El documento presenta una serie de ecuaciones diferenciales de la forma de Legendre, Bessel y otras. Explica cómo resolver estas ecuaciones para encontrar sus soluciones generales utilizando métodos como el de Frobenius. Proporciona ejemplos resueltos de encontrar las soluciones generales para ecuaciones diferenciales específicas.

1. MG. ING. MANUEL KUROKAWA GUERREROS
TERCERA PARTE

2. Se le denomina así a la ecuación diferencial de la forma:
(1 − 𝑥2)𝑦′′ − 2𝑥𝑦′ + 𝑛(𝑛 + 1)𝑦 = 0
Como 𝑥0 = 0, es punto ordinario de la Ecuación de Legendre,
entonces admite solución en serie de potencias.
Resolviendo la ecuación alrededor de 𝑥0 = 0, se llega a la solución
general:
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 ∈ 𝑁
𝑌 𝑥 = 𝑐0𝑌1 𝑥 + 𝑐1𝑌2 𝑥
ING. MKG

3. Donde:
𝑌1(𝑥) = 1 −
𝑛(𝑛 + 1)
2!
𝑥2
+
(𝑛 − 2)𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 3)
4!
𝑥4
−
(𝑛 − 4)(𝑛 − 2)𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 3)(𝑛 + 5)
6!
𝑥6
+. . .
𝑌2 𝑥 = 𝑥 −
(𝑛−1)(𝑛+2)
3!
𝑥3 +
(𝑛−3)(𝑛−1)(𝑛+2)(𝑛+4)
5!
𝑥5 −
(𝑛−5)(𝑛−3)(𝑛−1)(𝑛+2)(𝑛+4)(𝑛+6)
7!
𝑥7 +..
OBSERVACIÓN:
• Si “n” es un entero par, la primera serie termina y la segunda es una
serie infinita.
• De igual manera, si “n” es un entero impar, la segunda serie termina y
la primera es una serie infinita.
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4. PROBLEMA 1:
Encontrar la solución general de la ecuación diferencial:
1 − 9𝑥2 𝑦′′ − 18𝑥𝑦′ + 108𝑦 = 0
SOLUCIÓN:
Haciendo 𝑡 = 3𝑥 ;
𝑑𝑡
𝑑𝑥
= 3
𝑦′
= 𝑦′
𝑡
.
𝑑𝑡
𝑑𝑥
= 3𝑦′𝑡
𝑦′′
=
𝑑 3𝑦′
𝑡
𝑑𝑥
= 3
𝑑(𝑦′
𝑡
)
𝑑𝑡
.
𝑑𝑡
𝑑𝑥
= 9𝑦′′𝑡
Reemplazando en la E.D.:
1 − 𝑡2
(9𝑦𝑡
′′
) − 18
𝑡
3
(3𝑦′
𝑡) + 108𝑦 = 0
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5. 1 − 𝑡2
𝑦𝑡
′′
− 2𝑡𝑦𝑡
′
+ 12𝑦𝑡 = 0
Es una ecuación de Legendre para n=3 (12=3x4)
En la fórmula de Legendre:
𝑌1(𝑡) = 1 −
3(4)
2!
𝑡2 +
(1)3(4)(6)
4!
𝑡4 −
(−1)(1)3(4)(6)(8)
6!
𝑡6+. . .
𝑌1(𝑡) = 1 − 6𝑡2 + 3𝑡4 +
4
5
𝑡6+. . .
𝑌1(𝑥) = 1 − 54𝑥2 + 243𝑥4 +
2916
5
𝑥6+. . .
También: 𝑌2 𝑡 = 𝑡 −
2 5
2.3
𝑡3 = 𝑡 −
5
3
𝑡3
S.G. :
𝑌2(𝑥) = 3𝑥 − 45𝑥3
𝑌 𝑥 = 𝑐0𝑌1 𝑥 + 𝑐1𝑌2 𝑥
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6. Se llama así a la ecuación de la forma:
𝑥2
𝑦´´ + 𝑥𝑦´ + 𝑥2
− 𝑝2
𝑦 = 0 𝑝 ≥ 0
Aplicando el método de Frobenius alrededor de 𝑥0 = 0
se obtiene la ecuación indicial:
𝑟2
− 𝑝2
= 0 𝑟 = ±𝑝
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7. 1° SOLUCIÓN: Para r1= +p
𝑌1(𝑥) = 𝑱𝒑(𝒙) =
𝑘=0
∞
(−1)𝑘
𝑘! Γ(𝑝 + 𝑘 + 1)
𝑥
2
2𝑘+𝑝
Donde:
Γ: Función gamma
Propiedades
Γ(𝑥 + 1) = 𝑥Γ(𝑥)
Γ(𝑥 + 1) = 𝑥!
Para x > −1
Para x𝜖𝑍+
𝑱𝒑(𝒙): Es llamado: “Función de Bessel de orden ‘p’ de primera especie
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8. 2° SOLUCIÓN: Para r2= – p
1° Caso: Si 𝟐𝒑 ∉ 𝒁+
Entonces se sustituye p por ( – p) en la ecuación de la
primera solución:
Luego:
S.G. :
𝑌2(𝑥) = 𝑱−𝒑(𝒙) =
𝑘=0
∞
(−1)𝑘
𝑘! Γ(𝑘 − 𝑝 + 1)
𝑥
2
2𝑘−𝑝
𝑌 𝑥 = 𝑐1 𝐽𝑝 𝑥 + 𝑐2 𝐽−𝑝 𝑥
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9. 2° Caso: Si 𝟐𝒑 ∈ 𝒁+
La otra solución será:
𝑌𝑝 𝑥 : 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙 𝑑𝑒 2𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑒
Luego:
S.G. : 𝑌 𝑥 = 𝑐1 𝐽𝑝 𝑥 + 𝑐2𝑌𝑝 𝑥
Caso Especial: Si 𝒑 = 𝟎
Entonces S.G. : 𝑌 𝑥 = 𝑐1 𝐽0 𝑥 + 𝑐2𝑌0 𝑥
𝑌2(𝑥) = 𝒀𝒑(𝒙) =
𝐽𝑝(𝑥). cos( 𝜋𝑝) − 𝐽−𝑝(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑝)
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10. PROBLEMA 1:
Hallar la solución general de la ecuación diferencial:
𝑥2
𝑦′′
+ 𝑥𝑦′
+ (𝑥2
− 9)𝑦 = 0
SOLUCIÓN:
Identificando: 𝑝2
= 9
De donde p = 3 ; 2p ∈ 𝑍+
; entonces, la solución general es:
𝑌 𝑥 = 𝑐1𝐽3 𝑥 + 𝑐2𝑌3 𝑥
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11. PROBLEMA 2:
Hallar la solución general de la ecuación diferencial:
4 𝑥2
𝑦′′
+ 4𝑥𝑦′
+ (𝑥 − 4)𝑦 = 0
SOLUCIÓN:
Haciendo el cambio de variable: 𝑢 = 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
1
2𝑢
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
=
𝑑
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (
1
2𝑢
𝑑2
𝑦
𝑑𝑢2
−
1
2𝑢2
𝑑𝑦
𝑑𝑢
)
1
2𝑢
= −
1
4𝑢3
𝑑𝑦
𝑑𝑢
+
1
4𝑢2
𝑑2
𝑦
𝑑𝑢2
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12. Reemplazando en la E.D. nos queda:
4 𝑢4
(−
1
4𝑢3
𝑑𝑦
𝑑𝑢
+
1
4𝑢2
𝑑2
𝑦
𝑑𝑢2
) + 4𝑢2
𝑑𝑦
𝑑𝑢
1
2𝑢
+ (𝑢2
− 4)𝑦 = 0
𝑢2
𝑑2
𝑦
𝑑𝑢2
+ 𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑢
+ 𝑢2
− 4 𝑦 = 0
Ahora identificando: 𝑝2
= 4
Donde: p = 2 ; 2p ∈ 𝑍+
; entonces, la solución general es:
𝑌(𝑢) = 𝑐1𝐽2(𝑢) + 𝑐2𝑌2(𝑢)
Luego: 𝑌(𝑥) = 𝑐1 𝐽2( 𝑥) + 𝑐2𝑌2( 𝑥)
ING. MKG

13. PROBLEMA 3:
Resolver en términos de Bessel:
𝑥2
𝑦′′
+ 𝑥𝑦′
+ (4𝑥2
−
1
9
)𝑦 = 0
SOLUCIÓN:
t = 2x ; 𝑑𝑡
𝑑𝑥
= 2 𝑦`′ = 2𝑦𝑡
′
𝑦′′ = 4𝑦𝑡
′′
En la E.D:
𝑥2 4𝑦𝑡
′′
+ 𝑥 2𝑦𝑡
′
+ 𝑡2 −
1
9
𝑦 = 0
Luego
𝑡2
𝑦𝑡
′′
+ 𝑡𝑦′
+ 𝑡2
−
1
9
𝑦 = 0
E.D de Bessel para p =
1
3
; 2𝑝 =
2
3
∉ ℤ
𝑦(𝑡) = 𝑐1 𝐽1
3
𝑡 + 𝑐2 𝐽
−
1
3
(𝑡)
𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝐽1
3
2𝑥 + 𝑐2 𝐽−
1
3
(2𝑥)
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