Para estudiantes de primaria y secundaria

1. PROPORCIONALIDAD
BASICO
PROFESOR: SANTIAGO
CAUSHI RAMIREZ

2. Para identificar adecuadamente una proporcionalidad es necesario saber
que es Razón Geométrica.
RAZÓN GEOMÉTRICA
Razón Geométrica, es el cociente entre dos cantidades.
Ejemplos:
𝟔𝟎
𝟏𝟐
= 5 es su razón geométrica
𝟐𝟎
𝟏𝟎
= 2 es su razón geométrica
TÉRMINOS DE UNA RAZÓN GEOMÉTRICA
𝟔𝟎
𝟏𝟐
Antecedente
Consecuente
PROPORCIONALIDAD BÁSICO

3. Seguidamente identificamos lo que es una Proporción Geométrica.
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
Es la igualdad de dos razones geométricas.
Ejemplos:
𝟖𝟎
𝟏𝟔
=
𝟐𝟎
𝟒
𝟏𝟖
𝟑
=
También 80: 16 :: 20: 4
En ambos casos se lee, ochenta es a dieciséis
como veinte es a cuatro.
𝟐𝟒
𝟒
También 18: 3 :: 24: 4
En ambos casos se lee, dieciocho es a tres
como veinticuatro es a cuatro.
PROPORCIONALIDAD BÁSICO

4. En toda Proporción Geométrica el
producto de los medios es igual al
producto de los extremos.
TÉRMINOS DE UNA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
𝟏𝟐
𝟔
=
𝟏𝟎
𝟓
6 X 10 = 12 X 5
𝟏𝟐
𝟔
=
MEDIOS
EXTREMOS
𝟏𝟎
𝟓
𝟏𝟐
𝟑
𝟏𝟐
𝟔
𝟏𝟎
𝟓
=
𝟖
𝟐
=
𝟐𝟏
𝟑
𝟏𝟒
𝟐
= 2 X 21 = 14 X 35 X 12 = 10 X 6
2 X 12 = 8 X 3
PROPORCIONALIDAD BÁSICO

5. PROPORCIONALIDAD BÁSICO
CLASES DE PROPORCIÓN GEOMÉTRICA:
𝟔
𝟑
=
𝟖
𝟒
1- PROPORCIÓN GEOMÉTRICA DISCRETA
Cuando sus medios son diferentes.
Ejemplos:
𝟗
𝟑
=
¿QUÉ ES CUARTA PROPORCIONAL?
Es cualquiera de los términos de una
proporción geométrica discreta con
respecto de los otros tres. Para hallar la
cuarta proporcional usamos la regla de
tres simple.
𝟐𝟏
𝟕
𝟐𝟎
𝟓
=
𝟏𝟔
𝟒
Hallar la cuarta proporcional:
Hallar la cuarta proporcional:
𝟏𝟎
𝑿
𝟏𝟓
𝟑
=
𝟔
𝟑
𝑿
𝟒
= 𝒙 =
𝟒 𝒙 𝟔
𝟑
𝒙 =
𝟑 𝑿 𝟏𝟎
𝟏𝟓
X = 8
X = 2

6. PROPORCIONALIDAD BÁSICO
𝟐𝟎
𝑿
=
2- PROPORCIÓN GEOMÉTRICA CONTINUA
Cuando sus medios son iguales.
Ejemplos:
𝟐𝟒
𝟏𝟐
=
𝟏𝟐
𝟔
𝟐𝟎
𝟏𝟎
𝟒𝟎
𝟐𝟎
=
𝟏𝟎
𝟓
𝟐𝟎
𝟏𝟎
=
¿QUÉ ES MEDIA GEOMÉTRICA?
Es cada uno de los medios iguales. Para
hallar la Media Geométrica (MG), usamos
la siguiente fórmula:
MG = Raíz cuadrada del producto de los
extremos.
MG = 𝐸𝑥𝑡. 𝑋 𝐸𝑥𝑡.
Hallar la media geométrica
𝑿
𝟓
X = 20 𝑋 5
X = 10X = 100

7. PROPORCIONALIDAD BÁSICO
𝟏𝟎
𝑿
𝟏𝟐
𝟔
=
𝟔
𝟑
𝟐𝟎
𝟏𝟎
𝟒𝟎
𝟐𝟎
=
𝟏𝟎
𝟓
𝟐𝟎
𝟏𝟎
=
¿QUÉ ES TERCERA PROPORCIONAL?
Es uno de los extremos de una proporción geométrica continua.
Hallar la tercera proporción:SABIENDO QUE LOS
MEDIOS SON UGUALES
QUEDA POR HALLAR A
UNO DE LOS EXTREMOS.
(El producto de los medios
es igual al producto de los
extremos).
10 x 10 = X x 20 100 = 5 x 20𝟐𝟎
𝟏𝟎
=
Hallar la tercera proporción:
𝒙
𝟔
=
𝟔
𝟑
6 x 6 = X x 3 36 = 12 x 3

8. PROPORCIONALIDAD BÁSICO
PROPORCIÓN DIRECTA
ES CUANDO AMBAS CANTIDADES AUMENTAN O AMBAS DISMINUYEN.
DOS MAGNITUDES SON DIRECTAMENTE PROPORCIONALES CUANDO UNO DE ELLOS
AUMENTA AL DOBLE (O TRIPLE), LA OTRA TAMBIÉN AUMENTA AL DOBLE (O TRIPLE).
TAMBIÉN DISMINUYEN EN ESA PROPORCIÓN.
CARPINTEROS 1 2 4 5 7 8
MESAS 5 10 20 25 35 40
SI UN CARPINTERO FABRICA AL DÍA 5 MESAS. ¿CUÁNTAS MESAS AL DÍA FABRICARÁN 8 CARPINTEROS?
UNA TORTA PARA 24 PERSONAS NECESITA 600 gr. DE AZÚCAR. ¿CUÁNTOS GRAMOS DE AZÚCAR NECESITA
UNA TORTA PARA UNA PERSONA?
PERSONAS 24 12 6 3 1
AZÚCAR (gr) 600 300 150 75 25

9. PROPORCIONALIDAD BÁSICO
PROPORCIÓN DIRECTA
LAS MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES SE DAN EN
LOS SIGUIENTES CASOS:
 El número de objetos y lo que cuestan ellos.
 El tiempo trabajado y la remuneración percibida.
 La distancia y el tiempo que se emplea para recorrerla (si la
velocidad no varía).
 El tiempo trabajado y las unidades u objetos producidos.
 La masa de un objeto y el pago que se hace por él (a mayor
masa más pago o a menor masa menos pago.
 El número de trabajadores y la cantidad de trabajo realizado.
 El número de unidades (m, 𝒎 𝟐) y el pago que se hace por
ellos.

10. PROPORCIONALIDAD BÁSICO
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA INVERSA
DOS MAGNITUDES SON INVERSAMENTE PROPORCIONALES CUANDO AL
MULTIPLICAR UNA DE ELLAS POR UN NÚMERO, LA OTRA QUEDA DIVIDIDA ENTRE
DICHO NÚMERO.
10 OBREROS HACEN UNA OBRA EN 18 DÍAS
20 OBREROS LO HARÁN EN 9 DÍAS
se multiplica x 2 queda dividida : 2

11. PROPORCIONALIDAD BÁSICO
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA INVERSA
8 DÍAS EMPLEAN EN UNA OBRA 12 OBREROS
32 DÍAS EMPLEARÁN EN ESA OBRA 3 OBREROS
se multiplica x 4 queda dividida : 4
Otro ejemplo:

12. PROPORCIONALIDAD BÁSICO
PROPORCIÓN INVERSA
LAS MAGNITUDES DE UNA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
INVERSA SE DAN EN LOS SIGUIENTES CASOS:
 El número de trabajadores y el tiempo que emplean para
una obra.
 La velocidad y el tiempo que emplea un móvil para
recorrer una distancia (a mayor velocidad menos tiempo).
 Las horas diarias trabajadas y los días de trabajo de un
mismo número de trabajadores.
 El número de días que alcanzan los víveres y el número de
personas que usan los víveres.

13. PROPORCIONALIDAD BÁSICO
PROBLEMAS
Es un problema de proporción directa, a más cuadernos el costo es más. Suben ambas magnitudes.
5 cuadernos cuestan S/ 20.00. ¿Cuánto costarán una docena de esos cuadernos?
𝒙 =
𝟏𝟐 𝒙 𝟐𝟎
𝟓
X = 48
Si 80 obreros producen 1 500 unidades de cerámica. ¿Cuántas unidades de cierto
producto producirán un quinto de los obreros?
Es un problema de proporción directa, a menos obreros el producto es menos. Bajan ambas magnitudes.
5 cuadernos 20
12 cuadernos X
80 obreros 1 500 unidades
16 obreros X
𝒙 =
𝟏𝟔 𝒙 𝟏𝟓𝟎𝟎
𝟖𝟎
X = 300

14. PROPORCIONALIDAD BÁSICO
PROBLEMAS
Directa
Por 12 kg. de papa se paga S/ 24.00. ¿Cuánto se pagará por 9 kg.?
𝒙 =
𝟗 𝒙 𝟐𝟒
𝟏𝟐
X = 18
Si 8 obreros construyen una pared en 9 días. ¿Cuánto tardarán en hacerlo 6 obreros?
Problema de proporción inversa, menos obreros tardarán más días en construir. Para resolver invertimos una de las
razones y aplicamos la regla de tres simple.
12 kg papa 24 soles
9 kg papa X
8 obreros 9 días
6 obreros X
𝒙 =
𝟖 𝒙 𝟗
𝟔
X = 12 Días
𝟖
𝟔
=
𝟗
𝑿
𝟖
𝟔
=
𝑿
𝟗

15. PROPORCIONALIDAD BÁSICO
PROBLEMAS
Inversa, el grifo que tiene mayor caudal llenará el depósito en menos tiempo. Se invierte una de las razones.
Un grifo que arroja agua 3 l. por minuto, llena un tanque en 20 minutos. ¿Cuánto
tardará en llenar ese mismo depósito otro grifo con caudal de 5 l. por minuto?
𝒙 =
𝟑 𝒙 𝟐𝟎
𝟓
X = 12 m.
Berta mide 1,60 m de altura y origina una sombra de 0,8 m de longitud, si la sombra de
árbol próximo mide 10 m. ¿Cuál es su altura?
Directa, si el árbol proyecta una sombra de mayor longitud quiere decir que su altura es mayor.
3 l. 20 minutos
5 l. X
1,60 de altura 0,8 m de sombra
X 10 m de sombra
𝒙 =
𝟏, 𝟔𝟎 𝒙 𝟏𝟎
𝟎, 𝟖
X = 20 m de altura.𝟏, 𝟔𝟎
𝑿
=
𝟎, 𝟖
𝟏𝟎
𝟑
𝟓
=
𝑿
𝟐𝟎

16. GRACIAS