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integral calculation form
- 1. CALCULO INTEGRAL Mari CarmenPerez Sifuentes
- 2. Introducción Una antiderivada esla operación inversa a la derivada. Pero ¿qué significa ser la operación inversa de la derivada? Significa que la antiderivada va a deshacer lo que la derivada se encargó de hacer. El método más básico para resolver una antiderivada es adivinar. ¡Lo que harás es pensar en una posible respuesta, derivarla y ver si da! Las antiderivadas también son llamadas Integrales Indefinidas. Históricamente la idea de integral se halla unida al cálculo de áreas a través del teorema fundamental del cálculo. El Concepto operativo de integral se basa en una operación contraria a la derivada a tal razón se debe su nombre de: antiderivada. La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada
- 3. Formula 1 ∫dx = x + c Ejemplo: ∫ 2𝑑𝑥 = 2 + 𝑐 Problemas 1 ∫ 7𝑑𝑥 = 7 + 𝑐 2 ∫ 9𝑑𝑥 = 9 + 𝑐
- 4. 3 ∫ 20𝑑𝑥 =20 + 𝑐 4 ∫ 13𝑑𝑥 = 13 + 𝑐 5 ∫ 27𝑑𝑥 = 27 + 𝑐 Formula 2 ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑛+1 𝑛 + 1 + 𝑐 Ejemplo ∫ 12𝑥2 𝑑𝑥 = 12 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 12𝑥3 3 + 𝑐 =4𝑥3 + 𝑐
- 5. Ejercicios 1 ∫ 27𝑥3 𝑑𝑥 =27 ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 = 27𝑥4 4 + 𝑐 =6.75𝑥4 + 𝑐 2 ∫ 6𝑥2 𝑑𝑥 = 6 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 6𝑥3 3 + 𝑐 =2𝑥3 + 𝑐
- 6. 3 ∫ 20𝑥4 𝑑𝑥 =20 ∫ 𝑥4 𝑑𝑥 = 20𝑥5 5 + 𝑐 =4𝑥5 + 𝑐 4 ∫ 30𝑥3 𝑑𝑥 = 30 ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 = 30𝑥4 4 + 𝑐 =7.5𝑥4 + 𝑐 5 ∫ 18𝑥3 𝑑𝑥 = 18 ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 = 18𝑥4 4 + 𝑐 =4.5𝑥4 + 𝑐
- 7. Formula 3 ∫(𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 − 𝑑𝑤) = ∫ 𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑣 − ∫ 𝑑𝑤 Problemas 1 ∫(𝑥 + √ 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 + 𝑥 1 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 1 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 2 = 𝑥2 2 ∫ 𝑥 1 2 𝑑𝑥 = 𝑥2 2 + 2𝑥 √ 𝑥 3 + 𝐶
- 8. 2 ° ∫ ( 1 𝑥2+ 4 𝑥√ 𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = ∫ ( 1 𝑥2 + 4 𝑥𝑥 1 2 + 2) 𝑑𝑥 = ∫ 1 𝑥2 + 4 𝑥 1+ 1 2 + 2𝑑𝑥 = ∫ 1 𝑥2 + 4 𝑥 3 2 + 2𝑑𝑥 = ∫ 1 𝑥 1 2 𝑑𝑥 + ∫ 4 𝑥 3 2 𝑑𝑥 + ∫ 2𝑑𝑥 = - 1 𝑥 + ∫ 4 𝑥 3 2 𝑑𝑥 + 2𝑑𝑥 = - 1 𝑥 − 4 ( 2 √ 𝑥 ) + ∫ 2𝑑𝑥 = - 1 𝑥 − 8 √ 𝑥 + 2𝑥 + 𝐶 3 ∫( 3 √ 𝑥 − 𝑥√ 𝑥 4 )𝑑𝑥 = ∫( 3 𝑥1/2 − 𝑥 𝑥1/2 4 )𝑑𝑥 = ∫( 3 𝑥1/2 − 𝑥3/2 4 )𝑑𝑥 = ∫( 3 𝑥1/2 − 𝑥3/2 1 4 1 )𝑑𝑥 =∫ 3 𝑥1/2 − 𝑥3/2 4 − ∫ 𝑥 3 2 4 𝑑𝑥 = 3x ∫ 1 𝑥1/2 − 1 4 𝑥 ∫ 𝑥 3 2 4 𝑑𝑥 = 6√ 𝑥 − 1 4 2𝑥√ 𝑥 5 = 6√ 𝑥 − 2𝑥√ 𝑥 10 + C
- 9. 4 ∫(𝑥2 + 1 √ 𝑥 3 )2 𝑑𝑥= ∫(𝑥2 + 1 𝑥 1 3 )2 𝑑𝑥 = (𝑥2 ) + 2𝑥2 1 𝑥 1 3 + ( 1 𝑥 1 3 )2 = 𝑥4 + 2𝑥2 𝑥 1 3 + ( 1 𝑥 2 3 )2 = ∫ 𝑥4 + 2𝑥2 𝑥 1 3 + 1 𝑥 2 3 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥4 + 𝑥2− 1 3 + 1 𝑥 2 3 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥4 + 𝑥2− 5 3 + 1 𝑥 2 3 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥4 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥2− 5 3 𝑑𝑥 + ∫ 1 𝑥 2 3 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥5 5 + 3𝑥2√𝑥2 4 + 3√ 𝑥 3 + 𝐶
- 10. Formula 4 ∫𝑎𝑑𝑣 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑣 Problemas 1 ∫ √3𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ √3𝑥 𝑑𝑥 =3 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = √3𝑥2 2 + 𝑐 2 ∫ 3√ 𝑥 3 𝑑𝑥 = 7 ∫ 𝑥 1 3 𝑑𝑥 = 7𝑥 7 3 + 𝑐 = 21𝑥3 7 + 𝑐 = 3𝑥√ 𝑥 3 + 𝑐
- 11. 3 ∫ 𝑥 (𝑥 + 2) 2 3 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 5 3 − 2𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑥2 √ 𝑥23 8 − 6𝑥3√ 𝑥2 5 = 3√ ( 𝑥+2) 𝑥( 𝑥2+4𝑥+4) 8 3 = 6 (𝑥+2)2 √(𝑥+2)3 5 + 𝑐 4 ∫ 𝑥3 √𝑥 + 4𝑑𝑥 = ∫ 3 √𝑥 + 4 𝑥 (𝑥2 + 8𝑥 + 16) 3 16 = 3 ( 𝑥 + 4) √ 𝑥 + 4 3 + 𝑐 Formula 5 ∫ 𝑣 𝑛 𝑑𝑣 = 𝑣 𝑛+1 𝑛+1 + 𝑐
- 12. Problemas 1 ∫( 𝑥 −1)( 𝑥2 − 2𝑥)5 𝑑𝑥 = ∫(𝑥2 − 2𝑥)5( 𝑥 − 1) 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥2 − 2𝑥 = 1 2 ∫( 𝑥2 − 2𝑥)5 2( 𝑥 − 1) 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 2𝑥 − 2 = 1 2 (𝑥2−2𝑥)6 6 + 𝑐 𝑑𝑣 = (2𝑥 − 2) 𝑑𝑥 = 𝑥2−2𝑥)6 12 + 𝑐 𝑑𝑣 = 2( 𝑥 − 1) 𝑑𝑥 2 ∫( 𝑥 − 1)( 𝑥2 − 2𝑥)5 𝑑𝑥 = ∫( 𝑥2 − 2𝑥)5 ( 𝑥 − 1) 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥2 2𝑥 = 1 2 ∫ 𝑥2 − 2𝑥)5 2( 𝑥 − 1) 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 2𝑥 − 2 = 1 2 (𝑥2−2𝑥)6 6 + 𝑐 𝑑𝑣 = (2𝑥 − 2) 𝑑𝑥 = (𝑥2−2𝑥)6 12 + 𝑐 𝑑𝑣 = 2( 𝑥 − 1) 𝑑𝑥
- 13. 3 ∫(2𝑥 + 1) 4 3𝑑𝑥 = 1 2 ∫(2𝑥 + 1) 4 3 2𝑑𝑥 𝑣 = 2𝑥 + 1 = 1 2 ( 𝑥+1) 7 3 7 3 + 𝑐 𝑛 = 4 3 = 1 2 3 (2𝑥+1) 7 3 7 + 𝑐 𝑣 = 2𝑑𝑥 = 3 (2𝑥+1)2 √2𝑥+1 7 + 𝑐 4 ∫ 𝑥 (𝑥2 + 1) 4 5 𝑑𝑥 = 1 2 ∫(𝑥2 + 1) 4 5 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥2 + 1 = 1 2 (𝑥2+1) 9 5 9 5 + 𝑐 𝑛 = 4 5 = 1 2 5 (𝑥2+1) 9 5 9 + 𝑐 𝑑𝑣 = 2𝑥 𝑑𝑥 = 5 (𝑥2+1)5 √(𝑥2+1)45 18 + 𝑐
- 14. Formula 6 ∫ 𝑑𝑣 𝑣 =𝑖𝑛 𝑣 + 𝐶1 = 𝑖𝑛 𝑣 + 𝑖𝑛 𝐶 = 𝑖𝑛 𝐶𝑣 Problemas 1 ∫ 𝑑𝑥 √16 − 𝑥2 = ∫ 1 16 − 𝑥2 𝑑𝑥 = − 1 8 𝑥 𝑖𝑛 ( 𝑥−4 𝑥+4 = − 1 8 𝑥 𝑖𝑛 ( 𝑥−4 𝑥+4 ) = − 1 8 𝑥 𝑖𝑛 ( 𝑥−4 𝑥+4 ) + 𝑐
- 15. 2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 9 +𝑥2 = 1 2 ∫ 2𝑥𝑑𝑥 3 + 𝑥3 𝑣 = 9 + 𝑥2 = 1 2 𝑖𝑛 9𝑥2 + 𝑐 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑑𝑣 = 2𝑥𝑑𝑥 3 ∫(𝑥 2 3 1 𝑥3 + √3 𝑥−1 ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 3 + 1 𝑥3 + √3 1 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 7 5 + 𝑥−2 −2 + √3𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐 = ∫ 𝑥 2 5 𝑑𝑥 + 𝑥−3 + √3 = 5𝑥 7 5 − −1 2𝑥2 + √3𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐
- 16. 4 ∫ 𝑑𝑥 1−𝑥 = ∫ 1 1−𝑥 (−1) 𝑑𝑡 t= 1-x = ∫ −1 1−𝑥 𝑑𝑡 t = -1 = ∫ −1 𝑡 𝑑𝑡 = - ∫ 1 1−𝑥 𝑑𝑡 = -In ( | t | ) = -In ( | 1-x | ) + C