Calculo integral

1. CALCULO INTEGRAL
EDWARD STEVEN CAMELO
CODIGO:
GREESS HURTADO
CODIGO:
ANGELICA GUARIN RIVERA
CODIGO: 97120214954
YENSI VIVIANA GUERRERO
CODIGO:
JHON ARGEMIRO JIMENEZ
CODIGO:
CURSO: 14
NELSON HUMBERTO ZAMBRANO CORTES
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS,TECNOLOGIA E INGENIERIA
2014

2. CONTENIDO
 INTRODUCCION………………………………………………………………...03
 OBJETIVOS………………………………………………………………………04
 DESARROLLO…………………………………………………………………...05
 CONCLUSION……………………………………………………………..........13
 REFERENCIAS…………………………………………………………………..14

3. INTRODUCCION
Se conoce que Se entiende por métodos de integración cualquiera de las
diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o
integral indefinida de una función. Así, dada una función f(x), los métodos
de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite
encontrar una función F(x). En el siguiente trabajo será visible la solución
de diferentes ejercicios teniendo en cuenta cada uno de los conocimientos
adquiridos en la unidad dos del curso de cálculo integral.

4. OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
 Aplicar los conocimientos adquiridos en el curso de cálculo integral para la
solución de ejercicios relacionada con la temática
OBJETIVO ESPECIFICO
 Conocer las técnicas de integrales para aplicarla en la solución de
diferentes ejercicios
 Estudiar las bases del cálculo integral para comprender cada uno temas
inscritos en la unidad
 Comprender la importancia de la aplicación del cálculo integral en la
solución de ejercicios y de problemas en el área de ingeniería y afines

5. Respuesta 1
∫ ln 𝑥 𝑑𝑥
1
0
Los valores del Ln de x deben ser mayores de 0 (x > 0). Esta función no está acotada en x = 0, debido
a que si toma estos valores se indetermina. Solo tomaremos valores superiores a cero para el límite.
Integramos por partes:
𝑈 = ln 𝑥 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥
𝑑𝑈
𝑑𝑥
=
1
𝑥
→ 𝑑𝑈 =
1
𝑥
𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑉 = ∫ 𝑑𝑥 → 𝑉 = 𝑥
Aplicamos la fórmula:
∫ 𝑈 𝑑𝑉 = 𝑈𝑉 − ∫ 𝑉 𝑑𝑈
∫ 𝑈 𝑑𝑉 = 𝑥 ln 𝑥 − ∫ 𝑥 (
1
𝑥
𝑑𝑥) = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝑐
Luego sustituimos:
∫ ln 𝑥 𝑑𝑥
1
0
= lim
𝑡→0+
∫ ln 𝑥 𝑑𝑥
1
0+𝑡
= lim
𝑡→0+
( 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥)]
0+
1
= lim
𝑡→0+
(1) ln(1) − 1 − [( 𝑡)ln( 𝑡) − 𝑡] =
lim
𝑡→0+
0 − 1 − ( 𝑡) ln( 𝑡) + 𝑡 = −1 − lim
𝑡→0+
( 𝑡) ln( 𝑡) + lim
𝑡→0+
𝑡 = −1 − lim
𝑡→0+
( 𝑡) ln( 𝑡)
Tenemos un problema en lim
𝑡→0
+
( 𝑡)ln( 𝑡), porque si sustituimos nos da -∞. Por lo tanto la resolveremos
aparte:
lim
𝑡→0+
( 𝑡) ln( 𝑡)
= lim
𝑡→0+
ln 𝑡
1
𝑡⁄
Aplicamos L’ Hopotal
= lim
𝑡→0+
𝑑(ln 𝑡)
𝑑𝑡
𝑑(1
𝑡⁄ )
𝑑𝑡
= lim
𝑡→0+
1
𝑡
𝑑(1
𝑡⁄ )
𝑑𝑡
=== −𝑡
= lim
𝑡→0+
1
𝑡
−
1
𝑡2
= lim
𝑡→0+
−
𝑡2
𝑡
= lim
𝑡→0+
− 𝑡 = 0
Por lo tanto nos queda: -1-0 = 0
Podemos concluir que esta integral es convergenteen -1

6. Respuesta 2
∫
1
( 𝑥 − 1)2
∞
2
𝑑𝑥
Para que se indetermine la ecuación podemos concluir que x debe ser igual a 1. Como se determina
que debe tomar valores de 2 a menos infinito no nos preocupamos por este. Procedemos a integrar:
∫
1
( 𝑥 − 1)2
𝑑𝑥
∫( 𝑥 − 1)−2
𝑑𝑥 =
( 𝑥 − 1)−2+1
−2 + 1
+ 𝑐 =
( 𝑥 − 1)−1
−1
+ 𝑐 = −
1
𝑥 − 1
+ 𝑐
Para evaluar:
lim
𝑢→∞
∫
1
( 𝑥 − 1)2
𝑢
2
𝑑𝑥 = lim
𝑢→∞−
−
1
𝑥 − 1
]
2
𝑢
= −
1
2 − 1
− lim
𝑢→∞−
−
1
𝑢 − 1
= −1 + lim
𝑢→∞−
1
𝑢⁄
𝑢
𝑢
−
1
𝑢
= −1 + lim
𝑢→∞−
1
𝑢⁄
1 −
1
𝑢
= −1 +
0
1 − 0
lim
𝑢→∞
∫
1
( 𝑥 − 1)2
𝑢
2
𝑑𝑥 = −1
Converge en -1
Respuesta 3
∫ 𝑒−5𝑥 𝑑𝑥
∞
−∞
Sustituimos:
𝑢 = −5𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −5 → −
𝑑𝑢
5
= 𝑑𝑥
∫ 𝑒−5𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑢 (−
𝑑𝑢
5
)
= −
1
5
∫ 𝑒 𝑢
𝑑𝑢
= −
1
5
𝑒 𝑢
+ 𝑐
∫ 𝑒−5𝑥
𝑑𝑥 = −
1
5
𝑒−5𝑥
+ 𝑐
Luego:

7. lim
𝑥→∞
∫ 𝑒−5𝑥 𝑑𝑥
∞
−∞
= lim
𝑥→−∞
∫ 𝑒−5𝑥 𝑑𝑥
0
−∞
+ lim
𝑥→∞
∫ 𝑒−5𝑥 𝑑𝑥
∞
0
= lim
𝑡→−∞
−
1
5
𝑒−5𝑥]
𝑡
0
+ lim
𝑡→∞
∫ −
1
5
𝑒−5𝑥]
0
𝑡𝑡
0
= lim
𝑡→−∞
−
1
5
𝑒−5(0)
− (−
1
5
𝑒−5𝑡) + lim
𝑡→∞
−
1
5
𝑒−5𝑡
− (−
1
5
𝑒−5(0)
)
= lim
𝑡→−∞
−
1
5
𝑒0
+
1
5
𝑒−5𝑡
− lim
𝑡→∞
1
5
𝑒−5𝑡
+
1
5
𝑒0
= −
1
5
+ lim
𝑡→−∞
1
5
𝑒−5𝑡 − lim
𝑡→∞
1
5
𝑒−5𝑡 +
1
5
lim
𝑥→∞
∫ 𝑒−5𝑥
𝑑𝑥
∞
−∞
= 0
Converge en 0
Respuesta 4
∫
4 + 𝑥
√𝑥2 − 4
5
2
𝑑𝑥
Para que esta función no se indetermine en el denominador x no puede ser ni menor ni igual a 2, ya
que si se sustrae nos da como denominador cero o la raíz de un numero negativo que tampoco se
determina.
Ahora bien comencemos por integrar la función anterior. Procedemos por sustitución trigonométrica:
∫
4 + 𝑥
√𝑥2 − 4
𝑑𝑥
Tabla 1:
sec 𝜃 =
𝑥
2
𝑑𝑥
𝑑𝜃
= 2 sec 𝜃
𝑥 = 2 sec 𝜃 𝑑𝑥 = 2 sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃
tan 𝜃 =
√𝑥2 − 4
2
Reemplazamos:
∫
4 + 𝑥
√𝑥2 − 4
𝑑𝑥 = ∫
4 + 2 sec 𝜃
√(2 sec 𝜃)2 − 4
2 sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃
= ∫
4 + 2 sec 𝜃
√4 sec2 𝜃 − 4
2 sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃
= ∫
2(2 + sec 𝜃)
√4(sec2 𝜃 − 1)
2 sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃
= ∫
2(2 + sec 𝜃)
√4(sec2 𝜃 − 1)
2 sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃
= ∫
2(2 + sec 𝜃)
√4 tan2 𝜃
2 sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃
= ∫
2(2 + sec 𝜃)
2 tan 𝜃
2 sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃
= ∫(2 + sec 𝜃)2 sec 𝜃 𝑑𝜃

8. = ∫4 sec 𝜃 + 2 sec2
𝜃 𝑑𝜃
= ∫4 sec 𝜃 + 2 sec2
𝜃 𝑑𝜃
= 4 ∫sec 𝜃 𝑑𝜃 + 2 ∫sec2
𝜃 𝑑𝜃
= 4 ln|sec 𝜃 + tan 𝜃| + 2 tan 𝜃 + 𝑐
Sustituimos ahora por los valores que nos dieron en la tabla 1, recuerde que deben estar en términos de
x
∫
4 + 𝑥
√𝑥2 − 4
𝑑𝑥 = 4 ln |
𝑥
2
+
√𝑥2 − 4
2
| + 2
√𝑥2 − 4
2
+ 𝑐
= 4 ln |
1
2
( 𝑥 + √ 𝑥2 − 4)| + √ 𝑥2 − 4 + 𝑐
Ahora procedemos:
∫
4 + 𝑥
√𝑥2 − 4
5
2
𝑑𝑥 = 4 ln |
1
2
( 𝑥 + √ 𝑥2 − 4)| + √ 𝑥2 − 4]
2
5
= 4 ln |
1
2
(5 + √(5)2 − 4)| + √(5)2 − 4 − [4 ln |
1
2
(5 + √(5)2 − 4)| + √(5)2 − 4]
= 4 ln |
1
2
(5 + √(5)2 − 4)| + √(5)2 − 4 − [4 ln |
1
2
(2 + √(2)2 − 4)| + √(2)2 − 4]
= 6,26 + 4,58 − [4 (0) + 0]
∫
4 + 𝑥
√𝑥2 − 4
5
2
𝑑𝑥 = 10,84

9. Respuesta 5
∫
sec2
√ 𝑥
√ 𝑥
𝑑𝑥
Se sustituye:
𝑢 = √ 𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
2√ 𝑥
→ 2𝑑𝑢 =
1
√ 𝑥
∫2 sec2 𝑢 𝑑𝑢 = 2 ∫ sec2 𝑢 𝑑𝑢
= 2 tan 𝑢 + 𝑐
∫
sec2
√ 𝑥
√ 𝑥
𝑑𝑥 = 2 tan√ 𝑥 + 𝑐
Respuesta 6:
∫
1
1 + √ 𝑥
𝑑𝑥
4
1
∫
1
1 + √ 𝑥
𝑑𝑥 = ∫(1 + √ 𝑥)
−1
2⁄
𝑑𝑥
=
(1 + √ 𝑥)
−
1
2
+1
−
1
2
+ 1
+ 𝑐
=
(1 + √ 𝑥)
1
2
1
2
+ 𝑐
= 2√1 + √ 𝑥 + 𝑐
Luego:
∫
1
1 + √ 𝑥
𝑑𝑥 = 2√1 + √ 𝑥]
1
44
1
= 2√1 + √4 − (2√1 + √1)
= 2√1 + 2 − (2√1 + 1)
= 2√3 − 2√2
∫
1
1 + √ 𝑥
𝑑𝑥 =
4
1
2(√3 − √2)

10. Respuesta 7:
∫ sin2
𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
2⁄
0
Se aplica sustitución:
𝑢 = sin 𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= cos 𝑥
Se despeja
𝑑𝑢
Hacemos la integración de la función en solo términos de u. Se reemplaza:
= ∫ 𝑢2
𝑑𝑢
=
𝑢3
3
+ 𝑐
Sustituimos seno en u:
∫ sin2
𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
2⁄
0
=
sin3
𝑥
3
]
0
𝜋
2⁄
=
sin3
( 𝜋
2⁄ )
3
−
sin3
0
3
=
1
3
−
0
3
∫ sin2
𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
2⁄
0
=
1
3
Respuesta 8
∫ 𝑥𝑒 𝑥2−1 𝑑𝑥
Se aplica sustitución:
𝑢 = 𝑥2
− 1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2𝑥 →
𝑑𝑢
2
= 𝑥 𝑑𝑥
Se despeja
𝑑𝑢
Hacemos la integración de la función en solo términos de u. Se reemplaza:
∫ 𝑒 𝑢
𝑑𝑢
2
=
1
2
∫ 𝑒 𝑢
𝑑𝑢 =
1
2
𝑒 𝑢
+ 𝑐
∫ 𝑥𝑒 𝑥2−1 𝑑𝑥 =
1
2
𝑒 𝑥2−1 + 𝑐

11. Respuesta 9
∫
1
𝑥2 + 4𝑥 + 13
𝑑𝑥 = ∫
1
𝑥2 + 4𝑥 + 4 + 9
𝑑𝑥
= ∫
1
( 𝑥 + 2)2 + 9
𝑑𝑥
Necesitamosel términosllegarasegúnlaintegral inmediata ∫
1
1+𝑢2
= tan−1 𝑢 + 𝑐,procedemos
por sustituir:
3𝑢 = 𝑥 + 2 → 𝑢 =
𝑥 + 2
3
3
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 1 → 3𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
= ∫
1
(3𝑢)2 + 9
(3 𝑑𝑢)
= 3∫
1
9𝑢2 + 9
𝑑𝑢
= 3∫
1
9( 𝑢2 + 1)
𝑑𝑢
=
1
3
∫
1
( 𝑢2 + 1)
𝑑𝑢
=
1
3
tan−1 𝑢 + 𝑐
∫
1
𝑥2 + 4𝑥 + 13
𝑑𝑥 =
1
3
tan−1
𝑥 + 2
3
+ 𝑐
Respuesta 10
∫
1
4 − 𝑥2 𝑑𝑥
Aplicamosfracciónparcial:
1
4 − 𝑥2 =
1
(2 + 𝑥)(2 − 𝑥)
=
𝐴(2 − 𝑥) + 𝐵(2 + 𝑥)
(2 + 𝑥)(2 − 𝑥)
Tengamosencuentaque:
𝐴(2− 𝑥) + 𝐵(2 + 𝑥) = 1
Igualemoslaecuacióna2 y a -2 para hallarlosvalores,loque nosqueda:
Para 𝑥 = 2 Para 𝑥 = −2
𝐴(2 − 2) + 𝐵(2 + 2) = 1 𝐴(2− (−2)) + 𝐵(2 + (−2)) = 1
𝐴(0) + 𝐵(4) = 1 𝐴(4) + 𝐵(0) = 1
𝐵 =
1
4
𝐴 =
1
4
Quedaentonces:
∫
1
4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫
1
4
2 + 𝑥
+
1
4
2 − 𝑥
𝑑𝑥
=
1
4
(∫
1
2 + 𝑥
𝑑𝑥 + ∫
1
2 − 𝑥
𝑑𝑥) 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑥 + 2 = 1
𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 2 − 𝑥 = −1

12. Por lotanto se puede aplicarintegral
directa.
=
1
4
(ln|2 + 𝑥| + ln|2 − 𝑥|) + 𝑐
Se aplicapropiedadde logaritmo
=
1
4
(ln|(2 + 𝑥)(2 − 𝑥)|) + 𝑐
∫
1
4 − 𝑥2 𝑑𝑥 =
1
4
ln|4 − 𝑥2| + 𝑐
Respuesta 11
∫ 𝑥√𝑥 + 1 𝑑𝑥
𝑈 = 𝑥
𝑑𝑉 = ( 𝑥 + 1)
1
2
𝑑𝑈
𝑑𝑥
= 1 → 𝑑𝑈 = 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑉 = ∫( 𝑥 + 1)
1
2 𝑑𝑥 → 𝑉 =
2
3
( 𝑥 + 1)
3
2
Aplicamos la fórmula:
∫ 𝑈 𝑑𝑉 = 𝑈𝑉 − ∫ 𝑉 𝑑𝑈
∫ 𝑈 𝑑𝑉 = 𝑥
2
3
( 𝑥 + 1)
3
2 − ∫
2
3
( 𝑥 + 1)
3
2 𝑑𝑥
=
2
3
𝑥√( 𝑥 + 1)3 −
2
3
∫( 𝑥 + 1)
3
2 𝑑𝑥
=
2
3
𝑥√( 𝑥 + 1)2( 𝑥 + 1) −
2
3
[
( 𝑥 + 1)
3
2
+1
3
2 + 1
] + 𝑐
=
2
3
𝑥( 𝑥 + 1)√ 𝑥 + 1 −
2
3
[
( 𝑥 + 1)
5
2
5
2
] + 𝑐
=
2
3
𝑥( 𝑥 + 1)√ 𝑥 + 1 −
2
3
[
2 ( 𝑥 + 1)
5
2
5
] + 𝑐
=
2
3
𝑥( 𝑥 + 1)√ 𝑥 + 1 −
4
15
√( 𝑥 + 1)4( 𝑥 + 1) + 𝑐
∫ 𝑥√𝑥 + 1 𝑑𝑥 =
2
3
𝑥( 𝑥 + 1)√ 𝑥 + 1 −
4
15
( 𝑥 + 1)2 √( 𝑥 + 1) + 𝑐
Respuesta 12
∫
2𝑥
𝑥2 − 3𝑥 − 10
𝑑𝑥
Se factoriza denominador y se busca la fracción parcial

13. 2𝑥
𝑥2 − 3𝑥 − 10
=
2𝑥
( 𝑥 − 5)( 𝑥 + 2)
=
𝐴( 𝑥+ 2) + 𝐵( 𝑥− 5)
( 𝑥− 5)( 𝑥 + 2)
Igualemosax cuandovale 5 y -2 para hallarlosvalores,loque nosqueda:
Para 𝑥 = 5 Para 𝑥 = −2
𝐴(5 + 2) + 𝐵(5 − 5) = 2(5) 𝐴(−2 + 2) + 𝐵(−2 − 5) = 2(−2)
𝐴(7) + 𝐵(0) = 10 𝐴(0) + 𝐵(−7) = −4
𝐴 =
10
7
𝐵 =
−4
−7
=
4
7
∫
2𝑥
𝑥2
− 3𝑥 − 10
𝑑𝑥 = ∫
10
7
𝑥 − 5
+
4
7
𝑥 + 2
𝑑𝑥
=
10
7
∫
1
𝑥 − 5
𝑑𝑥 +
4
7
∫
1
𝑥 + 2
𝑑𝑥
=
10
7
ln| 𝑥 − 5| +
4
7
ln| 𝑥 + 2| + 𝑐
∫
2𝑥
𝑥2
− 3𝑥 − 10
𝑑𝑥 =
2
7
(5 ln| 𝑥 − 5| + 2 ln| 𝑥 + 2|) + 𝑐

14. CONCLUSION
Se afirma que el cálculo integral es parte fundamental de las matemáticas
en general. La palabra integrar tiene dos aceptaciones en el cálculo. La
aceptación más profunda y fundamental coincide con el significado
corriente de la palabra; se usa para indicar el total de algo, o bien una suma
de parte. En este sentido se aplica para hallar áreas limitadas por curvas,
volúmenes de sólidos, longitudes de curvas, centros de gravedad y en otras
muchas cuestiones. En el anterior trabajo se observó la solución de
diferentes ejercicios relacionados con la temática de la unidad 2 de cálculo
integral

15. REFERENCIAS
 Tomado de https://epointegralldiagnost.wordpress.com/about/ del 03 de
diciembre del 2014
 Tomado de https://es.scribd.com/doc/135253486/Importancia-del-Calculo-
Integral-en-la-actualidad del 03 de diciembre del 2014
 Tomado de
http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral_100411_2
014-02Intersem/Guia_integrada_de_actividades.pdf del 03 de diciembre del
2014
 Conocimientos adquiridos en el curso de cálculo integral