Resolución de ejercicios

1. 5.° grado: Matemática
SEMANA 8
Calculamos la longitud de un túnel
usando razones trigonométricas
DÍA 3

2. Los recursos que utilizaremos serán:
Cuaderno de trabajo de matemática:
Resolvamos problemas 5_día 3, ficha 8, página 106.
Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma.
Días 3 y 4:
Resolvamos

3. Leemos y observamos la siguiente situación

4. Longitud del túnel
Una empresa construyó un túnel que atraviesa un cerro y conecta
dos distritos limeños, tal como se observa en el gráfico.
1050 m 127°
37°

5. A partir de la situación responde:
1. Teniendo como información las medidas realizadas por
los ingenieros, ayuda a determinar la longitud del túnel.

6. Comprendemos la situación
Lee y responde las siguientes preguntas:
1. Según la situación, ¿qué se construyó para
conectar los dos distritos limeños? Marca tu
respuesta.
a) Un puente
b) Un túnel
c) Una carretera
2. ¿Qué forma tiene el cerro donde se construyó el
túnel? Marca y explica tu respuesta.
a) Triángulo rectángulo
b) Triángulo isósceles
c) Triángulo escaleno
3. ¿Qué información de la situación es indispensable
utilizar para encontrar la longitud del túnel? Puedes
marcar una o más respuestas.
El ángulo de 37°.
El túnel atraviesa dos distritos limeños.
La longitud de un lado del triángulo, mide
1050 metros.
El túnel atraviesa el cerro.
El ángulo de 127°.
Los dos ángulos del triángulo suman 164°.
Explica aquí tu respuesta.

7. 1. Describe el procedimiento que seguirías para dar respuesta a la consigna
de la situación.
Diseñamos una estrategia o plan

8. Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Razón trigonométrica
Se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados de un
triángulo rectángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos.
α
a
b
c
En el triángulo de la figura:
α: un ángulo agudo
del triángulo (0°˂ α ˂ 90°)
c: hipotenusa
a: cateto opuesto al ángulo α
b: cateto adyacente al ángulo α
En este triángulo
se cumple:
c ˃ 0, a ˃ 0, b ˃ 0
c ˃ a, c ˃ b
a + b ˃ c
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
Teorema de Pitágoras
Recordemos

9. Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Recordemos
sen α =
cateto opuesto
hipotenusa
=
𝑎
𝑐
cos α =
cateto adyacente
hipotenusa
=
𝑏
𝑐
ctg α =
cateto adyacente
cateto opuesto
=
𝑏
𝑎
tg α =
cateto opuesto
cateto adyacente
=
𝑎
𝑏
sec α =
hipotenusa
cateto adyacente
=
𝑐
𝑏
csc α =
hipotenusa
cateto opuesto
=
𝑐
𝑎
α
a
b
c

10. Razones trigonométricas de ángulos agudos en triángulos rectángulos notables
Las razones trigonométricas de estos ángulos se obtienen de los siguientes triángulos rectángulos:

11. Resolución de triángulos rectángulos
Significa encontrar la medida de sus tres lados y sus tres ángulos interiores.
Nos encontramos con los siguientes casos:
a) Se conoce la longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo.
b) Se conoce la medida de un ángulo agudo y la longitud
del cateto opuesto a dicho ángulo.
c) Se conoce la medida de un ángulo agudo y la longitud
del cateto adyacente a dicho ángulo.

12. a) Se conoce la longitud de la hipotenusa y la medida de un ángulo agudo:
α
x
y
c
y = c ∙ cos α
x = c ∙ sen α
α
c
𝑦
𝑐
= cos α y = c ∙ cos α
• Cálculo de y:
• Dato 1: la medida de un lado:
hipotenusa (c).
• Dato 2: la medida de
un ángulo agudo: α.
• Incógnitas: la medida de
los lados: x, y.
• Cálculo de x:
𝑥
𝑐
= sen α x = c ∙ sen α

13. b) Se conoce la medida de un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ángulo:
α
a
y
x
y = a ∙ ctg α
a
α
x = a ∙ csc α
𝑦
𝑎
= ctg α y = a . ctg α
• Cálculo de y:
• Dato 1: la medida de un lado:
cateto opuesto (a).
• Dato 2: la medida del ángulo
agudo: α.
• Incógnitas: la medida de
los lados: x, y.
𝑥
𝑎
= csc α x = a ∙ csc α
• Cálculo de x:

14. c) Se conoce la medida de un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente a dicho ángulo:
α
y
b
x y = b ∙ tg α
x = b ∙ sec α
α
b
𝑦
𝑏
= tg α y = b ∙ tg α
• Cálculo de x:
• Cálculo de y:
• Dato 1: la medida de un lado:
cateto adyacente: (b).
• Dato 2: la medida de
un ángulo agudo: α.
• Incógnitas: la medida de
los lados: x, y.
𝑥
𝑏
= sec α x = b ∙ sec α

15. Nota: Para efectos prácticos, cuando
se requiera calcular la longitud de
un lado de un triángulo rectángulo,
en cualquiera de los tres casos
mencionados, se sugiere formar la
siguiente igualdad:
Ejemplo:
En el gráfico, la hipotenusa mide m
y uno de los ángulos agudos mide Ɵ. Calcula
el valor de x.
Ɵ
x
m
Resolución: Aplicando la regla
práctica.
𝑥
𝑚
= sen Ɵ x = m ∙ sen Ɵ
lado incógnita
lado dato
= R. T. (ángulo dato)

16. Ejecutamos la estrategia o plan
Teniendo como información las medidas tomadas por los ingenieros, ayuda a determinar la longitud del
túnel.
Resolución
• Represento la situación:
• Trazo la altura BH para formar los triángulos
rectángulos AHB y BHC.
127°
37°
x
A
B
C
cos 16°=
cateto adyacente
hipotenusa
=
24
25
tg 37°=
cateto opuesto
cateto adyacente
=
3
4
Razones trigonométricas
53°
37
°
x
A
B
CH
74°
16°
a bb
h
74°
Recuerda: Triángulos notables

17. • En el triángulo rectángulo AHB calculamos a y h.
A
B
H
74°
16°
a
h
a = 1008 m
Cálculo de a:
Sabemos que cos 16° =
24
25
.
Del triángulo tenemos:
cos 16° =
𝑎
1050 m
24
25
=
𝑎
1050 m
Cálculo de h:
Sabemos que sen 16° =
7
25
Del gráfico tenemos:
sen 16° =
ℎ
1050 m
7
25
=
ℎ
1050 m
h = 294 m

18. • En el triángulo rectángulo BHC calculamos b:
• Calculamos la longitud del túnel:
En el triángulo ABC, x = a + b.
Reemplazando:
x = 1400 m
53°
37°
B
C
H
bb
h = 294 m
Sabemos que tg 37° =
3
4
.
Del triángulo tenemos:
tg 37° =
294
𝑏
3
4
=
294
𝑏
b = 392 m
53°
37°
x
A
B
C
H
74°
16°
a b
h
x = 1008 m + 392 m
Respuesta: La longitud del túnel es
1400 metros.

19. Reflexionamos sobre lo desarrollado
1. Describe el procedimiento seguido. 2. ¿Qué ventajas presenta hacer el dibujo?
3. ¿Qué condiciones habría que tener en cuenta para
determinar la longitud del túnel mediante un gráfico?

20. Para seguir aprendiendo en casa
Disponible en la sección Guía de actividades día 4.
Estimada y estimado estudiante, con la finalidad de afianzar tus aprendizajes matemáticos te
invitamos a revisar la actividad del día 4, donde encontrarás otras situaciones similares que
deberás resolver.
Días 3 y 4

21. Gracias