2. En matemáticas, un conjunto es una colección de
elementos considerada en sí misma como un objeto.
Los elementos de un conjunto, pueden ser las
siguientes: personas, números, colores, letras,
figuras, etc. Se dice que un elemento pertenece al
conjunto si está definido como incluido de algún
modo dentro de él.
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3. ‒ Operaciones con conjuntos.
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones
sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión,
intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento.
‒ Unión o reunión de conjuntos.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los
elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los
conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir
ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos
diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno
nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5,6,7,} y
B={8,9,10,11} la unión de estos
conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.
Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la unión de
estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Usando diagramas de Venn
se tendría lo siguiente:
Ejemplo 3.
Dados dos conjuntos F={x/x
estudiantes que juegan fútbol}
y B={x/x estudiantes que
juegan básquet}, la unión será
F∪B={x/x estudiantes que
juegan fútbol o básquet}.
Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:
Ejemplo 4.
Dados los dos
conjuntos A={3, 5, 6, 7}
y B={5,6}, en donde B
está incluido en A, la
unión será
AUB={3,5,6,7}. Usando
diagramas de Venn se
tendría
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4. . Propiedad conmutativa de la suma: el orden
de los sumandos no altera el producto. Ejemplo:
Los Números reales son el conjunto numérico compuesto por I, Q, Z y N.
Propiedades de los números reales
En los números reales existen dos operaciones básicas: la suma y la multiplicación. De ellas se extiende la resta y
división como operaciones opuestas de la suma y la multiplicación respectivamente.
a+b=b+a
2+3=3+2=5
Propiedad asociativa de la suma: dados tres o más
sumandos, se pueden agrupar de cualquier forma sin que
se altere el resultado. Ejemplo:
a+b+c=a+b+c=a+(b+c)
2+3-6=2+3-6=2+3-6=-1
Propiedad conmutativa de la
multiplicación: el orden de
los factores no altera el
producto. Ejemplo:
a*b=b*a
2*3=3*2=6
Propiedad asociativa de la
multiplicación: dados tres o más
factores, se pueden agrupar de
cualquier forma sin que se altere el
resultado. Ejemplo:
a*b*c=a*b*c=a*(b*c)
2*3*6=2*3*6=2*3*6=36
Propiedad distributiva: es una propiedad derivada de la suma y la multiplicación.
Dados tres números a, b y c el producto de a por la suma b con c es igual a la
suma de los productos ab y ac. Ejemplo:
a*(b+c)=a*b+a*c
2*(3+6)=2*3+2*6=18 3
5. La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son
distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor,
mayor o igual, o bien menor o igual.
Signos de desigualdad matemática
Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades matemáticas
posibles en los cinco siguientes:
Desigual a: ≠
Menor que: <
Menor o igual que: ≤
Mayor que: >
Mayor o igual que: ≥
Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos. De modo que implicaría que a es menor a
b, mientras que “a>b” significa que a es mayor a b. En el caso de “a≠b”, leeremos la expresión como a es
desigual a b, “a≤b”; a es menor o igual a b, y “a≥b” implica que a es mayor o igual a b.
Es también importante conocer que la expresión de desigualdad matemática “a≠b” no es excluyente con
las expresiones “a” y “a>b”, de modo que, por ejemplo, “a≠b” y “a>b” pueden ser ciertas al mismo tiempo.
Por otro lado, tampoco son excluyentes entre sí las expresiones “a≥b” y “a>b” o “a≤b” y “a”.
Ejemplos
Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de ocasiones, por dos miembros o
componentes. Un miembro se encontrará a la izquierda del símbolo y el otro a la derecha.
Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro veces nuestra incógnita menos
dos es superior a nueve”. Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el elemento B. La resolución nos
mostraría que (en números naturales) la desigualdad se cumple si x es igual o superior a 3 (x≥3).
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6. El valor absoluto o módulo de un número real cualquiera es el mismo número pero con signo positivo. En otras
palabras, es el valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya sea positivo o negativo.
Función valor absoluto
La función valor absoluto es la función 𝑓 ∶ℝ⟶ [0, +∞) dada por
ejemplos
También, podemos definir la función por partes:
La gráfica de la función es
Esta función es continua en todos los reales y derivable en
todos los reales excepto en 𝑥=0.
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7. Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b .
Ejemplo 1 :
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad
compuesta .
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
6
8. Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es
mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es.
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | > b , entonces a > b O
a < - b .
Ejemplo 2 :
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así:
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