Una función es inyectiva si cada elemento del conjunto final solo tiene un elemento correspondiente en el conjunto inicial, sobreyectiva si cada elemento del conjunto final tiene al menos un elemento correspondiente en el conjunto inicial, y biyectiva si es tanto inyectiva como sobreyectiva.

1. Función inyectiva
La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene
como máximo un elemento del conjunto inicial Xal que le corresponde. Es
decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen y.
En términos matemáticos, una función f es inyectiva si:
Ejemplo de función inyectiva
La función f(x) = 2x+1 es inyectiva.

2. Veamos que se cumple la condición de inyectividad:
En efecto, si x y y tienen la misma imagen, necesariamente deben ser
el mismo elemento. Por lo tanto, f es inyectiva.
Función sobreyectiva
Una función f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del
conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le
corresponde.

3. Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el
conjunto final Y.
En términos matemáticos, una función f es sobreyectiva si:
Ejemplo de función sobreyectiva
La función en los números reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva.

4. Esta función si que es sobreyectiva. Vamos a verlo demostrando que
el recorrido de la función son todos los números reales.
El recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y, por lo que
la f es sobreyectiva.
Función biyectiva
Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.
Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del
conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva)
y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el
conjunto final Y (condición de función inyectiva).
Teóricamente, una función f es biyectiva si:

5. Ejemplo de función biyectiva
La función f(x) = 2x definida en los números reales es biyectiva.
Para comprobarlo, veamos que f es inyectiva y sobreyectiva.
Empezaremos por la condición de inyectividad:
Se cumple la condición de inyectividad, por lo que ahora nos quedaría
demostrar la sobreyectividad. Para ello, tenemos que demostrar que
el recorrido de la función son todos los números reales.
La función también es sobreyectiva, por lo que f es biyectiva.