1. Jorge Alberto Sainz Garcia
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Materia Ecuaciones Diferenciales

2. Conceptos generales de las ecuaciones diferenciales de primer orden.
Ecuaciones de Variables Separables
Iniciaremos con las ecuaciones más sencillas de resolver. Este tipo de ecuaciones son
resueltas directamente mediante una o dos integraciones.
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:
Y’=F(x,y)
Se dice de Variables Separables si es posible factorizar F(x, y) en la forma:
F(x, y) = f(x) · g(y)
Una E.D. de variables separables puede resolverse usando los siguientes pasos:
Paso I: Factorizar el segundo miembro
Factorizar F(x, y) = f(x) · g(y), si tal factorización no es posible, se concluye que la ED no
es de variables separables y el procedimiento no continua.
Paso II: Separar las variables
Hacer álgebra para poner variables diferentes en lados diferentes:
y’ = F(x, y)
y’ = f(x) · g(y)
Paso III: Integrar
Integrando la expresión anterior con respecto a x obtenemos:
o
Paso IV: Despejar “y “ Opcional
Debido a que y representa la función incógnita a determinar, lo ideal es determinarla por
completo, es decir tener como solución una expresión de la forma:
y = Expresión en x

3. En caso que este despeje sea posible, se dice que la solución está dada en forma
explícita, en caso contrario cuando no fue posible despejar y se dice que la solución está
dada en formaimplícita.
Reducción a Variables Separables.
Una ecuación de la forma
Siempre es posible reducirla a una ecuación de variables separables, usando la
sustitución:
u = Ax + By + c B ≠ 0
Ejemplo:
y(0)=0
i) Si hacemos u = −2x+y, entonces = −2+ Luego la ecuación diferencial se transforma
en:
ii) Separamos variables y descomponemos la expresión en fracciones parciales,
, integramos
, de aquí
, hacemos
iii) Finalmente, usando la condición inicial y(0) = 0, se obtiene C = −1. Luego

4. Ecuaciones diferenciales homogéneas
Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se
reducen a ecuaciones en variables separadas.
En la práctica, es muy difícil que nos encontremos con ecuaciones diferenciales
separables. Sin embargo, hay ocasiones en las que algún tipo de sustitución transforma la
ecuación diferencial no separable en una ecuación que sí es separable. Un ejemplo de
este tipo de ecuaciones son las ecuaciones diferenciales homogéneas. Una ecuación
diferencial se llama homogénea si puede escribirse de la forma
FACTOR INTEGRANTE DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Sea la ecuación diferencial no exacta:
Podemos introducir un factor integrante μ para convertirla en exacta, con lo que tenemos:
Y a partir de ahí podemos poner:
El factor integrante se define como una función μ(x,y) tal que al multiplicar la ecuación
diferencial dada por ella, se transforma en una ecuación diferencial exacta. Aplicando el
factor integrante se debe tener:
Ecuaciones diferencial lineal
Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma:

5. O usando otra notación frecuente:
Para que una ecuación diferencial sea lineal es que no aparezcan productos de la función
incógnita consigo misma ni de ninguna de sus derivadas. Si usamos la notación para
denotar eloperador diferencial lineal de la ecuación anterior, entonces la ecuación anterior
puede escribirse como:
E. Bernoulli
En una una ecuación diferencial lineal de primer orden, mediante la sustitución y1-n
= v ,
que se caracteriza por adoptar la forma:
Donde y son funciones continuas en un intervalo abierto y α
es un número real cualquiera.
Referencias
Zill, Dennis G.(2006).
Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, Octava Edición.
Brooks/Cole Publishing Co. ITP.
QA 372.Z54 1997.
Marcus, Daniel A. (1993)
Ecuaciones Diferenciales.
CECSA.
Simmons, George F., and Robertson, John S. (1993).
Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas, segunda edición.
McGrawHil
Ecuaciones de Variables Separables
Departmento de Matemáticas / CSI
ITESM
http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/recursos/l841-02.pdf
|Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M

6. http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-
linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap2-geo/node9.html