República bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación
Universidad politécnica territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto Edo-Lara
Expresiones Algebraicas
Alumno: Cristian Palma
Deo2013
PNF Deporte

Expresiones Algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por
los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y
potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar
áreas y volúmenes:
Longitud de la circunferencia: L=2pi r, donde r es el radio de la
circunferencia.
Área del cuadrado: S=l^{2}, donde l es el lado del cuadrado.
Volumen del cubo: V=a^{3}, donde a es la arista del cubo.
Suma Algebraicas
Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y
restas de los diferentes términos que conforman el polinomio. Para sumar
dos polinomios, podemos seguir los siguientes pasos:
Sumaremos 3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2 con c + 6b2 –3a + 5b
Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados, respetando
el signo de cada término:
4a +3a2 + 6b – 8b2
–3a + 5b + 6b2 + c
Agrupamos las sumas de los términos comunes: [4a –3a] + 3a2 + [6b + 5b] +
[– 8b2 + 6b2] + c
Efectuamos las sumas de los términos comunes que pusimos entre
paréntesis o corchetes. Recordemos que al ser suma, cata término del

polinomio conserva su signo en el resultado: [4a –3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [–
8b2 + 6b2] + c = a + 3a2 + 11b – 2b2 + c
Otra forma de ilustrar esto, es haciendo la suma en forma vertical, alineando
los términos comunes y realizando las operaciones:
Suma de monomios y polinomios: Como podemos deducir de lo ya explicado,
para sumar un monomio con un polinomio, seguiremos las reglas revisadas.
Si existen términos comunes, el monomio se sumará al término; si no hay
términos comunes, el monomio se agrega al polinomio como un término
más:
Si tenemos (2x + 3x2 – 4y) + (–4x2) Alineamos los términos comunes y
realizamos la suma:
Si tenemos (m – 2n2 + 3p) + (4n), realizamos la suma, alineando los términos:
m – 2n2 + 3p
4n
m +4n –2n2 +3p
Es recomendable ordenar los términos de un polinomio, para facilitar su
identificación y los cálculos de cada operación.
Restas Algebraicas
La resta algebraica es una de estas operaciones. Consiste en establecer la
diferencia existente entre dos elementos: gracias a la resta, se puede saber
cuánto le falta a un elemento para resultar igual al otro. Se dice que la resta
algebraica es el proceso inverso de la suma algebraica. Lo que permite la
resta es encontrar la cantidad desconocida que, cuando se suma al
sustraendo (el elemento que indica cuánto hay que restar), da como
resultado el minuendo (el elemento que disminuye en la operación).
Además de todos los datos ofrecidos hasta el momento sobre la citada resta
algebraica que nos ocupa, se hace necesario conocer otros igualmente

interesantes como son los siguientes pues permitirán entenderla mucho
mejor
Veamos cómo funciona la resta algebraica a través de un ejemplo.
La operación 8 – 2 es una resta algebraica. En este caso, 8 es el minuendo (el
número que será reducido a través de la resta) y 2 es el sustraendo (el
número que indica cuánto se debe reducir el minuendo).
El resultado de esta resta algebraica es 6. Pensando el ejemplo con unidades
concretas: si tengo 8 manzanas y me como 2, me quedarán 6 manzanas (8 – 2
= 6).
Decíamos también que la resta algebraica es una operación inversa a la
suma, ya que permite descubrir qué cantidad se necesita sumar al
sustraendo para llegar al minuendo. Con esta incógnita, podemos plantear la
operación de la siguiente forma:
2 + x = 8
x = 8 – 2
x = 6
Valor Numérico
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al
sustituir las letras de la expresión por números determinados y realizar las
operaciones correspondiente que se indican en tal expresión. para realizar las
operaciones debes seguir un orden de jerarquía de las operaciones.
1. se resuelven las operaciones entre paréntesis.
2. potencias y radicales
3. multiplicaciones y divisiones
4. sumas y restas.
Ejemplo 1:
Calcular el valor numérico para:

cuando x=2.
Sustituimos en la expresión:
El valor numérico de la expresión es 17.
Ejemplo 2:
Calcular el valor numérico para:
cuando x=10.
Sustituimos en la expresión:
El valor numérico de la expresión es 2.
Multiplicación Algebraica
La multiplicación de dos expresiones algebraicas es otra expresión algebraica,
en otras palabras, es una operación matemática que consiste en obtener un
resultado llamado producto a partir de dos factores algebraicos
llamada multiplicando y multiplicador.
Leyes de exponentes para la multiplicación
Por tratarse de un curso elemental de álgebra, necesitaremos las
propiedades de teoría de exponentes ya anteriormente estudiadas. Por
tratarse de multiplicación entre polinomios, usaremos las 3 principales leyes
de la potenciacion para la multiplicación y son:
Multiplicación de potencias de bases iguales
an⋅am=an+m��⋅��=��+�
Potencia de un producto
(ab)n=an⋅bn(��)�=��⋅��

Potencia de potencia
(an)m=anm(��)�=���
Ley de signos
Otro punto a tener en cuenta es la ley de signos que usaremos usualmente
en la multiplicación algebraica, sobre todo en los ejercicios. La ley de signos
nos dice que:
 La multiplicación de signos iguales es siempre positiva.
 La multiplicación de signos diferentes es siempre negativa.
Veamos esta nomenclatura en el siguiente recuadro:
Multiplicación de signos iguales Multiplicación de signos diferentes
(+)(+)=+(+)(+)=+ (+)(−)=–(+)(−)=–
(−)(−)=+(−)(−)=+ (−)(+)=–
División algebraicas
La división algebraica es una operación entre dos expresiones algebraicas
llamadas dividendo y divisor para obtener otra expresión llamado cociente
por medio de un algoritmo.
Como estamos trabajando con polinomios, debemos tener en cuenta un
punto importante: el mayor exponente de algún término del dividendo debe
ser mayor o igual al mayor exponente de algún término del divisor.
El esquema clásico (división larga de polinomios) contempla las siguiente
partes:

DdRqDdRq
Esquema de la división clásica.
Donde:
 DD es el dividendo.
 dd es el divisor.
 qq es el cociente.
 RR es el residuo.
Tal que cumpla la siguiente relación:
D=dq+RD=dq+R
Esta expresión se le conoce como identidad de la división y literalmente nos
dice que:
El dividendo es igual al divisor por el cociente, mas el residuo. De aquí se
puede extraer dos tipos de división.
Clases de división
 División exacta.
Esta división se define cuando el residuo RR es cero, entonces:
D=dq+0→Dd=qD=dq+0→Dd=q
 División inexacta.
Esta división se define cuando el residuo RR es diferente de cero. De la
identidad, dividiendo entre el divisor dd, tenemos:
Dd=dq+Rd→Dd=q+RdDd=dq+Rd→Dd=q+Rd
Significa que la división es inexacta ya que existe un termino adicional RdRd.
Ley de los signos para la división
Téngase en cuenta las siguientes leyes de los signos para la división entre
expresiones algebraicas que son a menudo muy usados tanto en ejemplos
como ejercicios. Sea la siguiente tabla:

División de signos iguales resulta ser positivo División de signos diferentes resulta ser negativo
(+)(+)=+(−)(−)=+(+)(+)=+(−)(−)=+ (−)(+)=–(+)(−)=–(−)(+)=–(+)(−)=–
Productos Notables de Expresiones algebraicas
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se
encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple
vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales)
precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.
Producto notable Expresión algebraica
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
a2
- b2
= (a + b) (a - b)
a3
- b3
= (a - b) (a2
+ b2
+ ab)
a3
+ b3
= (a + b) (a2
+ b2
- ab)
Factorización por Productos Notables
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN. • Productos Notables: Son
polinomios que se obtienen de la multiplicación entre dos o más polinomios
que poseen características especiales o expresiones particulares, cumplen
ciertas reglas fijas; es decir, el su resultado puede se escrito por simple
inspección sin necesidad de efectuar la multiplicación. 1. Cuadrado de una
suma de dos términos o cantidades. ( ) 2 2 2 a + b = a + 2ab + b 2. Cuadrado
de una diferencia de dos términos o cantidades ( ) 2 2 2 a − b = a − 2ab + b 3.
Producto de una suma de dos términos por su diferencia. ( )( ) 2 2 a + b a − b
= a − b 4. Producto de dos binomios que tienen un término en común. ( a +

m)( a − m) = a + ( m + n)a + mn 2 5. Producto de dos binomios de la forma: (
ax + c)(bx − d ) ( ax + c)(bx − d ) = abx + ( ad + bc) x + cd 2 6. Cubo de un
binomio. ( ) 3 3 2 2 3 a + b = a + 3a b + 3ab + b ( ) 3 3 2 2 3 a − b = a − 3a b +
3ab − b • Factorización: es el proceso de encontrar dos o más expresiones
cuyo producto sea igual a una expresión dada; es decir, consiste en
transformar a dicho polinomio como el producto de dos o más factores. •
Factorización por factor común: se escribe el factor común (F.C.) como un
coeficiente de un paréntesis y dentro del mismo se colocan los coeficientes
que son el resultado de dividir cada término del polinomio por el F.C. CASO I:
Factor común monomio: 1. Descomponer en factores a 2 + 2a a 2 y 2a
contienen el factor común a . Escribimos el factor común a como coeficiente
de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes obtenidos de dividir
a 2 ÷ a = a y 2a ÷ a = 2 y tendremos: a 2 + 2a = a(a + 2) 2. Descomponer 10b -
30ab. Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10.
Tomamos el 10 porque siempre se saca el mayor factor común. De las letras,
el único factor común es b, porque está en los dos términos de la expresión
da-da, y la tomamos con su menor exponente b. El factor común es 10b. Lo
escribimos como coeficiente de un paréntesis dentro del cual ponemos los
cocientes de dividir 10b ÷ 10b = 1 y - 30ab 2 ÷ 10b = - 3ab, y tendremos: 10b -
3ab 2 = 10b(1 - 3ab) 3. Descomponer 10a 2 - 5a + 15a 3 El factor común es
5a. Tendremos: 10a 2 - 5a + 15a 3 = 5a(2a - 1 + 3a 2 ) 4. Descomponer: 18mxy
2 - 54m 2 x 2 y 2 + 36 my 2 El factor común es 18 my 2 . Tendremos: 18mxy 2
- 54m 2 x 2 y 2 + 36my 2 = 18my 2 (x - 3mx 2 + 2) 5. Factorar 6x y 3 - 9nx 2 y 3
+ 12nx 3 y 3 - 3n 2 x 4 y 3 El factor común es 3x y 3 . Tendremos: 6x y 3 - 9nx
2 y 3 + 12nx 3 y 3 + 3n 2 x 4 y 3 = 3x y 3 (2 - 3nx + 4nx 2 - n 2 x 3 ) Prueba
general de los factores Para hacer la prueba en cualquiera de los diez casos
que estudiaremos en este capítulo, basta multiplicar los factores obtenidos y
su producto debe ser igual a la expresión factorada. CASO II: Factor común
polinomio: 1. Descomponer x (a + b) + m (a + b) Estos dos términos tienen
como factor común el binomio (a + b), por lo que ponemos (a + b) como
coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes de
dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a + b), o
sea: ( ) ( ) ( ) ( ) m a b x a b x a b = + + = + + m a b y y tendremos: x (a + b) + m

(a + b) = (a + b)(x + m ) 2. Descomponer 2x (a - 1) - y (a - 1) El factor común es
(a- 1), por lo que al dividir los dos términos de la expresión dada entre el
factor común (a - 1), con lo que tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) y a x a x a = − − = − − 1 -y
a -1 2 y 1 2 1 Luego tendremos: 2x (a - 1) - y (a- 1) = (a - 1)(2x - y ) CASO III:
Factor común por agrupación de términos: Ejemplos 1) Descomponer ax + bx
+ ay + by Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos
últimos el factor común y . Agrupamos los dos primeros en un paréntesis y
los dos últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene
el signo (+) : ax + bx + ay + by = (ax + bx ) + (ay + by ) = x (a + b) + y (a + b) = (a
+ b)(x + y ) Hay varias formas de hacer la agrupación, con la condición de que
los dos términos agrupados tengan algún factor común, y siempre que las
cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor
común en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible, la
expresión dada no se puede descomponer por este método. En el ejemplo
anterior podemos agrupar el 1o. y 3er. términos con el factor común a y el
2o. y 4o. con el factor común b, y tendremos: ax + bx + ay + by = (ax + ay ) +
(bx + by ) = a(x + y ) + b(x + y ) = (x + y )(a + b) Este resultado es idéntico al
anterior, ya que el orden de los factores es indiferente. 2) Factorar 3m 2 -
6mn + 4m - 8n . Los dos primeros términos tienen el factor común 3m y los
dos últimos el factor común 4. Agrupando, tenemos: 3m 2 - 6mn + 4m - 8n =
(3m 2 - 6mn) + (4m - 8n) = 3m (m - 2n) + 4(m - 2n) = (m - 2n)(3m + 4) 3)
Descomponer 2x 2 - 3x y - 4x + 6y . Los dos primeros términos tienen el factor
común x y los dos últimos el factor común 2, entonces los agrupamos pero
introduciendo los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo
- (porque el signo del 3er. término es - ) para lo cual hay que cambiarles el
signo, y tendremos: 2x 2 - 3x y - 4x + 6y = (2x 2 - 3x y ) - (4x - 6y ) = x (2x - 3y )
- 2(2x - 3y ) = (2x - 3y )(x - 2) Otra alternativa es agrupar el 1o. y 3o. términos
con factor común 2x , y el 2o. y 4o. con factor común 3y , con lo que
tendremos: 2x 2 - 3x y - 4x + 6y = (2x 2 - 4x y ) - (3x y - 6y ) = 2x (x - 2) - 3y (x -
2) = (x - 2)(2x - 3y )