Maquinas Eléctricas II

1. MAQUINAS
ELÉCTRICAS 1I
 FUERZA MAGNETOMOTRIZ,
CAMPO MAGNÉTICO, FUERZA
ELECTROMOTRIZ Y TORQUE EN
LAS MÁQUINAS ELÉCTRICAS
 PROF.: ROLANDO MUÑOZ

2. CONTENIDO
PRINCIPIOS BÁSICOS DE LAS MÁQUINAS DE
CORRIENTE ALTERNA
VOLTAJE INDUCIDO EN UNA ESPIRA ROTATIVA
SENCILLA
PAR INDUCIDO EN UNA ESPIRA QUE PORTA
CORRIENTE
CAMPO MAGNÉTICO GIRATORIO
RELACIÓN ENTRE LA FRECUENCIA ELÉCTRICA Y LA
VELOCIDAD DE ROTACIÓN DEL CAMPO
MAGNÉTICO
INVERSIÓN DE LA DIRECCIÓN DE ROTACIÓN DEL
CAMPO MAGNÉTICO
FUERZA MAGNETOMOTRIZ Y DISTRIBUCIÓN DE
FLUJO EN MÁQUINAS DE CA
VOLTAJE INDUCIDO EN MÁQUINAS DE CA

3. PRINCIPIOS BÁSICOS DE LAS MÁQUINAS DE CORRIENTE ALTERNA
 La figura muestra una máquina simple que consta de un imán estacionario
grande que produce un campo magnético esencialmente constante y
uniforme y una espira de alambre dentro del campo. La parte giratoria de
la máquina se llama rotor y la parte estacionaria se denomina estator. Ahora
se determinarán los voltajes presentes en el rotor conforme gira dentro
del campo magnético.
ESPIRA SENCILLA EN UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME
 La máquina más sencilla posible que produce un voltaje de corriente alterna (CA) senoidal es una espira de alambre en un campo
magnético uniforme. Este caso no es representativo de las máquinas de CA reales debido a que el flujo en las máquinas de CA reales no
es constante ni en magnitud ni en dirección. Sin embargo, los factores que controlan el voltaje y el par en la espira son los mismos que
los factores que controlan el voltaje y el par en las máquinas de CA reales.

4. VOLTAJE INDUCIDO EN UNA ESPIRA ROTATIVA SENCILLA
 Si el rotor de la máquina descripta en la lámina anterior gira, se inducirá un voltaje en la espira de alambre. La espira de
alambre que se muestra es rectangular, sus lados ab y cd son perpendiculares al plano de la pantalla y sus lados bc y da
son paralelos al plano de la pantalla. El campo magnético es constante y uniforme y tiene una dirección de izquierda a
derecha.
 Para determinar el voltaje total 𝑒𝑡𝑜𝑡 en la espira se examinará cada segmento de la espira por separado y se sumarán
los voltajes resultantes. El voltaje en cada segmento está dado por la ecuación:
1. Segmento ab. En este segmento la velocidad del alambre es tangencial a la trayectoria de rotación, en tanto que el
campo magnético B apunta hacia la derecha, como se muestra en la figura b. La cantidad v × B apunta hacia la página,
que es la misma dirección del segmento ab. Por lo tanto, el voltaje inducido en este segmento del alambre es:
2. Segmento bc. En la primera mitad de este segmento la cantidad v × B apunta hacia la página y en la segunda mitad del
segmento, la cantidad v × B apunta hacia afuera de la página. Debido a que la longitud de I está en el plano de la página,
v × B es perpendicular a I en ambas porciones del segmento. Por lo tanto, el voltaje en el segmento bc será cero:

5. VOLTAJE INDUCIDO EN UNA ESPIRA ROTATIVA SENCILLA
3. Segmento cd. En este segmento, la velocidad del alambre es tangencial a la trayectoria de rotación, en
tanto que el campo magnético B apunta a la derecha, como se muestra en la figura c. La cantidad v × B
apunta hacia afuera de la página, que es la misma dirección que en el segmento cd. Por lo tanto, el voltaje
inducido en este segmento del alambre es:
4. Segmento da. Igual que en el segmento bc, v × B es perpendicular a I. Por lo tanto, el voltaje en este
segmento también será cero:
El voltaje total inducido en la espira eind es la suma de los voltajes en cada uno de sus lados:
Como y tenemos:

6. VOLTAJE INDUCIDO EN UNA ESPIRA ROTATIVA SENCILLA
 Si la espira rota con una velocidad angular constante ω, entonces el ángulo θ de la espira se incrementará linealmente con el tiempo. En
otras palabras,
 Además, la velocidad tangencial v de las orillas de la espira se puede expresar como:
donde r es el radio del eje de rotación desde la orilla de la espira y ω es la velocidad angular de la espira. Entonces,el voltaje inducido será:
 Nótese también en la figura de la lámina 4 que el área A de la espira es justamente 2rl. Por lo tanto:
 Finalmente, observe que el flujo máximo a través de la espira se presenta cuando ésta es perpendicular a las líneas de densidad del flujo
magnético. Este flujo es simplemente el producto del área de la superficie de la espira y de la densidad del flujo a través de la espira:
 Por lo tanto, el voltaje puede expresarse como:

7. VOLTAJE INDUCIDO EN UNA ESPIRA ROTATIVA SENCILLA
 Así, el voltaje generado en la espira es senoidal y su magnitud es igual al producto del flujo dentro de la máquina y la velocidad de rotación de la máquina.
Esto también es cierto en las máquinas de CA reales. En general, el voltaje en cualquier máquina real depende de tres factores:
1. El flujo en la máquina.
2. La velocidad de rotación.
3. Una constante que representa la construcción de la máquina (el número de espiras, etcétera).

8. PAR INDUCIDO EN UNA ESPIRA QUE PORTA CORRIENTE
 Ahora suponga que la espira rotor se encuentra en algún ángulo arbitrario u con respecto al campo magnético y que una corriente i
fluye en la espira, tal como se muestra en la figura de abajo.
 Si hay un flujo de corriente en la espira, entonces se inducirá un par en el alambre de la espira.
Utilizaremos la figura de la derecha para determinar la magnitud y dirección del par. La fuerza en cada segmento
de la espira está dada por la ecuación:

9. PAR INDUCIDO EN UNA ESPIRA QUE PORTA CORRIENTE
 El par en cada segmento está dado por
donde θ es el ángulo entre el vector r y el vector F. La dirección del par es en el sentido de las manecillas
del reloj si tiende a causar una rotación en ese mismo sentido y en el sentido contrario a las manecillas del
reloj si tiende a causar una rotación en ese sentido.
1. Segmento ab. En este segmento la dirección de la corriente es hacia la página, mientras que
el campo magnético B apunta hacia la derecha, como se muestra en la figura a. La cantidad
l×B apunta hacia abajo. Por lo tanto, la fuerza inducida sobre este segmento del alambre es:
Donde:

10. PAR INDUCIDO EN UNA ESPIRA QUE PORTA CORRIENTE
2. Segmento bc. En este segmento la dirección de la corriente sigue el plano de la página, mientras que el campo
magnético B apunta hacia la derecha, como se muestra en la figura b. La cantidad l×B apunta hacia la página. Por
lo tanto, la fuerza inducida sobre este segmento del alambre es:
En este segmento el par resultante es 0 debido a que los vectores r y l son paralelos (ambos apuntan hacia la
página) y el ángulo θ𝑏𝑐 es cero.
3. Segmento cd. En este segmento la dirección de la corriente es hacia afuera de la página, mientras que el campo
magnético B apunta hacia la derecha, como se muestra en la figura c. La cantidad l × B apunta hacia arriba. Por
lo tanto, la fuerza inducida sobre este segmento del alambre es:
El par resultante es

11. PAR INDUCIDO EN UNA ESPIRA QUE PORTA CORRIENTE
4. Segmento da. En este segmento la dirección de la corriente sigue el plano de la página, mientras que el campo
magnético B apunta hacia la derecha, como se muestra en la figura d. La cantidad l × B apunta hacia afuera de la
página. Por lo tanto, la fuerza inducida sobre este segmento del alambre es:
En este segmento el par resultante es 0, debido a que los vectores r y l son paralelos (ambos apuntan hacia fuera de
la página) y el ángulo θ𝑑𝑎 es 0.
El par inducido total en la espira es la suma de los pares en cada uno de los lados:
Como tenemos:

12. PAR INDUCIDO EN UNA ESPIRA QUE PORTA CORRIENTE
 Si la corriente en la espira es la que se muestra en la figura, la corriente generará una densidad de fl ujo magnético Besp con la dirección que se
muestra. La magnitud de Besp es:
donde G es un factor que depende de la geometría de la espira. el área de la espira A es justamente 2rl. Sustituyendo
se tiene como resultado
donde k=AG/µ es un factor que depende de la construcción de la máquina,Bs se utiliza para el campo magnético del estator con
objeto de distinguirlo del campo magnético generado por el rotor y θ es el ángulo entre Besp y BS. Por medio de las identidades
trigonométricas se puede ver que el ángulo entre Besp y Bs es el mismo ángulo θ de la ecuación del par inducido.
 Se pueden determinar tanto la magnitud como la dirección del par inducido si se expresa la ecuación anterior como un producto vectorial:

13. PAR INDUCIDO EN UNA ESPIRA QUE PORTA CORRIENTE
 Así, el par inducido en la espira es proporcional a la fuerza del campo magnético de la espira, la fuerza del campo magnético externo y el seno del ángulo
entre ellos. Esto también es cierto para las máquinas de CA reales. En general, el par en cualquier máquina real depende de cuatro factores:
1. La intensidad del campo magnético del rotor.
2. La intensidad del campo magnético externo.
3. El seno del ángulo entre ellos.
4. Una constante que representa la construcción de la máquina (geometría, etcétera).

14. CAMPO MAGNÉTICO GIRATORIO
 En la sección anterior se demostró que si hay dos campos magnéticos presentes en una máquina, entonces se crea un par que tenderá a
alinear los dos campos magnéticos. Si un campo magnético lo produce el estator de una máquina de CA y el otro lo produce el rotor de
la máquina, entonces se inducirá un par en el rotor que causará que éste gire y se alinee con el campo magnético del estator.
 Si hubiera una manera de hacer girar el campo magnético del estator, entonces el par inducido en el rotor provocaría que “persiguiera”
constantemente en círculos al campo magnético del estator.
 Esto, en breves palabras, es el principio básico de la operación de un motor de CA. ¿Cómo se puede lograr que el campo magnético del
estator gire? El principio fundamental de la operación de las máquinas de CA es que si un grupo de corrientes trifásicas, cada una de igual
magnitud y desfasadas entre ellas 120°, fluye en un devanado trifásico, producirán un campo magnético giratorio de magnitud constante. Un
devanado trifásico consta de de tres devanados individuales, separados 120° eléctricos alrededor de la superficie de la máquina.
 El caso más sencillo de un campo magnético giratorio es un estator vacío que contiene tres bobinas, cada una separada por 120. Debido
a que tal devanado sólo produce un polo magnético norte y uno sur, es un devanado de dos polos.

15. CAMPO MAGNÉTICO GIRATORIO
 Supóngase que las corrientes en las tres bobinas se obtienen de las ecuaciones:
 La corriente aa´ en la bobina fluye hacia el extremo a de la bobina y sale por el extremo aa´ de ella. Produce la intensidad de campo
magnético
donde 0° es el ángulo espacial del vector de intensidad de campo magnético. La dirección del vector de intensidad de campo magnético
Haa´(t) se encuentra por medio de la regla de la mano derecha: si los dedos de la mano derecha se doblan en la dirección del flujo de
corriente en la bobina, entonces el dedo pulgar apunta en la dirección del campo magnético resultante. La magnitud del vector de intensidad
de campo magnético Haa´(t) varía sinusoidalmente con el tiempo, pero la dirección Haa´(t) siempre es constante. De manera similar, los
vectores de intensidad de campo magnético Hbb´(t) y Hcc´(t) son:

16. CAMPO MAGNÉTICO GIRATORIO
 Las densidades de flujo resultantes de las intensidades de estos campos magnéticos se obtienen con la ecuación:
 La densidad de flujo magnético neto será:
 Cada uno de los tres campos magnéticos que lo componen se puede separar en sus componentes en x y y.
 De acuerdo con las identidades trigonométricas de adición de ángulo se tiene que

17. RELACIÓN ENTRE LA FRECUENCIA ELÉCTRICAY LAVELOCIDAD DE ROTACIÓN DEL
CAMPO MAGNÉTICO
 La figura muestra que el campo magnético giratorio en el estator se puede representar con un polo norte (por donde el flujo sale del
estator) y un polo sur (por donde el flujo entra). Estos polos magnéticos completan una rotación mecánica alrededor de la superficie del
estator por cada ciclo eléctrico de la corriente aplicada. Por lo tanto, la velocidad mecánica de rotación del campo magnético en
revoluciones por segundo es igual a la frecuencia eléctrica en hertz:
 En este caso 𝑓𝑚 y ω𝑚 representan la velocidad mecánica en revoluciones por segundo y radianes por segundo,
mientras que 𝑓𝑒 y ω𝑒 representan la velocidad eléctrica en hertz y radianes por segundo.
 Nótese que el orden de los devanados del estator bipolar de la figura (en sentido contrario a las manecillas del reloj) es:

18. RELACIÓN ENTRE LA FRECUENCIA ELÉCTRICAY LAVELOCIDAD DE ROTACIÓN DEL
CAMPO MAGNÉTICO
 ¿Qué pasaría en un estator si este modelo se repitiera dos veces dentro de él? La figura a) muestra un estator con esta característica.
Así, el modelo de devanados (en sentido contrario a las manecillas del reloj) es:
que es exactamente el modelo del estator anterior repetido dos veces.
Cuando un conjunto de corrientes trifásicas se aplica al estator, se
producen dos polos norte y dos polos sur en los devanados del estator,
tal como puede verse en la figura b). En este devanado, un polo recorre
sólo la mitad de la superficie del estator en un ciclo eléctrico. Ya que
un ciclo eléctrico consta de 360 grados eléctricos y debido a que el
movimiento mecánico es de 180 grados mecánicos, la relación entre el
ángulo eléctrico θ𝑒 y el ángulo mecánico θ𝑚 en el estator es:
Entonces, en el caso del devanado de cuatro polos, la frecuencia
eléctrica de la corriente es dos veces la frecuencia mecánica de
rotación:
En general, si el número de polos magnéticos en el estator de una
máquina de ca es P, entonces hay P/2 repeticiones de la secuencia de
devanados a-c´-b-a´-c-b´ alrededor de su superficie interior y las
cantidades mecánicas y eléctricas en el estator se relacionan por
medio de:

19. INVERSIÓN DE LA DIRECCIÓN DE ROTACIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO
 Hay otro aspecto interesante sobre el campo magnético resultante. Si se intercambia la corriente en dos de las tres
bobinas, se invertirá la dirección de rotación del campo magnético. Esto significa que es posible invertir la dirección
de rotación de un motor de CA simplemente conmutando las conexiones de dos de las tres bobinas. Para comprobar
la inversión de la dirección de rotación se intercambian las fases bb´ y cc´ de la figura y se calcula la densidad del
flujo resultante Bnet. La densidad del flujo magnético en el estator es
 Cada uno de los tres campos magnéticos se puede descomponer en sus componentes x y y:
 De acuerdo con las identidades trigonométricas de adición de ángulos, se tiene
 Esta vez el campo magnético tiene la misma magnitud pero gira en el sentido de las manecillas del reloj. Por
lo tanto, conmutando las corrientes en dos fases del estator, se invierte la dirección de rotación del campo
magnético en una máquina de CA.