Clase teoria

1. 1-1
CAPÍTULO 1
VISCOSIDAD Y MECANISMO DE
TRANSPORTE DE CANTIDAD DE
MOVIMIENTO (EN UNA DIRECCIÓN)
1.1 LEY DE VISCOSIDAD DE NEWTON (TRANSPORTE DE CANTIDAD DE
MOMENTO MOLECULAR)
CONCEPTOS:
1. Fluído
Es la materia que sufre deformación continua cuando es sometido a la acción de esfuerzos
cortantes.
La características del fluido es cambiar de forma o fluir como consecuencia de su incapacidad
para resistir un esfuerzo cortante.
2. Esfuerzo cortante
Cuando a un fluido se le aplica una fuerza, el fluido presenta una resistencia al movimiento,
conforme continua dicho esfuerzo el fluido tiende a deformarse. Posteriormente fluye y su
velocidad aumenta conforme aumenta el esfuerzo
En el siguiente gráfico:
“A” : es una superficie, se ejerce una fuerza F sobre la superficie
Los componentes de F son:Fn y Ft ; componente normal y componente tangencial
Y
F Fn
X
Ft
A
Esfuerzo cortante =
𝐹𝑡
𝐴
3. Momento o momentun : P
Es la cantidad de movimiento que posee un cuerpo.
El momento P de un cuerpo es definido como el producto de su masa m por su velocidad 
/
;
m m
 
 
P P
Luego la velocidad de un fluido en un punto dado es su momento por unidad de masa. Por tanto, los cambios
en la velocidad de un fluido pueden resultaren transporte de momento; así como los cambios en la temperatura
resultan en transporte de calor.
Segunda Ley de Newton, del movimiento (aplicable a cuerpos o partículas)
La fuerza F actuando sobre un cuerpo de masa m es proporcional a P , la velocidad de cambio del momento
con el tiempo, 
F P .
 
d m
k k k m
dt
 

F P = a , Si m es constante
d dt

a = /
donde: k, es una constante a serdeterminada
1
k  y es adimensional, en el sistema absoluto de unidades,
 
1
 
2

2. 1-2
2
1 1
32,2 /
f
c
m
lb
k
g
lb ft s
 

, en el sistema gravitacional.
g, la aceleración de la gravedad,varía con la distancia desde la tierra.
c
g , factor de conversión
2 2 2
1 32,2 / 1 1 / 1 9,81 /
; ;
m m m
c c c
f f
lb ft s kg m s kg m s
g g g
lb N kg
  
  
Segunda ley de Newton aplicada a fluidos
Para fluidos es necesario incluir un término para el flujo de momento dentro y fuera de un elemento
arbitrario de volumen. La expresión resultante es:
Velocidad de acumulacion Flujo neto de Suma de fuerzas
de momento en el momento dentro actuando sobre
volumen arbitrario del volumen el volumen c
g
     
     
 
     
     

     
Tener en cuenta que para un sistema gravitacional de unidades,las fuerzas deben ser multiplicadas por c
g , con
el fin de convertir a unidades de momento.
4. Transporte de Momento
Para un fluido, se define como los cambios de velocidad que sufre el fluido
Por la segunda ley de Newton, vimos que, la fuerza aplicada a un cuerpo de masa m es
proporcional a la cantidad de movimiento : F∝ P
Transporte de Momento entre Placas Paralelas. Flujo de Couette
Consideremos un fluido contenido entre dos grandes placas paralelas de área A, la distancia entre las
placas es Y, la cual es pequeña comparada con las otras dimensiones X y Z.
Para 0
t  el fluido está en reposo. En 0
t  , la placa inferior es puesta en movimiento con una
velocidad constante 1
x
 V , mediante la aplicación de la fuerza x
F en la dirección x; mientras que la placa
superior se deja estacionaria ( 2
0
x
  ).
0
0
x x
y y
 
 
 
Y
V,
Figura 1.1-1 Formación del perfil de velocidad laminar estacionario para un fluido contenido entre dos placas. El flujo se
denomina “laminar” porquelas capas adyacentes del fluido (“láminas”) se deslizan una sobre otrade manera ordenada.
 
3

3. 1-3
En 1
t t
 , ( t pequeño) la velocidad de las capas de fluido cercanas a la placa inferior se ha
incrementado, pero el momento aún no ha penetrado al fluido próximo a la placa superior.
En 2
t t
 , tal que t2 > t1 , la placa superior empieza a percibir el movimiento de la placa inferior.
Finalmente, en t   , (t grande), es alcanzado el estado estacionario, en el cual la velocidad no cambia
grandemente con el tiempo, (tiempo infinito es sólo una abstracción matemática; para fluidos muy viscosos,
este tiempo puede ser sólo una fracción de segundo).
Mientras se mueve la placa inferior, arrastra a la capa de fluido adyacente a ella a la misma velocidad
de la placa; esto se denomina la condición límite no deslizante. Por su parte la capa de fluido arrastrada por la
placa, arrastra a la capa de fluido inmediatamente adyacente superior, pero con una menor velocidad. De esta
forma, el movimiento de la placa del fondo origina un campo de velocidades a ser establecido en el líquido,
con la velocidad disminuyendo continuamente desde V en la placa inferior, hasta cero en la placa superior
(puesto que ésta es estacionaria).
La transferencia de momento entre las capas de fluido es “disminuida” por la fricción entre las
moléculas de fluido. El momento x está siendo transportado en la dirección “y” .
Esfuerzo Corta nte y Flux de
Momento
Figura 1.1-2 Esfuerzos normales y tangenciales
La fuerza x
F comunica momento en la dirección x al fluido contenido entre las placas. ( x
F es la componente
x del vector momento). x
F es una fuerza cortante; es decir una fuerza que actúa tangencialmente al área Ay
sobre la cual es aplicada. y x z
A L L
 , el subíndice “y” indica que el área es perpendicular al eje y. y
A

x
F , si
doblamos el área y
A , se requerirá una fuerza 2 x
F , para obtener el mismo perfil de velocidad vs el tiempo.
yx
y
A


x
F
,
yx
 es conocido como el esfuerzo cortante. x
F , es la componente escalar x del vector fuerza F ; y
A es la
magnitud del vector superficie, y yx
 es un componente escalar del tensoresfuerzo viscoso.En yx
 ; el primer
subíndice se refiere al área sobre la cual actúa la fuerza, y el segundo subíndice denota la dirección en la cual
actúa el esfuerzo cortante. Por ejemplo xz
 , representa la fuerza z
F actuando sobre la superficie x.
El esfuerzo cortante yx
 resulta en un incremento en el momento del fluido y un transporte o flujo de momento
desde la placa del fondo hacia la placa del tope. Si hacemos que la velocidad de flujo de momento (en la
dirección x) sea x
P , podemos definir un flux de momento x por aplicación de la definición general:
Densidad de flujo de cantidad demovi
Velocidad de flujo
Flux
mient
ea
o
Ár
 
Puesto que en este caso el área a través de la cual está fluyendo el momento es y x z
A L L
 , el flux de momento
en y y
 , tiene la magnitud:
Velocidad de flujo de momento
Área normal al eje
x
yx y y
y y y
x
A y
 

 
P
 
4
 
5
 
6

4. 1-4
Análogamente el primer subíndice en  se refiere al área a través de la cual el momento está siendo
transportado,y el segundo subíndice se refiere a la dirección con la cual está asociado el momento. Notar luego
que, y  siempre tendrán los mismos subíndices.El esfuerzo cortante ( ) y el flux de momento ( ) están
claramente relacionados en la misma forma precisamente como lo están la fuerza y velocidad de momento.
Veamos a través de la segunda ley de Newton (1.2):
 
1
c
c
d m
k g
g dt
  
V
F P P = F .
Velocidad de momento Fuerza c
g
 
x x c
g
P = F
y dividiendo ambos miembros por y
A :
x x c
y y
g
A A
P F
=
Flux de momento Ezfuerzo cortante gc
 
yx yx c
g
 

Ley de la viscosidad de Newton
Si consideramos el caso ya analizado de un fluido entre dos placas paralelas; después de un periodo de
tiempo que sigue al movimiento inicial de la placa del fondo, el perfil de velocidades alcanza su forma final
lineal del estado estacionario.
La fuerza x
F y el esfuerzo cortante yx
 alcanzan simultáneamente sus valores del estado estacionario
y permanecen constantes mientras que la velocidad V no sea cambiada. Los valores de yx
 y x
F en el estado
estacionario dependen de la velocidad V , la naturaleza del fluido, y la distancia Y entre las placas; es decir:
 
, ,naturaleza del fluido
yx f Y
  V
Newton postuló la relación que es válida para los fluidos newtonianos, expresando resumidamente su
deducción mediante las siguientes expresiones:
yx
y
A

 
x
F y
x
A
Y


V
F
1
y
x y
c
A
k A
Y g Y
 
 
V V
F
x
c yx
y
g
A Y Y
  
  
F V V
Sustituyendo F/A por el símbolo yx
 que es la fuerza en la dirección x sobre un área unitaria perpendicular a la
dirección y. Se entiende que ésta es la fuerza ejercida por el fluido de menor “y” sobre el fluido de mayor “y”
.
pero: yx c yx
g
 

luego:
0
0
f i x
yx
f i
Y y y y
  
   
 

     
  
V
pero: 0
0
x i x
y y Y
,
  
 
  
V
Si 0
y
  x
yx
d
dy

 
 
que a menudo se denomina ley de viscosidad de Newton.
Algunos autores escriben la ecuación 1.1-2 en la forma
1 x
yx
c
d
g dy

 
 
 
1.1 1

 
1.1 2a

 
7
 
8
 
9
 
1.1 2


5. 1-5
La ecuación 1.1-2 establece que yx
 debe interpretarse como la densidad de flujo de cantidad de movimiento de
la dirección x, en la dirección y positiva,donde el término “densidad de flujo” (flux) significa “flujo por área
unitaria”. En la mecánica de fluidos una propiedad fundamental de estos , es la viscosidad cinemática,
representada por,
/
  

La viscosidad tiene por unidades,
     
1
-1
-1
Pa m/s m Pa.s

 

 
 
   
   
 
x
yx
d
dy
1.1-1 Cálculo de la densidad de flujo de cantidad de movimiento
Calcular la densidad de flujo de cantidad de movimiento en estado estacionario yx
 en 2
lb /pie
f cuando la
velocidad V de la placa inferior en la figura 1.l-1 es 1 pie/s en la dirección x positiva, la separación Y de las
placas es de 0,001 pies y la viscosidad  del fluido es 0,7 cp,
Solución
Debido a que yx
 se pide en unidades del sistema inglés, es necesario convertir la viscosidad a ese sistema de
unidades.Luego
  
5 5 2
0,7 cp 2,0886 10 1,46 10 lb s/pie
f
  
   
El perfil de velocidad es lineal, de modo que
1
1,0 pie/s
1000 s
0,001 pie
x x
d
dy y
  
 
   

Al sustituiren la ecuación 1.1-2 se obtiene
  
5 2 2
1,46 10 1000 1,46 10 lb /pie
x
yx f
d
dy

   
       
1.2 GENERALIZACIÓN DE LA LEY DE VISCOSIDAD DE NEWTON
Consideremos un patrón de flujo muy general, donde la velocidad del fluido puede ser en varias direcciones en
diversos sitios y puede depender del tiempo t. Así, las componentes de la velocidad están dadas por:
     
, , , ; , , , ; , , ,
x x y y z z
x y z t x y z t x y z t
     
  
En esta situación,hay nueve componentes delesfuerzo ij
 (donde i y j puede asumir las designaciones , y
x y z
) en lugar de la componente yx
 que aparece en la ecuación 1.1-2.
En la figura 1.2-1 se muestra un pequeño volumen en forma de cubo dentro del campo de flujo, donde el área
de cada cara es unitaria. El centro del elemento de volumen está en la posición , , .
x y z Respecto de la fuerza
que debe aplicarse en la superficie libre (sombreada), habrá dos contribuciones a esta fuerza: la asociada con la
presión y la asociada con las fuerzas viscosas.
La fuerza de presión siempre será perpendicular a la superficie expuesta. Por lo tanto, en (a) la fuerza por área
unitaria en la superficie sombreada será un vector x
p ; es decir, la presión (un escalar) multiplicada por el
vector unitario x
 en la dirección x. En forma semejante, la fuerza sobre la superficie sombreada en (b) será
y
p , y en (c) la fuerza será z
p . Las fuerzas de presión serán ejercidas tanto cuando el fluido está estacionario
o en movimiento.
 
1.1 3

 
1.1 4

 
1.1 5

 
1.1 6

 
1.2 1


6. 1-6
Las fuerzas viscosas sólo actúan cuando hay gradientes de velocidad dentro fluido. En general, no son
perpendiculares al elemento superficial, ni paralelas a este; sino que forman algún ángulo respecto a la superficie
(ver figura 1.2-1).
En (a) se observa una fuerza porárea unitaria x
 ejercida sobre el área sombreada, y en (b) y en (c), se observan
las fuerzas por área unitaria y
 y z
 . Cada una de estas fuerzas, tienen componentes escalares; por ejemplo,
x
 tiene las componentes , ,
xx xy xz
   . Por lo tanto es posible resumir en la tabla 1.2-1 las fuerzas que actúan
sobre las 3 áreas sombreadas. De la figura 1.2-1
Figura 1.2-1 Fuerzas de presión y viscosas que actúan sobre planos en el fluido, perpendiculares a los tres sistemas de
coordenadas. Los planos sombreados tienen área unitaria.
Los esfuerzos moleculares se definen como sigue
donde y pueden ser , o
ij ij ij
p i j x y z
  
 
aquí ij
 es la delta de Kronecker,que es 1 si i j
 y 0 si i j
 .
Los esfuerzos , ,
xx xx yy yy zz zz
p p p
     
      se denominan esfuerzos normales, son los responsables
de la presión; mientras que las cantidades restantes , ,...
xy xy yz yz
   
  se denominan esfuerzos cortantes;
por tanto,nos referimos a  como el tensor de esfuerzos viscosos (con componentes ij
 ) y a  como el tensor
de esfuerzos moleculares (con componentes ij
 )
Tabla 1.2-1 Resumen delas componentes del tensor de esfuerzo molecular (o tensor de densidad de cantidad
de movimiento molecular)a
Dirección
normal a
la cara
sombreada
Vector de fuerza por área
unitaria sobre la cara
sombreada (densidad de flujo
de cantidad de movimiento a
través de la cara sombreada)
Componentes de las fuerzas (por área unitaria)
que actúan sobre la cara sombreada
(componentes de la densidad de flujo de cantidad
de movimiento a través de la cara sombreada
Componente x Componente y Componente z
x x x x
p
 
   xx xx
p
 
  xy xy
 
 xz xz
 

y y y y
p
 
   yx yx
 
 yy yy
p
 
  yz yz
 

z z z z
p
 
   zx zx
 
 zy zy
 
 zz zz
p
 
 
a
Éstas se refieren como componentes del "tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento molecular" porqueestán
asociadas con los movimientos moleculares, según se analiza en 1.4. Las componentes adicionales del "tensor de densidad
de flujo de cantidad de movimiento convectivo", asociadas con el movimiento volumétrico del fluido, se analizan en 1.6.
Los esfuerzos viscosos pueden sercombinaciones lineales de todos los gradientes de velocidad.
donde , , y pueden ser 1, 2 o 3
k
ij ijkl
k l l
i j k l
x

 

 


 
1.2 2

 
1.2 3


7. 1-7
Aquí las 81 cantidades ijkl
 son “coeficientes de viscosidad”. Las cantidades 1 2 3
, y
x x x en las derivadas
denotan las coordenadas cartesianas , ,
x y z ,y 1 2 3
, y
   corresponden a , y
x y z
  
Si es fluido se encuentra en un estado de rotación pura, no esperamos que esté presente ninguna fuerza viscosa.
Este requerimiento conduce a la necesidad de que ij
 sea una combinación simétrica de los gradientes de
velocidad. Por esto se entiende que si se intercambian i y j, la combinación de los gradientes de velocidad
permanece sin cambio; y puede demostrarse que las únicas combinaciones lineales simétricas de los gradientes
de velocidad son:
y
j y
i x z
ij
i j
x x x y z
 
  

 
 
 
  
  
   
 
    
 
 
Si el fluido es isotrópico; es decir, si no tiene una dirección preferida, entonces los coeficientes de las dos
expresiones de la ecuación 1.2-4 deben ser escalares, de modo que
+
j y
i x z
ij ij
i j
A B
x x x y z
 
  
 
 
 
 
  
   
   
 
    
 
 
Así, se ha reducido el número de “coeficientes de viscosidad” de 81 a 2.
Nos interesa simplificar la ecuación 1.2-5 a la ecuación 1.1-2 para la situación de flujo que se muestra en la
figura 1.1-1. Para ese flujo elemental, la ecuación 1.2-5 se simplifica a /
yx Ad dy
 
 , y por lo tanto, la
constante escalarA corresponde al negativo de la viscosidad 
La constante escalar B se iguala a 2
3  
 , donde  se denomina viscosidad dilatacional.Porla teoría cinética
se sabe que  es cero para gases monoatómicos a baja densidad.
En consecuencia, la generalización requerida de la ley de viscosidad de Newton en la ecuación 1.1-2, es
entonces elconjunto de nueve relaciones (seis de las cuales son independientes)y están fuera de la diagonal del
tensor  (con nueve componentes):
2
+
3
j y
i x z
ij ij
i j
x x x y z
 
  
    
 
 
 
  
 
     
   
 
 
    
  
 
Aquí ij ji
 
 , e i y j pueden asumir los valores 1, 2 y 3. Este conjunto de relaciones puede escribirse de manera
compacta en la notación vectorial-tensorial del Apéndice A como
 
    
2
3
  

     
    
  
donde  es el tensor unitario con componentes ij
 , 
 es el tensor del gradiente de velocidad con
componentes  
/ i j
x 
  ,  


 es la transpuesta del tensor del gradiente de velocidad con componentes
 
/ j i
x 
  , y  

 es la divergencia del vector de velocidad
Para visualizar los esfuerzos cortantes en coordenadas cilíndricas y esféricas se adjunta la figura 1.2-2
 
1.2 4

 
1.2 5

 
1.2 6

 
1.2 7


8. 1-8
Figura 1.2-2 a) Algunos elementos de superficie típicos y esfuerzos cortantes en el sistema de coordenadas cilíndricas. b)
Algunos elementos de superficie típicos y esfuerzos cortantes en el sistema de coordenadas esféricas.
Figura 1.2-3 El flujo en un canal convergente es ejemplo de una situación en que los esfuerzos normales no son cero.
Debido a que z
 , es una función de r y z, la componente de esfuerzo normal 2 ( / )
zz z z
  
    es diferente de cero.
También, como r
 , depende de r y z, la componente de esfuerzo normal 2 ( / )
rr r r
  
    no es igual a cero. Sin
embargo, en la pared todos los esfuerzos normales desaparecen para fluidos descritos por la ecuación 1.2-7 en el supuesto
de que la densidad sea constante.
Temas para leer y actualizar conocimientos
1.3 ESTIMACI ÓN DE LA VISCOSIDAD DE GASES
Es frecuente encontrar en la bibliografía las propiedades físicas de las sustancias puras o de sus mezclas en las
condiciones deseadas,en cuyo caso deberá recurrirse a su estimación con la máxima precisión posible.
La estimación de las propiedades físicas en general y concretamente de las propiedades de transporte que nos
ocupan,puede basarse en la teoría, en determinadas correlaciones de valores experimentales o en una y otras.
En cualquier caso, debe extremarse la prudencia en no aplicar una teoría fuera de los límites para los que se
haya establecido y en no extrapolar las correlaciones deducidas experimentalmente más allá de los intervalos
de las variables para los que fueron formuladas.
Los mejores métodos estimativos implican casi siempre ecuaciones teóricas y correlaciones empíricas para el
cálculo de las constantes de las mismas que la teoría no ha conseguido llegar a establecer. Se comprende que a
medida que disminuye la aportación empírica en cualquier correlación aumentará el grado de validez de la
misma.
A continuación pasaremos revista a los métodos más importantes de estimación de la viscos idad para gases de
las sustancias puras y de sus mezclas.
I. Gases puros a pequeñas presiones
a) Método teórico

9. 1-9
La teoría cinética1 rigurosa conduce a la ecuación 1.3.1:
 
2,2 *
2 2
5
.
16
mkT

   
 
 
   

 
que de acuerdo con la bibliografía2 puede también expresarse así:
  
 
1/2
2
1/2
5
16
MRT
N 





,
 
1/2
2
26,69
MT





expresándose la viscosidad  en micropoises, el diámetro de colisión  en
0
A y la temperatura T en K.
Los diámetros y las integrales de colisión,  y v
 , son funciones de las fuerzas intermoleculares y,
por consiguiente, para su evaluación se requiere establecer hipótesis sobre la naturaleza de las mismas, q ue
lógicamente variarán según que las moléculas del gas sean o no polares.
- Gases no polares
En este caso las fuerzas intermoleculares no dependen de la orientación relativa de las moléculas. En estos gases
se ha comprobado experimentalmente que para grandes distancias entre las moléculas dichas fuerzas son
atractivas e inversamente proporcionales a la distancia y que cuando las moléculas se aproximan a distancias
muy pequeñas,de algunos
o
A , surgen fuerzas repulsivas entre ellas que varían mucho más rápidamente con la
distancia.
Esta conducta se explica si la energía potencial ( P
E ) del sistema formado por dos moléculas varía con
la distancia entre ellas, r, del modo que se indica en la figura 1.3-1. Se considera nula dicha energía potencial
cuando la distancia entre las moléculas es infinita. A medida que las moléculas se aproximan, la energía
potencial disminuye debido al trabajo realizado por las fuerzas de atracción, llegando un momento en que
empiezan a manifestarse las fuerzas de repulsión, por lo que la indicada energía potencial alcanzará un mínimo
 

 al acercarse una cierta distancia m
r las moléculas, a la que se equilibran unas y otras. Para seguir
aproximándose las moléculas deberá realizarse trabajo sobre el sistema, para vencer las fuerzas repulsivas,con
lo que su energía potencialaumentará. La distancia entre ambas moléculas ( )
 , para la que la energía potencial
vuelve a anularse, recibe el nombre de diámetro de colisión: distancia hasta la que se aproximarían dos
moléculas inicialmente en reposo y a una distancia infinita si se pusiesen en movimiento a causa de las fuerzas
de atracción.
La forma exacta de la función representada en la figura 1.3-1:
 
p
E f r

1
R.B. Bird, W.E. Stewart. E.N. Lightfoot, Fenómenos de Transporte, 2a. edición, México, Ed. Limusa Wiley, (2006)
2
R.C. Reid, J.M. Prausnitz, T.K. Sherwood, The Properties of Gases and Liquids, 4ta edición, Ed. McGraw-Hill, Nueva
York, (1987).
 
1.3 1

 
1.3 2

 
1.3 3


10. 1-10
Figura 1.3-1 Función de energía potencial  
r
 que describe la interacción de dos moléculas esféricas no polares. El
potencial de Lennard-Jones (6-12), dado por la ecuación 1.3-4, es una de las muchas ecuaciones empíricas propuestas para
ajustar esta curva. Para m
r r
 , las moléculas se repelen entre sí, mientras que para m
r r
 , las moléculas se atraen entre sí.
no se conoce, pero los resultados experimentales indican que una función empírica muy satisfactoria para las
moléculas no polares es el llamado potencial de Lennard-Jones:
12 6
4
p
E
r r
 

 
   
 
 
   
   
 
 
con los dos parámetros: energía potencial mínima min
P
E 
  , y diámetro de colisión ( )
 , a los que nos
acabamos de referir, y con los términos 12
( / )
r
 y 6
( / )
r
 , que representan las fuerzas repulsivas y atractivas
entre las moléculas, respectivamente.
Puede comprobarse que:
La función P
E 1.3-4 sólo se anula para valores de la distancia intermolecular r 
 y r   .
La función P
E 1.3-4, derivada e igualada a cero, conduce a un valor  
1/6
2
m
r 
 

 
, que sustituido en la propia
función P
E conduce a min
P
E 
  , puesto que su segunda derivada para elcitado valor  
1/6
2
m
r 
 

 
, resulta
positiva.
Ambas circunstancias demuestran la idoneidad del potencial de Lennard-Jones 1.3-4 para representarla función
1.3-3, aunque se han propuesto muchos otros con tal fin.
Numerosos investigadores2 han determinado la integral de colisión 
 en función del potencial de
Lennard-Jones. Recientemente, Neufeld y colaboradores3 propusieron la siguiente ecuación empírica apropiada
para su aplicación en ordenador:
* *
*0,14874 0,77327 2,43787
1,16145 0,52487 2,16178
T T
T e e

   
representando *
T la temperatura adimensional:
*
kT
T


que, según sus autores,es aplicable a un intervalo 0,3 * 100
T
  , con error un medio del 0,064%.
Mediante datos experimentales, de viscosidad a distintas temperaturas, y las ecuaciones 1.3-2, 1.3-5 y
1.3-6, algunos investigadores han determinado los parámetros / k
 y  para muchas sustancias.En la Tabla
1.3-1 se resumen los correspondientes a algunas de ellas2.
Si se dispone de tales parámetros, mediante las ecuaciones 1.3-2 y 1.3-5 puede calcularse la viscosidad de los
gases puros no polares a pequeña presión y cualquier temperatura con error inferior al 1%. De no disponerse de
tales parámetros, aunque los mismos pueden calcularse aproximadamente a partir de las constantes críticas y
los factores acéntricos2, resulta más convenientemente el método de los estados correspondiente que se trata
más adelante.También cuando se desconocen y
  ,es posible estimarlas a partir de las propiedades delfluido
en un punto crítico (c) del líquido en el punto de ebullición normal (b), o del sólido en el punto de fusión (m)
por medio de las siguientes relaciones empíricas
 
1/3
1/3
/ 0,77 0,841 o bien 2,44 /
c c c c
K T V T p
  
  
1/3
,líq
/ 1,15 1,166
b b
K T V
 
 
1/3
,sol
/ 1,92 1,222
m m
K T V
 
 
Aquí /K
 y T están en Kelvin,  está en angstroms (
o
10
1 A 1 10 m

  ), V está en cm3/g-mol y c
p está en
atm.
3
P.D. Neufeld, A.R. Janzen, R.A. Aziz, J. Chem. Phys., 57, 1100 (1975).
 
1.3 4

 
1.3 5

 
1.3 6

 
1.3 7

 
1.3 8

 
1.3 9


11. 1-11
- Gases polares
Para moléculas polares debe utilizarse una función potencial P
E más adecuada que la de Lennard-Jones 1.3-4.
En la bibliografía se propone la sugerida por Stockmayer, que modifica la últimamente citada mediante un
término adicional representativo de las interacciones dipolo-dipolo entre las moléculas.
Brokaw4, tras considerardetenidamente la utilización del potencialde Stockmayer, sugiere para el caso
de moléculas polares la siguiente expresión de la integral de colisión 
 :
    2 *
Stockmayer Lennard-Jones 0,2 / T
  
   
en la que (Lennard-Jones) y *
T vienen dadas por las ecuaciones 1.3-5 y 1.3-6 y  es un parámetro
adimensional con expresión:
2
3
2
p


 

siendo p
 el momento dipolar y  y  los parámetros indicados anteriormente.
A partir de los datos experimentales viscosidad-temperatura y las ecuaciones 1.3-2 y 1.3-5 a 1.3-11, se
han determinado los parámetros / k
 ,  y  de las moléculas polares más representativas,resumiéndose los
mismos en la Tabla 1.3-2, pudiendo encontrarse otros valores en la bibliografía.
Si se dispone de los parámetros acabados de indicar, mediante las ecuaciones 1.3-2, 1.3-5 y 1.3-10
puede estimarse la viscosidad de los gases puros polares a pequeña presión y cualquier temperatura, con error
inferior al 1,5%. De no ser así, aunque pueden calcularse dichos parámetros a partir del momento dipolar, de la
temperatura de ebullición normal y del volumen molar de la sustancia en estado líquido 2, resulta más
aconsejable recurrir al método de los estados correspondientes que se expone a continuación.
4
R.S. Brokaw, NASA Tech, note D-4496, abril (1968), Ind. Eng. Chem. Process Des. Dev., 8, 240 (1969).
 
1.3 10

 
1.3 11


12. 1-12
Tabla 1.3-1 Parámetros  y / k
 para diversas sustancias2,5
Compuesto 
0
(A) / k
 (K)
Ar Argón 3,542 93,3
He Helio 2,551 10,22
Kr Kriptón 3,655 178,9
Ne Neón 2,820 32,8
Xe Xenón 4,048 231,0
Aire Aire 3,711 78,6
BCl3 Cloruro de boro 5,127 337,7
BF3 Fluoruro de boro 4,198 186,3
B(OCH3)3 Borato de metilo 5,503 396,7
Br2 Bromo 4,296 507,9
CCl4 Tetracloruro de carbono 5,947 322,7
CF4 Tetrafluoruro de carbono 4,662 134,0
CHCl3 Cloroformo 5,380 340,2
CH2Cl2 Cloruro de metileno 4,898 356,3
CH3Br Bromuro de metilo 4,118 449,2
CH3Cl Cloruro de metilo 4,182 350
CH3OH Metanol 3,626 481,8
CH4 Metano 3,758 148,6
CO Monóxido de carbono 3,690 91,7
COS Sulfuro de carbonilo 4,130 336,0
CO2 Dióxido de carbono 3,941 195,2
CS2 Disulfuro de carbono 4,483 467
C2H2 Acetileno 4,033 231,8
C2H4 Etileno 4,163 224,7
C2H6 Etano 4,443 215,7
C2H5Cl Cloruro de Etilo 4,898 300
C2H5OH Etanol 4,530 362,2
CH3OCH3 Éter dimetílico 4,307 396,0
CH2CHCH3 Propileno 4,678 298,9
CH3CCH Metilacetileno 4,761 251,8
C3H6 Ciclopropano 4,807 248,9
C3H8 Propano 5,118 237,1
n-C3H7OH Alcohol n-propílico 4,549 576,7
CH3COCH3 Acetona 4,600 560,2
CH3COOCH3 Acetato de metilo 4,936 469,8
n-C4H10 n-Butano 4,687 531,4
iso- C4H10 IsoButano 5,278 330,1
C2H5OC2H5 Éter dietílico 5,678 313,8
CH3COOC2H5 Acetato de etilo 5,205 521,3
n-C5H12 n-Pentano 5,784 341,1
C(CH3)4 2;2-Dimetilpropano 6,464 193,4
C6H6 Benceno 5,349 412,3
C6H12 Ciclohexano 6,182 297,1
n-C6H14 n-Hexano 5,949 399,3
Cl2 Cloro 4,217 316,0
F2 Fluor 3,357 112,6
HBr Ácido bromhídrico 3,353 449
HCN Ácido cianhídrico 3,360 569,1
HCl Ácido clorhídrico 3,339 344,7
HF Ácido fluorhídrico 3,148 330
HI Ácido iodhídrico 4,211 288,7
H2 Hidrógeno 2,827 59,7
H2O Agua 2,641 809,1
H2O2 Peróxido de hidrógeno 4,196 289,3
H2S Acido sulfhídrico 3,623 301,1
Hg Mercurio 2,969 750
5
R.A. Svehla, Estimated Viscosities and ThermalConductivities at High Temperatures, NASA-TRR-132 (1962).

13. 1-13
Tabla 1.3-1 (Continuación)
Compuesto 
0
(A) / k
 (K)
HgBr2 Bromuro de mercurio 5,080 686,9
HgCl2 Cloruro de mercurio 4,550 750,0
HgI2 Ioduro de mercurio 5,625 695,6
I2 Yodo 5,160 472,2
NH3 Amoniaco 2,900 558,3
NO Óxido nitroso 3,492 116,7
N2 Nitrógeno 3,798 71,4
N2O Óxido nítrico 3,828 232,4
O2 Oxigeno 3,467 106,7
SO2 Dióxido de azufre 4,112 335,4
SiF4 Tetrafluoruro de silicio 4,880 171,9
SnBr4 Bromuro estánnico 6,388 563,7
UF6 Hexafluoruro de uranio 5,967 236,8
Tabla 1.3-2 Parámetros de la función potencial de Stockmayer
Compuestos p (debyes) 
0
(A) / k
 (K) 
Agua 1,85 2,52 775 1,0
Amoniaco 1,47 3,15 358 0,4
Ácido clorhídrico 1,08 3,36 328 0,34
Ácido bromhídrico 0,80 3,41 417 0,14
Ácido iodhídrico 0,42 4,13 313 0,029
Dióxido de azufre 1,63 4,04 347 0,42
Ácido sulfhídrico 0,92 3,49 343 0,21
Cloruro de nitrosilo 1,83 3,53 690 0,4
Cloroformo 1,013 5,31 355 0,07
Cloruro de metileno 1,57 4,52 483 0,2
Cloruro de metilo 1,37 3,94 414 0,5
Bromuro de metilo 1,80 4,25 382 0,4
Cloruro de etilo 2,03 4,45 423 0,4
Metanol 1,70 3,69 417 0,5
Etanol 1,69 4,31 431 0,3
Alcohol n-propílico 1,69 4,71 495 0,2
Alcohol i-propílico 1,69 4,64 518 0,2
Éter dimetílico 1,30 4,21 432 0,19
Éter dietílico 1,15 5,49 362 0,08
Acetona 1,20 4,50 549 0,11
Acetato de metilo 1,72 5,04 418 0,2
Acetato de etilo 1,78 5,24 499 0,16
Nitrometano 2,15 4,16 290 2,3
b) Método de los Estados Correspondientes
De la ecuación 1.3-2 se deduce la siguiente proporcionalidad entre la viscosidad y las variables que la afectan:
 
1/2
1/2
2
M RT



Evidentemente, el diámetro de colisión  puede considerarse proporcional a la potencia 1
3
del
volumen crítico de las moléculas, :
c

 
1/3
1/3 1/3
/
c c c
v RT p
  

 
2/3
2
2/3
c
c
RT
p
 
siendo c
T y c
p la temperatura y presión críticas, sobre las que existe amplia información en la bibliografía.
Por lo tanto,de las dos proporcionalidades anteriores se deduce,para la viscosidad en las condiciones críticas:
 
1.3 12

 
1.3 13


14. 1-14
 
1/2 2/3
1/6
c
c
c
M p
RT
 
Podrá definirse ahora una viscosidad reducida, en función de la temperatura reducida ( r
T ), de la siguiente
forma:
 
 
1/6
1/2 2/3
/
r r
c c c
f T
M p RT
 


  
  
1/2 1/6 2/3
c c r
M T p f T
  
  
 
Se han propuesto diversas correlaciones de este tipo, pero solo indicamos las más modernas y útiles.
- Gases no polares
Thodos y colaboradores2,6 han propuesto la siguiente correlación:
     
0,449 4,058
1/2 1/6 2/3 0,618
4,61 2,04 1,94 0,1
r r
T T
c c r
M T p T e e
  
 
     
 
expresando la viscosidad en micropoises, c
T en Kelvin y c
p en atmósferas.
Reichenberg7 sugirió la siguiente correlación:
 
*
1/6
1 0,36 1
r
r r
a T
T T
 
 
 
 
siendo para la mayoría de los compuestos inorgánicos, de acuerdo a la proporcionalidad 1.3-14:
1/2 2/3
*
1/6
3,5 c
c
M p
a
T

expresando la viscosidad en micropoises, c
T en Kelvin y c
p en atmósferas.
Si se trata de compuestos orgánicos,Reichenberg propone el siguiente valor del parámetro *
a :
1/2
* c
i i
i
M T
a
n C


representando i
n el número de grupos atómicos del tipo i y i
C las contribuciones de cada grupo que se resumen
en la Tabla 1.3-3.
De no poder estimarse la viscosidad por el método teórico, debe utilizarse cualquiera de los
representados porlas relaciones 1.3-16 o 1.3-17, que implican un error entre 1 y 3%
Tabla 1.3-3 Valores de las contribuciones de los grupos Ci para la estimación del parámetro a* [ecuación 1.3-
19], micropoises.
Grupo Contribución Ci Grupo Contribución Ci
-CH3 9,04 -Br 12,83
>CH2 (no en anillo) 6,47 -OH (alcoholes) 7,96
>CH- (no en anillo) 2,67 >O (no en anillo) 3,59
>C< (no en anillo) -1,53 >C=O (no en anillo) 12,02
=CH2 7,68 -CHO (aldehídos) 14,02
=CH- (no en anillo) 5,53 -COOH (ácidos) 18,65
>C= 1,78
-COO- (ésteres) o
HCOO- (formiatos) 13,41
≡CH 7,41 -NH2 9,71
≡C- (no en anillo) 5,24 >NH (no en anillo) 3,68
>CH2 (en anillo) 6,91 =N- (en anillo) 4,97
>CH- (en anillo) 1,16 -CN 18,13
>C< (en anillo) 0,23 >S (en anillo) 8,86
=CH- (en anillo) 5,90 -F 4,46
>C= (en anillo) 3,59 -Cl 10,06
6
J. Thodos, P. Yoon, AIChE J., 16, 300, (1970).
7
D. Reichenberg, AIChe J., 19, 854, (1973).
 
1.3 14

 
1.3 15

 
1.3 16

 
1.3 17

 
1.3 18

 
1.3 19


15. 1-15
- Gases polares
Aunque Thodos y colaboradores2,6 también proponen correlaciones del tipo de 1.3-16 para gases puros polares
a pequeña presión, de no poder utilizarse el método teórico para la estimación de la viscosidad de los mismos,
se recomienda el método de Reichenberg, ecuacion 1.3-17, que implica un error inferior al 4%.
Ejemplo 1.3-1
Mediante los métodos teóricos y de los estados correspondientes, estímese la viscosidad del 2
SO a 40°C y 1
atm. En tales condiciones el valor experimental es 135 p
 
 .
Datos:
Condiciones críticas: 430,8K,
c
T  77,8 atm
c
p  y 3
122,0 cm /mol
c
V 
Solución
a) Método teórico. Teoría cinética rigurosa Ec. 1.3-2
2
26,69
v
TM




De la Tabla 1.3-2 se deduce:
_
1,63 debyes; 4,04 A; / 347 K; 0,42
o
p k
   
   
La temperatura adimensional T*
, ecuación 1.3-6 será:
_
* 313
0,902
347
k T
T

  
que sustituida en la ecuación de Neufeld y colaboradores 1.3-5 conduce a:
 
     
0,14874 0,7732 0,902 2,43787 0,902
1,16145 0,52487 2,16178
. . 1,680
0,902
r L J
e e
    
Como el SO2 es un gas polar, de la ecuación 1.3-10 se obtiene:
 
  
2
0,2 0,42
. 1,680 1,719
0,902
r S
   
y sustituyendo estos valores en la ecuación (1) resulta:
  
   
2
313 64
26,69 134,6
4,04 1,719
p
 
 
Comparando este valor con el experimental:
134,6 135
Error 100 0,3%
135

   
b) Método de los estados correspondientes
En este caso, aunque se trata de un gas polar, aplicaremos la ecuación de Reichenberg 1.3-17:
 
*
1/6
1 0,36 1
r
r r
a T
T T
 
 
 
 
siendo:
1/2 2/3
*
1/6
3,5 c
c
M p
a
T

Sustituyendo valores en las ecuaciones (5) y (4), se obtiene:
   
 
1/2 2/3
*
1/6
3,5 64 77,8
185,7
430,8
a  
 
1
 
2
 
3
 
4
 
5

16. 1-16
  
   
1/6
185.7 0,727
136,7
1 0,36 0,727 0,727 1
  
 
 
 
Comparando este valor con el experimental:
136,7 135
Error 100 1,26%
135

  
II. Mezclas gaseosas a pequeñas presiones
a) Método Teórico
La aplicación de la teoría cinética rigurosa a la determinación de las viscosidades de mezclas gaseosas
multicomponentes a pequeñas presiones conduce a complejas ecuaciones que pueden simplificarse si se
desprecian los efectos de segundo orden2,8.De esta manera, se llega a una solución en serie de la forma:
1
1
c
i i
m c
i
i ij
j
y
y





 

representando i
y , j
y las fracciones molares de los c componentes, i
 la viscosidad de cada componente i puro
y ij
 un parámetro calculable, como se indica a continuación.
Método de Wilke de estimación de ij

Wilke9, utilizando el método de la teoría cinética de Sutherland, propuso la expresión:
2
1/2 1/4
1/2
1
8 1
j
i
j i
ij
i
j
M
M
M
M



 
   
 
    
 
 
 
 
 

 
 

 
 
 
 
 
 
e intercambiando subíndices se deduce que:
j i
ji ij
i j
M
M

 

 
Las ecuaciones 1.3-20 y 1.3-21 han sido comprobadas reiteradamente tanto con mezclas de componentes no
polares como polares. Salvo en los casos en que i j
M M
 y i j
 
 , como sucede si uno de los
componentes es el hidrógeno o el helio, los errores fueron siempre inferiores al 2-4%. Para mezclas con los dos
elementos últimamente citados, Reichenberg10 propuso una correlación para ij
 bastante más compleja.
Método de Brokaw de estimación de ij

Tras un amplio estudio sobre las viscosidades de las mezclas gaseosas,Brokaw4 propuso el siguiente
método de estimación del parámetro ij
 :
1/2
i
ij ij ij
j
A S



 
  
 
 
donde ij
A es función exclusiva de la razón de pesos moleculares:
     
0,45
1/2
0,45 1/2
1
2 1 1 / 1
ij ij
ij ij ij
ij ij ij ij
M M
A m M
M M m m


 

 
 
   
 
 
8
J.O. Hirschfelder, C.F. Curtiss, R.B. Bird, Molecular Theory of Gases and Liquids, J. Wiley, Nueva York (1954).
9
C.R. Wilke, J. Chem. Phys., 18, 517, (1950).
10
D. Reichenberg, “Theviscosities of gas mixtures and moderate pressures” NPL. Rep. Chem., 29, National Physical
Laboratory, Teddington, Inglaterra, mayo (1979).
 
1.3 20

 
1.3 21

 
1.3 22

 
1.3 23

 
1.3 24


17. 1-17
siendo:
  
0,25
1
4
1 1
ij
ij ij
m
M M

 
 

 
 
 
i
ij
j
M
M
M

expresión que puede simplificarse a:
0,37
i
ij
j
M
A
M

 
  
 
 
si 0,4 1,33
i
j
M
M
 
con error inferior al 1%, en el indicado intervalo de la razón de pesos moleculares.
El término ij
S de la ecuación 1.3-23 es la unidad si los compuestos i y j son apolares, es decir, si i
 y
j
 , ecuación 1.3-11 o Tabla 1.3-2, son inferiores a 0,1. De no ser así, se calcula mediante la expresión.
1/2
*
*
1/2
1/2 2
2
* *
1
4
1 1
4 4
i j
i
j
ij ji
j
i
i j
T
T
S S
T T
 


 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
   
   
La Tabla 1.3-2 proporciona los valores de i
 y j
 , así como los de / k
 con los que se puede calcular
*
i
T y *
j
T mediante la ecuación 1.3-6.
Los errores de este método son similares a los del método de Wilke, pero es preferible a este último en
el caso de que la mezcla contenga compuestos polares.
b) Método de los Estados Correspondientes
Pueden utilizarse los métodos propuestos para gases puros evaluando convenientemente el peso
molecular y las constantes críticas correspondientes a las mezclas9. Ninguno de estos métodos parece ser tan
precisos como los teóricos anteriormente explicados.
Ejemplo 1.3-2
Estímese la viscosidad de unos gases de tostación dela siguiente composición molar: 2
SO (8%), 2
O (13%), 2
N
(79%), que se encuentran a 1 atm y 20°C.
Datos:
Viscosidad de los componentes puros a 1 atm y 20°C (p)
2 125
SO  ; 2 203
O  ; 2 175
N 
Solución
Como se trata de una mezcla gaseosa a presión atmosférica, se aplicara el método teórico, ecuación 1.3-20:
1
1
c
i i
m c
i
i ij
j
y
y





 

evaluándose ij
 mediante la ecuación de Wilke 1.3-21:
2
1/2 1/4
1/2
1
8 1
j
i
j i
ij
i
j
M
M
M
M



 
   
 
    
 
 
 
 
 

 
 

 
 
 
 
 
 
 
1.3 25

 
1.3 26

 
1.3 27

 
1.3 28

 
1
 
2

18. 1-18
Representado con los subíndices 1, 2 y 3 los componentes 2
SO , 2,
O 2,
N respectivamente mediante las
ecuaciones (1) y (2) se construye la siguiente tabla:
𝑖 𝑗 𝑀𝑖 /𝑀𝑗 𝜇𝑖/𝜇𝑗
𝑖𝑗 𝑦𝑖
𝑖𝑗 𝑦𝑖 ∑ 𝑖𝑗 𝑦𝑖
𝑐
𝑗=1
1 1 1 1 1 0,08 0,08
0,591
1 2 2 0,616 0,562 0,13 0,0073
1 3 2,286 0,714 0,555 0,79 0,438
2 1 0,5 1,623 1,827 0,08 0,146
1,071
2 2 1 1 1 0,13 0,13
2 3 1,143 1,16 1,007 0,79 0,795
3 1 0,437 1,400 1,778 0,08 0,142
1,061
3 2 0,875 0,862 0,992 0,13 0,129
3 3 1 1 1 0,79 0,79
Finalmente, la ecuación (1), con los valores tabulados,conduce a:
3
3 3
1 1 2 2
3
1 1 11 2 12 3 13 1 21 2 22 3 23 1 31 2 32 3 33
1
i i
m
i
j ij
j
x x
x x
x x x x x x x x x
x
 
 

        



   
     


        
0,08 125 0,13 203 0,79 175
172
0,591 1,071 1,061
m p
 
   
III. Gases puros a presiones elevadas
Sólo en determinadas regiones de presión y temperatura, la viscosidad de los gases es función de la presión.
Habitualmente, tales variaciones, no son significativas a temperaturas reducidas muy elevadas o a presiones
reducidas muy bajas.
Childs y Hanleyhan11 establecido un criterio para saber si debe corregirse o no el efecto de la presión sobre la
viscosidad de los gases. En la figura 1.3-2 se esquematiza el mismo en función a presión y temperatura
reducidas. Según que las condiciones de los gases conduzcan a puntos situados porencima o por debajo de la
recta de la figura, habrá que efectuar o no dichas correcciones; si aquellas condujesen a puntos sobre la misma
recta y no efectuasen tales correcciones, el error sólo sería del 1%.
Figura 1.3-2 Intervalos de temperaturas y presiones reducidas para la posiblecorrección por los efectos de presión.
11
G.E. Childs, H.J. Hanley, Cryogenics, 8, 94 (1968).
0
0.5
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Gas denso
Gas diluido

r
c
T
T
T
r
c
p
p
p


19. 1-19
La figura 1.3-3 sólo aproximada, refleja bien las variaciones de la viscosidad de los gases con la temperatura y
la presión. Mediante ella puede conseguirse una rápida estimación aproximada de la viscosidad de los gases a
presiones elevadas.Para ello debe calcularse la viscosidad crítica mediante la siguiente ecuación:
1/2 2/3
1/6
7,7 c
c
c
M p
T
 
en la que se expresan: c
 en micropoises, c
T en Kelvin y c
p en atmósferas.
La estimación más rigurosa de la viscosidad de los gases a elevadas presiones se basa en correlaciones
de las diferencias de viscosidad de los mismos a elevada y baja presión (viscosidad residual, 0
 
 ), y la
densidad reducida / /
r c c
V V
  
  . Concretamente, Thodos y colaboradores2,6 proponen las siguientes
ecuaciones:
Figura 1.3-3 La viscosidad reducida /
r c
  
 como una función de la temperatura reducida para varios valores de la
presión reducida. [O. A. Uyeharay K. M. Watson, Nat. Petroleum News, Tech. Section, 36,764 (4 de oct., 1944); revisada
por K.M. Watson (1960). Una versión a gran escala de esta gráfica se encuentra disponible en O.A. Hougen, K.M. Watson
y R.A. Ragatz, C.P.P. Charts, Wiley, Nueva York, 2a. edición (1960).]
 
1.3 29


20. 1-20
Gases no polares
 
0,25
1/6
0 2 3 4
1/2 2/3
1 1,023 0,23364 0,58533 0,40758 0,093324
c
r r r r
c
T
M p
     
 
      
 
 
0,1 3
r

 
Gases polares
 
1/6
0 1,111
1/2 2/3
1,656
c
r
c
T
M p
  
  , 0,1
r
 
   
1/6
1,739
0
1/2 2/3
0,0607 9,045 0,63
c
r
c
T
M p
  
   ; 0,1 0,9
r

 
 
1/6
0
1/2 2/3
log 4 log 0,6439 0,1005
c
r
c
T
M p
  
 
 
 
   
 
 
 
 
 
; 0,9 2,2
r

 
    
1/6
2
0 4 3
1/2 2/3
log 4 log 0,6439 0,1005 4,75 10 10,65
c
r r
c
T
M p
   

 
 
 
      
 
 
 
 
 
;
2,2 2,6
r

 
 
1/6
0
1/2 2/3
90
c
c
T
M p
 
  ; 2,8
r
 
 
1/6
0
1/2 2/3
250
c
c
T
M p
 
  ; 3
r
 
ecuaciones en las que las viscosidades  y 0
 se expresan en micropoises, c
T en kelvin y c
p en atmósferas,
debiéndose recurrir a la bibliografía2 para encontrar los valores del volumen crítico c
V siendo preferibles
valores experimentales de densidades  . Excepto a presiones muy elevadas, el error del método es siempre
inferior al 10%.
Recientemente, Reichenberg10 propone una correlación de la relación 0
/
  algo compleja, pero, al
parecer, bastante precisa tanto para gases apolares como polares. Aunque todavía no muy probada, parece ser
que el error de la misma es similar al de la correlación anterior.
Ejemplo 1.3-3
Estímese la viscosidad del n-butano a 171°C y las siguientes presiones: 6,8 atm; 34 atm y 68 atm.
Datos:
Coeficientes de comprensibilidad y viscosidad experimental del n-butano a 171°C y diferentes presiones:
Presión (atm) Z (p)
1 1,00 112
6,8 0,93 113
34 0,54 134
68 0,29 405
Condiciones críticas: 425,2 ;
c
T K
 37,5
c
p atm
 y 3
255 /
c
V cm mol

Solución
a) Método gráfico
En la tabla 1 se relacionan las condiciones reducidas para eln- butano a 171 °C y diferentes presiones.En todos
los casos, del gráfico de Childs y Hanley (figura 1.3-2), se deduce que el gas debe considerarse como denso.
En la Tabla 1 también se relacionan las viscosidades reducidas generalizadas estimadas gráficamente (figura
1.3-3):
 
1.3 30

 
1.3 31

 
1.3 32

 
1.3 33

 
1.3 34

 
1.3 35

 
1.3 36


21. 1-21
Tabla 1
Presión (atm) 𝑝𝑟 = 𝑝/𝑝𝑐 𝑇𝑟 = 𝑇/𝑇𝑐
𝑟 (p) Error (%)
6,8 0,181 1,044 0,45 108 -4,4
34 0,907 1,044 0,7 168 +25,4
68 1,813 1,044 2,2 527 +30,1
La viscosidad crítica se calcula por la ecuación 1.3-29:
1/2 2/3
1/6
7,7 c
c
c
M p
T
 
y en el caso del n-butano se tendrá:
   
 
1/2 2/3
1/6
7,7 58 37,5
239,6
425,2
c p
 
 
y, por tanto: 239,6
r r c r
c

    

   
 239,6
r c p
   
 
obteniéndose a cada presión los valores que se indican en la Tabla 1. Se observa que los errores son considerados
así como que aumentan al hacerlo la presión.
b) Método de Thodos y colaboradores1.3-30
 
0,25
1/6
0 2 3 4
1/2 2/3
1 1,023 0,23364 0,58533 0,40758 0,093324
c
r r r r
c
T
M p
     
 
      
 
 
ecuación aplicable para el siguiente intervalo 0,1 3
r

  .
  
3
3
255 10
7,004 10
0,082 444
c c
r
c
V V p
ZRT Z
V Z
p p






     
Sustituyendo valores en las ecuaciones (2) y (3) se obtienen los valores que se indican en la Tabla 2.
Tabla 2
P (atm) 𝜌𝑟[3] (p)[2] Error (%)
6,8 0,051 No es aplicable
34 0,441 147 +9,8
68 1,642 457 +13
Pudiéndose observarque los errores disminuyen apreciablemente con este método de estimación.
IV. Mezclas gaseosas a presiones elevadas
Dean y Stiel12 proponen la siguiente correlación para la estimación de las viscosidades de mezclas gaseosas a
presiones elevadas:
   
1/6
0 1,858
1/2 2/3
1,08 exp 1,439 exp 1,111
cm
m m rm rm
m cm
T
M p
   
 
   
 
en la que m
 y 0
m
 son las viscosidades de la mezcla (micropoises) a elevada y baja presión respectivamente,
y /
m m
r m c
  
 la densidad seudorreducida de la mezcla, cociente de la densidad de la mezcla por la
seudocrítica de la misma. Los parámetros seudocríticos de la mezcla son calculables de la forma:
1
c
cm i ci
i
T y T

  ;
1
c
cm i ci
i
Z y Z

  ;
1
c
cm i ci
i
V yV

  ; cm cm
cm
cm
Z RT
p
V

12
D.E. Dean, L.I. Stiel, AIChE J., 11, 526 (1965).
 
1
 
2
 
3
 
1.3 37

 
1.3 38


22. 1-22
El error de estimación, si se trata de mezclas de gases apolares de bajo peso molecular, es menor al
10%. En el caso de mezclas de gases apolares de elevado peso molecular o en las que existan uno o más gases
polares, se sigue utilizando el método por no haber otro mejor, pero lógicamente el error es superior.
Para mezclas gaseosaspuede seguirutilizándose la figura 1.3-2, para decidir si ha de tenerse en cuenta
el efecto de la presión elevada sobre la viscosidad.
Ejemplo 1.3-4
Estímese la viscosidad de una mezcla gaseosa de metano (40%) y propano (60%) a 225°C y 100 atm.
Datos:
Condiciones críticas:
𝑇𝑐 (K) 𝑝𝑐(atm) 𝑉
𝑐(cm3
/mol) 𝑍𝑐
Metano 190,6 45,4 99,0 0,288
Propano 368,8 41,9 203,0 0,281
Viscosidad de la mezcla gaseosa a 1 atm y 225°C, = 142 p. Factores de comprensibilidad a 225°C y 100
atm: metano, 0,98; propano, 0,76.
Solución
Según la ecuación de Dean y Stiel 1.3-37, se tiene:
   
1/6
0 1,858
1/2 2/3
1,08 exp1,439 exp 1,111
c
m m rm rm
m cm
T
M p
   
 
   
 
siendo: 0
142
m p
 

     
0,4 190,6 0,6 368,8 298,12
cm
T K
  
     
0,4 16 0,6 44 32,80
m
M   
      3
0,4 99 0,6 203 161,40 /
cm
V cm mol
  
     
0,4 0,288 0,6 0,281 0,284
cm
Z   
   
0,284 0,082 298,12
43,01
0,1614
cm cm
cm
cm
Z RT
p atm
V
  
   
0,082 498 0,98
0,400 /
100
met
V l mol
 
   
0,082 498 0,76
0,310 /
100
prop
V l mol
 
      3
0,4 400 0,6 310 346 /
m
V cm mol
  
161,40
0,466
346
m
m
c
r
m
V
V
   
Sustituyendo valores en la ecuación (1) se llega a:
 
  
   
2,585
142 1,08 exp 0,671 exp 0,269
5,727 12,276
m
    
 
 
 177μp
m
 
 
1

23. 1-23
1.4 VISCOSIDAD DE LÍQUIDOS
I. Líquidos puros
Así como las viscosidades de los gases diluidos pueden estimarse mediante técnicas basadas en una
teoría segura,como es la cinética rigurosa, en el caso de los líquidos se carece de una base teórica comparable
para tal estimación.
Las viscosidades de los líquidos son mucho mayores que las de los gases y descienden abruptamente
con la temperatura. Como se ha indicado al principio de esta sección, de las dos etapas de que constan los
transportes de cantidad de movimiento y energía, la primera de desplazamiento de las moléculas, está muy
limitada en los líquidos. En éstos, el transporte realmente se debe a los campos de fuerzas entre moléculas
suficientemente próximas como demuestra su elevada densidad.
Las teorías para la estimación de las viscosidades de los líquidos los asimilan a los gases o sólidos. En
cualquier caso,ninguna de ellas conduce a un método teórico de estimación, sino a técnicas empíricas basadas
en la evaluación de algunas constantesa partir de la estructura o propiedades físicas del líquido de que se trate.
Otras veces, sin tomar como base modelo de líquido alguno, los métodos se basan enteramente en el estudio y
correlación de los datos experimentales.
La viscosidad de los líquidos a temperaturas inferiores a la normal de ebullición no está muy afectada
por la presión para valores moderados de la misma; a presiones muy elevadas la viscosidad puede aumentar
considerablemente. Al parecer, este último efecto crece con la complejidad molecular, pero no se dispone
todavía de ningún método seguro de estimación de la viscosidad de los líquidos a baja temperatura y elevadas
presiones2.
En cuanto a la influencia de la temperatura sobre la viscosidad de los líquidos entre las normales de
ebullición y congelación, aun habiéndose propuesto últimamente numerosas relaciones, sigue siendo la de
Andrade13 la más utilizada:
/
B T
L Ae
 
aunque puede conducira resultados erróneos en la proximidad de los puntos de congelación,temperaturas a las
que la viscosidad de algunos líquidos crece bruscamente. Con dos valores de la viscosidad a dos temperaturas
puede calcularse las constantes A y B, y con ellas ya resulta posible determinar la viscosidad del líquido puro
de que se trate a cualquier otra temperatura.
Si sólo se dispone de un valor experimental de la viscosidad a una cierta temperatura, la correlación
gráfica de Lewis y Squires14 (figura 1.4-1), permite su extrapolación aproximada. Se fija el dato conocido sobre
la curva y sobre el eje de abscisas la diferencia de temperaturas para la que se desea el nuevo valor de la
viscosidad,que podrá leerse en las ordenadas.
13
E.N. Da C. Andrade, Nature, 125, 309 (1930); Phil. Mag., 17, 497, 698 (1934).
14
W.K. Lewis, L. Squires, Refiner Nat. Gasoline Manuf., 13 (12), 448 (1934).
 
1.4 1


24. 1-24
Figura 1.4-1 Correlación grafica L T
  de Lewis y Squires.
a) Viscosidad de los líquidosa bajas temperaturas
De los muchos métodos empíricos propuestos para la estimación de la viscosidad de los líquidos a
bajas temperaturas ( r
T inferior a 0,75-0,80), en ausencia total de datos experimentales, se explican a
continuación los cuatro que se juzgan mejores y más generales. Todos ellos para líquidos orgánicos y se basan
en la contribución de los distintos grupos funcionales, y establecen la misma relación entre viscosidad y
temperatura que la relación de Andrade,1.4-1, interviniendo la densidad de líquidos en dos de ellos.
Al comparar los datos experimentales con los calculados mediante estos métodos 2,se aprecian errores
variables que pueden llegar al 15%. Por ello, en ausencia de datos experimentales, es aconsejable utilizar
preferentemente el último, más moderno.
Método de Thomas
Thomas15 propuso la siguiente correlación:
1/2
1
log 8,569 1
L
r
L



   
 
   

 
 
siendo L
 la viscosidad del líquido en centipoises, L
 la densidad del líquido en g/cm3, r
T la temperatura
reducida y  un parámetro estructuralcalculado aditivamente a partir de los valores de la Tabla 1.4-1, teniendo
en cuenta la contribución de los distintos átomos y grupos atómicos2.
Tabla 1.4-1 Contribuciones estructurales para el cálculo del parámetro  de la ecuación de Thomas 1.4-2.
C -0,462 Br 0,326 S 0,043
H 0,249 I 0,335 CO1
0,105
O 0,054 Doble enlace 0,478 CN2
0,381
Cl 0,340 C6H5 0,385
1
Cetonas y esteres. 2
Nitrilos.
El método es aconsejable para compuestos aromáticos (excepto benceno), compuestos
monohalogenados,compuestos no saturados y n-parafinas de elevado peso molecular. No debe utilizarse para
alcoholes, ácidos, naftenos,heterociclos, animas, aldehídos o compuestos polihalogenos.
Método de Morris
Morris16 propuso la correlación:
1
log 1
L
r
J


 
 
 
 
 

   
siendo L
 la viscosidad dellíquido en centipoises, 
una constante función deltipo de compuesto (Tabla 1.4-
2), r
T la temperatura reducida y J un parámetro estructuraldefinido por la expresión:
 
1/2
1
0,0577
n
i i
i
J b n

 
 
 
 

donde i
b , es la contribución de cada grupo (tabla 1.4-2) y i
n el número de veces de aparición de cada grupo
en la molécula.
La imprecisión del método es mayor en los primeros miembros de las series homólogas, en presencia
de cadenas ramificadas y a bajas temperaturas.
Método de Orrick y Erbar
Estos autores proponen la siguiente correlación:
15
L.H. Thomas, J. Chem. Soc., 573 (1946).
16
P.S. Morris, M.S. Thesis Polytechnic Institute of Brooklyn, Nueva York (1964).
 
1.4 2

 
1.4 3

 
1.4 4


25. 1-25
ln L
L
B
A
M


 

 
1.4 5


26. 1-26
Tabla 1.4-2 Constante 
y contribuciones i
b de la ecuación de Morris 1.4-3
𝜇+
𝜇+
𝜇+
Hidrocarburos 0,0875
Derivados bencénicos
halogenados
0,123
Éteres, cetonas, aldehídos,
acetatos
0,096
Derivados
halogenados
0,148 Alcoholes 0,0819 Fenoles 0,0126
Derivados
bencénicos
0,0895 Ácidos orgánicos 0,117 Varios 0,100
Grupo bi Grupo bi
CH3, CH2, CH 0,0825 CH2: miembro anillo saturado 0,1707
Halógeno en CH3 0,0000 CH3, CH2, CH: junto a un anillo 0,0520
Halógeno en CH2 0,0893 NO2: junto a un anillo 0,4170
Halógeno en CH 0,0667 NH2: junto a un anillo 0,7645
Halógeno en C 0,0000 F, Cl: junto a un anillo 0,0000
Br 0,2058 OH: alcoholes 2,0446
Cl 0,1470 COOH:ácidos 0,8896
F 0,1344 C=O: cetonas 0,3217
I 0,1908 O=C–O:acetatos 0,4369
Doble enlace -0,0742 OH: fenoles 3,4420
C6H4, anillo bencénico 0,3558 –O–: éteres 0,1090
H adicional en un anillo 0,1446
Tabla 1.4-3 Parámetros A y B de la ecuación de Orrick y Erbar 1.4-5
Grupo A B
Átomos de C1
-(6,95 + 0,21n) 275+99n
|
𝑅 − 𝐶 − 𝑅
|
𝑅
-0,15 35
𝑅
|
𝑅 − 𝐶 − 𝑅
|
𝑅
-1,20 400
Doble enlace 0,24 -90
Anillo de cinco miembros 0,10 32
Anillo de seis miembros -0,45 250
Anillo aromático 0 20
Sustitución orto -0,12 100
Sustitución meta 0,05 -34
Sustitución para -0,01 -5
Cloro -0,61 220
Bromo -1,25 365
Iodo -1,75 400
–OH -3,00 1600
–COO-
-1,00 420
–O– -0,38 140
–C=O -0,50 350
–COOH -0,90 770
1
n es el número de átomos de carbono, excluyendo los pertenecientes a los distintos grupos que se relacionan en la tabla.

27. 1-27
siendo L
 la viscosidad del líquido en centipoises, L
 la densidad del líquido a 20°C (g/cm3), M el peso
molecular, T la temperatura en K y A y B dos parámetros estructurales (Tabla 1.4-3).
El método no es aplicable a compuestos con azufre o nitrógeno.
Método de Van Venzel, Cardozo y Langenkamp
Estos autores2 estudiaron meticulosamente la influencia de la estructura del líquido sobre su viscosidad y
propusieron la correlación:
0
1 1
log L B
T T

 
 
 
 
siendo L
 la viscosidad dellíquido en centipoises, T la temperatura en K y B y 0
T dos parámetros estructurales
función de la longitud de cadena equivalente *
N .La complejidad del cálculo de esta última, y por ello de los
dos parámetros B y 0
T , es tal que remitimos a la citada bibliografía2 para el mismo, no sin indicar que en ella
se encuentran ya calculados y tabulados los valores de B y 0
T para numerosas sustancias.
El método resulta bastante impreciso con los primeros términos de las series homólogas.
Ejemplo 1.4-1
Estímese la viscosidad y densidad de la acetona a 0°C, 30°C y 60°C. y dedúzcase una ecuación empírica que
permita tal estimación a cualquier temperatura en el intervalo indicado.
Datos:
Valores experimentales de la viscosidad y densidad de la acetona a diferentes temperaturas.
T (°C)  (cp)  (gr/cm3)
0 0,389 0,80
30 0,292 0,78
60 0,226 0,75
Condiciones críticas:
508,1
C
T  K; 464
C
p  atm; 3
209 cm /mol
C
V 
Solución
En todos los casos la temperatura reducida es menor que 0,7, por lo que la acetona puede considerarse como
líquido a baja temperatura.
a) Ecuación de Thomas 1.4-2:
1/2
1
log 8,569 1
L
r
L



   
 
   

 
 
La constante  se evalúa mediante la Tabla 1.3-2:
     
2 0,462 6 0,249 0,105 0,675
     
y sustituyendo valores en la ecuación (1) se obtiene:
1/2
508,1
log 8,569 0,675 1
L
L


   
 
   

 
 
expresión que relaciona la viscosidad con la temperatura. En la tabla 1 se relacionan los valores de L

obtenidos con la misma.
 
1.4 6

 
1
 
2

28. 1-28
b) Ecuación de Morris 1.4-3:
1
log 1
L
r
J
T


 
 
 
 
En la Tabla 1.4-2 se encuentra para las cetonas: 0,096;

 obteniéndose el valor del parámetro estructural J,
mediante la ecuación 1.4-4:
 
1/2
1
0,0577
n
i i
i
J b n

 
 
 
 

Con los valores i
b de la Tabla 1.4-2. Así, resulta:
  
1/2
0,0577 2 0,0825 0,321 0,737
J    
 
 
Sustituyendo valores en la ecuación (3) se llega a
508,1
log 0,737 1
0,096
L
T
  
 
 
 
ecuación que relaciona la viscosidad con la temperatura. En la tabla 1 se relacionan los valores de L
 obtenidos
con esta ecuación.
c) Ecuación de Orrick y Erbar 1.4-5:
ln L
L
B
A
M


 

siendo A y B dos parámetros estructurales que se evalúan mediante la Tabla 1.4-3
  
 
6,95 2 0,21 0,50 7,87
A      
  
 
275 2 99 350 823
B    
Sustituyendo valores en la ecuación (6) se obtiene:
 
823
ln 7,87
58
L
L


  

ecuación que relaciona la viscosidad con la temperatura. En la Tabla 1 se presentan los valores de L
 con ella
obtenidos.
d) Ecuación de Andrade 1.4-1:
/
B T
L Ae
 
ecuación que permite correlacionar la viscosidad con la temperatura, pudiéndose estimar A y B a partir de datos
experimentales. De ella se deduce:
ln ln /
L A B T
  
Ajustando mediante el método de mínimos cuadrados los datos experimentales de la viscosidad frente
a la temperatura, de acuerdo con la ecuación (9) se obtiene:
2
1,9247 10 ; 821,64
A B

  
es decir: 2 821,64/
1,9247 10 T
L e
 
 
En la tabla 1 se relacionan los valores de L
 evaluados con esta ecuación.
Se puede observarque en este caso los errores más bajos se obtienen con la ecuación de Thomas y los
más elevados con la de Orrick y Erbar. Por otro lado, la mejor correlación empírica es la ecuación (10), basada
en la de Andrade.
 
3
 
4
 
5
 
6
 
7
 
8
 
9
 
10

29. 1-29
Tabla 1
T
(K)
exp
L

(cp)
 
2
L

(cp)

%
 
5
L

(cp)

%
 
7
L

(cp)

%
 
9
L

(cp)

%
273 0,389 0,398 +2,3 0,414 +6,4 0,361 -7,2 0,390 +0,26
303 0,292 0,295 +1,0 0,303 +3,8 0,261 -10,6 0,290 -0,68
333 0,226 0,229 +1,3 0,234 +3,5 0,197 -12,8 0,227 +0,44
b) Estimación dela viscosidad de los líquidos a elevadas temperaturas
Para líquidos saturados a elevadas temperaturas parece plausible resulten útiles las correlaciones deducidas en
estasección, apartado III por el método de los estados correspondientes para los gases a presiones elevadas, siempreque no
se excedan los límites de densidad establecidos paraellos.
Basándose en ellos, Letsou y Stiel17
proponen una correlación que se representa gráficamente en la figura 1.4-2.
Esta correlación constituye el mejor método disponible para la estimación de la viscosidad de los líquidos saturados a
temperaturas reducidas superiores a 0,76, con errores del 3% si no se sobrepasa 0,92
r
T  .
Figura 1.4-2 Correlación L r
T
  de Letsou y Stiel
II. Mezclas líquidas.
A temperaturas bajas ( 0,75
r
T  ) la viscosidad de los líquidos es muy sensible a su estructura, de la
que dependen las posibles interacciones moleculares.
Se ha propuestos numerosas correlaciones para la estimación de la viscosidad de las mezclas liquidas
 
m L
 , respondiendo casitodas ellas a dos posibles expresiones generales2:
   
1 1
c c
m i j ij
L L
i j
f x x f
 
 
 
   
1
c
m i i
L L
i
f x f
 

 
17
A. Letsou, L. Stiel, AIChE J., 19, 409 (1973).
 
1.4 7

 
1.4 8


30. 1-30
representando ij
 la viscosidad de la mezcla binaria de los componentes i y j, y en las que  
L
f  puede ser:
L
 , ln L
 , 1/ L
 , etc., y i
x puede serla fracción volumétrica, másica o molar del componente i en la mezcla.
Las correlaciones del tipo de la 1.4-8, más sencillas, no son recomendable si para determinadas composiciones
la mezcla presenta valores máximos o mínimos de la viscosidad.
Lobe18 revisó las numerosas correlaciones de la bibliografía y propuso la expresión:
1 1
exp ,
c c
i j
m i i
i j
j i
RT
 
 
 
 
 
 
 
 
siendo i
 la viscosidad cinemática del componente i (centistokes), j
 la fracción volumétrica del componente
j, j
 un parámetro de la viscosidad característico del componente j en la mezcla (cal/(mol)(K)), R la constante
de los gases (1,987 cal/(mol)(K)) y T la temperatura (K).
La utilización de la ecuación 1.4-9 para una mezcla de c componentes,requiere al menos de c valores
de la viscosidad de la misma que permitan calcular todos los valores de j
 necesarios.El autorindica la validez
de su ecuación para cualquier mezcla aunque presente máximos o mínimos de viscosidad.
En el caso de mezclas binarias, si A es el componente de menos viscosidad y la viscosidad de la mezcla no
presentan máximos ni mínimos a determinadas composiciones, se cumple:
1,7ln
A B
A
RT
 

 
1/2
0,27ln / 1,3ln
B B
B A
A
RT
 
 

 
   
 
con lo que sería posible estimar la viscosidad de la mezcla a partir exclusivamente de las viscosidades de los
componentes puros.
La estimación de las viscosidades de las mezclas liquidas a temperaturas elevadas ( 0,75
r
T  ) ha sido
poco investigada. Se sugiere el uso de la figura 1.4-2, utilizando para la mezcla de que se trate de constantes
críticas calculadas mediante las expresiones 1.3-38.
Ejemplo 1.4-2
Estímese la viscosidad a 20 °C de una disolución acuosa de metanol al 80% en peso.
Datos:
Viscosidad y densidad de los componentes puros a 20°C:
 (cp)  (g/cm3
)
Agua 1 0,9922
Metanol 0,592 0,7917
Solución
a) Se utilizará la ecuación 1.4-8, suponiendo función logarítmica:
ln ln ln
m A A B B
x x
  
 
es decir: ln 0,8ln0,592 0,2ln1
m
  
0,657 cp
m
 
b) Ecuación de Lobe 1.4-9
Aplicándola a una mezcla binaria se tiene:
/ /
B B A A
RT RT
m A A B B
e e
   
    
 
18
V.M. Lobe, M.S. Thesis, University of Rochster, Nueva York (1973).
 
1.4 9

 
1.4 10

 
1.4 11

 
1
 
2

31. 1-31
siendo:
0,8
0,7917
0,834
0,2 0,8
0,9922 0,7917
A
  

1 0,166
B A
 
  
y de acuerdo con las ecuaciones 1.4-10 y 14.-11:
1/ 0,9922
1,7ln 0,507
0,592 / 0,7917
A
RT

   
1/ 0,9922 1/ 0,9922
0,27ln 1,3ln 0,703
0,592 / 0,7917 0,592 / 0,7917
B
RT
  
  
 
 
Sustituyendo valores en la ecuación (2) se llega a:
     
0,703 0,166 0,507 0,834
0,592 1
0,834 0,166 0,810 cst
0,7917 0,9922
m e e
 
   
  
   
   
considerando una densidad media para la mezcla liquida:
      3
0,2 0,9922 0,8 0,7917 0,832 g/cm
m
   
se tiene:   
0,810 0,832 0,674 cp
m m m
  
  
pudiéndose observarque los dos valores encontrados difieren en un 2,5%
1.5 VISCOSIDAD DE SUSPENSIONES Y EMULSIONES
La primera contribución especializada a la teoría de la viscosidad de suspensiones de esferas fue proporcionada
por Einstein, quien consideró una suspensión de esferas rígidas tan diluidas que el movimiento de una esfera
no afecta el flujo del fluido en la vecindad de cualquier otra esfera. Entonces es suficiente analizar sólo el
movimiento del fluido alrededor de una sola esfera, y los efectos de las esferas individuales son aditivos. La
ecuación de Einstein es:
0
5
1
2
ef



 
donde 0
 es la viscosidad del medio de suspensión, y  es la fracción de volumen de las esferas. Esta
correlación ha sido modificada de varias maneras, de las cuales se describen algunas
Para suspensiones diluidas de partículas de varias formas, la constante 5/2 debe sustituirse por un
coeficiente distinto, dependiendo de la forma particular. Las suspensiones de partículas alargadas o flexibles
presentan viscosidad no newtoniana.
Para suspensionesconcentradasde esferas, (es decir, 0,05
  ), las interacciones de las partículas se
vuelven apreciables. Una de las expresiones semiempíricas más simples es la ecuación de Mooney
 
5
2
0 0
exp
1 /
ef
 
  
 
  
 

 
donde 0
 es una constante empírica cuyo valor varía aproximadamente entre 0,7 y 0,52; y estas cifras
corresponden a valores de  para empaque más compactos y empaques cúbico, respectivamente.
Otro método para suspensiones concentradas es la “teoría de celdas”, donde se analiza la energía de
disipación en el “flujo comprimido” entre las esferas. Ejemplo de este tipo de teoría es la ecuación de Graham.
  
2
1
0 2
5 9 1
1
2 4 1 1
ef


   
 
    
 
 
 
en la cual 3 3
max max
2[(1 / ) / / ]
    
  , donde max
 es la fracción de volumen correspondiente al empaque
más compacto de las esferas determinado experimentalmente. Esta expresión se simplifica a la ecuación de
Einstein para 0
  y a la ecuación de Frankel-Acrivos cuando max
 
 .
 
1.5 1

 
1.5 2

 
1.5 3


32. 1-32
Para suspensiones concentradas de partículas no esféricas, puede usarse la ecuación de Krieger-
Dougherty
max
0 max
1
A
ef

 
 

 
 
 
 
Los parámetros A y max
 a utilizar en esta ecuación se encuentran tabulados en la tabla 1.5-1 para suspensiones
de varios materiales
Para emulsiones o suspensiones de gotitas minúsculas, donde el material suspendido puede
experimentar circulación interna pero reteniendo su forma esférica. La viscosidad se describe entonces con la
ecuación de Taylor
5
0 1
2
0 0 1
1
ef
  

  
 

   

 
donde 1
 es la viscosidad de la fase dispersa
Tabla 1.5-1 Constantes adimensionales para utilizar en la ecuación 1.5-4
Sistema A max
 Referencia
Esferas (submicras) 2,7 0,71 a
Esferas (40μm ) 3,28 0,61 b
Yeso molido 3,25 0,69 c
Dióxido de titanio 5,0 0,55 c
Laterita 9,0 0,35 c
Varillas de vidrio ( 30 700 μm
 ) 9,25 0,268 d
Láminas de vidrio (100 400 μm
 ) 9,87 0,382 d
Granos de cuarzo ( 53 76 μm
 ) 5,8 0,371 d
Fibras de vidrio (radio axial 7) 3,8 0,374 b
Fibras de vidrio (radio axial 14) 5,03 0,26 b
Fibras de vidrio (radio axial 21) 6,0 0,233 b
a
C. G. de Kruif, E.M.F. van Ievsel, A. Vrij y W.B. Russel, en Viscoelasticity and Rheology (A. S. Lodge, M. Renardy, J.
A. Nohel, edc.), Academic Press, Nueva York (1985).
b
H. Giesekus, en Physical Properties of Foods (J. Jowitt, et al., eds.), Applied Science Publishers, capítulo 13.
c
R. M. Turian y T.-F. Yuan, AlChE journal, 23, 232-243 (1977).
d
E. Clarke, Trans. Inst. Chem. Eng., 45,251-256 (1966).
Para suspensionesdiluidasde esferas cargadas,la ecuación 1.5 -1 puede remplazarse por la ecuación
de Smoluchowski
 
2
0 0
/ 2
5
1 1
2
ef
e
D R
k
  

 
 
  
 
 
 
en la que D es la constante dieléctrica del fluido en suspensión, e
k es la conductividad eléctrica específica de
la suspensión,  es el potencial electrocinético de las partículas y R es el radio de la partícula
1.6 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO CONVECTIVO
La cantidad de movimiento puede además de la cantidad de movimiento molecular,transportarse pormedio del
flujo volumétrico del fluido, y este proceso se denomina transporte convectivo. Para analizarlos utilizamos la
figura 1.6-1 y centramos nuestra atención en una región cúbica en el espacio a traes de la cual circula el fluido.
En el centro del cubo (ubicado en x, y, z), el vector de velocidad del fluido es  .
El caudal volumétrico a través del área unitaria sombreada en (a) es x
 . Este fluido lleva consigo una
cantidad de movimiento  por volumen unitario. Por tanto, la densidad de flujo de cantidad de movimiento
 
1.5 4

 
1.5 6

 
1.5 5


33. 1-33
a través del área sombreada es x
  ; nótese que esta es la densidad de flujo de cantidad de movimiento desde
la región de menor x hacia la región de mayor x. De manera semejante en las figuras 1.6-1 (b) y (c), los fluxes
correspondientes son y
  y z
  . Estos tres vectores describen los fluxes a través de las tres áreas
perpendiculares a los ejes respectivos.
La colección de nueve componentes escalares proporcionadas en la tabla 1.6-1 puede representarse
como
    
i i i i j j
i i j
   
 
  
    
i j i j
i j
 
  
  
Debido a que cada componente de  tiene dos subíndices cada uno asociado con una dirección de
coordenadas,  es un tensor (de segundo orden), denominado tensor de densidad de flujo de cantidad de
movimiento convectivo
Figura 1.6-1 Las densidades de flujo de cantidad de movimiento convectivo a través de planos de área unitaria
perpendiculares a las direcciones de coordenadas.
Tabla 1.6-1 Resumen de las componentes de la densidad de flujo de cantidad de movimiento
convectivo
Dirección
normal a la cara
sombreada
Densidad de flujo de
cantidad de
movimiento a través
de la cara sombreada
Componentes de flujo de cantidad de
movimiento convectivo
Componente x Componente y Componente z
x x
  x x
  x y
  x z
 
y y
  y x
  y y
  y z
 
z z
  z x
  z y
  z z
 
De manera semejante, la densidad de flujo de cantidad de movimiento molecular total a través de una
superficie de orientación n está dada por [ ] [ ]
p
   
n n n 
 . Se entiende que esta es la densidad de flujo
desde el lado negativo hacia el lado positivo de la superficie.
En 1.2 de este capítulo definimos el transporte de cantidad de movimiento molecular, y en esta sección
describimos el transporte de cantidad de movimiento convectivo. Al establecer los balances de envoltura de
cantidad de movimiento en el capítulo 2 y el balance general de cantidad de movimiento en el capítulo 3,
encontraremos útil definir la densidad de flujo de cantidad de movimiento combinado, que es la suma de los
fluxes por esfuerzos viscosos y el movimiento global del fluido.
p
 
    
    

Debe recordarse que la contribución p no contiene velocidad, sólo presión; la combinación  contiene la
densidad de productos de las componentes de la velocidad; y la contribución  contiene la viscosidad.Todas
estas cantidades son tensores de segundo orden.
 
1.6 2

 
1.6 1


34. 1-34
La mayor parte del tiempo trataremos con componentes de estas cantidades. Por ejemplo, las
componentes de  son
Figura 1.6-2 La densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo a través de un plano de orientación arbitraria n es
   
 
  
 
n n .
Tabla 1.6-2 Resumen de la notación para densidades de flujo de cantidad de movimiento
Símbolo Significado Referencia
 Tensorde densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo Tabla 1.6-1
 Tensorde densidad de flujo de cantidad de movimiento viscosoa
Tabla 1.2-1
p
 
   Tensorde flujo de cantidad de movimiento moléculab
Tabla 1.2-1

 
   Tensorde flujo de cantidad de movimiento combinado Ecuación 1.6-2
a
Para fluidos viscoelásticos (véase el capítulo 8), éste debe denominarse tensor de densidad de flujo de cantidad de
movimiento viscoelástico o tensor de esfuerzo viscoelástico.
b
Éste puedereferirse como tensor de esfuerzo molecular.
xx xx x x xx x x
p
      
    
xy xy x y xy x y
p
      
    
y así sucesivamente en forma paralela a las entradas de las tablas 1.2-1 y 1.6-1. La cuestión importante por
recordar es que xy
 es la densidad de flujo combinado de cantidad de movimiento en la dirección y que pasa a
través de una superficie perpendicular a la dirección x por mecanismos moleculares y convectivos.
 
1.6 3a

 
1.6 3b


35. 1-35
1.7 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS19
1B.1 Perfiles de velocidad y las componentes de esfuerzo ij
 .
Para cada una de las siguientes distribuciones de velocidad, hacer un bosquejo que tenga sentido y que muestre
el patrón de flujo. Después de encontrar todas las componentes de  y  para el fluido newtoniano. El
parámetro b es una constante.
Solución:
Del apéndice B:
Para gases monoatómicos a baja densidad la viscosidad de dilatación  es cero.
 
2
2
3
x
xx
x

   

   
    
 
 
  
 


 
2
2
3
y
yy
y

   

   
    
 
 
  
 


 
2
2
3
z
zz
z

   

   
    
 
 
  
 


y x
xy yx
x y
 
  

 

   
 
 
 
y
z
yz zy
y z


  

 

   
 
 
 
x z
zx xz
z x
 
  
 
 
   
 
 
 
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
  
   
  
 
 
  
 
 
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
     
      
     
 
 
  
 
 
 producto diádico
a) ; 0 ; 0 0
y z
x y z
by
y z
 
  
 
     
 
2
2
3
y
x x
xx
x x y

 
  

 
   
  
z
z




 
 
 
 
6 ( ) 2 ( ) 4
3 3 3
xx
by by y
b
x x x
   
  
    
  
0

2 y
yy
y

 

 

2
3
y
x
x y





 
 
z
z




 
 
 
 
2 ( ) 2
2 (0)
3 3
yy
by y
b
x x
   
 
   
 
0

19
Correspondiente a los ejercicios propuestos del capítulo 1 del R.B. Bird, W.E. Stewart. E.N. Lightfoot, Fenómenos de
Transporte, 2a. edición, México, Ed. Limusa Wiley, (2006). Asimismo, los números de las ecuaciones utilizadas
corresponden al mismo texto.

36. 1-36
2 z
zz
z

 

 

2
3
y
x
x y





 
 
z
z




 
 
 
 
2 2 ( ) 2
3 3 3
x
zz
by y
b
x x x

   
  
  
  
0

y
xy yx
x

  

  

x
y

 


 

 
 
( )
x
xy
by
b
y y

   
 
     
 
z
yz zy
y

  

  

y
z




0
 

 
 
 
x z
zx xz
z x
 
  
 
   
 
( )
by y
b
z z
 
   
   
 
 
 
0

   2 2
x x by by b y
   
 
(0) 0
x y by
  
 
y puesto que 0
y z
 
  ; todas las otras componentes i j
 son cero.
b) ; ; 0
x y z
by bx
  
  
2
2
3
y
x x z
xx
x x y z

  
  

  
    
   
 
 
 
( ) 2 ( ) ( )
2
3
xx
by by by
x x y
  
 
  
   
 
  
 
2
xx
y
b
x
 

 

2
3
b y
x




b x
y



0
 

 
 
 
2
2
3
y y
x z
yy
y x y z
 
 
  
 
 
 
    
 
   
 
( ) 2 ( ) ( )
2
3
yy
bx by bx
y x y
  
 
  
   
 
  
 
2
yy
x
b
y
 

 

2
3
y
b
x




x
b
y



0
 

 
 
 
2 z
zz
z

 

 

2
3
y
x z
x y z

 


 
  
  
 
 
 
2 ( ) ( ) 2
3 3
zz
by bx y
b
x y x
  
 
  
  
 
  
 
x
b
y



0
 

 
 
 
y x
xy yx
x y
 
  

 

   
 
 
 
 
( ) ( )
2
    
 
 
        
 
 
 
xy yx
bx by
b b b
x y
z
yz zy
y

  

  

y
z

 


 

 
 

37. 1-37
( )
yz zy
bx x
b
z z
   
 
 
    
 
 
 
0

x z
zx xz
z x
 
  
 
   
 
 
 
 
( )
zx xz
by y
b
z z
   
 
    
 
0

2 2
( )( )
x x by by b y
   
 
2
( )( )
x y y x by bx b xy
     
  
( )(0) 0
x z z x by
    
  
2 2
( )( )
y y bx bx b x
   
 
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
     
      
     
 
 
  
 
 

Todas las otras componentes de  , que contienen en i j
 , al menos un z
 son cero, puesto que 0
z
 
c) ; ; 0
x y z
by bx
  
   
2
2
3
y
x x z
xx
x x y z

  
  

  
    
   
 
 
 
( ) 2 ( ) ( )
2
3
xx
by by bx
x x y
  
 
    
   
 
  
 
2
xx
y
b
x
 

 

2
3
y
b
x


 

x
b
y



0
 

 
 
 
2
2
3
y y
x z
yy
y x y z
 
 
  
 
 
    
   
 
 
 
( ) 2 ( ) ( )
2
3
yy
bx by bx
y x y
  
 
   
   
 
  
 
2
2
3
yy
y y
b b
x x
  
 
   
 
x
b
y



0
 

 
 
 
2 z
zz
z

 

 

2
3
y
x z
x y z

 


 
  
  
 
 
 
2 ( ) ( ) 2
3 3
zz
by bx y
b
x y x
  
 
   
   
 
  
 
x
b
y



0
 

 
 
 
y
xy yx
x

  

  

x
y

 


 

 
 
 
( ) ( )
0
xy yx
bx by
b b
x y
   
 
  
       
 
 
 

38. 1-38
( )
y
z
yz zy
bx x
b
y z z z


    

 
  
 
       
   
   
 
 
0

2 2
( )( )
x x by by b y
   
   
2
( )( )
x y y x by bx b xy
     
    
( )(0) 0
x z z x by
    
   
2 2
( )( )
y y bx bx b x
   
 
Todas las otras componentes de p (que contiene z
 ) son cero
d)
1 1
; ;
2 2
x y z
by bx bz
  
    
2
2
3
y
x x z
xx
x x y z

  
  

 
  
    
 
   
 
       
1 1 1
2 2 2
2
2
3
xx
by bx by bz
x x y z
  
     
 

    
 
   
 
0
2 1 1
3 2 2
xx b b b b b
   

 
 
     
 
 
 
2
2
3
y y
x z
yy
y x y z
 
 
  
 
 
 
    
 
   
 
 
1 1 1
2
2 2 2
2
3
yy
by bx by
bz
y x y z
  
 
     
     
     
 

     
 
    
   
 
 
 
0
2 1 1
3 2 2
yy b b b b b
   

 
 
     
 
 
 
2
2
3
y
x
z z
zz
z x y z


 
  

 

 
    
 
   
 
   
1 1
2 2 2
2
3
zz
bx by
bz bz
z x y z
  
 
   
   
   
 
 
   
 
    
   
 
 
 
 
2
2 0 2
3
zz b b
   
    
y x
xy yx
x y
 
  

 

   
 
 
 
   
1 1
1 1
2 2
0 0 0
2 2
xy yx
by bx
b b
x y
   
 
   
   
   
   
   
 
        
 
   
 
 
 
 
1
2
0
y
z
yz zy
by
bz
y z y z


   
 
 
 
 
 
 
 
  
 
       
 
   
 
 
 
 

39. 1-39
 
1
2
0
x z
zx xz
bx
bz
z x z z
 
   
 
 
 
 
 

 
   
 
        
 
   
   
 
 
Las componentes de  son:
2 2
1 1 1
2 2 4
x x bx bx b x
   
  
   
  
  
2
1 1 1
2 2 4
x y y x bx by b xy
    
  
    
  
  
  2
1 1
2 2
x z z x
bx bz b xz
     
 
    
 
 
2 2
1 1 1
2 2 4
y y by by b y
   
  
   
  
  
  2
1 1
2 2
y z z y
by bz b yz
     
 
    
 
 
   2 2
z z bz bz b z
   
 
Luego:
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
4 4 2
1 1 1
4 4 2
1 1
2 2
x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
b x b xy b xz
b xy b y b yz
b xz v b yz b z
        
         
       
 
   
 
 
 
    
 
 
 
    
 
 

1C.1 Algunas consecuencias de la distribución de Maxwell-Boltzmann
En la teoría cinética simplificada en 1.4 se hicieron varias afirmaciones sin demostrar concernientes al
comportamiento de un gas en equilibrio. En este problema y en el siguiente se muestra que algunas de esas
afirmaciones son consecuencias exactas de la distribución de velocidad de Maxwell-Boltzmann.
La distribución de Maxwell-Boltzmann de velocidades moleculares en un gas ideal en reposo es
     
3/2 2
, , / 2 exp / 2
x y z
f u u u n m T mu T
 
 
Donde u es la velocidad molecular, n es el número de densidad y  
, ,
x y z x y z
f u u u du du du es el número de
moléculas por volumen unitario del que se espera tenga velocidades entre y ,
x x x
u u du
 y ,
y y y
u u du

y .
z z z
u u du
 A partir de esta ecuación se concluye que la distribución de la velocidad u es:
     
3/2
2 2
4 / 2 exp / 2
f u nu m T mu kT
 
 
a) Verificar la ecuación 1.4-1 obteniendo la expresión para la velocidad media u a partir de:
0
0
( )
( )
u f u du
u
f u du





b) Obtener los valores medios de las componentes de la velocidad , y
x y z
u u u . El primero de éstos se obtiene
a partir de:
 
 
, ,
, ,
x x y z x y z
x
x y z x y z
u f u u u du du du
u
f u u u du du du
  
  
  
  

  
  
¿Qué puede concluirse a partir de los resultados?
c) Obtener la energía cinética media por molécula mediante
 
1C.1 1

 
1C.1 2

 
1C.1 3

 
1C.1 4


40. 1-40
2
0
2
0
1
( )
1 2
2 ( )
mu f u du
mu
f u du





El resultado correcto es
2
1 3
2 2
mu T


Solución
La distribución de Maxwell-Boltzmann de velocidades moleculares en un gas ideal en reposo es:
     
3/2 2
, , / 2 exp / 2
x y z
f u u u n m T mu T
 
 
donde u es la velocidad molecular, n es el número de densidad y  
, ,
x y z x y z
f u u u du du du es el número de
moléculas por volumen unitario del que se espera tenga velocidades entre x
u y x x
u du
 , y
u y y y
u du
 , z
u y
z z
u du
 . A partir de esta ecuación se concluye que la distribución de velocidad molecular u es:
     
3/2
2 2
4 / 2 exp / 2
f u nu m T mu T
  
 
Desde que: 0
0
( )
( )
u f u du
u
f u du





Luego la velocidad media es:
 
 
2
2
3 /2
3/2
0
3/2
2 /2
0
4 / 2
4 / 2
mu kT
mu kT
u e du
n m T
u
n m T u e du


 
 







(1)
Sea:
1/2
2
2
2 2
mu m
u
T T
  
 
 
   
 
 
2
2
2
mu
d d
T


 
  
 
2 2
2
m
d
T
  

u du
De:
2
2 2 2
2 2
2
mu T T
u u
T m m
 
  

    
Luego:
2
2 2
m m T
d u du du
T T m

   
 
 
1/2 1/2
2
2
m T
d du du d
T m

 

   
  
   
   
Reemplazando en (1):
 
 
2
2
3 /2
3/2
0
3/2
2 /2
0
4 / 2
4 / 2
mu kT
mu kT
u e du
n m T
u
n m T u e du


 
 







2
2
3
0
2
0
2 e d
kT
u
m e d


 
 







(2)
Integral del numerador:
2
3
0
e d

 



Desde que la función gamma, viene dada por:
 
1C.1 5


41. 1-41
  1
0
t
e t dt

 
    para 1 2

  (De FTMA-M. Spiegel) (3)
Para evaluar la integral del numerador de la ecuación (2), comparando (2) y (3) resulta evidente que:
2 2
2
t t dt d
   
      
Luego:    
2 1
2
0
2
e d

  
 

    (4)
Si 2,
  luego:  
2
3
0
2 2 e d

 


   ; pero  
2 1
  , (De FTMA-M. Spiegel, pág. 261) .
Entonces:
2
3
0
1
2
e d

 


  , valor de la integral del numerador de la ecuación (2).
Integral del denominador:
2
2
0
e d

 



Por otra parte como 2
t 
 , en la ecuación (4), entonces en relación a la integral del denominador de la ecuación
(2), tenemos:
 
 
1
2 2

  


Luego  
 
1
2 
 


Por tanto
1 3
2( 1) 1 1
2 2
  
      
De la fórmula de recurrencia (46.2) , [de FTMA-Spiegel, pág. 193]:
   
1
  
   
1 1 1
1
2 2 2
   
   
   
   
1 1
1 0,88623
2 2 2


 
    
 
 
; ver página 261, en la misma fuente.
Por lo tanto el valor de la integral del denominador viene dada por:
2
2
0
2
2
e d


 


 
2
2
0 4
e d
 
 




Entonces
1
2 8
2
1
4
T T
u
m m
 


  
b) El valor medio del componente x
u de la velocidad viene dada por:
 
 
, ,
, ,
x x y z x y z
x
x y z x y z
u f u u u du du du
u
f u u u du du du
  
  
  
  

  
  
Reescribimos la ecuación 1C.1-4 como:
2
2 2
2
2 2
/2
/2 /2
/2
/2 /2
y
x z
y
x z
mu T
mu T mu T
x x y z
x
mu T
mu T mu T
x y z
u e du e du e du
u
e du e du e du

 

 
  

 
  
  

 
  
  
  
  
La integral sobre x
u en el numerador del primer factor es cero porque el integrando es el producto de un factor
“ x
u ” (una función impar de la variable de integración alrededor de x
u = 0 ) y una función exponencial (una
función par), y el rango de integración se extiende en igual medida en las direcciones positiva y negativa.
Luego 0
x
u 
 
1C.1 4


42. 1-42
c) La energía cinética media por molécula es:
2
0
2
0
1
( )
1 2
2 ( )
mu f u du
mu
f u du





     
3/2
2 2
4 / 2 exp / 2
f u nu m T mu T
  
 
2 2
2 2
2 2 /2 4 /2
2 0 0
2 /2 2 /2
0 0
1 1 1
2 2 2
mu T mu T
mu T mu T
u u e du u e du
mu m m
u e du u e du
 
 
 
 
 
 

 
 
 
Sea
2
2
2
mu
T



4/2
2 2 4 4
2 2 2 2
T kT kT kT
u u u du d
m m m m

   
 
      
 
 
1
2
m 2 1
2
u m

4/2
2 2
T T
m m
 
 
 
 
2
4
0
2/2
2 2
e d
T T
m m

 
 


 
 
 

2
2
0
e d

 



1 1
2 2
mu  m
2kT
m
2
2
4
0
2
0
e d
e d


 
 






Luego:   1
0
t
e t dt


 
  
Sea 2
t 
    2
t 
  2
dt d
 

entonces    
2 1
4
0
2
e d


   
 

  
   
2 4 1
0
2 e d

   
 

  

De aquí resulta que:
 
4 1 4

  

   
4 1 3

 


Luego  
4 1 3
  

3
1
4
  
7 / 4
 
Entonces:
3 3 3 3
1
4 4 4 4

   
    
   
   
 
2
4
0
3
7 / 4 3
4
2 2 8
e d


  

 
   

De (a) se obtuvo:
2 2
0 4
e d
 
 




De donde:
2
3
1 12 3
8
1
2 8 2
4
mu T T T

  

  
y es así que  
1/ 2 T
 por cada grado de libertad.

43. 1-43
1C.2 Frecuencia de colisiones con la pared
Se quiere encontrar la frecuencia Z con que las moléculas de un gas ideal golpean un área unitaria de una pared,
solamente en un lado. El gas esta en reposo y en equilibrio con una temperatura T y el número de densidad de
las moléculas es n. Todas las moléculas tienen masa m. Todas las moléculas en la región 0
x  con 0
x
u 
golpearán un área S en el plano yz en un tiempo corto t
 si están en el volumen x
Su t
 . El número de
colisiones contra la pared por área unitaria por tiempo unitario será
3/2 2 2 2
0
exp exp exp
2 2 2 2
x x y z
m mu mu mut
Z n u du du du
kT T T T
  
  
 
   
     
 
   
   
     
 

       
   
  
Cambiando a variables adimensionales, se tiene:
Sea:
2
2 2 2
2 2
2
mu T T
u u
T m m
 
  

    
Entonces:
2
x
T
du d
m



Luego:
2 2 2
3/2
0 0 0
2 2 2 2
2
m T T T kT
Z n e d e d e d
T m m m m
  
  
   

  
  
   
 
    
     
     
  
     
2 2 2
3/2
0 0 0
2 2 2
2
1ra.integral 2da.integral 3ra.integral
m T T T
Z n e d e d e d
T m m m
  
  
   

  
  
 
  
 
 
  
1ra. integral:  
2
1
0 0
. Pordefinición : t
e d e t dt
 
  
 
  
 
 
Como 2 2
2
t t dt d
   
      
   
2 1
2
0
2
e d


   
 

  
luego  
2 1

  


   
2 1 0 1 1 1
 
      
Entonces
2
0
1 2 e d

 


 
2
0
1
2
e d

 


 
2da. Integral:
2
0
e d




 .   1
0
t
e t dt



 
  
Análogamente: 2 2
2
t t dt d
   
      
   
2 1
2
0
2
e d


   
 

  
Luego:  
2 1
1

 


y    
1 2 1
2 1 1 0 2 1 1 1 1/ 2
2 2 2
   
               
De la fórmula de recurrencia (46.2) , [de FTMA-Spiegel, pág. 193]:
   
1
  
   
1 1 1
1 0,88623
2 2 2
   
    
   
   
   
0
, ,
x x y z x y z
Su t f u u u du du du
Z
S t
  
 



  

44. 1-44
1 1
1 0,88623
2 2 2


 
    
 
 
; ver página 261, en la misma fuente.
Luego:  
1/ 2 
 
Por tanto:
3/2
2 1 2 2
2 2
m T T T
Z n
T m m m
  
 

  
   
    
     
     
3/2 2/2 4/2 2/2
4/2 3/2 3/2 3/2
2 ( )
2 ( )
m T
Z n
m T
 
 

3/2
2
2
m
Z n
T

 
  
  2
T
 2
2
T T
n
m m
m
 


  

  
 
 