Resolución de EDO de Bernoulli

1. Universidad Regional Amazónica Ikiam
Carrera: Ingenierías
Asignatura: Matemáticas III
Grupo: 2
Proyecto N°2
Tema: Resolución de Ecuaciones Diferenciales, Ecuación de Bernoulli
Realizado por: Andrés Astudillo Echeverría
Fecha: 21 de febrero, 2019

2. Objetivos:
(1) Comprender el método de resolución de la ecuación diferencial de Bernoulli.
(2) Diferenciar una ecuación diferencial lineal de la ecuación diferencial de
Bernoulli.
(3) Reforzar los métodos de resolución de ecuaciones diferenciales lineales de
primer orden.

3. Marco Teórico
Ecuación diferencial: Es una identidad que contiene derivadas de una o más
variables respecto a una o más variables independientes. Estas ecuaciones se
clasifican por orden, tipo y linealidad (Edwards & Penney, 2009; Zill, 2010; Hill,
1982; Carmona, 2011).
La ecuación diferencial de Bernoulli es de de tipo ordinaria (EDO), porque tiene
derivadas de una o más variables dependientes respecto a una solo variable
independiente, es de primer orden porque el orden de la mayor derivada es uno
y es lineal porque uno de los términos de la ecuación, “y”, tiene un exponente
diferente a cero y a uno.

4. Los términos y representan a polinomios.
La ecuación de Bernoulli se asemeja a una EDO lineal, porque lo que su
resolución es también semejante.
(1)

5. Metodología
Para fundamentar la resolución de EDO de Bernoulli, se realizó revisión
bibliográfica de textos de resolución Ecuaciones Diferenciales y de documentos
académicos relacionados.

6. Procedimiento
(1) Se reconoce la EDO de Bernoulli mediante el exponente del término “y” que
no es igual a cero ni a uno, de lo contrario, se trataría de una EDO lineal.
(2) Se linealiza la EDO de Bernoulli a través de una sustitución idónea.
(3) Se emplea el método de resolución de una EDO lineal

7. Ejemplo:
Se reconoce el término que el término “y” tiene un exponente diferente a cero y a uno, es una
EDO de Bernoulli:
Se realiza la sustitución:
Entonces:

8. Estas sustituciones transforman la EDO del ejemplo problema en la siguiente ecuación:
Se divide todos los términos de la ecuación para ,m,, y se obtiene la siguiente expresión:

9. Esta expresión ya se trata de una EDO lineal, por lo que se procede a resolverla.
Se identifica el polinomio , , que es “-2/x”, para formar el factor integrante :
Se multiplica el factor integrante a ambos lados de la EDO, y se reduce el término de la
izquierda como la expresión diferencial de un productor, y se obtiene:

10. Se integra ambos lados la EDO de variables separadas, y se obtiene:
Despejamos la ecuación para la variable “v”:
Finalmente reemplazamos la sustitución que se realizó al inicio:
Se obtiene finalmente la función de familias de soluciones:

11. Análisis de Resultados:
Conclusiones:
La función solución encontrada a partir del ejercicio problema es la “familia de soluciones”. La
solución particular será cuando el ejercicio problema tenga condiciones iniciales, de esta
manera se encontrará el valor de la constante de la solución.
La resolución de una EDO de Bernoulli se basa en linealizar la EDO para luego realizar el
procedimiento de resolución para una EDO lineal. Reconocer la EDO de Bernoulli a partir del
exponente del término “y”es el primer paso.

12. Recomendaciones:
(1) Se puede llegar a una EDO de Bernoulli mediante manipulaciones algebraicas para tenga
la forma de una EDO (1), ya que no en todos los casos el exponente del término “y” está
explícito en la ecuación diferencial problema.
(2) Es necesario estar familiarizado con la resolución analítica de una EDO lineal para agilitar
el proceso de una EDO de Bernoulli.
(3) Las gráficas de la familia solución de una EDO proporcionan una mejor percepción del
proceso analítico que se lleva a cabo para la resolución de una EDO, por lo que utilizar
software para graficar la familia de soluciones y las soluciones particulares mejoraría el
entendimiento de lo que resolver una ED implica.

13. Bibliografía
Carmona, I. (2011) Ecuaciones Diferenciales, 5ta. Edición, Pearson; México
Edwards, C. H. & Penney, D. (2009). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la
frontera. 4 ed. Pearson: México
Hill, J. M. (1982). Solution of differential equations by means of one-parameter groups. Pitman
Advanced Pub. Program.
Zill G. D. (2010). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, 9na Edición,
Cengage Learning, México.