, uno en cada binomio, deben cumplir las condiciones
siguientes:
a) El producto de ambos debe ser igual al tercer término del trinomio dado, 𝑐
b) Y la suma algebraica de ambos debe ser igual al coeficiente del segundo término del
trinomio, 𝑏
Ejemplo. Factorizar el trinomio 𝑥2
+ 5𝑥 + 4
La expresión 𝑥2
+ 5𝑥 + 4 tiene la forma 𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Donde 𝑏 = 5 y 𝑐 = 4
Por lo tanto se factorizará como: ( 𝑥 + 4)( 𝑥 + 1)
Ya que el 4 y el 1, sumados dan 5 y multiplicados dan 4
Por lo tanto el resultado es: 𝑥2
+ 5𝑥 + 4 = ( 𝑥 + 4)( 𝑥 + 1)

9. Elaborado por:Ing. Cecilio Filemón CastilloCano
Factorización de trinomios de la forma 𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
Los trinomios de laforma 𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 son producto de un para de binomios con términos
semejantes, esto quiere decir que tienen la misma literal, pero su coeficiente puede ser
diferente.
Características del trinomio de la forma 𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
1. El primer término está formado por una literal con exponente 2 y coeficiente
diferente de 1.
2. El segundo término está formado por la misma literal que el primer término pero
con exponente 1(no se escribe) y un coeficiente que puede ser positivo o negativo.
3. El tercer término es independiente (un número que puede ser positivo o negativo).
Para factorizar un trinomio de la forma 𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 se hace lo siguiente:
1. Se multiplica el coeficiente del primer término por el tercer término, es decir,
𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑐.
2. Se buscan dos números que multiplicados den 𝑎𝑐 y que sumados algebraicamente
den 𝑏, que es el coeficiente del segundo término.
3. Se escribe el coeficiente 𝑏del segundo término como la suma algebraica de los dos
números encontrados.
4. Se asocian los términos de dos en dos de manera que los coeficientes de cada par
sean múltiplos de un mismo número. Se realiza una factorización por factor común
en cada par de términos asociados.
5. Se factoriza nuevamente por factor común (el factor común en este caso resulta ser
un binomio); estos dos binomios serán los factores que originan el trinomio dado).
Ejemplo. Factorizar el trinomio 4𝑦2
+ 16𝑦 + 7
1. Multiplicamos 𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑐: (+4)(+7) = 28.
2. Buscamos dos números que multiplicados den +28 y que sumados den +16.

10. Elaborado por:Ing. Cecilio Filemón CastilloCano
(+4)(+7) = 28 y (+4 + 7) = 11
Así, +4 y +7 no cumplen las dos condiciones.
(+2)(+14) = 28 y(+2 + 14) = 16
Así que +2 y +14 sí cumplen ambas condiciones.
3. Se sustituye el coeficiente del segundo término (+16) por +2 y +14:
4𝑦2
+ 16𝑦 + 7 = 4𝑦2
+ (+2 + 14) 𝑦 + 7
= 4𝑦2
+ 2𝑦 + 14𝑦 + 7
4. Se asocian términos con coeficientes que sean múltiplos:
4𝑦2
+ 2𝑦 + 14𝑦 + 7 = (4𝑦2
+ 2𝑦)(14𝑦 + 7)
Y al factorizar por factor común, tenemos que
(4𝑦2
+ 2𝑦)(14𝑦 + 7) = 2𝑦(2𝑦 + 1) + 7(2𝑦 + 1)
5. Se vuelve a factorizar por factor común:
2𝑦(2𝑦 + 1) + 7(2𝑦 + 1) = (2𝑦 + 1)(2𝑦 + 7)
Luego, 4𝑦2
+ 16𝑦 + 7 = (2𝑦 + 1)(2𝑦 + 7)
Otra forma de factorizar estos trinomios es:
1. Buscar dos factores que den el término cuadrático (𝑥2
) y dos factores que den el
término independiente ( 𝑐)
2. Se multiplican estos factores en forma cruzada, los resultados se suman y esto debe ser
igual al término lineal ( 𝑏𝑥)
Ejemplo. Factorizar 4𝑦2
+ 16𝑦 + 7
Los factores que dan 4𝑦2
son 2𝑦, 2𝑦

11. Elaborado por:Ing. Cecilio Filemón CastilloCano
Los factores que dan 7 son 7 𝑦 1
2 𝑦 7 14 𝑦
2 𝑦 1 2 𝑦
16 𝑦
Como la suma algebraica es correcta, los factores son: 2𝑥 + 1 y 𝑥 + 7
Por lo tanto la factorización del trinomio es:
4𝑦2
+ 16𝑦 + 7 = (2𝑦 + 1)(2𝑦 + 7)