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Ejercicios de separación de variables
- 1. Universidad Nacional Experimental “Francisco de Miranda” Área de Tecnología Programa Ingeniería U.C. Matemática IV Ecuaciones Diferenciales por Separación de Variables
- 2. A continuación, resolveremos ED por Separación de Variables Aplicando diversos procedimientos para su solución (Integración Inmediata, Cambio de Variables, ILATE, Fracciones Parciales) ED por Separación de Variables 3𝑦´ + 8𝑥3 = 2 3𝑦´ = 2 − 8𝑥3 𝑦´ = 2 − 8𝑥3 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2 − 8𝑥3 3 𝒜
- 3. ED por Separación de Variables 𝑑𝑦 = 2 −8𝑥3 3 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 2 −8𝑥3 3 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 = 2 3 ∫ 𝑑𝑥 − 8 3 ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 Podemos Aplicar: INTEGRACIÓN INMEDIATA 𝑦 + 𝑐1 = 2 3 𝑥 + 𝑐2 − 8 3 . 𝑥4 4 + 𝑐3
- 4. 𝑦 = − 2 3 𝑥4 + 2 3 𝑥 + 𝑐2 + 𝑐3 − 𝑐1 ED por Separación de Variables 𝑦 = − 2 3 𝑥4 + 2 3 𝑥 + 𝑐 Pero => 𝒞 = 𝑐2 + 𝑐3 − 𝑐1
- 5. ED por Separación de Variables 𝟗𝒚´ + 𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝟐 = 𝟎 y´ = - 𝑆𝑒𝑛 (𝑥+2) 9 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = - 𝑆𝑒𝑛 (𝑥+2) 9 𝒹𝓍 𝒹𝑦= - 𝑆𝑒𝑛 (𝑥+2) 9 𝒹𝓍 ℬ
- 6. ED por Separación de Variables ∫ 𝒹𝑦= ∫ - 𝑆𝑒𝑛 (𝑥+2) 9 𝒹𝓍 y + c 1= - 1 9 ∫ 𝑆𝑒𝑛 (𝑥 + 2)𝒹𝓍 y + c 1= - 1 9 ∫ 𝑆𝑒𝑛 (𝑢)𝒹𝓍 Aplicamos: CAMBIO DE VARIABLE 𝓊 = 𝓍 + 2 𝒹𝓊 = 𝒹𝓍 y + c 1= - 1 9 𝐶𝑜𝑠 (𝑢)𝒹𝑢 Devolvemos el CAMBIO
- 7. ED por Separación de Variables y + c 1= - 1 9 𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 2 + 𝑐2 Pero => 𝒞 = c 1 - 𝑐2 y = - 1 9 𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 2 + 𝑐
- 8. ED por Separación de Variables 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙 𝟐 𝓵𝓷 𝔁 𝓭𝒚 = 𝒙 𝟐 𝓵𝓷 𝔁 𝓭𝒙 ∫ 𝓭𝒚 = ∫ 𝒙 𝟐 𝓵𝓷 𝔁 𝓭𝒙 𝒞
- 9. ED por Separación de Variables 𝒚 + 𝒄1 = ∫ 𝒙 𝟐 𝓵𝓷 𝔁 𝓭𝒙 Aplicamos: ILATE 𝓊. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 ∫ 𝒙 𝟐 𝓵𝓷 𝔁 𝓭𝒙 𝓊 = ln 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 ∫ 𝒹𝑣 = ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥3 3 𝑥3 3 . ln 𝑥 - ∫ 𝑥3 3 . 𝑑𝑥 𝑥 ∫ 𝒙 𝟐 𝓵𝓷 𝔁 𝓭𝒙 =
- 10. ED por Separación de Variables 𝑥3 3 . ln 𝑥 - ∫ 𝑥3 3𝑥 . 𝒹𝑥∫ 𝒙 𝟐 𝓵𝓷 𝔁 𝓭𝒙 = 𝑥3 3 . ln 𝑥 - 1 3 . 𝑥3 3 + 𝒞2∫ 𝒙 𝟐 𝓵𝓷 𝔁 𝓭𝒙 = 𝑥3 3 . ln 𝑥 - 1 9 . 𝑥3 + 𝒞2∫ 𝒙 𝟐 𝓵𝓷 𝔁 𝓭𝒙 =
- 11. ED por Separación de Variables 𝒚 + 𝒄1 = 𝑥3 3 . ln 𝑥 - 1 9 . 𝑥3 + 𝑐2 𝒚 = 𝑥3 3 (ln 𝑥 - 1 3 ) + 𝑐 Factor Común 𝒚 = 𝑥3 3 . ln 𝑥 - 1 9 . 𝑥3 + 𝑐 Pero => 𝒞 = c 1 - 𝑐2
- 12. 𝒟 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 5𝑥 + 2 3𝑥2 + 5𝑥 + 2 𝑑𝑦 = 5𝑥 + 2 3𝑥2 + 5𝑥 + 2 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 5𝑥 + 2 3𝑥2 + 5𝑥 + 2 𝑑𝑥 y + 𝑐1 = ∫ 5𝑥 + 2 3𝑥2 + 5𝑥 + 2 𝑑𝑥 ED por Separación de Variables
- 13. y + 𝑐1 = ∫ 5𝑥 + 2 3𝑥2 + 5𝑥 + 2 𝑑𝑥 Apliquemos: FRACCIONES PARCIALES ∫ 5𝑥 + 2 3𝑥2 + 5𝑥 + 2 𝑑𝑥 Debemos aplicar La RESOLVENTE −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑎 = 3, b = 5, c = 2 −5 ± 52 − 4(3)(2) 2.3 ED por Separación de Variables
- 14. −5 ± 25 − 24 6 𝑥1 = −5 + 1 6 𝑥2 = −5 − 1 6 𝑥1 = −2 3 𝑥2 = −1 3𝑥 + 2 = 0 𝑥 + 1 = 0 ∫ 5𝑥 + 2 3𝑥2 + 5𝑥 + 2 𝑑𝑥 = ∫ 5𝑥 + 2 (3𝑥 + 2)(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 ED por Separación de Variables
- 15. ∫ 𝐴 3𝑥 + 2 𝑑𝑥 + ∫ 𝐵 𝑥 + 1 𝑑𝑥 ∫ 5𝑥 + 2 3𝑥2 + 5𝑥 + 2 𝑑𝑥 = ∫ 5𝑥 + 2 (3𝑥 + 2)(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 Separamos 𝐴 3𝑥 + 2 + 𝐵 𝑥 + 1 𝐴 𝑥 + 1 + 𝐵(3𝑥 + 2) (3𝑥 + 2)(𝑥 + 1) ∫ 5𝑥 + 2 3𝑥 + 2 𝑥 + 1 𝑑𝑥 = ∫ 5𝑥 + 2 3𝑥 + 2 𝑥 + 1 𝑑𝑥 = ∫ 5𝑥 + 2 3𝑥 + 2 𝑥 + 1 𝑑𝑥 = ED por Separación de Variables
- 16. 𝐴𝑥 + 𝐴 + 3𝐵𝑥2𝐵 (3𝑥 + 2)(𝑥 + 1) ∫ 5𝑥 + 2 3𝑥 + 2 𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 𝐴 + 3𝐵 𝑥 + (𝐴 + 2𝐵) (3𝑥 + 2)(𝑥 + 1) ∫ 5𝑥 + 2 3𝑥 + 2 𝑥 + 1 𝑑𝑥 = Ahora, Resolvemos: A + 3B = 5 (1) (-1) A + 2B = 2 (2) A + 3B = 5 -A - 2B = -2 B = 3 A + 2B = 2 A = 2 - 2B A = 2 – 2(3) A = -4 ED por Separación de Variables
- 17. Sustituimos EN: -4∫ 𝑑𝑥 3𝑥+2 + 3∫ 𝑑𝑥 𝑥+1 Integramos: − 4 3 ln 3𝑥 + 2 + 3 ln 𝑥 + 1 + 𝑐2 Sustituimos EN ORIGINAL: ∫ 5𝑥 + 2 3𝑥2 + 5𝑥 + 2 𝑑𝑥 = ∫ 5𝑥 + 2 3𝑥2 + 5𝑥 + 2 𝑑𝑥 = y + 𝑐1 = − 4 3 ln 3𝑥 + 2 + 3 ln 𝑥 + 1 + 𝑐2 Pero => 𝑐3 = 𝑐2 − 𝑐1 𝑐3 = ln 𝑐 ED por Separación de Variables
- 18. y = − 4 3 ln 3𝑥 + 2 + 3 ln 𝑥 + 1 + ln 𝑐 𝑦 = ln 3𝑥 + 2 − 4 3 + ln(𝑥 + 1)3 + ln 𝑐 𝑦 = ln[ c. 3𝑥 + 2 − 4 3 . ln( 𝑥 + 1)3 ] ED por Separación de Variables