explicación de tarea de calculo integral Una antiderivada es la operación inversa a la derivada. Pero ¿qué significa ser la operación inversa de la derivada? Significa que la antiderivada va a deshacer lo que la derivada se encargó de hacer. El método más básico para resolver una antiderivada es adivinar. ¡Lo que harás es pensar en una posible respuesta, derivarla y ver si da! Las antiderivadas también son llamadas Integrales Indefinidas.

1. CALCULO INTEGRAL
Mari Carmen Perez Sifuentes

2. Introducción
Una antiderivada es la operación inversa a la derivada. Pero
¿qué significa ser la operación inversa de la derivada?
Significa que la antiderivada va a deshacer lo que la derivada
se encargó de hacer. El método más básico para resolver
una antiderivada es adivinar. ¡Lo que harás es pensar en una
posible respuesta, derivarla y ver si da! Las antiderivadas
también son llamadas Integrales Indefinidas.
Históricamente la idea de integral se halla unida al
cálculo de áreas a través del teorema fundamental del
cálculo.
El Concepto operativo de integral se basa en una
operación contraria a la derivada a tal razón se debe
su nombre de: antiderivada.
La antiderivada es la función que resulta del proceso
inverso de la derivación, es decir, consiste en
encontrar una función que, al ser derivada produce la
función dada

3.  Formula 1
∫ dx = x + c
Ejemplo:
∫ 2𝑑𝑥 = 2 + 𝑐
Problemas
1
∫ 7𝑑𝑥 = 7 + 𝑐
2
∫ 9𝑑𝑥 = 9 + 𝑐

4. 3
∫ 20𝑑𝑥 = 20 + 𝑐
4
∫ 13𝑑𝑥 = 13 + 𝑐
5
∫ 27𝑑𝑥 = 27 + 𝑐
 Formula 2
∫ 𝑥 𝑛
𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝑐
Ejemplo
∫ 12𝑥2
𝑑𝑥 = 12 ∫ 𝑥2
𝑑𝑥
=
12𝑥3
3
+ 𝑐
=4𝑥3
+ 𝑐

5. Ejercicios
1
∫ 27𝑥3
𝑑𝑥 = 27 ∫ 𝑥3
𝑑𝑥
=
27𝑥4
4
+ 𝑐
=6.75𝑥4
+ 𝑐
2
∫ 6𝑥2
𝑑𝑥 = 6 ∫ 𝑥2
𝑑𝑥
=
6𝑥3
3
+ 𝑐
=2𝑥3
+ 𝑐

6. 3
∫ 20𝑥4
𝑑𝑥 = 20 ∫ 𝑥4
𝑑𝑥
=
20𝑥5
5
+ 𝑐
=4𝑥5
+ 𝑐
4
∫ 30𝑥3
𝑑𝑥 = 30 ∫ 𝑥3
𝑑𝑥
=
30𝑥4
4
+ 𝑐
=7.5𝑥4
+ 𝑐
5
∫ 18𝑥3
𝑑𝑥 = 18 ∫ 𝑥3
𝑑𝑥
=
18𝑥4
4
+ 𝑐
=4.5𝑥4
+ 𝑐

7.  Formula 3
∫( 𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 − 𝑑𝑤) = ∫ 𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑣 − ∫ 𝑑𝑤
Problemas
1
∫(𝑥 + √ 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 + 𝑥
1
2
𝑑𝑥
= ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥
1
2 𝑑𝑥
= ∫ 𝑥 𝑑𝑥
𝑥2
2
=
𝑥2
2
∫ 𝑥
1
2 𝑑𝑥
=
𝑥2
2
+
2𝑥 √ 𝑥
3
+ 𝐶

8. 2
° ∫ (
1
𝑥2 +
4
𝑥√ 𝑥
+ 2) 𝑑𝑥 = ∫ (
1
𝑥2 +
4
𝑥𝑥
1
2
+ 2) 𝑑𝑥
= ∫
1
𝑥2 +
4
𝑥
1+
1
2
+ 2𝑑𝑥
= ∫
1
𝑥2 +
4
𝑥
3
2
+ 2𝑑𝑥
= ∫
1
𝑥
1
2
𝑑𝑥 + ∫
4
𝑥
3
2
𝑑𝑥 + ∫ 2𝑑𝑥
= -
1
𝑥
+ ∫
4
𝑥
3
2
𝑑𝑥 + 2𝑑𝑥
= -
1
𝑥
− 4 (
2
√ 𝑥
) + ∫ 2𝑑𝑥
= -
1
𝑥
−
8
√ 𝑥
+ 2𝑥 + 𝐶
3
∫(
3
√ 𝑥
−
𝑥√ 𝑥
4
)𝑑𝑥 = ∫(
3
𝑥1/2 −
𝑥 𝑥1/2
4
)𝑑𝑥
= ∫(
3
𝑥1/2 −
𝑥3/2
4
)𝑑𝑥
= ∫(
3
𝑥1/2 −
𝑥3/2
1
4
1
)𝑑𝑥
=∫
3
𝑥1/2 −
𝑥3/2
4
− ∫
𝑥
3
2
4
𝑑𝑥
= 3x ∫
1
𝑥1/2 −
1
4
𝑥 ∫
𝑥
3
2
4
𝑑𝑥
= 6√ 𝑥 −
1
4
2𝑥√ 𝑥
5
= 6√ 𝑥 −
2𝑥√ 𝑥
10
+ C

9. 4
∫(𝑥2
+
1
√ 𝑥
3 )2
𝑑𝑥 = ∫(𝑥2
+
1
𝑥
1
3
)2
𝑑𝑥
= (𝑥2
) + 2𝑥2 1
𝑥
1
3
+ (
1
𝑥
1
3
)2
= 𝑥4
+
2𝑥2
𝑥
1
3
+ (
1
𝑥
2
3
)2
= ∫ 𝑥4
+
2𝑥2
𝑥
1
3
+
1
𝑥
2
3
𝑑𝑥
= ∫ 𝑥4
+ 𝑥2−
1
3 +
1
𝑥
2
3
𝑑𝑥
= ∫ 𝑥4
+ 𝑥2−
5
3 +
1
𝑥
2
3
𝑑𝑥
= ∫ 𝑥4
𝑑𝑥 + ∫ 𝑥2−
5
3 𝑑𝑥 + ∫
1
𝑥
2
3
𝑑𝑥
= ∫
𝑥5
5
+
3𝑥2√𝑥2
4
+ 3√ 𝑥
3
+ 𝐶

10.  Formula 4
∫ 𝑎𝑑𝑣 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑣
Problemas
1
∫ √3𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ √3𝑥 𝑑𝑥
=3 ∫ 𝑥 𝑑𝑥
=
√3𝑥2
2
+ 𝑐
2
∫ 3√ 𝑥
3
𝑑𝑥 = 7 ∫ 𝑥
1
3
𝑑𝑥
= 7𝑥
7
3
+ 𝑐
=
21𝑥3
7
+ 𝑐
= 3𝑥√ 𝑥
3
+ 𝑐

11. 3
∫ 𝑥 ( 𝑥 + 2)
2
3
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥
5
3
− 2𝑥 𝑑𝑥
=
3𝑥2 √ 𝑥23
8
− 6𝑥3√
𝑥2
5
= 3√
( 𝑥+2) 𝑥( 𝑥2+4𝑥+4)
8
3
= 6
(𝑥+2)2 √(𝑥+2)3
5
+ 𝑐
4
∫ 𝑥3
√𝑥 + 4𝑑𝑥 = ∫ 3
√𝑥 + 4 𝑥 (𝑥2 + 8𝑥 + 16)
3
16
= 3 ( 𝑥 + 4) √ 𝑥 + 4
3
+ 𝑐
 Formula 5
∫ 𝑣 𝑛
𝑑𝑣 =
𝑣 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝑐

12. Problemas
1
∫( 𝑥 − 1)( 𝑥2
− 2𝑥)5
𝑑𝑥 = ∫(𝑥2
− 2𝑥)5( 𝑥 − 1) 𝑑𝑥
𝑣 = 𝑥2
− 2𝑥 =
1
2
∫( 𝑥2
− 2𝑥)5
2( 𝑥 − 1) 𝑑𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 2 =
1
2
(𝑥2−2𝑥)6
6
+ 𝑐
𝑑𝑣 = (2𝑥 − 2) 𝑑𝑥 =
𝑥2−2𝑥)6
12
+ 𝑐
𝑑𝑣 = 2( 𝑥 − 1) 𝑑𝑥
2
∫( 𝑥 − 1)( 𝑥2
− 2𝑥)5
𝑑𝑥 = ∫( 𝑥2
− 2𝑥)5 ( 𝑥 − 1) 𝑑𝑥
𝑣 = 𝑥2
2𝑥 =
1
2
∫ 𝑥2
− 2𝑥)5
2( 𝑥 − 1) 𝑑𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 2 =
1
2
(𝑥2−2𝑥)6
6
+ 𝑐
𝑑𝑣 = (2𝑥 − 2) 𝑑𝑥 =
(𝑥2−2𝑥)6
12
+ 𝑐
𝑑𝑣 = 2( 𝑥 − 1) 𝑑𝑥

13. 3
∫(2𝑥 + 1)
4
3 𝑑𝑥 =
1
2
∫(2𝑥 + 1)
4
3 2𝑑𝑥
𝑣 = 2𝑥 + 1 =
1
2
( 𝑥+1)
7
3
7
3
+ 𝑐
𝑛 =
4
3
=
1
2
3 (2𝑥+1)
7
3
7
+ 𝑐
𝑣 = 2𝑑𝑥 =
3 (2𝑥+1)2
√2𝑥+1
7
+ 𝑐
4
∫ 𝑥 (𝑥2
+ 1)
4
5
𝑑𝑥 =
1
2
∫(𝑥2
+ 1)
4
5 𝑑𝑥
𝑣 = 𝑥2
+ 1 =
1
2
(𝑥2+1)
9
5
9
5
+ 𝑐
𝑛 =
4
5
=
1
2
5 (𝑥2+1)
9
5
9
+ 𝑐
𝑑𝑣 = 2𝑥 𝑑𝑥 =
5 (𝑥2+1)5 √(𝑥2+1)45
18
+ 𝑐

14.  Formula 6
∫
𝑑𝑣
𝑣
= 𝑖𝑛 𝑣 + 𝐶1 = 𝑖𝑛 𝑣 + 𝑖𝑛 𝐶 = 𝑖𝑛 𝐶𝑣
Problemas
1
∫
𝑑𝑥
√16 − 𝑥2
= ∫
1
16 − 𝑥2
𝑑𝑥
= −
1
8
𝑥 𝑖𝑛 (
𝑥−4
𝑥+4
= −
1
8
𝑥 𝑖𝑛 (
𝑥−4
𝑥+4
)
= −
1
8
𝑥 𝑖𝑛 (
𝑥−4
𝑥+4
) + 𝑐

15. 2
∫
𝑥 𝑑𝑥
9 + 𝑥2
=
1
2
∫
2𝑥𝑑𝑥
3 + 𝑥3
𝑣 = 9 + 𝑥2
=
1
2
𝑖𝑛 9𝑥2
+ 𝑐
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑣 = 2𝑥𝑑𝑥
3
∫(𝑥
2
3
1
𝑥3
+ √3 𝑥−1
) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥
2
3 +
1
𝑥3
+ √3
1
𝑥
𝑑𝑥
= ∫ 𝑥
7
5 +
𝑥−2
−2
+ √3𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐
= ∫ 𝑥
2
5 𝑑𝑥 + 𝑥−3
+ √3
= 5𝑥
7
5 −
−1
2𝑥2 + √3𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐

16. 4
∫
𝑑𝑥
1−𝑥
= ∫
1
1−𝑥
(−1) 𝑑𝑡
t = 1-x = ∫
−1
1−𝑥
𝑑𝑡
t = -1 = ∫
−1
𝑡
𝑑𝑡
= - ∫
1
1−𝑥
𝑑𝑡
= -In ( | t | )
= -In ( | 1-x | ) + C