Herramientas disponibles en R para simulación y ejemplos

1. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Daniel Garavito
dagaravitoj@unal.edu.co
II semestre de 2018

2. Simulaci´on con R
Contenido
1 Objetivos
2 Simulaci´on con R
Generaci´on de N´umeros Pseudo Aleatorios con R
Ejemplos de Simulaci´on con R

3. Simulaci´on con R
Contenido
1 Objetivos
2 Simulaci´on con R
Generaci´on de N´umeros Pseudo Aleatorios con R
Ejemplos de Simulaci´on con R

4. Simulaci´on con R
Objetivos
Contenido
1 Objetivos
2 Simulaci´on con R
Generaci´on de N´umeros Pseudo Aleatorios con R
Ejemplos de Simulaci´on con R

5. Simulaci´on con R
Objetivos
1 Exponer las ventajas y desventajas de R
2 Definir y mostrar algunos comandos y operaciones b´asicas.
3 Realizar una practica donde se evidencien las bondades de
R

6. Simulaci´on con R
Objetivos
1 Exponer las ventajas y desventajas de R
2 Definir y mostrar algunos comandos y operaciones b´asicas.
3 Realizar una practica donde se evidencien las bondades de
R

7. Simulaci´on con R
Objetivos
1 Exponer las ventajas y desventajas de R
2 Definir y mostrar algunos comandos y operaciones b´asicas.
3 Realizar una practica donde se evidencien las bondades de
R

8. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Contenido
1 Objetivos
2 Simulaci´on con R
Generaci´on de N´umeros Pseudo Aleatorios con R
Ejemplos de Simulaci´on con R

9. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Gran parte de la estad´ıstica se basa en la evaluaci´on de los
momentos de las variables aleatorias y en la determinaci´on de
cuantiles de su distribuci´on:
Pruebas de hip´otesis: En pruebas de hip´otesis, el p − valor
es la probabilidad, calculada al asumir que H0 es cierta, de
que la estad´ıstica de prueba tome valores tan o m´as
extremos que los calculados con la muestra actual.[BM07]
Sesgo: El sesgo de un estimador se define como el valor
esperado del estimador menos el el verdadero valor que se
est´a estimando.
Intervalos de Confianza: Est´an basados en cuantiles de una
distribuci´on pivote.
ˆX − µ
s√
n

10. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Gran parte de la estad´ıstica se basa en la evaluaci´on de los
momentos de las variables aleatorias y en la determinaci´on de
cuantiles de su distribuci´on:
Pruebas de hip´otesis: En pruebas de hip´otesis, el p − valor
es la probabilidad, calculada al asumir que H0 es cierta, de
que la estad´ıstica de prueba tome valores tan o m´as
extremos que los calculados con la muestra actual.[BM07]
Sesgo: El sesgo de un estimador se define como el valor
esperado del estimador menos el el verdadero valor que se
est´a estimando.
Intervalos de Confianza: Est´an basados en cuantiles de una
distribuci´on pivote.
ˆX − µ
s√
n

11. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Gran parte de la estad´ıstica se basa en la evaluaci´on de los
momentos de las variables aleatorias y en la determinaci´on de
cuantiles de su distribuci´on:
Pruebas de hip´otesis: En pruebas de hip´otesis, el p − valor
es la probabilidad, calculada al asumir que H0 es cierta, de
que la estad´ıstica de prueba tome valores tan o m´as
extremos que los calculados con la muestra actual.[BM07]
Sesgo: El sesgo de un estimador se define como el valor
esperado del estimador menos el el verdadero valor que se
est´a estimando.
Intervalos de Confianza: Est´an basados en cuantiles de una
distribuci´on pivote.
ˆX − µ
s√
n

12. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Estad´ıstica y Simulaci´on
Gran parte de la estad´ıstica se basa en la evaluaci´on de los
momentos de las variables aleatorias y en la determinaci´on de
cuantiles de su distribuci´on:
En algunos casos, se evaluar´an estas cantidades anal´ıticamente,
o usando aproximaciones para muestras grandes. Sin embargo,
en los casos en que no se dispone de muestras grandes es
necesario utilizar m´etodos basados en simulaci´on para
aproximarlos.

13. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Generaci´on de N´umeros Pseudo Aleatorios con R
Contenido
1 Objetivos
2 Simulaci´on con R
Generaci´on de N´umeros Pseudo Aleatorios con R
Ejemplos de Simulaci´on con R

14. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Generaci´on de N´umeros Pseudo Aleatorios con R
Cuadro: Distribuciones disponibles en R
Distribuci´on Funci´on
normal rnorm(n, mean=0, sd=1)
exponencial rexp(n, rate=1)
gamma rgamma(n, shape, scale=1)
Poisson rpois(n, lambda)
Weibull rweibull(n, shape, scale=1)
Cauchy rcauchy(n, location=0, scale=1)
beta rbeta(n, shape1, shape2)
‘Student’ (t) rt(n, df)
Fisher–Snedecor (F) rf(n, df1, df2)
Pearson (χ2 ) rchisq(n, df)
binomial rbinom(n, size, prob)
geom´etrica rgeom(n, prob)

15. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Generaci´on de N´umeros Pseudo Aleatorios con R
Cuadro: Distribuciones disponibles en R
Distribuci´on Funci´on
hypergeom´etrica rhyper(nn, m, n, k)
log´ıstica rlogis(n, location=0, scale=1)
lognormal rlnorm(n, meanlog=0, sdlog=1)
binomial negativa rnbinom(n, size, prob)
Uniforme runif(n, min=0, max=1)
Estad´ıstico de Wilcoxon’s rwilcox(nn, m, n), rsignrank(nn, n)

16. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Generaci´on de N´umeros Pseudo Aleatorios con R
Todas estas funciones se pueden usar reemplazando la letra r
con las letras d,p o q para obtener, la densidad de probabilidad
(dfunc(x, ...)), la densidad de probabilidad acumulada
(pfunc(x, ...)), y el valor del cuartil (qfunc(p, ...), con
0 < p < 1) respectivamente. [Par02]

17. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Ejemplos de Simulaci´on con R
Contenido
1 Objetivos
2 Simulaci´on con R
Generaci´on de N´umeros Pseudo Aleatorios con R
Ejemplos de Simulaci´on con R

18. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Ejemplos de Simulaci´on con R
Perdida de Memoria de la distribuci´on exponencial
La distribuci´on exponencial se usa con frecuencia como modelo
para la descripci´on de la distribuci´on del tiempo transcurrido
entre las ocurrencias sucesivas de un determinado suceso
Tambi´en se usa para modelar la distribuci´on de la duraci´on de
componentes que ni se deterioran ni mejoran con la edad, esto
es, aquellos para los que la distribuci´on de la duraci´on restante
del componente es independiente de la edad actual.
M´as precisamente se tiene el resultado siguiente:[Bla04]
X =D
Exp(λ) si y solo si P(X > x + t|X > t) = P(X > x)

19. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Ejemplos de Simulaci´on con R
Perdida de Memoria de la distribuci´on exponencial
Esta propiedad es f´acilmente comprobable mediante simulaci´on.
Para ello vamos a compara las probabilidades P(X > x) con
P(X > x + t|X > t). Como vimos anteriormente pexp
proporciona la probabilidad de la funci´on hasta el evento q. Por
ejemplo para: P(X > 8|X > 5) = P(X > 3) para una
exponencial de con λ = 1/2.
pexp(3 ,0.5 , lower . t a i l=FALSE)
[ 1 ] 0.2231302
pexp(8 ,0.5 , lower . t a i l=FALSE)/pexp(5 ,0.5 , lower .
t a i l=FALSE)
[ 1 ] 0.2231302

20. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Ejemplos de Simulaci´on con R
La Aguja de Buffon
Se trata de lanzar una aguja sobre un papel en el que se han
trazado rectas paralelas distanciadas entre s´ı de manera
uniforme. Se puede demostrar que si la distancia entre las rectas
es igual a la longitud de la aguja, la probabilidad de que la
aguja cruce alguna de las l´ıneas es 2/π.
De esa manera π =
2n
m
: siendo n el n´umero total de intentos y
m el n´umero de veces que la aguja ha cruzado alguna l´ınea.
Si la aguja es m´as corta que la distancia entre las rectas la
probabilidad disminuye proporcionalmente al cociente entre la
longitud de la aguja y la distancia entre las rectas, tomando el
valor2l/(tπ) donde l es la longitud de la aguja y t la
interdistancia entre las rectas.
En este caso: π =
2nl
mt

21. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Ejemplos de Simulaci´on con R
La Aguja de Buffon
estPi<− function (n , l =1, t=2) {
m <− 0
for ( i in 1: n) {
x <− runif (1)
theta <− runif (1 , min=0, max=pi/2)
i f (x < l /2 ∗ sin ( theta ) ) {
m <− m +1
}
}
return (2∗ l ∗n/( t∗m) )
}
estPi (2000 , l =1,t=2)

22. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Ejemplos de Simulaci´on con R
La Aguja de Buffon
20000 40000 60000 80000 100000 120000
3.083.103.123.143.16
iteracion
estimacion

23. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Ejemplos de Simulaci´on con R
Cadena de Markov
Supongamos que t = {1, 2, 3} la matriz de transici´on es
P =


2/5 1/2 1/10
1/5 7/10 1/10
2/5 2/5 1/5


y la distribuci´on inicial es π
(0)
i = (1
3, 1
3, 1
3) A partir de esta
matriz de transici´on, podemos mediante un simple ejercicio de
simulaci´on generar muestras de la cadena antes descrita. Si
a + b + c = 1 y deseamos elegir un estado t = {1, 2, 3} con
probabilidad a para 1, b para 2 y c para tres, solamente
necesitamos generar un numero aleatorio p distribuido
uniformemente en [0, 1] y si p < a se toma 1, si a ≤ p < a + b se
toma 2 y si a + b ≤ p < a + b + c = 1 se toma 3.

24. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Ejemplos de Simulaci´on con R
Cadena de Markov
Los siguientes n´umeros aleatorios
u1 u2 u3 u4 u5 u6
0.429 0.991 0.146 0.951 0.921 0.644
han sido obtenidos de una distribuci´on uniforme, nuestra
simulaci´on seria de la siguiente manera:
1 Tomar X0 usando la distribuci´on inicial
P(X0 = i) = (1
3, 1
3, 1
3), ya que tenemos que a = b = c y
u1 = 0,429 seleccionamos a X0 = 2
2 Ya que estamos en el estado 2 debemos elegir un nuevo
estado saltando del estado 2. Ya que P2j = (1
5, 7
10, 1
10), por
lo que como u2 = 0,156 < a = 1
5 entonces seleccionamos
X1 = 1.
3 Estamos ahora en el estado 1. Ya que P1j = (2
5, 1
2, 1
10), por
lo que como u3 = 0,146 < a = 2
5 entonces seleccionamos
X2 = 1

25. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Ejemplos de Simulaci´on con R
Cadena de Markov
Los siguientes n´umeros aleatorios
u1 u2 u3 u4 u5 u6
0.429 0.991 0.146 0.951 0.921 0.644
han sido obtenidos de una distribuci´on uniforme, nuestra
simulaci´on seria de la siguiente manera:
1 Tomar X0 usando la distribuci´on inicial
P(X0 = i) = (1
3, 1
3, 1
3), ya que tenemos que a = b = c y
u1 = 0,429 seleccionamos a X0 = 2
2 Ya que estamos en el estado 2 debemos elegir un nuevo
estado saltando del estado 2. Ya que P2j = (1
5, 7
10, 1
10), por
lo que como u2 = 0,156 < a = 1
5 entonces seleccionamos
X1 = 1.
3 Estamos ahora en el estado 1. Ya que P1j = (2
5, 1
2, 1
10), por
lo que como u3 = 0,146 < a = 2
5 entonces seleccionamos
X2 = 1

26. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Ejemplos de Simulaci´on con R
Cadena de Markov
Los siguientes n´umeros aleatorios
u1 u2 u3 u4 u5 u6
0.429 0.991 0.146 0.951 0.921 0.644
han sido obtenidos de una distribuci´on uniforme, nuestra
simulaci´on seria de la siguiente manera:
1 Tomar X0 usando la distribuci´on inicial
P(X0 = i) = (1
3, 1
3, 1
3), ya que tenemos que a = b = c y
u1 = 0,429 seleccionamos a X0 = 2
2 Ya que estamos en el estado 2 debemos elegir un nuevo
estado saltando del estado 2. Ya que P2j = (1
5, 7
10, 1
10), por
lo que como u2 = 0,156 < a = 1
5 entonces seleccionamos
X1 = 1.
3 Estamos ahora en el estado 1. Ya que P1j = (2
5, 1
2, 1
10), por
lo que como u3 = 0,146 < a = 2
5 entonces seleccionamos
X2 = 1

27. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Ejemplos de Simulaci´on con R
Cadena de Markov
Y as´ı sucesivamente se obtiene una realizaci´on de la cadena:
X0 X1 X2 X3 X4 X5 . . .
2 1 1 2 3 2 . . .
0 20 40 60 80 100
1.01.52.02.53.0
Tiempo
Estado
Figura: Simulaci´on de una cadena de markov con tres estados

28. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Ejemplos de Simulaci´on con R
L´ınea de espera
Considere una tienda en la que los clientes realizan fila en la
caja para pagar sus productos. Suponga que la cola es del tipo
M/M/1 y que la llegada de los clientes es exponencial con
par´ametro λ
Tambi´en suponga que el tiempo necesario para atender a los
clientes sigue una una distribuci´on exponencial de par´ametro µ.

29. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Ejemplos de Simulaci´on con R
L´ınea de espera
lambda <− 1 # tasa de l l e g a d a
mu <− 1.19 # tasa de s e r v i c i o
t . end <− 100 # duracion de la simulacion
t . step <− 0.05 # paso de tiempo
rand . seed <− 99 # s e m i l l a s para e l generador
de numeros a l e a t o r i o s
set . seed ( rand . seed )

30. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Ejemplos de Simulaci´on con R
L´ınea de espera
queue <− rep (0 , t . end/t . step + 1)
for ( i in 2: length ( queue ) ) {
i f ( runif (1) < lambda∗t . step ) { # a r r i v a l
queue [ i ] <− queue [ i −1] + 1
} else i f ( runif (1) < mu∗t . step ) { # p o t e n t i a l
departure
queue [ i ] <− max(0 , queue [ i −1] − 1)
} else { # nothing happens
queue [ i ] <− queue [ i −1]
}
}

31. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Ejemplos de Simulaci´on con R
L´ınea de espera
051015
Tamañodelacola
Simulación de una cola. tiempos de llegada: 1 tiempo de servicio: 1.19

32. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Ejemplos de Simulaci´on con R
Bibliography
L. Blanco.
Probabilidad.
Universidad Nacional de Colombia, Bogot´a, 2004.
W. Braun and D. Murdoch.
A first course in Statistical Programmin with R.
Cambridge University Press, Cambridge, 2007.
E. Paradis.
R para principiantes.
Universidad de Hawaii, Hawaii, 2002.

33. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Ejemplos de Simulaci´on con R
Bibliography
L. Blanco.
Probabilidad.
Universidad Nacional de Colombia, Bogot´a, 2004.
W. Braun and D. Murdoch.
A first course in Statistical Programmin with R.
Cambridge University Press, Cambridge, 2007.
E. Paradis.
R para principiantes.
Universidad de Hawaii, Hawaii, 2002.

34. Simulaci´on con R
Simulaci´on con R
Ejemplos de Simulaci´on con R
Bibliography
L. Blanco.
Probabilidad.
Universidad Nacional de Colombia, Bogot´a, 2004.
W. Braun and D. Murdoch.
A first course in Statistical Programmin with R.
Cambridge University Press, Cambridge, 2007.
E. Paradis.
R para principiantes.
Universidad de Hawaii, Hawaii, 2002.