Introducción matemáticas financieras

1. Matemáticas Financieras
Unidad 1 Introducción
ARRM

2. Razones aritméticas y geométricas
La razón es la comparación de dos cantidades y se mide a partir de la división dos valores,
entonces: a/b. Es importante saber que esos valores precisan estar en la misma unidad de
medida y que el denominador debe ser diferente de 9. Por ejemplo, si la ganancia de una
empresa es de 15.000 y el gasto de la misma es 5.000, ¿cuál es la razón de la empresa?
15.000 / 5.000 = 3

3. La proporción es la igualdad entre dos o más razones.
Es decir, si a/b corresponde a la razón, entonces a/b = c/d equivale a una proporción.
Es frecuente que este contenido caiga en forma de problema. ¿Vamos a usar un
ejemplo para comprender mejor?
Usted pagó $20.000 por dos cuadernos; si tuviese $40.000 hubiera comprado
cuatro. ¿Los resultados representan una proporción?
• 20/2 = 10
• 40/4 = 10
En ese caso, las dos razones son una proporción

4. Ej.
En una clase de idiomas, la razón entre chicas y chicos
es de 5 para 8. Si el total es de 65 alumnos, ¿cuántas
chicas hay en esa clase de idiomas?
Si la razón es dada por la división de dos cantidades ,
luego 5/13 (5 es el número de chicas y 13 la suma de 5 +
8 de los chicos).
Si multiplicáramos el numerador y el denominador por
5 para llegar al número total de alumnos en la clase,
tendremos que el número de chicas en la clase es de
25, entonces: 25/65.

5. Página de apoyo
https://es.khanacademy.org/math/cc-seventh-grade-math/cc-7th-ratio-
proportion/cc-7th-write-and-solve-proportions/v/writing-proportions

6. Proporción
Debido a que la proporcionalidad es la razón que se registra entre
magnitudes, el reparto proporcional consiste en la distribución de una cantidad
en partes proporcionales.
En otras palabras: el reparto proporcional implica repartir una magnitud total
de manera proporcional entre diversas magnitudes de una misma clase.
Ej.
Supongamos que un jefe quiere darle un remuneración extra a sus empleados
que resulte proporcional a las hora extras de trabajo. El hombre dispone
de 500 pesos que repartirá entre los tres empleados que trabajaron
10, 12 y 14 horas extras.

7. Tendremos, entonces, tres cantidades: a (la cantidad que
corresponde al que trabajó 10h.), b (cantidad para el 12)
y c (cantidad para el de 14h). Cada una de estas
cantidades debe dividirse por la edad correspondiente:
a / 10 = b / 12 = c / 14
La propiedad de las razones iguales nos indica que:
a+ b + c / 10 + 12 + 14
Como a + b + c es el total del dinero que se repartirá
(500 pesos):
https://www.youtube.com/watch?v=1uAbIb-McLo
500 / 36
a / 10 = 500 / 36
b / 12 = 500 / 36
c / 14 = 500 / 36
a = 138,8 (139 pesos)
b = 166,6 (167 pesos)
c = 194,4 (194 pesos)

8. Regla de tres simple directa
La regla de tres simple directa es un procedimiento que nos permite calcular el valor de una
cantidad, conociendo otras tres cantidades relacionadas, que en conjunto forman una
proporción de dos razones.
Proporcionalidad directa:

9. Si para pintar 180 metros de pared se necesitan 24 kg de pintura. ¿cuántos
kg se necesitarán para pintar una superficie de 270 metros?
¿Es proporcionalidad directa?
Tabla de datos:
Ecuación multiplicando en cruz:
Solución:
Metros de pared Kilos de pintura
180 24
270 x

10. Regla de tres simple directa
Proporcionalidad Inversa
https://www.youtube.com/watch?v=iDisByLSTS0

11. Si abro tres desagües de una piscina, esta tarde en vaciarse dos horas.
¿Cuánto tardaré en vaciarla abriendo doce desagües?
¿Es proporcionalidad directa o inversa?
Tabla de datos:
Ecuación
Solución
N° de desagües Tiempo para vaciarse

12. Regla de tres compuesta
La usaremos cuando relacionemos 3 o más magnitudes
proporcionales. (se compone de reglas de tres simples
aplicadas sucesivamente o encadenadas)
Pueden dividirse en relaciones de proporcionalidad:
• Directa
• Inversa
• Mixta (mezcla de las anteriores)

13. Regla de tres compuesta directa
La aplicaremos cuando todas las relaciones de proporcionalidad que se
establezcan sean directas.
Ej. 8 grifos abiertos durante 5 horas diarias han consumido agua con
valor de 10 euros. ¿Cuál será el precio si tenemos 10 grifos abiertos
durante 10 horas los mismos días?
Pasos:
Estudiamos el tipo de relaciones de proporcionalidad que existen:
• Cuanto más grifos -‐-‐-‐-‐-‐-‐ más dinero gasto. Proporcionalidad directa
• Cuantas más horas abiertos -‐-‐-‐-‐-‐ más dinero gasto. Proporcionalidad directa

14. Aplicamos regla de tres compuesta:
8 grifos 5 horas 12 euros
10 grifos 9 horas x euros?
Resolvemos:

15. Regla de tres compuesta inversa
La aplicaremos cuando todas las relaciones de proporcionalidad que se establezcan sean inversas.
Ej.
5 pintores trabajan 6 horas diarias en una fábrica pintando un muro durante 2 días. ¿cuánto
tardarán 4 pintores Trabajando 7 horas diarias?
Pasos:
Estudiamos el tipo de relaciones de proporcionalidad que existen:
• Cuanto más pintores ‐----- menos días. Proporcionalidad inversa
• Cuantas más horas trabajando ‐--‐--‐ menos días. Proporcionalidad inversa
Aplicamos regla de tres compuesta:
5 pintores → 6 horas → 2días
4 pintores → 7 horas → x días?
Resolvemos:

16. La aplicaremos cuando todas las relaciones de proporcionalidad que se
establezcan sean directas e inversas.
Ej. 5 obreros han construido durante 7 días, trabajando 6 horas por día, 20
metros de muro. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros que trabajen 8 horas
diarias para construir un muro de 50 metros?
Pasos:
Estudiamos el tipo de relaciones de proporcionalidad que existen:
• Cuanto más obreros -‐-‐‐-‐-‐ menos días. Proporcionalidad inversa
• Cuantas más horas trabajando -‐-‐- menos días. Proporcionalidad inversa
• Cuantos más metros de muro -‐-‐-‐- más días. Proporcionalidad directa
Regla de tres compuesta mixta

17. Aplicamos regla de tres compuesta:
5 obreros 7 días 6 horas 20 metros
10 obreros x días 8 horas 50 metros
Regla de tres compuesta mixta
Resolvemos:
x=6,5 días

18. Tanto por ciento
El porcentaje es un símbolo matemático, que representa una cantidad dada como una
fracción en 100 partes iguales. También se le llama comúnmente tanto por ciento donde
por ciento significa «de cada cien unidades». Se usa para definir relaciones entre dos
cantidades, de forma que el tanto por ciento de una cantidad, donde tanto es un número,
se refiere a la parte proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad.
El porcentaje se denota utilizando el símbolo «%», que matemáticamente equivale al
factor 0.01 y que se debe escribir después del número al que se refiere, dejando un
espacio de separación.12 Por ejemplo, «setena y ocho por ciento» se representa
mediante 78 % y significa ‘setenta y ocho de cada cien’. También puede ser representado:
78% = 78 X 0.01 y, operando: 78% = 0.78
El 78% de 3000, significa la parte proporcional a 78 unidades de cada 100 de esas 3000,
es decir: 78% X 3000 = 0.78 X 3000 =2,340 unidades en total.

19. Calcular porcentaje:
Calcular un porcentaje supone estimar la correspondencia que existe
matemáticamente entre 2 números. Para ello hay que dividir ambos números y
multiplicar el resultado por cien. De ahí se deduce qué cantidad representa el
primero respecto al total del segundo.
Sacar porcentaje:
Para sacar el porcentaje que supone un número respecto de otro, se debe
realizar una división del primero (que iría en el numerador) por el segundo (que
iría en el denominador) y, posteriormente, multiplicar por 100. Por ejemplo, si
queremos saber qué porcentaje supone una rebaja de 15 pesos respecto a un
precio inicial de 25 pesos, habría que realizar la operación (15/25) * 100 = 60%
Tanto por ciento:
El tanto por ciento es una forma común de referirse al porcentaje. Se refiere a la
relación de proporcionalidad establecida entre un primer número y un segundo.
https://es.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade-
math/cc-6th-ratios-prop-topic/cc-6th-
percentages/v/describing-the-meaning-of-percent

20. Progresiones
 Una progresión o sucesión matemática es una secuencia ordenada de
números que puede ser finita o infinita. A cada uno de los números se
le denomina término y se le representa por an, siendo n la posición del
término en la secuencia.
 Ejemplos:
• La progresión de los números impares es una secuencia infinita: 1, 3, 5,
7, 9, 11, 13, 15,... El primer término es a1=1 y el quinto término es a5=9.
• La progresión 1, 2, 3, 4 y 5 es finita (sólo consta de cinco términos). El
segundo término es a2=2 y el cuarto es a4=4 .

21. Una progresión puede ser
• Creciente: si cada término es mayor o igual que el término que ocupa una
posición anterior (an+1 ≥ an).
Ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5,...
• Decreciente: si cada término es menor que el término que ocupa una posición
anterior (an+1 ≤ an).
Ejemplo: 7, 5, 3, 1, -1,...
• Constante: si todos los términos son iguales (an+1 = an).
Ejemplo: 1, 1, 1, 1, 1,...
• Alternada: si el signo de cada término es distinto del signo del término anterior.
Ejemplo: 1, -2, 4, -8, 16, -32,...

22. Termino general
 El término general de una sucesión es la fórmula an que permite conocer
cada término en función de su posición n.
 Ejemplos:
• El término general de la progresión de los números impares (1, 3, 5, 7,...)
es an= 2⋅n−1
• Utilizamos el término general para calcular algunos sus términos
sustituyendo la posición n:
• a1=2⋅1−1=1 a2=2⋅2−1=3 a3=2⋅3−1=5
• El término general de la sucesión 1, 4, 9, 16, 25, 36,... es an=n2

23. Una progresión es aritmética si cada término se obtiene sumando un número constante
(diferencia) al término anterior.
Ejemplos:
•100, 105, 110, 115, 120, ... es una sucesión aritmética cuya diferencia es d=5 .
•-5, -3, -1, 1, 3 y 5 es una sucesión aritmética (finita) cuya diferencia es d=2.
•1, 4, 9, 16, 25, 36,... no es una sucesión aritmética porque, aunque el segundo
término se obtiene sumando 3 al primero, no ocurre lo mismo con los siguientes.
El término general de una progresión aritmética es
Si la diferencia d de la progresión es un número positivo, la progresión es creciente.
Si d es negativo, la progresión es decreciente.
Progresión aritmética

24. Progresión geométrica
Una progresión es geométrica si cada término se obtiene multiplicando un número
constante (razón) por el término anterior.
Ejemplos:
•1, 3, 9, 27, 81, … es una sucesión geométrica cuya razón es r=3.
•6, 12, 24, 48, 96,… es una sucesión geométrica cuya razón es r=2.
•5, 25, 50, 150,… no es una sucesión geométrica porque, aunque el segundo término se
obtiene multiplicando por 5 al primero, no ocurre lo mismo con los siguientes.
El término general de una progresión geométrica es
Si el primer término de una progresión geométrica es positivo, entonces:
• Si la razón r de la progresión es un número positivo mayor que 1, la progresión es
creciente.
• Si r=1, la progresión es constante.
• Si 0< r <1, la progresión es decreciente.
• Si r es negativo, la progresión es alternada (el signo va cambiando).

25. Progresión geométrica
 Ejemplos:
• La sucesión 1, 2, 4, 8, 16,… es creciente porque la razón es r= 2>1.
• La sucesión 2, 2, 2, 2,… es constante porque la razón es r=1.
• La sucesión 80, 40, 20, 10, 5, 2.5,… es decreciente porque la razón es 0< r =0.5 <1.
• La sucesión 1, -2, 4, -8, 16,… es alternada porque la razón es r =−2<0.