Supera la frustración asociada con la dificultad de entender y sobre todo manejar las Ecuaciones Diferenciales de Riccati de primer orden

1. Ecuaciones Diferenciales No-Lineales Ejercicios
Resueltos: Riccati
by Manuel Alejandro Vivas Riverol
ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com
Motivación
Si lees hasta el final éste artículo, Ecuaciones Diferenciales No-Lineales Ejercicios Resueltos:
Riccati, superarás la frustración asociada con la percepción de dificultad que rodea a estas ecua-
ciones. Las ecuaciones de Riccati a menudo intimidan a estudiantes y docentes, pero este artículo
está diseñado para cambiar esa perspectiva.
Figure 1. Jacopo Francesco Riccati
Después de terminar de leer este artículo, disiparás cualquier preocupación sobre la falta de
aplicaciones prácticas de las ecuaciones de Riccati en el mundo real. Nos sumergiremos en el corazón
de estas ecuaciones, proporcionándote una comprensión profunda y mostrándote cómo aplicar de
manera efectiva los algoritmos de solución para la Ecuación Diferencial de Riccati.
Al finalizar este artículo, no solo habrás conquistado la dificultad percibida de las ecuaciones
de Riccati, sino que también encontrarás respuestas prácticas y tangibles que despejarán cualquier
preocupación sobre su aplicabilidad en diversos contextos. Además, te brindaremos la oportunidad
de profundizar aún más con el artículo de venta: Automatiza tus Soluciones: Código Python y
SageMath para Ecuaciones Diferenciales de 1er Orden, lineales y no-lineales. Prepárate para trans-
formar tus percepciones y convertirte en un experto en la resolución de Ecuaciones Diferenciales
No-Lineales de Riccati.
No hay problema que pueda aguantar el ataque sostenido del pensamiento
1

2. ~Voltaire
Investigaciones y Datos Importantes
Jacopo Francesco Riccati (1676-1754), matemático italiano, contribuyó significativamente
a la difusión de las teorías de Newton y realizó investigaciones en hidrodinámica. Su trabajo en
ecuaciones diferenciales lo llevó a descubrir una solución particular para un tipo específico de
ecuación, conocida como la ecuación de Riccati. Esta ecuación, inventada y desarrollada en el siglo
XVIII, tenía como objetivo analizar problemas hidrodinámicos.
Figure 2. Representación alegórica del flujo de las aguas en una montaña
La motivación detrás del desarrollo de la técnica para resolver la ecuación de Riccati se encuentra
en su interés por comprender los fenómenos de flujo de fluidos y la dinámica de fluidos. Ric-
cati se enfrentó a desafíos en la modelización matemática de estos problemas, y la ecuación de
Riccati se convirtió en una herramienta fundamental en su búsqueda de soluciones.
En cuanto a su vida personal, Riccati experimentó pérdidas significativas. Su padre falleció
cuando él era joven, lo que pudo haber influido en su dedicación a las matemáticas y su búsqueda
de respuestas en el mundo científico. Además, se le ofreció la presidencia de la Academia de Ciencias
de San Petersburgo, una posición prestigiosa, pero la rechazó. La razón detrás de esta decisión
no fue por falta de reconocimiento o ambición, sino más bien por su afán de continuar su trabajo
científico y matemático. Optó por seguir su pasión y contribuir al avance del conocimiento en lugar
de asumir una posición administrativa.
Jacopo Francesco Riccati dejó un legado importante en las matemáticas y la hidrodinámica, y
su ecuación sigue siendo relevante en la resolución de problemas no lineales de primer orden. Su
enfoque en la investigación y su rechazo de la presidencia demuestran su compromiso con la ciencia
y su deseo de contribuir al conocimiento en lugar de buscar reconocimiento personal.
2 Investigaciones y Datos Importantes

3. Aplicaciones de la ecuación diferencial de Riccati
La Ecuación Diferencial (ED) de Riccati tiene diversas aplicaciones en diversos campos, entre
las cuales destacan:
1. Mecánica clásica: La ecuación de Riccati aparece en el estudio del movimiento de una partícula
en un potencial central, como el potencial gravitatorio o el potencial electrostático. Permite deter-
minar la trayectoria de la partícula en función de su energía y momento angular.
2. Óptica: La ecuación de Riccati se utiliza para modelar la propagación de la luz en guías de
onda ópticas. Permite calcular el campo electromagnético dentro de la guía de onda y determinar
las condiciones para la transmisión de la luz.
3. Control de sistemas: La ecuación de Riccati se utiliza en el diseño de controladores para
sistemas dinámicos. Permite encontrar un controlador que optimice el comportamiento del sistema,
como minimizar el error de seguimiento o mejorar la estabilidad de sistemas lineales y no lineales.
Figure 3. Grafica de finanzas, área de aplicación de las matemáticas aplicadas, en especial la ED de Riccati.
4. Optimización financiera: La ecuación de Riccati también se utiliza en la optimización financiera,
especialmente en la modelización de carteras de inversión y en la gestión de riesgos. Ayuda a
encontrar estrategias óptimas para maximizar el rendimiento o minimizar el riesgo en entornos
financieros.
Otras Aplicaciones
1. Teoría de la filtración: La ecuación de Riccati se utiliza para modelar el proceso de filtración
de señales.
2. Procesamiento de imágenes: La ecuación de Riccati se utiliza en el procesamiento de imágenes
para eliminar el ruido y mejorar la calidad de la imagen.
3. Econometría: La ecuación de Riccati se utiliza en econometría para modelar el compor-
tamiento de los mercados financieros.
4. Mecánica: Cuántica: En el contexto de la mecánica cuántica, la ED de Riccati surge al
modelar la función de onda de partículas subatómicas en ciertos potenciales cuadráticos.
Su solución proporciona información valiosa sobre los estados cuánticos.
Metodología
La metodología propuesta para abordar la Ecuación Diferencial (ED) de Riccati se presenta en
tres pasos estructurados y eficaces:
Metodología 3

4. i. Formulación de la Ecuación Diferencial de Riccati:
Escribimos la forma estándar de la ED:
y0
=a(x)y2
+b(x)y+c(x)
y definimos si es una ED de Riccati.
ii. Transformación a una Ecuación de Bernoulli:
En caso de conocer una solución particular:
y1 = f(x)
transformamos la ED a una ED de Linea mediante dos sustituciones consecutivas.
iii. Reducción a una Ecuación Diferencial Lineal mediante Sustituciones:
Se realiza la primera sustitución:
y = y1 + u
donde u=f(x).
Esto permite obtener una ED de Bernoulli con n=2, según la técnica descrita en nuestro
artículo Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli.
Posteriormente, se lleva a cabo la segunda sustitución:
w = u¡1
reduciendo finalmente la ecuación a una forma lineal más manejable. Para ecuaciones de
Bernoulli donde n =
/ 2, ver nuestro artículo Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli.
Ejercicios resueltos paso a paso
Ejercicio 1. Resolver:
dy
dx
¡ (1 ¡ x)y2 = (2x ¡ 1)y ¡ x
Suponer una solución: y1 = 1.
Solución.
Paso 1. Forma estándar:
dy
dx
¡ (1 ¡ x)y2 = (2x ¡ 1)y ¡ x
y0 = (1 ¡ x)y2 + (2x ¡ 1)y ¡ x
Paso 2. Sí, es una ED de Riccati, por tanto transformamos a una ED de Bernoulli.
Tenemos que y1 = 1, es una solución conocida de la ED, por tanto:
Paso 3. Primera Sustitución con y = 1 + u, de modo que,
dy
dx
=
du
dx
, de modo que:
y0 = (1 ¡ x)y2 + (2x ¡ 1)y ¡ x
du
dx
= (1 ¡ x)(1 + u)2 + (2x ¡ 1)(1 + u) ¡ x
du
dx
= (1 ¡ x)(1 + 2u + u2) + 2x + 2ux ¡ 1 ¡ u ¡ x
du
dx
= 1 + 2u + u2 ¡ x ¡ 2ux ¡ xu2 + 2x + 2ux ¡ 1 ¡ u ¡ x
du
dx
= 1 + 2u + u2 ¡ x ¡ xu2 + 2x ¡ 1 ¡ u ¡ x
du
dx
= 2u + u2 ¡ x ¡ xu2 + 2x ¡ u ¡ x
du
dx
= 2u + u2 ¡ xu2 ¡ u
du
dx
= (1 ¡ x)u2 + u
De modo que obtenemos la ED de Bernoulli:
du
dx
¡ u = (1 ¡ x)u2
4 Ejercicios resueltos paso a paso

5. Segunda sustitución: u = w¡1 para resolver la ED de Bernoulli, donde,
du
dx
= ¡w¡2dw
dx
De modo que:
du
dx
¡ u = (1 ¡ x)
1
w2
¡
1
w2
dw
dx
¡
1
w
= (1 ¡ x)
1
w2
¡
dw
dx
¡ w = 1 ¡ x
dw
dx
+ w = x ¡ 1
La ED anterior es una lineal de primer orden. Para resolverla, utilizaremos el algoritmo desarrollado en
nuestro artículo: Factores Integrantes. Por tanto, procedemos de la siguiente forma.
Calculamos el factor integrante para la ED anterior:
e
R
P (x)dx
Para nuestro caso: P (x) = 1, de modo que:
Z
P (x)dx =
Z
dx
Z
P (x)dx = x
Es decir, el factor integrante buscado es:
e
R
P (x)dx
= ex
Esto implica:
ex
dw
dx
+ w
= ex(x ¡ 1)
exdw
dx
+ ex w = xex ¡ ex
d
dx
(ex w) = xex ¡ ex
d(ex w) = (xex ¡ ex)dx
Z
d(ex w) =
Z
xexdx ¡
Z
exdx + C
Ahora, integrando por partes la integral
R
xexdx; (ver el artículo: Factores Integrantes), procedemos de la
siguiente forma.
Integramos por partes:
u = x dv = exdx
du = dx v = ex
Table 1. Integración por partes
De modo que:
Z
d(ex w) =
Z
xexdx ¡
Z
exdx + C
Z
d(ex w) =
xex ¡
Z
exdx
¡
Z
exdx + C
exw = xex ¡ 2
Z
exdx + C
exw = xex ¡ 2ex + C
w = x ¡ 2 + Ce¡x
Regresando a las variables originales:
1
u
= x ¡ 2 + Ce¡x
1
x ¡ 2 + Ce¡x
= u
y ¡ 1 =
1
x ¡ 2 + Ce¡x
y =
1
x ¡ 2 + Ce¡x + 1
Por tanto la solución de la ED de Riccati (y Bernoulli), es:
y =
1
x ¡ 2 + Ce¡x + 1
Ejercicios resueltos paso a paso 5

6. Figure 4. Gráfica de la famila de soluciones dada por y(x) =
1
x ¡ 2 + Ce¡x + 1. La solución conocida
y1 = 1 se grafica en magenta.
Si quieres aprender a automatizar tus resultados y tener la seguridad de los pasos que estás
obteniendo te dejo nuestro recurso: Automatiza tus Soluciones: Código Python y SageMath para
Ecuaciones Diferenciales de 1er Orden, lineales y no-lineales.
Ejercicio 2. Resolver:
y
0
=
y
x
+ x2y2 ¡ x4
Suponemos una solución: y1 = x.
Solución.
Paso 1. Forma estándar:
y0 = x2y2 +
1
x
y ¡ x4
Paso 2. Sí, es una ED de Riccati, por tanto transformamos a una ED de Bernoulli.
Tenemos que y1 = x, es una solución conocida de la ED, por tanto:
Paso 3. Primera Sustitución con y = x + u, de modo que,
dy
dx
= 1 +
du
dx
, de modo que:
y0 = x2y2 +
1
x
y ¡ x4
1 +
du
dx
= x2(x + u)2 +
1
x
(x + u) ¡ x4
du
dx
= x2(x2 + 2xu + u2) + 1 +
u
x
¡ x4 ¡ 1
du
dx
= x4 + 2x3u + x2u2 + 1 +
u
x
¡ x4 ¡ 1
du
dx
= x2u2 +
2x3 +
1
x
u
du
dx
¡
2x3 +
1
x
u = x2u2
De modo que obtenemos la ED de Bernoulli:
du
dx
¡
2x3 +
1
x
u = x2u2
Donde n = 2, según el algoritmo del artículo: Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli
Segunda sustitución: u = w¡1 para resolver la ED de Bernoulli, donde,
du
dx
= ¡w¡2dw
dx
, de modo que:
du
dx
¡
2x3 +
1
x
u = x2u2
¡
1
w2
dw
dx
¡
2x3 +
1
x
1
w
= x2
1
w
2
1
w2
dw
dx
+
2x3 +
1
x
1
w
= ¡x2 1
w2
dw
dx
+
2x3 +
1
x
w = ¡x2
De este modo, como sabemos, obtenemos una ED lineal de primer orden y para resolverla, utilizaremos el
algoritmo desarrollado en nuestro artículo: Factores Integrantes. Por tanto, obtenemos el factor integrante:
e
R
P (x)dx
6 Ejercicios resueltos paso a paso

7. Para nuestro caso: P (x) = 2x3 +
1
x
, de modo que:
Z
P (x)dx =
Z
dx
Z
P (x)dx = 2
Z
x3dx +
Z
1
x
dx
Z
P (x)dx =
2
4
x4 + ln(x)
Es decir, el factor integrante buscado es:
e
R
P (x)dx
= e
x4
2
+ln(x)
e
R
P (x)dx
= xe
x4
2
Esto implica:
xe
x4
2
dw
dx
+
2x3 +
1
x
w
= ¡x3 e
x4
2
xe
x4
2
dw
dx
+ xe
x4
2
2x3 +
1
x
w = ¡x3e
x4
2
xe
x4
2
dw
dx
+ 2x4e
x4
2 w + e
x4
2 w = ¡x3e
x4
2
d
dx
xe
x4
2 w
= ¡x3e
x4
2
Z
d
xe
x4
2 w
= ¡
Z
x3e
x4
2 dx + C
xe
x4
2 w = ¡
2
4
Z
4x3
2
e
x4
2 dx + C
w = ¡
1
2x
+
C
x
e
¡x4
2
Regresando a las variables originales:
1
u
= ¡
1
2x
+
C
x
e
¡x4
2
1
u
=
¡x + 2Cxe
¡x4
2
2x2
!
2x2
2Cxe
¡x4
2 ¡x
= u
x
C e
¡x4
2 ¡
1
2
= y ¡ x
y =
x
Ce
¡x4
2 ¡
1
2
+ x
Por tanto la solución de la ED de Riccati (y Bernoulli), es:
y =
x
Ce
¡x4
2 ¡
1
2
+ x
Figure 5. Gráfica de la familia de soluciones dad por y(x) =
x
Ce
¡x4
2 ¡
1
2
+ x. La solución conocida
y1 = x, es graficada en color magenta.
Ejercicios resueltos paso a paso 7

8. Si quieres aprender a automatizar tus resultados y tener la seguridad de los pasos que estás
obteniendo te dejo nuestro recurso: Automatiza tus Soluciones: Código Python y SageMath para
Ecuaciones Diferenciales de 1er Orden, lineales y no-lineales.
Ejercicio 3. Resolver:
y0 = ¡y2sen(x) + 2tan(x)sec(x)
Suponemos una solución: y1 = sec(x).
Solución.
Paso 1. Forma estándar:
y0 = ¡sen(x)y2 + 2tan(x)sec(x)
Paso 2. Sí, es una ED de Riccati, aún cuando no cuenta con el término: b(x)y, por tanto transformamos a
una ED de Bernoulli.
Tenemos que y1 = sec(x), es una solución conocida de la ED, por tanto:
Paso 3. Primera Sustitución con y = sec(x) + u, de modo que,
dy
dx
= sec(x)tan(x) +
du
dx
, de modo que:
y0 = ¡sen(x)y2 + 2tan(x)sec(x)
sec(x)tan(x) +
du
dx
= ¡sen(x)(sec(x) + u)2 + 2tan(x)sec(x)
du
dx
= ¡sen(x)(sec(x)2 + 2sec(x)u + u2) + 2tan(x)sec(x) ¡ sec(x)tan(x)
du
dx
= ¡sen(x)sec(x)2 ¡ 2sen(x)sec(x)u ¡ sen(x)u2 + 2tan(x)sec(x) ¡ sec(x)tan(x)
du
dx
+ 2sec(x)sen(x)u = ¡sen(x)sec(x)2 ¡ sen(x)u2 + 2tan(x)sec(x) ¡ sec(x)tan(x)
du
dx
+ 2
sen(x)
cos(x)
u = ¡
sen(x)
cos(x)2
¡ sen(x)u2 + 2
sen(x)
cos(x)2
¡
sen(x)
cos(x)2
du
dx
+ 2
sen(x)
cos(x)
u = ¡sen(x)u2
De modo que obtenemos la ED de Bernoulli:
du
dx
+ 2
sen(x)
cos(x)
u = ¡sen(x)u2
Donde n = 2, según el algoritmo del artículo: Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli
Segunda sustitución: u = w¡1 para resolver la ED de Bernoulli, donde,
du
dx
= ¡w¡2du
dx
, de modo que:
¡
1
w2
dw
dx
+ 2
sen(x)
cos(x)
1
w
= ¡sen(x)
1
w
2
dw
dx
¡ 2
sen(x)
cos(x)
w = sen(x)
De este modo, como sabemos, obtenemos una ED lineal de primer orden y para resolverla, utilizaremos el
algoritmo desarrollado en nuestro artículo: Factores Integrantes. Por tanto, obtenemos el factor integrante:
e
R
P (x)dx
Para nuestro caso: P (x) = ¡2
sen(x)
cos(x)
, de modo que:
Z
P (x)dx = ¡2
Z
sen(x)
cos(x)
dx
Z
P (x)dx = 2
Z
¡sen(x)
cos(x)
dx
Z
P (x)dx = 2ln(cos(x))
Es decir, el factor integrante buscado es:
e
R
P (x)dx
= e2ln(cos(x))
e
R
P (x)dx
= eln(cos(x)2
)
e
R
P (x)dx
= cos(x)2
8 Ejercicios resueltos paso a paso

9. Esto implica:
cos(x)2
dw
dx
¡ 2
sen(x)
cos(x)
w
= cos(x)2sen(x)
cos(x)2dw
dx
¡ 2sen(x)cos(x)w = cos(x)2sen(x)
d
dx
(cos(x)2w) = cos(x)2sen(x)
d(cos(x)2w) = cos(x)2sen(x)dx
Z
d(cos(x)2w) =
Z
cos(x)2sen(x)dx + C
cos(x)2w =
Z
cos(x)2sen(x)dx + C
Ahora, integrando
R
cos(x)2sen(x)dx, (ver el artículo: Factores Integrantes), procedemos de la siguiente
forma:
Integramos usando la fórmula
R
undu =
un+1
n + 1
:
u = cos(x) du = ¡sen(x)dx
Table 2. Integración usando
R
undu
cos(x)2w = ¡
Z
¡cos(x)2sen(x)dx + C
cos(x)2w = ¡
cos(x)3
3
+ C sec(x)2
w = ¡
1
3
cos(x) + C sec(x)2
Regresando a las variables originales:
1
u
= ¡
1
3
cos(x) + C sec(x)2
1
¡
1
3
cos(x) + C sec(x)2
= u
u =
1
¡
1
3
cos(x) + C sec(x)2
y ¡ sec(x) =
3
¡cos(x) + 3C sec(x)2
y =
3
¡cos(x) + 3C sec(x)2
+ sec(x)
Por tanto la solución de la ED de Riccati (y Bernoulli), es:
y =
3
¡cos(x) + 3C sec(x)2
+ sec(x)
Figure 6. Gráfica de la familia de solucionescdada por y =
3
¡cos(x) + 3C sec(x)2 + sec(x). La solución
conocida y1 = sec(x), se muestra en color rojo.
Si quieres aprender a automatizar tus resultados y tener la seguridad de los pasos que estás
obteniendo te dejo nuestro recurso: Automatiza tus Soluciones: Código Python y SageMath para
Ecuaciones Diferenciales de 1er Orden, lineales y no-lineales.
Ejercicios resueltos paso a paso 9

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