Las coordenadas polares permiten definir la posición de puntos en un plano mediante una distancia (r) y un ángulo (θ) respecto a un origen. En este sistema, cada punto se representa como un par ordenado (r, θ). Las ecuaciones polares definen curvas expresando r como una función de θ, lo que permite describir curvas como el círculo de forma más simple que en coordenadas cartesianas. Es posible convertir entre coordenadas polares y cartesianas. Las coordenadas polares son útiles para sistemas donde la posición depende de la

1. Coordenadas Polares.
Es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se
determina por un ángulo y una distancia.
De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le
llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada
eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con
este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias
entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par
ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje
polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido anti horario y
decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la “coordenada radial” o
“radio vector”, mientras que el ángulo es la “coordenada angular” o “ángulo polar”.
En el caso del origen , O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En
ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).
Ecuaciones Polares:
Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en
coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo
como unafunción de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma (
(θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función .
Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función
polar . Si (−θ) = (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si
(180°−θ) = (θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si (θ−α°) = (θ)
será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo.
Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se
pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana
sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar,
la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide.
Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no
tienen restricciones en el dominio y rango de la curva.

2. Conversión de Coordenadas:
La representación de un punto en el plano o el espacio, se puede hacer mediante
diferentes sistemas de coordenadas. En estos momentos nos ocupan los sistemas de
coordenadas rectangulares y polares.
Es lógico pensar que existe una equivalencia entre los diferentes sistemas, en este
caso nos ocuparemos de la conversión del rectangular al polar y viceversa.
En este tópico se incluyen algunas gráficas para mostrar la ubicación de un punto
en cada uno de los sistemas respectivos.
Aplicaciones:
Las coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden
usar donde las posiciones de los puntos se sitúen en un plano bidimensional. Son las más
adecuadas en cualquier contexto donde el fenómeno a considerar esté directamente
ligado con la dirección y longitud de un punto central, como en las figuras de revolución,
en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc. Los ejemplos vistos
anteriormente muestran la facilidad con la que las coordenadas polares definen curvas
como la espiral de Arquímedes, cuya ecuación en coordenadas cartesianas sería mucho
más intrincada. Además muchos sistemas físicos, tales como los relacionados con cuerpos
que se mueven alrededor de un punto central, o los fenómenos originados desde un
punto central, son más simples y más intuitivos de modelar usando coordenadas polares.
La motivación inicial de la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento
circular y el movimiento orbital.