Este documento explica cómo el juego de mesa Dobble esconde un tesoro matemático. Para satisfacer la premisa de que dos cartas siempre comparten exactamente una figura, los diseñadores del juego usaron una idea geométrica trazando líneas en una esfera que representan los ecuadores, donde todas las líneas se intersectan. Esto permite asignar figuras a los puntos de intersección y crear cartas con la cantidad correcta de figuras compartidas.

1.
DOBBLE:
El juego de salón que esconde un tesoro matemático
“Todo a tu alrededor es matemáticas” decía Shakuntala Devi, célebre escritora india que
ostentaba varios récords mundiales de cálculo mental. En efecto, hay matemáticas en las
leyes de la naturaleza, en las finanzas, en el movimiento de las personas, etc.
Pero ¿puede haber matemáticas en un juego de salón?
Ciertamente: el ajedrez es un ejemplo claro de esto.
Nos ocuparemos aquí de otro juego, mucho más sencillo, que se ha vuelto muy popular en
los últimos años: el Dobble. Se juega con un mazo de 55 cartas, cada una de las cuales
consta de 8 figuras. Estas vienen dispuestas cuidadosamente en cada carta de modo de
satisfacer la siguiente premisa fundamental:
DOS CARTAS TIENEN EXACTAMENTE UNA FIGURA EN COMÚN
Por ejemplo, en la imagen de portada, las cartas de la izquierda coinciden en el signo de
interrogación, las de arriba en el ancla y las de abajo en el payaso.

2. En la variante más clásica del juego, las cartas se reparten en igual cantidad entre los
jugadores y se deja una al centro de la mesa. Quien identifica más rápido la figura en
común entre la carta de la mesa y la primera carta de su mazo deja esta sobre la mesa
(encima de la anterior), y pasa a la siguiente. La acción continúa igual: se desprende de
una carta quien identifica más rápido la figura en común entre la nueva carta de la mesa y
la primera de su mazo… Así se desarrolla el juego hasta que alguien consigue deshacerse
de todas sus cartas: ¡Esta persona es la ganadora del juego!
Fácil, bonito, simpático y, sobre todo, muy entretenido. Pero por curiosidad nos
preguntamos: ¿cómo se determinó qué figuras debían ir en cada carta del juego de modo
que se satisfaga la premisa fundamental y, con ello, se pueda jugar?
Piensa un poco: no parece nada sencillo…
Una idea geométrica.
Supongamos que trazamos varias rectas en el plano, todas con direcciones diferentes, de
modo que dos cualesquiera de ellas se intersecan. Si en cada punto de intersección
pintamos una figura a nuestro gusto (todas las figuras deben ser diferentes), entonces
podemos fabricar un juego de cartas que satisface la premisa fundamental de la manera
siguiente: cada carta corresponde a una de las rectas trazadas, y en ella incluimos las
figuras pintadas sobre los puntos de intersección de dicha recta con alguna otra. ¡Hemos
fabricado un juego de Dobble!
⋆
♢ ♡
♣♠⋆
♡
♡♠ ♢♠
♢
♣
⋆
♣

3. El problema es, sin embargo, evidente: se usan demasiadas figuras en cada carta, de modo
que estas son casi ilegibles si son muchas. ¿Habrá una manera de usar menos figuras sin
disminuir el número de cartas? Para lograr esto, intentaremos que una nueva premisa (a
la que llamaremos complementaria) se satisfaga:
PARA CADA PAR DE FIGURAS EXISTE EXACTAMENTE UNA CARTA QUE LAS CONTIENE
Naturalmente, esto debiera hacer que la cantidad de figuras sea mucho menor, pues si
hubiese muchas entonces habría también muchas cartas.
El problema que nace ahora es el siguiente: es imposible trazar una cantidad finita (mayor
que 3) de rectas en el plano de modo que:
-­‐ dos cualesquiera de ellas se intersequen;
-­‐ dados dos puntos de intersección entre las rectas trazadas, otra de las rectas
trazadas pasa por ellos.
Haz unos dibujos para convencerte de esto (luego, trata de explicar por qué es verdad…).
Un lugar donde todas las rectas se intersecan
Uno de los problemas con nuestra analogía geométrica es que en el plano existen rectas
“paralelas”, es decir, rectas que tienen la misma inclinación y que, por lo tanto, no se
intersecan. ¿Habrá algún lugar donde todas las rectas se intersequen?
¡Evidentemente! ¡Nuestro planeta Tierra! Más bien, una esfera. Obviamente, aquí no hay
“rectas”, pero las curvas que cumplen este rol son los “ecuadores”, esto es, las grandes
circunferencias que dividen a la esfera en dos mitades idénticas. Estas son las trayectorias
que debiera, por ejemplo, seguir un avión para viajar de un punto a otro. ¿Por qué? Pues
porque son las que recorren la menor distancia, razón por la cual son llamadas
“geodésicas”.
Evidentemente, cualquier par de ecuadores de una esfera se intersecan. El problema es
que la intersección es doble: aparece un punto simultáneamente con su “antipodal”. ¿Qué
hacer? Simple: pensaremos que un punto sobre la esfera y su opuesto son el mismo.
¿Raro? Puede ser. El objeto que consideramos ya no es una esfera, sino tan solo un
hemisferio, con la salvedad de que incluso a lo largo del ecuador que lo delimita debemos

4. identificar cada punto con su opuesto. Este objeto, que no es tan sencillo de visualizar
(pues lleva incorporada la famosa banda de Möbius), es fundamental para nuestro juego.
Finitas rectas
Tenemos un problema inmenso aún, pues hay una infinidad de ecuadores: ¿cómo
sabemos cuáles elegir?
A decir verdad, no vamos a elegir ninguno de ellos, sino que cambiaremos (otra vez) de
mundo, y los ecuadores de este nuevo mundo servirán. Para esto, señalemos que todo lo
descrito anteriormente se puede reescribir en lenguaje algebraico, con hermosas fórmulas
que evitaremos reproducir aquí para no espantar a nadie. Estas ecuaciones tienen lugar
en el famoso campo de los números “reales” que aprendemos en la escuela. Pues bien, lo
que haremos es cambiarlo por un sistema numérico finito. Se trata de un mundo de solo
unos cuantos números en el que podemos sumar, restar, multiplicar y dividir (nunca por
cero) conservando todas las bonitas propiedades conocidas (como esa que dice que “el
orden no altera el producto”, pedantemente llamada “conmutatividad”).
¿Un ejemplo? Piensa en un reloj (antiguo). Cuando marca la hora, este va desde 0 a 11 y,
al llegar a 12, vuelve a 0. Es como si el 12 se fundiera con el 0, con lo cual quedan apenas
12 números (0, 1, 2, …. , 11). Esto es lo que se conoce como la “reducción módulo 12”. En
esta aritmética, la suma 8+7 ya no es 15, sino 3 (si salgo de viaje a las 8 y me demoro 7
horas en el trayecto, entonces llego a las 3…). También podemos multiplicar, por ejemplo:
5x4 = 8.
A decir verdad, el 12 no es muy buen número por la razón siguiente: 4x3 es igual a 12, el
cual se identifica a 0. El punto es que hemos aprendido en la escuela (y desearíamos que
siga siendo cierto) que para fabricar el 0 en una multiplicación, uno de los factores debe
ser 0, y aquí ni 3 ni 4 son 0…
Para seguir respetando esta propiedad fundamental de “ausencia de factorización de 0”
debemos “volver al inicio” en un instante que sea un número primo (es decir, que no
tenga divisores, salvo 1 y sí mismo). Si este es el caso, conseguimos hermosas tablas de
suma y multiplicación que respetan todas nuestras queridas propiedades de la escuela. He
aquí las tablas de los números “módulo 7”:

5. Y entonces, ¿cómo se fabrica el Dobble? Bueno, se toman todas las fórmulas de las que
hablamos arriba pero que evitamos escribir; luego, en lugar de leerlas sobre los números
reales, las leemos en esta aritmética módulo 7, y consideramos todos los “ecuadores”
posibles. ¡La solidez de la construcción permite que las dos premisas se cumplan
simultáneamente!
Obviamente, podría hacerse lo mismo con otros números primos. Te dejamos como
ejercicio hacer todo reduciendo módulo 11: ¡Crearás un juego con muchas más cartas!
El enigma de las dos cartas perdidas
El extraño espacio a partir del cual fabricamos nuestro Dobble tiene un nombre en
matemáticas: plano proyectivo finito. ¿Cuántos puntos tiene? Para contarlos, recuerda
que nuestro espacio es como un hemisferio con un ecuador de puntos opuestos
identificados… solo que ahora esto debe ser pensado en la aritmética finita
correspondiente (construida con un número primo p). Con paciencia, se constata que:
-­‐ el hemisferio consta de p2
puntos, que corresponden a los pares de la forma (a,b),
con a y b entre 0 y p – 1;
-­‐ en el ecuador hay otros p + 1 puntos.
Así, en total, hay p2
+p+1 puntos. Por ejemplo, para p=7 resultan 72
+7+1 puntos, es decir,
57. Compruébalo: ¡Hay 57 dibujos distintos en el juego de Dobble!
¿Y cuántas rectas hay? Pues bien, la premisa fundamental es tan similar a su
complementaria (en matemáticas se dice que son “duales” una de la otra) que es natural
esperar que haya la misma cantidad de rectas que de puntos. Sin embargo, ¡el Doble tiene
55 cartas, y no 57! Rarísimo: por alguna razón desconocida, los creadores del juego
decidieron suprimir dos cartas. Nosotros las hemos recuperado: si no nos crees, toma tu
juego de Dobble y constata que las dos cartas de abajo siguen satisfaciendo las premisas
con todas las tuyas…

6. Bonus track para valientes
Quienes son adictos al Dobble saben que hay otra variante del juego: la de los tríos. En
esta, un “administrador” comienza disponiendo 9 cartas sobre la mesa, y las restantes se
reparten entre los jugadores. Quien encuentra primero tres cartas en las que se repite una
misma figura las coge para sí, y el administrador coloca tres nuevas cartas en la mesa. El
juego continúa así hasta que se agota el mazo (al final puede que no haya tríos, así que las
últimas cartas se las queda quien robó la última vez). Gana quien logra acumular más
cartas.
¿Por qué funciona esta variante? Porque siempre que se juntan 9 cartas habrá un trío. ¿La
explicación? Bueno, se puede razonar “a fuerza bruta”: forma todos los grupos posibles de
9 cartas y corrobóralo. El único problema con este método es que, con 55 cartas, hay
55x54x53x52x51x50x49x48x47 : 1x2x3x4x5x6x7x8x9 = 6358402050 posibilidades, por lo
que te tomará varias vidas verificarlo (aunque con un computador podrías trabajar más
rápido…). Otro método: piensa… (advertencia: la explicación no es tan sencilla).
Para jugar
Si quieres seguir jugando puedes crear tus propios juegos usando la aritmética módulo 2,
3, 5, 7, 11, 13, etc. En particular, con p=11, crearás un juego de 112
+11+1=133 cartas. ¡Con
este podrás invitar a más gente a la diversión! Si tienes problemas con la confección
puedes consultarnos. Nosotros hemos codificado algunos de los espacios descritos más
arriba; en particular, reproducimos un juego completo para p=7 (esto es, de 57 cartas), al
que hemos colocado figuras alusivas a la explosión social y hemos llamado Yo Apruebo +
(¿por qué será?).
¡A votar!
Perdón: ¡A jugar!

7. Las 57 imágenes del Yo Apruebo +
Anita Tijoux Charles Aránguiz Negro Matapaco
Lautaro Hombre Nalca Selk’nam
Joker PareMan Baila Pikachu
Mon Laferte Jorge González Víctor Jara

8.
Sensual Spiderman Contralorito Piraña
No más AFP Chaleco amarillo Sexo seguro
Barricada Justicia Patipelado
ChUSA Bandera Chilena Bandera Mapuche
Chilezuela Privilegio Metro

9.
Bicicletada Alienígena Cacerolazo
Sándwich… Bomberos Limones
Universidad de Chile Colo Colo Chile despertó
Constitución Papel Higiénico Salgan de mi galón
Cruz Roja KPOP Flores

10.
30 pesos Apaga la tele Daño ocular
Zorrillo Guanaco Encapuchado
Estudiantes Semáforo Araucaria
PSU Paz Torniquete
Pañuelo verde Velatón Oasis

11. Las 57 cartas