Trabajo de matemática básica

1. República bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación superior
Universidad politécnica territorial del estado Lara Andrés Eloy Blanco
Programa Nacional de formación Distribución y Logística
Producción escrita
Profesora: María Ramírez
Integrantes: Shantal Rodríguez
Víctor Fernández
Neptaly Barrios
Barquisimeto, noviembre de 2023

2. Valor numérico de una expresión algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que
se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas.
L(r) = 2Explicaciones y ejemplos de expresiones algebraicas - 2r
r = 5 cm. L (5) = 2 · Explicaciones y ejemplos de expresiones algebraicas - 3 · 5 =
10Explicaciones y ejemplos de expresiones algebraicas - 4 cm
S(l) = l2
l = 5 cm A (5) = 52 = 25 cm2
V(a) = a3
a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm3
Suma de polinomios
para hacer la suma de dos o más polinomios se deben sumar los términos de los polinomios
que son semejantes. Es decir, la suma de polinomios consiste en sumar los términos que
tienen la misma parte literal (mismas variables y mismos exponentes).
Resta de polinomios
La resta entre polinomios consiste en hallar la diferencia que existe entre ambos polinomios,
tal como sucede en la sustracción aritmética. En la operación algebraica de resta de
polinomios, cada término del sustraendo cambia de signo, luego se agrupan los términos
semejantes para realizar la operación matemática entre ellos, según la regla de los signos.
Si los dos términos tienen el mismo signo se suman sus coeficientes y se coloca el mismo
signo, en caso de ser diferentes, se restan los coeficientes y se coloca el signo del mayor.
Si los términos no son semejantes se deja la resta expresada, ya que no se pueden restar
coeficientes con términos de diferente variable y grado.

3. Ejemplos:

4. Multiplicación y División de Expresiones algebraicas
¿Qué son?
Para multiplicar y dividir expresiones algebraicas se utilizan las leyes de los signos para todos
las multiplicaciones y divisiones, las leyes de los exponentes para las multiplicaciones y
divisiones con la misma base, y las propiedades de los exponentes para las operaciones con
bases distintas.
Es importante resaltar la ley de los signos;
 Signos iguales el resultado es positivo
 -Signos diferentes el resultado es negativo
Leyes de la multiplicación: Otras leyes que usaremos comúnmente son la ley conmutativa,
asociativa y distributiva, veamos cada una de ellas.
 Ley conmutativa: Esta ley nos dice que el orden de los factores no altera el producto.
 Ley asociativa: La ley asociativa nos dice no importa de qué manera se agrupen los
factores, esta no altera el producto,
 Ley distributiva: Como vamos a tratar con multiplicación con polinomios, esta ley
será muy importante para nuestras operaciones, y nos dice que la multiplicación de
un factor por una suma de dos o mas términos es igual a la suma de cada termino
multiplicado por el factor dado
Los tipos de multiplicaciones son;
Monomio por monomio: Se multiplica cada elemento del monomio por su par del otro
monomio, es decir; Coeficiente x coeficiente, misma base por misma base.

5. Monomio por polinomio: Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del
polinomio.
Polinomio por polinomio Se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio por
cada uno de los términos del segundo polinomio.
Ejemplo:

6. Y por divisiones entendemos que es una operación entre dos expresiones algebraicas
llamadas dividendo y divisor para obtener otra expresión llamado cociente por medio de un
algoritmo.
Clases de división
 División exacta.
Esta división se define cuando el residuo RR es cero, entonces:
D=dq+0→Dd=qD=dq+0→Dd=q
 División inexacta.
Esta división se define cuando el residuo RR es diferente de cero. De la identidad,
dividiendo entre el divisor dd, tenemos:
Dd=dq+Rd→Dd=q+Rd
Monomio entre monomio: En esta operación se vuelve aplicar la regla de los signos, en
cuanto a los demás elementos se aplican las siguientes reglas: se dividen los coeficientes, si
esto es posible, en cuanto a las literales si hay alguna que este tanto en el numerador como
en el denominador, si el exponente del numerador es el mayor se pone la literal en el
numerador y al exponente se le resta el exponente de la literal del denominador, en caso
contrario se pone la literal en el denominador y a su exponente se le resta el del numerador.
Polinomio entre polinomio: Se divide cada uno de los términos del polinomio entre el
monomio.
Ejemplo:

7. Productos Notables de Expresiones algebraicas
¿Qué es?
Los productos notables son simplemente multiplicaciones especiales entre expresiones
algebraicas las cuales sobresalen de las demás multiplicaciones por su frecuente aparición en
matemáticas. De ahí el nombre producto, que hace referencia a "multiplicación" y notable,
que hace referencia a su "destacada" aparición. Así bien, una vez aprendido dichos productos
notables, no habrá necesidad de comprobar dicha multiplicación mecánicamente, es decir,
solo debemos seguir las reglas aprendidas con anterioridad que caracterizan a cada producto
notable.
Tenemos como productos notables a:
Binomio al cuadrado: Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el
doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
Si los dos signos del binomio son iguales, el doble del primero por el segundo es positivo.
Si los signos del binomio son distintos, el doble del primero por el segundo es negativo.
Suma por diferencia: Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma:
Recordemos que dos números negativos cuando se multiplican, el signo resultante es
positivo:

8. Recordemos que dos números negativos cuando se multiplican, el signo resultante es
positivo:
Regla del binomio de la resta de dos cantidades
El cuadrado de la resta de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad,
menos dos veces el primer término por el segundo término, más el cuadrado de la segunda
cantidad.
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (binomios conjugados):
En caso de una multiplicación:
]
Regla del producto de la suma por la resta de dos cantidades
La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo
(en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.
Binomio al cubo: Un binomio al cubo es igual al cubo del primero más el triple del cuadrado
del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el
cubo del segundo.
Trinomio al cuadrado: Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el
cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble producto del primero por el
segundo, más el doble producto del primero por el tercero, más el doble producto del segundo
por el tercero.

9. Suma de cubos: Ahora en vez de desarrollar a las expresiones, lo que haremos será
factorizarlas, es decir, las escribiremos como el producto de otras dos expresiones.
La forma en que se factoriza la suma de cubos es la siguiente:
Diferencia de cubos: es igual a la diferencia de sus raíces cúbicas por el polinomio formado
por el cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces mas el cuadrado de la
segunda raíz.
La fórmula para diferencia de cubos tiene la siguiente estructura:
Producto de dos binomios que tienen un término común: es igual al cuadrado del término
común, más la suma de los términos no comunes por el término común, más el producto de
los no comunes
Cuando se presenta el producto de dos binomios con término común, es más simple el
desarrollo y queda de la siguiente manera:
Ejemplos

10. Productos Notables y Factorización
. Productos Notables:
Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre dos o más polinomios que poseen
características especiales o expresiones particulares, cumplen ciertas reglas fijas; es decir, el
su resultado puede ser escrito por simple inspección sin necesidad de efectuar la
multiplicación.
1. Cuadrado de una suma de dos términos o cantidades.
( )
2 2 2
a + b = a + 2ab + b
2. Cuadrado de una diferencia de dos términos o cantidades
( )
2 2 2
a − b = a − 2ab + b
3. Producto de una suma de dos términos por su diferencia.
( )( )
2 2
a + b a − b = a − b
4. Producto de dos binomios que tienen un término en común.
(a + m) (a − m) = a + (m + n) a + mn
2
5. Producto de dos binomios de la forma: (ax + c) (bx − d)
(ax + c) (bx − d) = abx + (ad + bc) x + cd 2

11. 6. Cubo de un binomio.
( )
3 3 2 2 3
a + b = a + 3a b + 3ab + b
( )
3 3 2 2 3
a − b = a − 3a b + 3ab – b
• Factorización: es el proceso de encontrar dos o más expresiones cuyo producto sea igual
a una expresión dada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto
de dos o más factores.
• Factorización por factor común: se escribe el factor común (F.C.) como un coeficiente
de un paréntesis y dentro del mismo se colocan los coeficientes que son el resultado de dividir
cada término del polinomio por el F.C.
CASO II: Factor común polinomio:
Descomponer x (a + b) + m (a + b) Estos dos términos tienen como factor común el binomio
(a + b), por lo que ponemos (a + b) como coeficiente de un paréntesis dentro del cual
escribimos los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor
común (a + b), o sea: () () () () m a b x a b x a b = + + = + + m a b y y tendremos: x (a + b) +
m (a + b) = (a + b) (x + m) 2. Descomponer 2x (a - 1) - y (a - 1) El factor común es (a- 1),
por lo que al dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a - 1), con
lo que tenemos: () () () () y a x a x a = − − = − − 1 -y a -1 2 y 1 2 1 Luego tendremos: 2x (a -
1) - y (a- 1) = (a - 1) (2x - y)
Cada Producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la
factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios
conjugados Los productos notables son simplemente multiplicaciones especiales entre
expresiones algebraicas las cuales sobresalen de las demás.

12. Factorización de una expresión que es el cubo de un binomio:
Se sabe que por productos notables: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 (a - b) 3 = a 3 - 3a
2b + 3ab 2 - b 3 Esto nos dice que para que una expresión algebraica ordenada con respecto
a una letra sea el cubo de un binomio, tiene que cumplir las siguientes condiciones: 1. Tener
cuatro términos. 2. Que el primero y el último término sean cubos perfectos. 3. Que el
segundo término sea más o menos el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término
multiplicado por la raíz cúbica del último término. 4. Que el tercer término sea mayor al triple
de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último. Si todos los
términos son positivos, la expresión dada es el cubo de la suma de las raíces cúbicas de su
primero y últimos términos, y si son alternativamente positivos y negativos, la expresión dada
es el cubo de la diferencia de dichas raíces. La raíz cúbica de un monomio se obtiene
extrayendo la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3.
De este modo, la raíz cúbica de 8a 3b 6 es 2ab 2. En efecto: (2ab 2) 3 = 2ab 2 × 2ab 2 × 2ab
2 = 8a 3b 6 Ejemplos 1) Para saber si 8x 3 + 12x 2 + 6x + 1 es el cubo de un binomio,
verificamos si cumple las condiciones antes indicadas. La expresión tiene cuatro términos.
La raíz cúbica de 8x 3 es 2x La raíz cúbica de 1 es 1 3(2x) 2 (1) = 12x 2, segundo término
3(2x) (1)2 = 6x, tercer término Vemos que sí cumple las condiciones, y como todos sus
términos son positivos, la expresión dada es el cubo de (2x + 1), o de otro modo, (2x + 1) es
la raíz cúbica de la expresión. 2) Encontrar si 8x 6 + 54x 2 y 6 - 27y 9 - 36x 4 y 3 es el cubo
de un binomio. Al ordenar la expresión tenemos: 8x 6 - 36x 4 y 3 + 54x 2 y 6 - 27y 9 Esta
expresión tiene cuatro términos: La raíz cúbica de 8x 6 es 2x 2 La raíz cúbica de 27y 9 es 3y
3 3(2x 2) 2 (3y 3) = 36x 4 y 3 , 2o. término 3(2x 2 )(3y 3 ) 2 = 54x 2 y 6 , 3er. término En
este caso los términos son alternativamente positivos y negativos, por lo que la expresión
dada es el cubo de (2x 2 - 3y 3 ).
Ejemplos:

14. Bibliografía
Ciencias básicas (2022) Divisiones algebraicas
https://ciencias-basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/5-division-
algebraica/
Educapedia (2021) Multiplicaciones algebraicas
https://cursoparalaunam.com/multiplicacion-y-division-de-expresiones-algebraicas
Superprof (2022) Producto Notable
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/polinomios/productos-
notables.html
Slideshare (2021) Suma y resta de expresiones algebraicas
https://es.slideshare.net/oswardQuintero/suma-resta-y-valor-numrico-de-expresiones-
algebraicas
PDF (2022) Expresiones algebraicas
https://www.matematicasonline.es/pdf/Temas/3_ESO/Expresiones%20algebraicas.pdf
PDF (2022) Factorización por Producto notable
file:///C:/Users/Usuario/Downloads/productos-notables-
factorizacion_tchefionsecalfaro%20(1).pdf