ACTIVIDAD DE MATEMÁTICA

1. AUCTOR: CHARLES RENE
MORA ALMEIDA

2. HISTORIA
Si bien existen ejemplos de que los conceptos de ángulo y radio se conocen y
manejan desde la antigüedad, no es sino hasta el siglo XVII, posterior a la
invención de la geometría analítica, en que se puede hablar del concepto formal
de sistema coordenadas polares.
Los primeros usos empíricos de relaciones entre ángulos y distancias se
relacionan con aplicaciones a la navegación y el estudio de la bóveda celeste. El
astrónomo Hiparco (190 a. C.-120 a. C.) creó una tabla trigonométrica que daba la
longitud de una cuerda en función del ángulo y existen referencias del uso de
coordenadas polares para establecer la posición de las estrellas.

3. En tiempos modernos, Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri
introdujeron de forma independiente el concepto a mediados del siglo XVII en la
solución de problemas geométricos. Saint-Vincent escribió sobre este tema en
1625 y publicó sus trabajos en 1647, mientras que Cavalieri publicó sus escritos
en 1635 y una versión corregida en 1653. Cavalieri utilizó en primer lugar las
coordenadas polares para resolver un problema relacionado con el área dentro de
una espiral de Arquímedes. Blaise Pascal utilizó posteriormente las coordenadas
polares para calcular la longitud de arcos parabólicos.
El término actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue
utilizado por los escritores italianos del siglo XVIII. El término aparece por primera
vez en inglés en la traducción de 1816 efectuada por George Peacock del Tratado
del cálculo diferencial y del cálculo integral de Sylvestre François Lacroix,3
mientras que Alexis Clairaut fue el primero que pensó en ampliar las coordenadas
polares a tres dimensiones.

4. COORDENADAS POLARES
Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de
coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina
por una distancia y un ángulo, ampliamente utilizados en física y
trigonometría
De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le
llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa
por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano),
como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad
de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de
puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado
(r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre
el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece
en sentido anti horario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0)
se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el
ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

5. REPRESENTACIÓN DE PUNTOS CON
COORDENADAS POLARES
 El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O,
medidas con un ángulo de 60º sobre OL.
 El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un
ángulo de 210º sobre OL.

6.  Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el
indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la
misma distancia. En general, el punto ( {displaystyle r} r, θ) se puede
representar como ( {displaystyle r} r, θ ± {displaystyle n} n×360°) o (−
{displaystyle r} r, θ ± (2 {displaystyle n} n + 1)180°), donde {displaystyle n} n
es un número entero cualquiera.4
 El centro de coordenadas está definido por una distancia nula,
independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se
utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que
independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se
encuentra siempre en el polo.5 Estas circunstancias deben tenerse en cuenta
para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una
única representación de un punto, se suele limitar {displaystyle r} r a números
no negativos {displaystyle r} r ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o (−180°, 180°] (en
radianes, [0, 2π) o (−π, π]).6

7. CONVERSIÓN DE COORDENADAS
 Paso de coordenadas polares a rectangulares y viceversa
 Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y las
coordenadas cartesianas.
 En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede
definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas
por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo {displaystyle theta }
theta del vector de posición sobre el eje x.

8. ECUACIONES POLARES
 Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en
coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación
definiendo como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de
puntos en la forma (r(θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una
función r.
Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función
polar . Si (−θ) = (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal
(0°/180°), si (180°−θ) = (θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y
si (θ−α°) = (θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al
polo.
Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas
curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su
forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más
conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol
de Pascal y la cardioide.
Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar
no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva

9.  Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una
función polar . Si (−θ) = (θ) la curva será simétrica respecto al eje
horizontal (0°/180°), si (180°−θ) = (θ) será simétrica respecto al eje
vertical (90°/ 270°), y si (θ−α°) = (θ) será simétrico rotacionalmente α° en
sentido horario respecto al polo.
 Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas
curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su
forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más
conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol
de Pascal y la cardioide.
 Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa
polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva.