Capitulovi corrienteresistenciayfuerzaelectromotriz-

Física General III Corriente, resistencia y fuerza electromotriz Toribio Córdova C.
266
CAPITULO VI
CORRIENTE, RESISTENCIA Y FUERZA
ELECTROMOTRIZ

267
6.1 INTRODUCCIÓN.
Al encender una lámpara, una radio, una computadora, etc. se establece una diferencia de potencial entre los
terminales de entrada de estos dispositivos, lo cual produce un flujo de carga eléctrica o corriente a través de los
circuitos eléctricos y electrónicos que componen estos equipos permitiendo de esta forma el funcionamiento
normal de de los mismos.
Fundamentalmente los circuitos eléctricos y electrónicos son un medio que permite el transporte de energía de
un lugar a otro. Al trasladarse los portadores de carga a través del circuito se transfiere energía potencial de la
fuente (batería o generador) hacia otros dispositivos en el que la energía o se almacena o se convierte en otra
forma de energía tal como ocurre en un bombillo de luz en donde la energía eléctrica se transforma en energía
luminosa, o en una plancha eléctrica en donde la energía se transforma en calor, o se transforma en sonido como
ocurre en la radio. Desde el punto de vista tecnológico los circuitos son partes importantes de una gran cantidad
de dispositivos ya que permiten transportar energía sin el movimiento de piezas móviles. Los circuitos eléctricos
se encuentran en el corazón de las linternas de mano, los reproductores de discos, los equipos de transmisión de
radio y televisión, en los sistemas de distribución domiciliaria e industrial de energía eléctrica.
En este capítulo nos dedicaremos a mostrar las propiedades, principios y leyes que gobiernan al flujo de carga o
corriente eléctrica, su relación con la densidad de corriente estableciendo la ley de Ohm y su aplicación,
evaluando su aplicación a los diferentes tipos de conductores para finalmente estudiar el efecto de la
temperatura sobre los conductores. As mismo estudiaremos la forma como las baterías transfieren energía y
corriente a un circuito. Para este análisis utilizaremos la noción de corriente eléctrica, diferencia de potencial,
resistencia y fuerza electromotriz.
6.2 CORRIENTE ELECTRICA.
6.2.1 Flujo de carga en conductores
Si ocurre un flujo de carga en un material conductor, las condiciones dentro de la sustancia ya no son
de las de equilibrio electrostático. Es decir, en condiciones electrodinámicas el campo eléctrico en el interior del
conductor es diferente de cero, dicho campo es el que permite mantener el flujo de carga. Es sabido que en los
átomos de los materiales conductores existen los electrones de valencia, electrones que por estar muy separados
del núcleo tienen la libertar de moverse a través de la red cristalina. Su movimiento se debe a la interacción de
los electrones libres con los demás electrones de los átomos y con los iones formados producto de la separación
de los electrones de valencia. Cuando se aplica una diferencia de potencial ΔV, a un conductor se produce un
campo eléctrico 𝐸�⃗, el cual produce una fuerza eléctrica sobre los electrones libres los mismos que comienzan a
moverse a través del conductor dando lugar a un flujo de electricidad o corriente eléctrica.
Es importante precisar que como el número de electrones libres es equilibrado por igual número de cargas
positivas en los iones metálicos del conductor, en general dicho conductor en conjunto es eléctricamente neutro
y no existe carga neta. Sin embargo, las cargas positivas en los iones metálicos están fijas en la estructura
cristalina, no pudiendo moverse como lo hacen los electrones. Entonces cuando se establece la diferencia de
potencial en el conductor, son los electrones libres los que constituyen el flujo de carga, mientras que los iones
positivos se mantienen fijos, no ejerciendo influencia, salvo la de mantener la neutralidad eléctrica global.
En general el flujo de carga a través de un material conductor no es constante en el tiempo; pero cuando lo es (en
dirección y sentido), decimos que se ha establecido una corriente contínua (CC) o también corriente directa
(CD), en caso contrario se habla de una corriente alterna (CA).
6.2.2 Corriente eléctrica
Las corrientes eléctricas en general se deben al cambio de posición con respecto al tiempo de cualquier
tipo de carga eléctrica (movimiento de portadores de carga). En la actualidad se distinguen las siguientes formas
de corriente eléctrica.
6.2.2.1 Corriente de conducción.
Llamase corriente de conducción al movimiento de los electrones de valencia en un material metálico
(electrones libres) véase la figura 6.1a, o al movimiento de electrones de conducción y de huecos de

268
conducción en un semiconductor (Figura 6.1b) o también al movimiento de los iones positivos o
negativos en una solución electrolítica (figura 6.1c9
(a) (b)
(c)
Figura 6.1. (a) Corriente de conducción producida por el movimiento de electrones libres, (b) Corriente de
conducción producida por el movimiento de electrones y de huecos en un semiconductor (c)
Corriente de conducción en soluciones electrolíticas
6.2.2.2 Corriente de convección
Se denomina corriente de convección al movimiento de un cuerpo eléctricamente cargado, un
ejemplo lo constituye el movimiento alrededor de su órbita del cuerpo llamado tierra el cual se
encuentra cargada negativamente, otro ejemplo sería el movimiento alrededor de su eje de un anillo o
un disco previamente cargados.
6.2.2.3 Corriente de polarización.
Se denomina corriente de polarización al movimiento de los dipolos eléctricos en un material
dieléctrico cuando sobre este se aplica un campo externo
6.2.2.4 Corriente de desplazamiento.
Este tipo de corriente es postulado en el estudio de campos electromagnéticos en el vacío.
6.2.2 Corriente eléctrica de conducción.
Debido a que la inmensa mayoría de aplicaciones tecnológicas implican el uso de corrientes de
conducción, en esta sección nos dedicaremos al estudio de la corriente eléctrica de conducción en materiales
conductores.
Bajo condiciones electrostáticas el campo eléctrico en el interior es cero, por tanto no existe corriente. No
obstante, esto no significa que todas las cargas dentro del conductor estén en reposo. En un metal cualquiera
como el cobre, la plata, el aluminio, algunos electrones como los de valencia tienen la libertad de moverse
dentro del material conductor. Estos electrones libres se mueven en forma aleatoria en todas las direcciones, en

269
forma análoga como las moléculas de un gas pero con una rapidez mucho mayor. No obstante, los electrones
libres no escapan del material conductor porque son atraídos hacia los iones positivos del conductor.
Consideremos ahora lo que ocurre si se establece un campo eléctrico 𝐸�⃗ constante dentro del conductor. Los
electrones libres se encuentran ahora sometidos a una fuerza eléctrica constante 𝐹⃗ = 𝑞 𝑒 𝐸�⃗. Si estos electrones
estuvieran moviéndose en el vacío, la fuerza le produciría una aceleración uniforme en la dirección de dicha
fuerza de tal manera que después de cierto tiempo los electrones tendrían una gran rapidez. Sin embargo, el
movimiento de estos electrones dentro del conductor no el libre sino que ellos interactúan con los demás
electronos y los iones fijos. En cada una de estas colisiones aparece un cambio en la orientación del movimiento
de los electrones resultando un movimiento al azar. El efecto neto del campo aplicado es que además del
movimiento aleatorio de los electrones hay un movimiento muy lento a de deriva como grupo, en la dirección de
la fuerza tal como se muestra en la figura 6.2. Este desplazamiento se describe en términos de la velocidad de
deriva 𝑣⃗ 𝑑 de los portadores de carga. Por lo tanto, existe una corriente neta dentro del conductor.
Figura 6.2. Trayectoria típica de un electrón dentro de un conductor al cual se le aplica un campo eléctrico.
Aunque el movimiento aleatorio de los electrones tiene una rapidez promedio muy grande, aproximadamente
106
m/s, la rapidez promedio de deriva es pequeña (10-4
m/s). En vista de que los electrones se desplazan tan
lentamente, podríamos preguntarnos por qué la luz aparece tan rápido cuando accionamos un interruptor. La
razón es que el campo eléctrico se establece en el conductor con una rapidez próxima a la de la luz, y los
electrones dentro del conductor comienzan a trasladarse prácticamente al mismo tiempo.
En los diferentes materiales portadores de corriente, las cargas de las partículas móviles pueden ser positivas o
negativas. Así por ejemplo en los metales los portadores de carga son los electrones (negativos), mientras que en
un gas ionizado (plasma) y en las soluciones iónicas los portadores de carga pueden ser positivos o negativos.
En el caso de los semiconductores los portadores de carga son los electrones y el movimiento de vacantes
(huecos) que no es más sino lugares donde faltan electrones y que actúan como cargas positivas. En la figura
6.3 se muestra segmentos de materiales en los cuales se observa el movimiento de diferentes portadores de
carga. En la figura 6.3a, los portadores son positivos, en este caso la fuerza eléctrica tiene la misma dirección
que el campo y la velocidad de deriva es de izquierda a derecha En la figura 6.3b, los portadores móviles son
negativos, en este caso la fuerza tiene sentido opuesto al campo eléctrico y la velocidad de deriva es de derecha
a izquierda.
Figura 6.3. (a) Movimiento de portadores de carga positiva a través de un conductor, (b) movimiento de portadores de
carga negativa (electrones en un conductor.
Definimos la dirección de la corriente que en adelante se representa por I, como aquella en la que existe un flujo
de carga positiva. Es decir, consideramos a la corriente como un flujo de cargas positivas, incluso en aquellos
casos en que sabemos que los portadores son los electrones. Por tanto la corriente tendrá un sentido hacia la
derecha en ambos figuras 6.2a y 6.2b. Esta asunción se conoce como corriente convencional.

270
Para determinar el valor de la corriente asumamos que un conjunto de portadores de carga positiva se mueven de
izquierda a derecha tal como se muestra en las figuras 6.4a y 6.4b en la misma dirección que la corriente.
Definimos la corriente eléctrica I como la cantidad de carga móvil total que pasa por una sección transversal
fija normal al conductor, por unidad de tiempo. De acuerdo con esta definición, si en un intervalo de tiempoΔ t
por la sección transversal A atraviesa una cantidad de carga Δq, la corriente eléctrica será.
q
I
t
∆
=
∆
(6.1)
Para las corrientes que varían con el tiempo la intensidad de la corriente en el instante t se define como el límite
de ∆𝑞 ∆𝑡⁄ , cuando el intervalo de tiempo Δt tiende a cero, esto es
0
lim
t
q dq
I
t dt∆ →
∆
= =
∆
(6.2)
(a) (b)
Figura 6.4. Movimiento de portadores de carga positivos a través de la sección transversal de un conductor
Para el caso de corrientes continuas o directas, la ecuación (6,2) se escribe
q
dq Idt q I dt I
t
= ⇒ = ⇒ =∫ ∫ ∫ (6.3)
De estas ecuaciones podemos ver que la intensidad de corriente es una magnitud escalar que tiene como unidad
en el sistema internacional al Amperio definido com0 un Coulomb sobre un segundo, es decir
1 1
1 1
1 1
coulomb C
Amperio A
segundo s
= ⇒=
6.2.3 Densidad de corriente (𝒋⃗).
En cada parte de la sección transversal de un material conductor puede atravesar diferente número de
cargas elementales en un mismo tiempo, por ello es necesario definir la densidad de corriente 𝚥⃗, la misma que
expresa la intensidad o concentración del flujo de carga en un punto de un medio conductor. La densidad de
corriente es una magnitud vectorial que tiene la misma dirección que el flujo de carga en un punto dado. Su
magnitud se determina tomado el límite el flujo de carga o corriente, ΔI por unidad de áreaΔA, orientada
perpendicularmente a la dirección del flujo de carga como se muestra en la figura 6.5, esto es
0
lim
A
I dI
j
A dA∆ →
∆
= =
∆
(6.4)
Figura 6.5 Densidad de corriente para un flujo de carga no uniforme

271
Para el caso de un conductor dentro del cual el flujo de cargas libres es la misma en todos los puntos como se
muestra en la figura 6.6, la densidad de corriente 𝚥⃗, es la misma en todo el conductor. La relación entre la
densidad de corriente y la intensidad de corriente se obtiene integrando la ecuación (6.4) sobre el área
transversal sombreada y considerando a 𝚥⃗ constante. De tal manera que
dI jdA I jdA jA= ⇒ = =∫
I
j
A⊥
= (6.5)
Figura 6.6. Diagrama para mostrar la relación Corriente y densidad de corriente para flujos de carga
uniformes
Para determinar la densidad de corriente cuando esta varía de un punto a otro dentro de la sustancia conductora
como ocurre en un tubo de descarga gaseosa o un transistor de radio, consideremos un conductor de forma
irregular como se muestra en la figura 6.7, por el que circula una corriente total I de tal manera que la magnitud
y dirección del flujo de carga o corriente y por tanto la densidad de corriente 𝚥⃗ cambian continuamente de un
punto a otro.
Figura 6.7. Diagrama que permite evaluar la relación general entre la intensidad de corriente y l densidad de
corriente en general
Para determinar una relación entre la corriente I y la densidad de corriente 𝚥⃗ , tomemos un área cualquiera de
forma irregular A y dividámoslo en elementos de área dA, entonces el vector unitario normal 𝑛�⃗ perpendicular a
dA forma un ángulo θ con la densidad de corriente 𝚥⃗ en dicho punto. Entonces la corriente eléctrica a troves del
área correspondiente será
cosdI jdA j dAθ⊥= = (6.6)
Usando la definición de producto escalar la ecuación anterior se puede escribir.
.dI j ndA=
 
(6.7)
Integrando la ecuación (6.7), resulta
.
A
I j ndA= ∫∫
 
(6.8)
Esta es una relación entre la intensidad de corriente total y la densidad de corriente en el caso más general

272
6.2.4 Densidad de corriente en función de la velocidad de deriva de los portadores de carga.
Para determinar una relación entre la densidad de corriente 𝚥⃗ y la velocidad de deriva de los portadores
de carga 𝑣⃗ 𝑑, consideremos un tubo de corriente de área transversal dA y de longitud dx análogo al tubo de flujo
utilizado en mecánica de fluidos como se muestra en la figura 6.8a. Debido a que las líneas de corriente son
paralelas a la superficie lateral del tubo de corriente, no existirá flujo de corriente a través de la superficie lateral
del tubo.
(a) (b)
Figura 6.8. (a) Tubo de corriente utilizado para evaluar la relación entre la densidad de corriente y la densidad de
portadores móviles, (b) tubo de corriente en un conductor recto.
En un intervalo de tiempo dt, toda carga dentro de la sustancia se moverá una distancia dx = vddt, donde vd es la
velocidad de deriva o arrastre de los portadores de carga móviles. En este intervalo de tiempo por el área dA
fluirá una carga total expresada por
( )q vol qdq dV dxdAρ ρ= = (6.9)
Donde, ρq la densidad de carga volumétrica y dVvol el volumen del tubo de corriente. Remplazando el valor de
dx = vddt en la ecuación (6.9) se obtiene
( )q ddq v dA dtρ= (6.10)
O sea la carga por unidad de tiempo viene expresada por la ecuación
q d
dq
v dA
dt
ρ= (6.11)
Pero dq/dt es la intensidad de corriente total en el tubo diferencial, entonces tenemos
q ddI v dAρ= (6.12)
Por otro lado la corriente y la densidad de corriente se encuentran relacionadas por la ecuación 𝑑𝐼 = 𝑗𝑑𝐴,
entonces la ecuación (6.12), se escribe
q dj vρ= (6.13)
Debido a que la densidad de corriente y la velocidad de deriva tienen la misma dirección, la ecuación (6.13) se
puede escribir vectorialmente en la forma
q dj vρ=
 
(6.14)
La ecuación (6.14), expresa que la densidad de corriente 𝚥⃗ es igual al producto de la densidad de carga
volumétrica por la velocidad de deriva de los portadores de carga 𝑣⃗ 𝑑.
Si existe n partículas cargadas móviles por unidad de volumen. La densidad de carga por unidad de volumen se
expresa en la forma
0q nqρ = (6.15)

273
Donde n es el número de partículas por unidad de volumen y q0 es la carga de cada una de ellas. Por lo tanto la
densidad de corriente puede escribirse en la forma
0 dj nq v=
 
(6.16)
Si los portadores de carga son los electrones como en el caso de las metales, su carga es 𝑞0 = −𝑒, entonces la
densidad de corriente está dada por la ecuación
dj n e v= −
 
(6.17)
Para el caso de soluciones electrolíticas en donde los portadores de carga son los iones positivos y negativos o
en el caso de los semiconductores en donde los portadores de carga son los electrones y las vacancias (huecos),
la densidad de corriente se determina sumando la densidad de corriente para cada tipo de portador de carga, es
decir
,i i d ij n q v= ∑
 
(6.18)
6.3 LEY DE OHM MICROSCÓPICA: Conductividad eléctrica.
Debemos señalar primeramente que en los conductores los portadores de carga no se encuentran en completa
libertada para moverse, es decir su movimiento es aleatorio tal como se muestra en la figura 6.9a, esta
trayectoria que describe los portadores se debe a la interacción con los demás electrones y con los iones fijos de
la red cristalina véase figura 6.9b. Durante estas interacciones (colisiones) los electrones pierden gran cantidad
de energía cinética que la adquirió cuando se aplicó el campo eléctrico 𝐸�⃗, campo que le produce una fuerza
eléctrica 𝐹⃗ = −𝑒𝐸�⃗.
(a) (b)
Figura 6.9 (a) Trayectoria aleatoria del movimiento de un portador de carga dentro de un conductor, (b) la interacción
de electrones con los iones de la red da lugar a que los iones vibren alrededor de su posición de equilibrio y
los electrones se muevan en trayectorias aleatorias según la orientación del campo eléctrico
La conversión de energía eléctrica en energía cinética de los electrones y la posterior conversión en energía
térmica (calentamiento del conductor) podrían representarse como pérdidas debidas a fuerzas de fricción sobre
las cargas móviles. Estas fuerzas de fricción pueden asemejarse a las que aparecen en el movimiento de un
sólido en el interior de un fluido, siendo dichas fuerzas proporcionales a la velocidad de deriva de los electrones
𝑣⃗ 𝑑, entonces se tiene
'
r df bv=
 
(6.19)
Debido a que la fuerza eléctrica y la fuerza fraccional tienen signos opuestos, después de cierto tiempo esta se
equilibran dando lugar a un movimiento uniforme con una velocidad terminal o límite obtenida a partir de

274
'
0e r dF f eE bv+ = ⇒ −
  
d
e
v E
b
=

(6.20)
Donde bes una constante de proporcionalidad y depende del material del cual está hecho el conductor. Por otro
lado denominamos movilidad de los electrones (𝜇 𝑒) al cociente e/b, es decir 𝜇 𝑒 = 𝑒 𝑏⁄ , con lo cual escribimos la
ecuación (6.20) en la forma
d ev Eµ=

(6.21)
Puesto la densidad de corriente es proporcional a la velocidad de deriva de los electrones, al remplazar la
ecuación (6,21) en (6.16), resulta
ej ne Eµ=

(6.22)
La ecuación (6.22) indica que la densidad de corriente es proporcional al campo eléctrico siendo la constante de
proporcionalidad 𝑛𝑒𝜇 𝑒 y se le denomina conductividad eléctrica (σ) y a su recíproco que se le llama resistividad
eléctrica del material. Es decir
1
eneσ µ
ρ
= = (6.23)
Debe señalarse además que tanto la conductividad así como la resistividad son propiedades que dependen del
material conductor y no dependen del tamaño ni de la geometría del conductor.
Al remplazar la conductividad eléctrica en la ecuación (6,22), obtenemos
1
j E Eσ
ρ
= =
 
(6.24)
Es a la ecuación (6.24) que se le conoce como ley de Ohm microscópica. Según esta ecuación la resistividad
eléctrica puede expresarse como
E
j
ρ = (6.25)
De donde se obtiene que las unidades de la de la resistividad es (V.m/A). Esta ecuación además indica que
cuanto mayor es la resistividad más grande es el campo eléctrico necesario para generar una densidad de
corriente. Como veremos más adelante el cociente (V/A) se llama ohm (Ω), por tanto las unidades de la
resistividad en el SI es el (Ω.m). La tabla 6.1 muestra algunos valores de resistividades de materiales. De ella se
observa que los metales y sus aleaciones presentan resistividades más pequeñas, por ello es que estos materiales
son mejores conductores de la electricidad. Por otro lado los aisladores tienen su resistividad mucho mayor que
los conductores, siendo el factor del orden de 1022
. Debe señalarse además que el recíproco de la resistividad es
la conductividad cuyas unidades son (Ω.m)-1
según esta cantidad, los elementos cuya conductividad es alta son
buenos conductores de la electricidad.
Debe señalarse además que los semiconductores tienen resistividades intermedias entre los metales y los
aislantes. Estos materiales tienen una gran importancia en el diseño de dispositivos electrónicos en virtud de la
manera en que la temperatura y el añadido de impurezas modifican sus propiedades eléctricas.
Un material que cumple con la ley de Ohm se denomina óhmico. En estos materiales, y a una temperatura dada,
la resistividad permanece constante, es decir, no depende del campo eléctrico. Sin embargo existen otros
materiales como los semiconductores cuyo comportamiento es no lineal denominados no óhmicos, en estos
materiales, la densidad de corriente depende del campo eléctrico.

275
Tabla I. Resistividad, conductividad y coeficiente de temperatura de algunos materiales
MATERIAL RESISTIVIDAD
ρ (Ω.m)
CONDUCTIVIDAD
σ (Ω.m)-1
COEFICIENTE DE
TEMPERA.
α (°C)-1
Elementos
Plata 1,47.10-8
6,29.107
0,0038
Cobre 1,72.10-8
5,81.107
0,00393
Oro 2,44.10-8
4,09.107
0,004
Aluminio 2,75.10-8
3,55.107
0.0039
Tungsteno 3,25.10-8
1,80.107
0,0045
Hierro 10,00.10-8
1,00.107
0,0050
Plomo 22,00.10-8
6,29.107
0,0043
Mercurio 95,00.10-8
0,1.107
0,00088
Aleaciones
Manganina 44.10-8
0,23.107
1,00.10-5
Constantán 49.10-8
0,23.107
0,00001
Nicromo 100.10-8
0,1.107
0,0004
Carbono puro
(grafito)
3,5.10-5
2,9.104
-0,0005
Germanio puro 0,60 2,2 -0,048
Silicio puro 2300 1,6.10-3
-0,075
Aisladores
Vidrio 1010
– 1014
10-10
– 10-144
Azufre 1015
10-15
Cuarzo 75.1016
1,73.10-18
Mica 1011
- 1015
10-11 – 10-15
6.3.1 Resistividad y la temperatura.
La resistividad de un material conductor casi siempre aumenta con la temperatura como se muestra en
la figura 6.9a. Esto se debe a que cuando se eleva la temperatura de un conductor, los iones del conductor viran
con mayor amplitud aumentando de esta manera la probabilidad de que un electrón en movimiento colisione con
un ión. En consecuencia disminuye la velocidad de deriva del portador dentro del conductor, disminuyendo de
este modo la corriente. Si el rango de variación de temperaturas es hasta 100°C, la resistividad del material
puede escribirse en la forma.
0 0( ) [1 ( )]T T Tρ ρ α= + − (6.26)
Donde ρ0 es la resistividad a una temperatura de referencia T0 con frecuencia tomada a 0°C 0 a 20°C y ρ(T) es la
resistividad a cualquier temperatura T. El factor α se denomina coeficiente de temperatura de la resistividad su
valor para algunos materiales está dado en la Tabla I . De dicha tabla se observa que para el caso del grafito y los
semiconductores la resistividad disminuye al aumentar la temperatura por tanto el coeficiente de temperatura de
la resistividad de estos materiales es negativa. En el caso de los semiconductores esta propiedad nos permite
diseñar los termistores.
Figura 6.10 Variación de la resistividad con la temperatura: (a) Para un metal (la resistividad aumenta con el
incremento de temperatura, (b) En un semiconductor la resistividad disminuye al aumenta T

276
6.3.2 Superconductividad.
Ciertos materiales tales como óxidos metálicos y algunas otras aleaciones presentan un fenómeno
denominado superconductividad. Este fenómeno consiste en que al disminuir la temperatura de estos materiales,
al principio la resistividad disminuye uniformemente. Sin embargo cuando se alcanza cierta temperatura
denominada temperatura crítica TC aparece una transición de fase y la resistividad desciende abruptamente a
cero, como se muestra en la figura 6.11a. Es decir, si en estos materiales superconductores se establece una
corriente eléctrica ella se mantiene sin la necesidad de un campo eléctrico. Este fenómeno fue descubierto por
Heike Kamelingh Onnes en 1911 quien observo que cuando la temperatura del mercurio disminuyó a valores del
orden de lo 4,2K, su resistividad disminuía súbitamente a cero. Durante 70 años se ka alcanzado temperaturas
críticas del orden de los 20K. Este es un indicador que solo había superconductividad cuando estos materiales se
enfriaban en helio líquido (costoso) o hidrógeno líquido (explosivo). Posteriormente, Muller y Bednortz
descubrieron que el óxido de bario, lantano y cobre se convertían en superconductores a temperaturas de los
40K. Posteriormente en los años 1987 se obtuvo un óxido complejo de itrio, cobre y bario con
superconductividades a temperaturas de los 77K. En la actualidad se ha encontrado sustancias conductoras a
temperaturas de los 160K, existiendo la posibilidad de encontrar superconductores a temperatura ambiente.
Si esta hipótesis se lograra cumplir aparecería una enorme modernización con implicancias tecnológicas muy
grandes. Una de las aplicaciones importantes es la fabricación de imanes superconductores, en los que los
campos magnéticos son diez veces mayores a los campos magnéticos producidos por los mejores electroimanes.
En la actualidad los imanes superconductores son usados para obtener imágenes por resonancia magnética en el
campo de la medicina. En la figura 6.11b se muestra una de las aplicaciones de la superconductividad.
(a) (b)
Figura 6.11. (a) Variación de la resistencia con la temperatura para el mercurio, se observa que para temperaturas
inferiores a TC = 4,2K, la resistencia cae súbitamente a cero; (b) Imán permanente pequeño levitando
por encima de un disco superconductor deYBa2Cu3O7 a una temperatura de 77K
6.4 RESISTENCIA ELECTRICA
6.4.1 Ley de Ohm macroscópica.
Para obtener una forma más usual de la ley de Ohm para aplicaciones prácticas consideremos un
segmento recto de alambre de longitud L y sección transversal A, como se muestra en la figura 6.12, entre
cuyos extremos se ha aplicado una diferencia de potencial ∆𝑉 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎, la misma que produce un campo
eléctrico 𝐸�⃗ y una corriente I.
Figura 6.12. Conductor de longitud L y sección A uniforme al que se le aplica una diferencia de potencialΔV, la
misma que produce un campo 𝑬��⃗ y como tal una corriente I

277
Asumiendo que el campo 𝐸�⃗ en el interior es diferente de cero y a la vez uniforme, entonces la diferencia de
potencial entre los extremos b y a será
.
a
b
V E ds EL∆ =− =∫
 
(6.26)
Despejando el campo eléctrico se tiene
V
E
L
∆
= (6.27)
Remplazando la ecuación (6.27) en la ecuación (6.24), la densidad de corriente puede escribirse en la forma
( )
V
j
L
σ
∆
= (6.28)
Teniendo en cuenta que la densidad de corriente es la intensidad de corriente por unidad de área perpendicular,
esto es 𝑗 = 𝐼 𝐴⁄ , la ecuación (6.28) se transforma en
( )I V V
A L l
σ
ρ
∆ ∆
= =
L
V I
A
ρ∆ = (6.29)
Es a la cantidad 𝜌( 𝑙 𝐴⁄ ), que se le conoce como Resistencia (R), del material, entonces
L
R
A
ρ= (6.30)
Al remplazar la ecuación (6.30) en (6.29), se obtiene
V RI∆ = (6.31)
La expresión dada por la ecuación (6.31), se le conoce como ley de Ohm macroscópica, pero es importante
comprender que el verdadero contenido de la ley de Ohm es la proporcionalidad directa (en el caso de ciertos
materiales) entre la diferencia ∆𝑉 con respecto a la intensidad de corriente I o de la densidad de corriente j con
respecto al campo eléctrico E. La ecuación (6.31) define la resistencia R de cualquier conductor, ya sea que
obedezca la ley de Ohm o no, pero cuando R es constante el correcto llamar ley de Ohm a esta relación
Aun cuando la ecuación (6.31) muestra una relación entre la resistencia, la diferencia de potencial y la
intensidad de corriente, debe precisarse que la resistencia R de cualquier material conductor es totalmente
independiente de la diferencia de potencial aplicada y de la intensidad de corriente, siendo más bien dependiente
de la geometría del conductor y de la naturaleza del material, así por ejemplo si el conductor es recto de longitud
l y sección transversal constante la resistencia R es proporcional a la longitud l e inversamente proporcional al
área de la sección transversal A, siendo la constante de proporcionalidad la resistividadρ
En general, la resistencia R, de cualquier material de forma arbitraria se determina usando la relación
. .
. .
A A
E ds E dsV
R
I j ndA E ndAσ
∆
= = =
∫ ∫
∫∫ ∫∫
  
  
(6.32)
De acuerdo con la ecuación (6.32), la unidad de la resistencia R en el sistema internacional de unidades es el
ohmio, representada por la letra omega del alfabeto griego (Ω). Entonces
1
1
1
V
A
Ω = (6.33)

278
Para el caso de los resistores que obedecen la ley de Ohm, su gráfica intensidad de corriente en función de la
diferencia de potencial es una línea recta como se muestra en la figura 6.13a. En el caso de dispositivos que no
cumplen con la ley de Ohm, la relación intensidad de corriente y diferencia de potencial puede no ser una
proporción directa, y puede ser diferente con respecto a los sentidos de la corriente. La figura 6.13b, muestra la
curva característica para un diodo de vacio utilizado para convertir corriente alterna de alto voltaje en corriente
contínua, Con potenciales positivos en el ánodo con respecto al cátodo, la corriente I es aproximadamente
proporcional a (∆𝑉)3/2
; mientras que con potenciales negativos la corriente es extremadamente pequeña. El
comportamiento d los diodos semiconductores (figura 6.8c) es algo diferente.
(a) (b) (c)
Figura 6.13. Relación intensidad de corriente: (a) Resistencia óhmica, (b) Diodo de vacío y (c) Diodo semiconductor
6.4.2 Variación de la resistencia con la temperatura.
Se ha visto en la sección 2.7 que la resistividad de un conductor varía de manera lineal con la
temperatura de acuerdo con la ecuación
0 0( ) [1 ( )]T T Tρ ρ α= + −
Por otro lado debido a que la resistencia es proporcional a la resistividad, entonces, se puede escribir la
resistencia del conductor en función de la temperatura, esto es
0 0( ) [1 ( )]R T R T Tα= + − 6.34)
6.4.3 Estudio de la resistencia eléctrica..
Un dispositivo utilizado en circuitos de modo que tenga un valor específico de resistencia entre sus
extremos se llama resistor. Se pueden adquirir en el mercado resistores cuyos valores van desde 0,01Ω hasta
107
Ω. Los resistores individuales utilizados en instalaciones electrónicas tienen la forma de cilindros pequeños
de algunos milímetros de diámetro y de longitud, con alambres que sobresalen de sus extremos, en los cuales se
ha plasmado bandas de colores tal como se muestra en la figura 6.14a y la figura 6.14b se muestra un conjunto
de resistores con bandas de diversos colores.
Figura 6.14. (a) Resistencia óhmica usada en circuitos, (b) Conjunto de resistencias de diversos valores

279
Cada una de estas resistencias está marcado con un código estándar de tres o cuatro bandas de color cerca de
uno de los extremos como se muestra en la figura 6.15a, de acuerdo con el esquema que se muestra en la tabla
II. La primeras dos bandas (a partir del extremo más próximo) son dígitos, y la tercera es un multiplicador de
potencia de diez. Su representación en el lenguaje de circuitos es la mostrada en la figura 6.15b, para una
resistencia fija y la figura 6.15c para una resistencia variable. Otra característica importante de un resistor es la
energía eléctrica que puede disipar sin sufrir daño, esto es la potencia de trabajo.
(a) (b) (b)
Figura 6.15. (a) Resistencia mostrando las bandas de colores e indicando la forma como se determina su valor
mediante el código de colores, (b) representación de una resistencia fija y (c) representación de una
resistencia variable en un circuito.
Tabla II. Código de colores para resistencias
En la figura 6.16a, se muestra las componentes básicas de un resistor y en la figura 6.16b su instalación en
circuitos eléctricos y electrónicos
(a) (b)
Figura 6.16. (a) Componentes de una resistencia y (b) Instalación de resistencias en un circuito

280
Debe indicarse además que los resistores mostrados en las graficas anteriores no son el único tipo de resistencia
que se usa en instalaciones eléctricas y electrónicas. En general también se usan resistencias variables o con los
potenciómetros, los mismos que se muestran en la figura 6.17,
Figura 6.17. Fotografía de varios potenciómetros (resistencias variables)
Una de las resistencia variables muy utilizado en el laboratorio es el Reóstato (Rh), el cual tiene un control
deslizante, y tres conectores (uno en la parte superior y dos en la parte inferior) como se muestra en la figura
6.18a, cuando el reóstato es conectado con la parte superior a un circuito y la parte inferior al otro extremo del
circuito, la resistencia se puede variar mediante el movimiento del control deslizante, controlando de este modo
el flujo de corriente a través del reóstato representada por la línea de color rojo en la fotografía. La figura 6.18b
muestra la representación en el lenguaje circuital del reóstato.
Figura 6.18. (a) Fotografía de un reóstato y (b) representación esquemática de un reóstato.
Por otro lado existen resistencias variables cuya resistencia varía con la variación de temperatura (termistores)
representados en la figura 6.14b y aquellos que varían con la incidencia de la luz (celda fotoconductora)
representada en la figura 6.14b
Figura 6.19. (a) Fotografía de varios termistores y (b) Fotografía de una celda fotoconductora

281
6.7 FUERZA ELECTROMOTRIZ Y CIRCUITOS.
Para que un conductor tenga una corriente constante, dicho conductor debe ser parte de un circuito. Esto es
necesario debido a que cuando se establece una diferencia de potencial ∆𝑉, entre sus extremos, aparecerá un
campo eléctrico 𝐸�⃗ en el interior el mismo que producirá una fuerza eléctrica sobre los portadores de carga
originándose una corriente eléctrica (flujo de portadores de carga) con una densidad de corriente 𝐽⃗ = 𝜎𝐸�⃗ como
se muestra en la figura 6.20a. Sin embargo, si el conductor no es parte de un circuito la diferencia de potencial
aplicada ocasionará que en un tiempo muy pequeño se acumule carga positiva en lado del conductor y en el otro
se acumule una carga negativa como se ve en la figura 6.20b, dichas carga dan origen a un campo propio de
sentido opuesto 𝐸�⃗𝑖, el cual cancela al campo aplicado 𝐸�⃗ 𝑎, llegando después de dicho tiempo el campo neto en el
interior igual a cero y como tal la corriente eléctrica también será nula, como se muestra en la figura 6.20 b
Figura 6.20. (a) El campo originado por la aplicación de una diferencia de potencial genera una corriente, (b) la
corriente provoca una acumulación de carga en los extremos apareciendo un campo inducido que
disminuye el campo original, (c) después de un tiempo muy corto el campo original es cancelado por el
campo inducido siendo el campo neto en el interior nulo.
Por lo tanto, para que una corriente (flujo de carga) se mantenga en el conductor, es necesario que el conductor
esté conectado a un circuito, más aun debe existir un agente externo el cual debe mantener la diferencia de
potencial necesaria para aumentar la energía potencial de las cargas. Este agente no es más sino una fuente de
fem (batería, generador, etc).
6.7.1 Fuerza electromotriz (fem).
Se ha dicho que para mantener una corriente eléctrica en un conductor, en alguna parte del circuito debe
haber un elemento activo de tal manera que empuje una carga positiva desde un punto de menor potencial a otro
de mayor potencial venciendo de esta forma el campo electrostático el que produce una fuerza eléctrica 𝐹⃗ 𝐸 =
𝑞𝐸�⃗. La fuente que hace este trabajo se denomina fuente generadora de fuerza electromotriz o simplemente
fuerza electromotriz ( 𝜀), la que ejerce una fuerza 𝐹⃗𝑛, sobre los portadores tal como se muestra en la figura 6.21a,
llevando los portadores del borne a hacia el borne b. Debemos precisar que el nombre de fuerza electromotriz no
es una fuerza, sino más bien una cantidad de energía por unidad de tiempo, siendo sus unidades las mismas que
las de diferencia de potencial, esto es: el volt (V). Así por ejemplo, una batería utilizada para la linterna tiene
una fem de 1,5 V, es decir, la batería realiza un trabajo de 1J sobre cada coulomb de carga que pasa a través de
ella.
En general se llama fuente generadora de fem a cualquier dispositivo que transforma energía no eléctrica
(mecánica, química, solar, térmica, etc.) en energía potencial eléctrica y la transfiere al circuito al cual se
encuentra conectado el dispositivo. Las principales fuentes fem son: las baterías, los generadores eléctricos, las
caldas solares, las pilas termoeléctricas y las celdas de combustibles. Una fuente generadora de fem ideal
mantiene sus bornes a una diferencia de potencial constante es decir 𝜀 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏. Por esto es que se define a la
fem como la magnitud de la diferencia de potencial. Sin embargo, en la naturaleza no existe fuente de fem ideal,
ya que todas tienen resistencia interna por tanto la fem se relaciona con la diferencia de potencial mediante la
ecuación 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 𝜀 − 𝑟𝐼. La figura 6.21a, corresponde a una fuente ideal de fem que mantiene una diferencia
de potencial entre sus bornes a y b, siendo el borne a el que se encuentra a mayor potencial que el borne b dicha
diferencia de potencial produce un campo electrostático 𝐸�⃗ el mismo que produce una fuera electrostática
𝐹⃗ 𝐸 = 𝑞𝐸�⃗ sobre una carga positiva. Para mantener dicha diferencia de potencial la fuente de fem hace un trabajo
no electrostático produciendo una fuerza no electrostática 𝐹⃗𝑛 sobre la carga +q obligándola a moverse del borne
b hacia a. Este trabajo por ejemplo en una batería se debe a la energía química producida en el interior de la
batería producto de las reacciones químicas que en ella se producen.

282
Figura 6.21 (a) diagrama esquemático de una fuente de fem; (b) diagrama de una fuente de fem instalada en un
circuito cerrado
Cuando se produce el traslado de una carga +q del borne b al borne a, la fuerza no electrostática realiza un
trabajo positivo ( 𝑊𝑏→𝑎 = 𝑞𝜀 ) sobre la carga, originando un desplazamiento en contra del campo electrostático
por lo tanto la energía potencial asociada a la carga aumenta en una cantidad ( 𝑞∆𝑉), por otro lado la fuerza
electrostática también ejerce un trabajo pero en este caso es negativo, de tal manera que el trabajo neto es nulo,
es decir no existe variación de energía cinética de la carga. Esto es como si se moviera un cuerpo a velocidad
constante. Pues bien, el aumento de energía potencial en la fuente ideal será igual al trabajo no electrostático, es
decir
b aq W q V
V
ε
ε
→= = ∆
= ∆
(6.35)
Con la fuente de fem formemos un circuito como se muestra en la figura 6.21b, la diferencia de potencial
establecerá un campo eléctrico en el interior del alambre esto produce un flujo de carga o corriente a través del
conductor de mayor a menor potencial. De acuerdo con la ley de Ohm dicha diferencia de potencial será
∆𝑉 = 𝐼𝑅, con lo cual la ecuación 6,35 se escribe en la forma
V IRε =∆ = (6.36)
6.7.2 Resistencia interna de una fem.
En la naturaleza no se encuentra fuente ideal alguna, es decir todas tienen una resistencia interna,
entonces la fem ( 𝜀) no es igual a la diferencia de potencial ∆𝑉. Esto se debe a que cuando se mueve un portador
de carga en el interior de la fuente de fem experimenta una oposición (resistencia). Es a esta resistencia que se le
denomina resistencia interna (r) y que si cumple con la ley de Ohm, entonces en ella habrá una caída de
potencial (– 𝑟𝐼), de tal forma que cuando exite flujo de corriente a través de la fuente, la diferencia de potencial
entre los bosrnes será
V rIε∆ = − (6.37)
Es decir, la diferencia de potencial entre los bornes a y b es inferior a la fuerza electromotriz debido al término
(– 𝑟𝐼), el aumento de energía potencial que se produce cuando se traslada la carga q de b hasta a es menor que el
trabajo realizado por la fuente de fem ya que parte de la energía se pierde en la resistencia interna en forma de
calor.
Si se tiene una batería de 9 V, tiene una fem de 9 V, pero la diferencia de potencial entre sus bornes será igual a 9
V si ninguna corriente circula a través de ella. Si la batería es parte de un circuito cerrado la diferencia de
potencial será menor de 9 V. Es decir, en una fuente real la diferencia de potencial entre sus bornes será menor
cuando a través de ella fluya corriente (véase la figura 6.22a) y será igual a la fem si a través de ella no circula
corriente (figura 6.22b).

283
Figura 6.22. (a) Cuando el interruptor está cerrado la diferencia de potencial entre los bornes de la fuente de fem es
menor que la fem; (b) cuando el interruptor se encuentra abierto la diferencia de potencial entre los
bornes es igual a la fem.
La corriente en el circuito externo conectado a los bornes de la fuente sigue cumpliendo con la ley de Ohm si el
elemento pasivo es óhmico (∆𝑉 = 𝑅𝐼). Al combinar esta ecuación con la ecuación 6.37, se tiene
rI RIε − =
I
r R
ε
=
+
(6.38)
Es decir la corriente en el circuito es igual al cociente de la fem y la resistencia total del circuito (r + R).
El cambio neto de energía potencial de una carga q que recorre un circuito completo debe ser cero. Por tanto, el
cambio neto de diferencias de potencial alrededor del circuito debe ser nulo. Es decir, la suma algebraica de las
diferencias de potencial a través del circuito cerrado debe ser nula. Entonces se tiene
0
0
r RV V V
rI RI
ε
ε
∆ + ∆ + ∆ =
− − = (6.39)
Aquí se observa que una ganancia de potencial en la fuente de fem se compensa con las pérdidas de energía en
la resistencia interna r y en la resistencia externa R. En la figura 6.23 se observa la variación de potencial a
medida que se recorre un circuito.
Figura 6.23. (a) Diagrama de un circuito en donde se muestra una fuente de fem 𝜺 y resistencia interna r conectada a
un resistor externo R; (b) representación gráfica de las variaciones de potencial a través del circuito
seguido en sentido anti horario.
6.8 ENERGÍA Y POTENCIA EN CIRCUITOS ELECTRICOS.
Cuando se aplica una diferencia de potencial ΔV, entre los extremos de un conductor, aparece un campo
eléctrico 𝐸�⃗, en el interior del mismo, éste campo produce una fuerza eléctrica 𝐹⃗𝑒 = −𝑒𝐸�⃗, la misma que acelera a
los portadores de carga (electrones) en el metal en un tiempo muy pequeño, haciendo que el conjunto de
electrones incremente su energía cinética. Sin embargo, esta energía cinética rápidamente se convierte en
energía interna del conductor debido a las interacciones (choques) de los electrones con los iones de la

284
estructura cristalina. El aumento de energía interna da lugar a un incremento de la temperatura del conductor (el
conductor se calienta). Este fenómeno se conoce como efecto Joule, el mismo que es aprovechado en el diseño
de un conjunto de dispositivos como por ejemplo: planchas eléctricas, hornillos eléctricos, etc.
Para determinar la energía transformada, consideremos una porción de alambre en forma de cilindro circular
recto de longitud ∆𝑙 y sección transversal A, como se muestra en la figura 6.24. En el tiempo ∆𝑡, una carga ∆𝑞
entra por el punto a el cual se encuentra a un potencial Va y una cantidad de carga igual sale por el punto b el
cual se mantiene a un potencial Vb. Es decir, la carga ∆𝑞 al pasar de un punto de mayor potencial a a otro de
menor potencial b, experimenta una pérdida de energía potencial dada por
( ) ( )b aU q V V V q∆ =∆ − =− ∆ ∆ (6.40)
En donde, Va - Vb, es la disminución o caída de potencial a través del segmento de conductor. La energía
perdida será
( )eU V q−∆ = ∆ ∆ (6.41)
Dividiendo la ecuación (6.41) entre el tiempo dt, se obtiene la pérdida de energía por unidad de tiempo, la
misma que se expresa como
eU q
V
t t
∆ ∆
− =∆
∆ ∆
(6.42)
Pero la carga por unidad de tiempo es la intensidad de corriente 𝐼 = ∆𝑞 ∆𝑡⁄ , y la energía por unidad de tiempo es
la potencial eléctrica disipada P en el segmento de conductor. Es decir,
( )P I V= ∆ (6.43)
La unidad de la potencia disipada en el sistema internacional de unidades es el Watt (W), es decir
1 (1 / )(1 / ) (1 )(1 )
1 1 (1 )
Watt C s J s amperio voltio
W A V
= =
=
Figura 6.24. Diagrama esquemático utilizado para determinar la energía perdida por unidad de tiempo en un
conductor.
6.8.1 Resistencia pura.
Si el elemento del circuito es un resistor la diferencia de potencial entre los extremos según la ley de
Ohm es (∆𝑉 = 𝑅𝐼). Entonces, la potencia disipara en el conductor será
2
2 ( )
( )
V
P I V I R
R
∆
= ∆ = = (6.44)
Es decir, al fluir carga (corriente) a través del resistor, se disipa energía en este elemento razón de I2
R. Por esta
razón cada uno de estos elementos vienen especificados con su potencial nominal, es decir debe conocerse la
máxima potencia que el dispositivo puede disipar sin sobrecalentarse y sufrir daños. Debe señalarse además
que ciertos dispositivos como los calentadores eléctricos, se diseñan para transferir calor a su entorno. Pero si se
excede su potencia nominal, esos dispositivos pueden fundirse e incluso estallar.

285
6.8.2 Potencia de salida en una fuente generadora de fem.
La figura 6.25a, representa una fuente de fem ε con una resistencia interna r, conectada mediante
alambres conductores de resistencia despreciable a un circuito externo representado por el rectángulo inferior y
en la figura 6.25b se muestra el circuito correspondiente
Figura 6.25 (a) Circuito eléctrico en donde se realiza la conversión de energía no eléctrica en eléctrica, (b)
Circuito equivalente
La fuente de fem , podría ser la batería de un automóvil cuya resistencia interna es r no es visible a simple
vista, pero podría tener una representación esquemática tal como se muestra en la figura 6.26a, dicha batería se
encuentra instalada al faro de un automóvil como se ve en la figura 6.26b.
Figura 6.25 (a) Batería de un automóvil mostrando la resistencia interna, (b) Batería de un automóvil conectada a
un faro
El potencial del borne a es mayor que el de b, por tanto la corriente fluye convencionalmente desde el borne de
mayor potencial entregándose energía al circuito externo (faro). La rapidez con la que se entrega energía al
circuito será
abP I V= ∆ (6.45)
Para el caso de una fem ε y resistencia interna r, la diferencia de potencial entre los bornes a y b es
ab a bV V V rIε∆ = − = −
Remplazando esta ecuación en la ecuación (6.45) resulta
2
( )P I rI I rIε ε= − = − (6.46)
En esta ecuación, el término 𝜀𝐼 representa la rapidez de conversión de energía no eléctrica en energía eléctrica
en el interior de la fuente de fem y el término 𝑟𝐼2
representa la proporción a la que se disipa energía eléctrica en

286
la resistencia interna de la fuente de fem. La diferencia 2
I rIε − es la potencia neta útil de la fuente, es decir, la
rapidez a la que la fuente de fem entrega energía eléctrica al resto de circuito.
6.8.3 Potencia de entrada en una fuente generadora de fem.
Si el rectángulo de la parte inferior del circuito mostrado en la figura 6.25a es una fuente cuya fuerza
electromotriz es mayor que la de la fuente de fem mostrada en la parte superior. En la figura 6.27 se muestra un
ejemplo práctico que no es más sino el proceso de carga de una batería de un automóvil (el elemento superior
del circuito) por el alternador del automóvil (el elemento inferior en el circuito). Aquí observamos que el sentido
de la corriente es opuesta al mostrado en la figura 6.26b; es decir, la fuente inferior está empujada en dirección
contraria a través de la fuente de fem superior. Debido a la inversión de esta corriente, la ecuación para la
diferencia d potencial entre los bornes a y b sería
ab a bV V V rIε∆ = − = +
Y la potencia sería,
2
( )P I rI I rIε ε= + = + En lugar de que el agente que genera la fuerza no electrostática de la fuente de fem
superior realice trabajo sobre los portadores de carga, se está realizando trabajo sobre la fuente de fem. Es decir,
en la fuente de fem superior se está realizándose una conversión de energía eléctrica en energía no eléctrica
(cargándose la batería). El término 𝑟𝐼2
es una vez más la disipación de energía en la fuente de fem y el término
2
( )I rIε + es la potencia total de alimentación de la fuente superior. Esto es lo que sucede cuando se conecta
una batería recargable (acumulador) a un cargador. El cargador suministra energía eléctrica a la batería, una
parte de esta energía se transforma en energía química, para someterse más tarde a una reconversión y el reto se
disipa en la resistencia interna de la batería calentando ésta y provocando un flujo de calor hacia fuera de ella.
Figura 6.25 (a) Circuito eléctrico en donde se muestra la conexión de un alternador con una fem (mayor) con
una batería cuya fem es (inferior), este circuito es utilizado para cargar una batería

287
PROBLEMAS RESUELTOS
1. A través de un conductor de cobre de 1,2 mm de
diámetro fluye una corriente de 2 A. Determine: (a)
la densidad de corriente, (b) la velocidad de
desplazamiento de los electrones sabiendo que la
densidad electrónica es n = 2,3 .1029
electrones/m3
.
Solución
(a) Cálculo de la densidad de corriente.
2
6 2
2
3 2
4
/ 4
4(2 )
[1,2.10
1,77.10
]
/j A m
I I I
j
A d d
A
j
m
π π
π −
=
= = =
=
(b) Cálculo de la velocidad de deriva. La densidad
de corriente y la velocidad de deriva está
relacionada por la ecuación
6 2 29 3 19
1,77.10 / 2,3.10 / (1,6.10 )
e d
d
j nq v
A m electrones m C v−
=
=
4
0,48.10 /dv m s−
=
2. La densidad del aluminio es de 2,7 g/cm3
y su masa
atómica es de 27 g/mol; cada átomo tiene tres
electrones de conducción. (a) Determine el número
de electrones por cm3
. (b) Si en alambre de
aluminio de 1mm2
de área de sección transversal
fluye una corriente de 10 mA, obtenga la velocidad
de deriva de los electrones.
Solución
(a) Cálculo de la densidad electrónica
( )(#
(# / )
densidad de Abogadro
n de electrones libres átomo
Masa atómica
=
23 3
23
(2,7 / )(6,02.10 / )
(3 / )
27 /
1,866.10 /
g mol at mo
n ele
l
n elec at
g mo
ctrones m
l
c=
=
(b) Cálculo de la velocidad de deriva
3
29 3 19 6 2
10.10
1,866.10 / (1,6.10 )(1.10 )
e d d
e
d
I I
j nq v v
A nq A
A
v
elect m C m
−
− −
= = ⇒ =
=
7
3,47.10 /dv m s−
=
3. En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno se
postula que un electrón del más bajo estado de
energía se mueve en una órbita circular de radio
a0 = 5,29.10-11
m alrededor de un protón.
Determine la velocidad del electrón, (b) ¿cuál será
la corriente efectiva asociada con el movimiento
del electrón moviéndose en su órbita?.
Solución
En la figura se muestra el movimiento del electrón
alrededor del núcleo.
El electrón se encuentra sometido a la fuerza
eléctrica por tanto, aplicando la segunda ley de
newton al movimiento de esta partícula se tiene
2
0
2 2
2
0 0
2 9 19
31 11
0
9.10 (1,6.10 )
9,11.10 (5,29.10 )
n n e e
e
e
v
F ma F m
a
e v
k m
a a
ke
v
m a
−
− −
∑ = ⇒ =
=
= =
6
2,19.10 /v m s=
Debido a que el electrón gira uniformemente, se
tiene
0
11 6
16
2
2 (5,29.10 ) (2,19.10 / )
1,52.10
eS a v t
m m s t
t s
π
π −
−
= =
=
=
La corriente total en este tiempo será
19
16
1,6.10
1,5 0
1,05
2.1
q C
I
t s
I mA
−
−
= =
=
4. La cantidad de carga q (en coulombs) que ha
pasado a través de una superficie de área igual a 1,5

288
cm2
varía en función del tiempo según la ecuación
q = 4t3
+ 5t + 6, estando t especifica en segundo.
(a) ¿Cuál es la corriente instantánea que pasa a
través de la superficie en t = 2s? (b) ¿Cuál es el
valor de la densidad de corriente?.
Solución
(a) Corriente instantánea en t = 2 s
3
2
2
2
( ) (4 5 6)
( ) 12 5
12(2) 5
dq d
I t t t
dt dt
I t t
I
= = + +
= +
= +
2 53I A=
(b) La densidad de corriente será
4
2
2
53
1,5.1
,3 /
0
35
I A
j
j
A m
A m
−
=
= =
5. Sobre un anillo de radio R se ha distribuido
uniformemente una densidad de carga lineal λq. Si a
este anillo se hace rotar alrededor de su eje con una
rapidez angular ω. Determine la corriente de
convección en un punto del anillo.
Solución
En la figura se muestra el anillo
La carga total que pasa por la sección transversal
será
( ) (2 )
q
q C q
dq q
dl l
q l R
λ
λ λ π
= =
= =
Al hacer girar al anillo en torno al eje z, la rotación
da lugar a la aparición de una corriente de
convección. Entonces la corriente que fluye a
través de la sección M es
(2 )
2 /
q
q
I R
Rq
I
t
λ π
π ω
λ ω=
= =
6. Con una masa de 5 g de cobre se desea fabricar un
alambre el cual debe tener una resistencia R = 0,8
Ω y se d ebe utilizar todo el cobre disponible.
Asumiendo que no se pierde ninguna cantidad de
cobre y que las propiedades del material se
mantienen sin ser modificadas antes y después de
realizar la fabricación del alambre. Determine: 8ª)
la longitud del alambre fabricado y el diámetro de
este alambre.
Solución
(a) Cálculo de la longitud del alambre. De acuerdo
a la definición de densidad de masa se tiene
( )m m m
m
m
m V A L
V
m
A
L
ρ ρ ρ
ρ
= ⇒ = =
=
De la definición de resistencia tenemos
2
/
m
m
L
R
A
LL
R
m L m
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
=
= =
3 3 2
8
3
8,92.19 / ( )
0,8 1,7.10 .
5.10
kg m L
m
kg
−
−
Ω= Ω
5,14L m=
(b) Cálculo del diámetro del alambre
2
( ) ( / 4)
m
m m m
V L A L d
ρ
π
= = =
3
3 3
4 4(5.10 )
(5,14 )(8,92.19 / )m
m kg
d
L m kg mπ ρ π
−
= =
3
0,138.10d m−
=
7. Un cubo sólido de plata cuya densidad es
10,5 g/cm3
tiene una masa de 90 g. (a) ¿Cuál será la
resistencia eléctrica entre dos caras opuestas si
entre ellas se establece una diferencia de potencial
de 1.10-5
V?, (b) Si cada átomo de plata contribuye

289
con un electrón de conducción, determine la
velocidad de deriva de los electrones cuando se
aplica la diferencia de potencial del inciso (a). Se
sabe que el número atómico de la plata es 47 y su
masa molar es de 107,87 g/mol.
Solución
En la figura se muestra el cubo sometido a la
diferencia de potencial
Se procede a determinar el avlor de la arista del
cubo L. De la definición de densidad de masa
tenemos.
3
33
3
2
90
10,
,
5 /
05
m
m
m m
V L
m g
L cm
L
g cm
ρ
ρ
=
= =
= =
(a) La resistencia entre las caras opuestas será
2
8
2
7
1,59.
777.10
10 .
2,05,10
L L
R
A L L
m
R
m
R
ρ
ρ ρ
−
−
−
= = =
Ω
=
=
Ω
(b) Para determinar la velocidad de deriva de los
electrones primero se calcula la intensidad de
corriente que fluye por el material, para ello se
aplica la ley de Ohm
5 7
5,14
1.10 ( 777.10 )
12,9
L m
V IR
V I R
I A
− −
=
∆ =
= = Ω
=
La densidad electrónica está dada por
( )(#
(# / )
densidad de Abogadro
n elect at
Masa atómica
=
3 23
28 3
(10,5 / )(6,02.10 / )
(1 / )
107,87 /
5,86.10 /
g cm at mol
n elec at
g mol
n electrones m
=
=
De la definición de densidad de corriente se tiene
28 3 19 2 2
12,9
5,86.10 / (1,6.10 )(2,05
3 28 /
)
,d
e d d
e
d
I I
j nq v v
A nq A
A
v
ele
v m s
ct m C m
µ
−
= = ⇒ =
=
=
8. Durante un viaje por el desierto de Sahara en un día
en que la temperatura era de 58°C un alumno
encontró que al aplicar a los extremos de un
alambre una diferencia de potencial ΔV a través de
dicho alambre fluía una intensidad de corriente de
1,00 A. Si posteriormente viaja a la Antártida y en
dicho lugar aplica la misma diferencia a los
extremos del alambre. ¿Cuál será la intensidad de
corriente registrada en un día en que la temperatura
es de -88°C?. Suponga que el alambre no ha sufrido
cambios en forma y dimensiones.
Solución
La resistencia mediada a la temperatura de 58°C es
0 0
0
[1 ( )]
[1 (58 20 )]
HR R T T
R R C C
α
α
= + −
= + ° − °
0 (1 38 )R R α= + (1)
La resistencia medita a temperaturas bajas será
0 0
0
' [1 ( )]
' [1 ( 88 20 )]
FR R T T
R R C C
α
α
= + −
= + − ° − °
0' (1 108 )R R α= − (2)
De la aplicación de la ley de OHM se tiene para
temperaturas altas
0[ (1 38 )]HV IR V I R α∆ = ⇒ ∆ = + (3)
Y para temperaturas bajas es
0' [ (1 108 )]FV IR V I R α∆ = ⇒ ∆ = − (4)
De las ecuaciones (3) y (4) se tiene

290
0
0
3
3
[ (1 38 )]
[ (1 108 )]
[1 38(3,9.10 )]
1
[1 108(3,9.10 )]
1,987
F H
F
F
R
I I
R
I A
I A
α
α
−
−
+
=
−
+
=
−
=
9. A una esfera maciza de hierro de radio b, con una
cavidad de radio a, se le aplica una diferencia de
potencial ΔV entre el interior y el exterior de
manera que fluye una corriente radial uniforme
como se muestra en la figura. Si el material entre
las cáscaras es débilmente conductor con una
resistividad ρ. Encuentre: (a) La resistencia
eléctrica, (b) la potencia disipada.
Solución
(a) Para determinar la resistencia total primero se
divide a la esfera hueca en elementos
diferenciales en forma de cascarones de radio
interno r y espesor dr, como se muestra en la
figura.
La resistencia de este elemento diferencial es
2
2
4
4
1 1 ( )
4 4
b
a
dr
dR
r
dr
dR
r
b a
R
a b ab
ρ
π
ρ
π
ρ ρ
π π
=
=
− 
= − =  
∫ ∫
(b) La potencia disipada será
( )
4
4
( )
V V
P
b aR
ab
ab V
P
b a
ρ
π
π
ρ
∆ ∆
= =
−
∆
=
−

291
PROBLEMAS PROPUESTOS.
10. Un conductor de sección transversal uniforme lleva
una corriente de 5 A. ¿Cuántos electrones fluyen
por un punto dado en 1 min.
11. En un proceso de galvanostegia (o electro
chapeado) se han transmitido 40000C a una
corriente de 10 A. ¿Qué tiempo se necesita?.
12. La densidad del cobre es de 9 g/cm3
y tiene un
electrón de conducción por átomo. En un alambre
cuya sección transversal uniforme tiene 0,1 cm de
diámetro, se establece una corriente constante de
50 A. Determine: (a) la densidad de corriente y (b)
la velocidad media de los electrones.
13. La resistividad del cobre a 20°C es de 1,7 .10-8
Ω.m. ¿Cuál es a esta temperatura la resistencia de
un alambre de cobre de 5 m de longitud si el radio
de su sección transversal circular es 0,1 cm?.
14. Un alambre de aluminio de longitud l y sección
transversal circular con un radio r tiene un
resistencia R. Determine el factor por el que queda
multiplicada la resistencia en cada uno de los
siguientes casos: (a) se duplica la longitud del
alambre, (b) Se triplica la longitud del alambre y se
disminuye el radio a r/3 y c) se duplica l y r.
15. La densidad de corriente en un alambre largo y
recto con sección transversal circular de radio R,
varía con la distancia desde el centro del alambre
de acuerdo con la relación 𝑗 = 𝜆 𝑟, en donde λ es
una constante positiva. Determine la intensidad de
corriente que fluye por el alambre.
16. El área transversal de un riel de acero es de 30 cm2
.
Si la resistividad de este material es 6.10-7
Ω.m.
determine la resistencia de un riel de 6 km de largo.
17. Las dimensiones de un bloque de hierro como un
sólido de sección rectangular son de 2 cm x 3 cm x
100 cm. Su resistividad a 20°C es igual a 1.10-7
Ω.m. Determine la resistencia entre las tres pares de
caras opuestas.
18. Una barra de cobre mide 0,1 m x 0,3 m por 5 m. Si
la resistividad del cobre es de 1,7.10-8
Ω.m.
Determine la resistencia del alambre si la corriente
fluye a lo largo de la longitud de la misma.
19. Una barra metálica con 12 m de longitud contiene
6.1025
electrones libres. Si en la barra fluye una
corriente de 3 A evalué la velocidad de deriva de
los electrones.
20. La resistividad del aluminio es de 1,6.10-8
Ω.m a
20°C. Se quiere hacer una bobina con 25 km de
alambre de ese metal de 1 mm de diámetro.(a)
¿Cuál es su resistencia?. (b) si el alambre se estira
uniformemente hasta una longitud de 50 km. ¿Qué
valor tendrá la nueva resistencia?.
21. La atmósfera lleva cargas positivas hacia la
superficie terrestre y retira cargas negativas de ésta.
La corriente total es de 1800 A. Suponga que el
flujo de carga es simétrico con respecto a la
superficie de la tierra, halle la magnitud de la
densidad de corriente en dicha superficie. El campo
eléctrico en la mencionada superficie es de 100
V/m, en dirección hacia aquella. Determine la
conductividad eléctrica del aire cerca de la
superficie de la tierra.
22. La banda de un generador van de Graff es de 75 cm
de ancho y se mueve a 30 m/s. Si transmite una
corriente de 2.10-4
A a la esfera colectora, obtenga
la densidad superficial de carga en la banda.
23. Una varilla de aluminio tiene una resistencia de
1,234 Ω a 20 °C. Determine la resistencia de la
varilla a 120 °C, tomando en cuenta los cambios
tanto en la resistividad como en las dimensiones de
la varilla.
24. Se calienta una barra de cobre desde 20 °C hasta
200 °C y se estira uniformemente al doble de su
longitud inicial, no cambiando su volumen. Si
inicialmente su longitud era de 1 m y su resistencia
era 0,02 Ω. Determine: (a) elárea transversal antes
de ser estirada y (b) la resistencia de la misma
después de su estiramiento y de la elevación de la
temperatura.
25. Una bobina circular de alambre de aluminio de
0,254 mm de diámetro tiene 400 vueltas y su
diámetro medio es de 17,78 mm. La resistividad del
alambre a 20 °C es 2,8.10-8
Ω.m. Si entre los
extremos de la bobina se aplica una tensión de 12
V. Determine: (a) la corriente que fluye en el
alambre y (b) el calor desprendido durante un
intervalo de 5 min.
26. En una instalación hidroeléctrica, una turbina
suministra 1500 hp a un generador, el cual a su vez,
transforma 80% de la energía mecánica en
transmisión eléctrica. En estas condiciones, ¿Qué
corriente entrega el generador a una diferencia de
potencial terminal de 2 kV?.
27. Un calentador de inmersión de 350 W opera en una
línea de 120 V, y se utiliza para elevar la
temperatura de 250 cm3
de agua desde 27 °C hasta
el punto de ebullición. (a) determine la corriente
que pasa a través del calentador, (b) ¿Con qué
rapidez se transmite energía al agua?. (c) ¿Cuánto
tiempo se requiere para que hierva esta cantidad de

292
liquido? y (d) ¿Cuánto tiempo más se requiere para
convertir el agua completamente en vapor?.
28. Un tostador eléctrico opera en una línea de 110 V.
Si toma 6 A, halle la resistencia del elemento
calefactor y la energía consumida durante un lapso
de 30 s, durante el cual está en operación. A razón
de 3 S/. el kilowatt-hora, ¿Cuánto cuesta tostar una
rebanada de pan?.
29. Una lámpara de 300 W opera en una línea de 220 V,
y se sumerge en 8 kg de agua a 27 °C. Determine:
(a) la corriente que fluye a través de la lámpara y
(b) la temperatura del agua después de 5 minutos.
30. Suponga que una oscilación de voltaje produce
durante un momento 140 V. ¿En qué porcentaje se
incrementa la salida de energía de una bombilla de
120 V, 100 W?. Suponga que su resistencia no
cambia.
31. En un tubo fluorescente de 3 cm de diámetro pasan
por un punto determinado y por cada segundo
2,0.1018
electrones y 0,5. 1018
iones positivos con
una carga (+e). Determine la corriente que circula
por el tubo fluorescente.
32. En un cierto haz de electrones existen 5.106
electrones por centímetro cúbico. Suponiendo que
la energía cinética de los electrones es 10 keV y el
haz es cilíndrico con un diámetro de 1 mm.
Determine: (a) la velocidad de deriva de los
electrones y (b) la intensidad de corriente del haz.
33. Un conductor de calibre 14 se suelda por un
extremo a otro de calibre 10. Por los conductores
fluye una corriente de 15 A, Si ambos conductores
son de cobre con un electrón libre por átomo.
Determine: (a) la velocidad de deriva de los
electrones y (b) la energía disipada en el alambre
compuesto.
34. La corriente que circula por un alambre varía con el
tiempo según la expresión 𝐼 = 20 + 3𝑡2
, en donde
I se expresa en amperios y t en segundos. (a)
¿cuántos coulombios se transportan por el alambre
entre t = 0 y t = 15 s?. (b) ¿Qué corriente constante
transportaría la misma carga en igual intervalo de
tiempo?.
35. Por un alambre de cobre calibre 10 pueden circular
hasta 30 A. Determine: (a) la resistencia de 100 m
de alambre de cobre calibre 10, (b) el campo
eléctrico en el alambre cuando la corriente es de 30
A. (c) el tiempo que tarda un electrón en recorrer
100 m del alambre cuando la corriente es de 30 A.
36. Determine la resistencia entre los extremos del
semianillo de la figura. La resistividad del material
del cual está hecho el anillo esρ.
37. La corriente que puede soportar con seguridad un
conductor cilíndrico de cobre de 1,29 mm de
diámetro es de 6 A. si se considera un hilo
conductor de 40 m de largo. Determine: (a) la
diferencia de potencial máxima que se puede
aplicar entre sus extremos, (b) la densidad de
corriente y el campo eléctrico en el conductor
cuando éste transporta 6 A y (c) la potencia
disipada en el conductor en la situación citada.
Considere que la resistividad del cobre es 1,7.10-8
Ω.m.
38. Un hilo conductor de 6 Ω de resistencia se funde
para construir otro hilo conductor cuya longitud sea
el triple de la del hilo original. Determine la
resistencia del nuevo hilo suponiendo que en el
proceso de fusión y solidificación permanecen
inalterados los valores de la resistividad y de la
densidad del material
39. Se ha observado que la intensidad de corriente que
circula por un alambre de cobre de 1 mm de
diámetro y 2,5 m de longitud cuando se le aplica
una diferencia de potencial de 0,1 V es de 2 A.
Sabiendo que la concentración de electrones en el
cobre es de 8,45.1028
electrones /m3
. Determine: (a)
la velocidad de arrastre, (b) la movilidad de los
electrones y (c) la conductividad del cobre
40. Un hilo de 5 Ω de resistencia se conecta a una
batería de 2 V de fem y 1,0 Ω de resistencia
interna. transcurridos dos minutos de esta
situación- ¿Qué cantidad de energía química se ha
transformado en energía eléctrica?. (b) ¿Qué
cantidad de energía ha aparecido en forma de calor
en el hilo conductor?.
Rta. a) 80 J; b) 66.67 J
41. El radio de un alambre de longitud L crece
linealmente con su longitud según la expresión
𝑟 = 𝑎 + �
𝑏−𝑎
𝐿
� 𝑥, en donde x es la distancia del
extremo menor de radio a. Determine la resistencia
del alambre en función de su resistividadρ,
longitud L, radio a y radio b.
42. Se sumerge un tubo de plástico de 2,5 m de largo y
4 cm de diámetro en una solución de plata y se
deposita una capa uniforme de 0,1 mm de espesor
sobre la superficie externa del tubo. Si el tubo

293
recubierto se conecta a los bornes de una fuente de
tensión de 120 V. Determine la corriente que fluye
a través del dispositivo.
43. El espacio comprendido entre dos cortezas
esféricas conductoras concéntricas se llena con un
material de resistividad 109
Ω.m. Si los radios de
las cortezas son 1,5 cm y 5 cm, respectivamente.
Determine la resistencia entre ambos conductores.
44. El espacio comprendido entre dos cilindros
conductores coaxiales de longitud L y radios a y b
se llena completamente con un material de
resistividad ρ. (a)¿Cuál es la resistencia entre los
dos cilindros coaxiales?. (b) Determine la
intensidad de corriente entre los dos cilindros si
𝜌 = 30 𝛺. 𝑚, a = 1,5 cm, b = 2,5 cm, L = 50 cm y
se aplica una diferencia de potencial de 10 V entre
los dos cilindros.
45. Un tostador con un elemento de calefacción de
Nicromo (𝛼 = 4,5. 10−4
/°𝐶) posee una resistencia
de 80 Ω a 20 °C y una corriente inicial de 1,5 A.
Cuando este elemento alcanza su temperatura final,
la corriente es de 1,3 A. Determine: (a) la
temperatura final del elemento calefactor. (b) la
energía que se disipa en el elemento calefactor (i)
inicialmente, (ii) finalmente
46. Una bobina de alambre de nicromo tiene 25 m de
largo. El alambre tiene un diámetro de 0,4 mm y se
encuentra a 20 °C. Si el alambre transporta una
corriente de 0,5 A, ¿Cuáles son: (a) la magnitud del
campo eléctrico en el alambre y (b) la potencia
entregada?. (c) ¿Qué pasaría si? Si la temperatura
se incrementara hasta 340 °C y el voltaje aplicado
al alambre se mantiene constante. ¿Cuál es la
potencia entregada
47. Un calentador ambiental eléctrico posee un alambre
de nicromo con una resistencia de 8 Ω a 20 °C.
Aplicando una diferencia de potencial de 120 V, la
corriente eléctrica calienta el alambre de nicromo
hasta 1000 °C. Determine: (a) la corriente inicial
que fluye por el elemento calefactor frio, (b) la
resistencia del elemento de calefacción a 1000 °C y
(c) la potencia operativa de éste calefactor.
48. Un automóvil eléctrico ha sido diseñado para
funcionar a partir de un banco de baterías de 12 V
con un almacenamiento total de energía de 2.107
J.
(a) si el motor eléctrico consume 8 kW, ¿Cuál es la
corriente que se le suministra al motor?, (b) Si el
motor consume 8 kW conforme el auto se mueve a
velocidad constante de 20 m/s. ¿Qué distancia
recorrerá el auto antes de quedarse sin energía?.
49. Un calentador ambiental de una vieja mansión se
alimenta con una corriente de 12,5 A. Un par de
cables de cobre de calibre 12 transportan la
corriente desde la caja de fusibles al enchufe de la
pared a lo largo de una distancia de 30 m. El voltaje
en la caja de fusibles es exactamente de 120 V. (a)
¿Cuál es el voltaje distribuido al calefactor
ambiental?. (b) si el fusible se funde al pasar una
corriente de 20 A. ¿Cuántas bombillas de 60 W
pueden encenderse en esta línea cuando el
calefactor está funcionando?. Supóngase que los
cables desde la pared al calefactor ambiental y a las
tomas de luz son de resistencia depreciable).
50. Un conductor de cobre calibre 16 aislado con
caucho puede transportar con seguridad una
corriente máxima de 6 A. (a) ¿Cuál es el valor
máximo de la diferencia de potencial que puede
aplicarse en los extremos de 40 m de longitud de un
conductor de este tipo?. (b) Hallar el campo
eléctrico en el conductor cuando por él circulan
6 A. (c) Determine la potencia disipada en el
alambre conductor en éste último caso.
51. El cable de conexión para el arranque de un
automóvil es de 3 m de longitud y está formado por
múltiples hebras de cobre que en conjunto tienen
un área transversal de 10 mm2
. (a) ¿Cuál es la
resistencia de este cable?. (b) Cuando se utiliza se
el arranque, transporta una corriente de 90 A. ¿Cuál
es la caída de voltaje que tiene lugar a su través?.
(c) ¿Cuánta potencia se disipa en el cable?.
52. Se utiliza una espiral de alambre de Nicromo como
elemento calefactor en un evaporador de agua que
genera 8 g de vapor por segundo. El alambre posee
un diámetro de 1,8 mm y está conectado a una
fuente de alimentación de 120 V. Determine la
longitud del alambre.
53. Los cables eléctricos de una casa deben ser
suficientemente gruesos de diámetro para que no se
calienten demasiado y provoquen un incendio.
Supongamos que un alambre determinado
transporta una corriente de 20 A, y se especifica
que el calentamiento por efecto Joule no debe
exceder los 2 W/m. ¿Qué diámetro debe tener un
alambre de cobre para que se convierta “seguro”
con esta corriente?.
54. Un rayo cae en un extremo de un pararrayos de
acero, y produce una oleada de corriente de 15 kA
que dura durante 65 μs. El pararrayos tiene 2 m de
largo y 1,8 cm de diámetro, y su otro extremo está
conectado a tierra por medio de un alambre de
cobre de 35 m de longitud 8 mm de diámetro.
Determine: (a) la diferencia de potencial entre la
parte superior del pararrayos de acero y el extremo
inferior del alambre de cobre durante la oleada de
corriente, (b) la energía total depositada en el

294
pararrayos y en el alambre por la oleada de
corriente.
55. Una empresa pública suministra energía al
domicilio de un consumidor a partir de las líneas de
energía propia (a 120 V) mediante dos alambres de
cobre, cada uno de los cuales tiene 50 m de
longitud y una resistencia de 0,108 Ω por tramo de
300 m. Determine el voltaje en el domicilio del
cliente para una corriente de carga de 110 A. Para
esta corriente, encuentre (b) la potencia que está
recibiendo el cliente y (c) la energía eléctrica
disipada en los alambres de cobre
56. Los grandes electroimanes convencionales utilizan
la refrigeración con agua para evitar el excesivo
calentamiento de los arrollamientos de las bobinas.
Uno de estos electroimanes utiliza una corriente de
100 A cuando se aplica un voltaje de 240 V a los
terminales de las bobinas de excitación. Para
refrigerar las bobinas, circula agua a una
temperatura inicial de 15°C a través de ellas.
¿Cuántos litros por segundo deben pasar a través de
las bobinas para que la temperatura de éstas no
exceda los 50 °C?.
57. Cuando se calienta un alambre recto, su resistencia
está expresada por 𝑅 = 𝑅0[1 + 𝛼( 𝑇 − 𝑇0)] donde α
es el coeficiente de resistividad por temperatura.
Demuestre que su resultado más preciso, ya que
incluye el hecho de que tanto la longitud como el
área cambian con la temperatura, es
'
0 0 0
'
0
[1 ( )][1 ( )]
[1 2 ( )]
R T T T T
R
T T
α α
α
+ − + −
=
+ −
Donde α´
es el coeficiente de dilatación lineal
58. Un conductor eléctrico proyectado para transportar
corrientes grandes tiene una sección circular de 2,5
mm de diámetro y mide 14 m de largo. La
resistencia entre sus extremos es de 0,104 Ω. (a)
¿Cuál es la resistividad del material?. (b) Si la
magnitud del campo eléctrico en el conductor es de
1,28 V/m, ¿Cuál es la corriente total?. (c) Si el
material tiene una densidad electrónica de 8,5
electrones /m3
. ¿Cuál es la velocidad de arrastre en
las condiciones del inciso (b)?.
59. La diferencia de potencial entre los bornes de una
batería es de 8,4 V cuando existe una corriente de
1,5 A en la batería, del borne negativo al borne
positivo. Cuando la corriente es de 3,5 A en el
sentido inverso, la diferencia de potencial cambia a
9,4 V. Determine: (a) la resistencia interna de la
batería y (b) la fem de la batería.
60. Una persona con una resistencia corporal de 10 kΩ
entre sus manos sujeta accidentalmente los bornes
de una fuente de energía de 14 kV. (a) Si la
resistencia interna de la fuente es de 2 kΩ,¿cuál es
la corriente a través de la persona?. (b) ¿Cuánta
energía eléctrica se disipa en su cuerpo?. (c) Si se
va a eliminar la peligrosidad de la fuente de energía
aumentando su resistencia interna, ¿cuál debe ser la
resistencia interna para que la corriente máxima en
la situación que se ha descrito sea de 1 mA o
menos?.
61. Una batería de auto de 12,6 V con resistencia
interna insignificante está conectada a una
combinación en serie de un resistor de 3,2 Ω que
obedece a la ley de Ohm y un termistor que no
obedece a la ley de Ohm, sino que tiene una
relación entre el voltaje y corriente V = αI+βI2
, con
α = 3,8 Ω y β = 1,3 Ω/A. Determine la resistencia
en el elemento de 3,2 Ω.
62. La tensión de bornes de una fuente en circuito
abierto es de 7,86 V, y su corriente de cortocircuito
es de 9,25 A. (a) ¿Cuál es la corriente cuando se
conecta a los bornes de la fuente una resistencia
óhmica de 2,4 Ω?. (b) ¿Cuál sería la corriente si en
lugar de la resistencia óhmica de 2,4 Ω se instala
entre los bornes de la fuente el dispositivo no
óhmico del problema anterior?. (b) ¿Cuál es la
tensión de bornes de la fuente con la corriente
calculada en el inciso (b)?.
63. A una temperatura de 0°C la resistencia de un
conductor 1 es η veces menor que la de otro
conductor 2. Sus coeficientes de resistencia por
temperatura son iguales a α1 y α2. Determine el
coeficiente de resistencia por temperatura del
circuito compuesto por esos dos conductores, si
ellos se conectan: (a) en serie y (b) en paralelo
64. Dos conductores paralelos cuyos radios de su
sección transversal es r se encuentran en un medio
débil conductor cuya resistividad esρ. Si la
distancia entre los ejes de los conductores es l.
Determine la resistencia del medio por unidad de
longitud de los conductores si l >> a.
65. El huelgo entre las placas de un capacitor plano se
llena con un medio heterogéneo débil conductor,
cuya conductividad varía en dirección
perpendicular a las placas según una ley lineal
desde σ1 = 1,0 pS/m hasta σ2 = 2,0 pS/m. El área de
cada placa es A = 230 cm2
, el ancho del huelgo es
d = 2 mm. Determine la corriente a través del
capacitor cuando la tensión entre placas esΔV =
300 V.
66. La densidad del aluminio es de 2,7 g/cm3
y su peso
atómico es 27. Suponiendo que cada átomo tiene 3
electrones de conducción. Determine: (a) El
número de electrones por centímetro cúbico, (b) si
una corriente de 200 mA fluye por el alambre

295
conductor de 1,5 mm2
de área transversal, calcular
la velocidad de desplazamiento vd.
67. Un anillo de radio R que tiene una carga por unidad
de longitud λq gira con una velocidad angular ω
constante alrededor de su eje. Determine la
corriente en un punto del anillo.
68. Suponga que la corriente que pasa por un conductor
se reduce de manera exponencial en función del
tiempo, de acuerdo con la ecuación I(t) = I0e-t/τ
siendo I0 la corriente inicial ( en t = 0), y τ es una
constante que tiene unidades de tiempo. Considere
un puno de observación fijo del conducto. (a)
¿Cuánta descarga pasa por este punto en el inérvalo
de tiempo entre t = 0 y t = τ? (b)¿Cuánta carga
pasa por este punto en el intervalo de tiempo entre
t = 0 y t = 10τ? (c) ¿Qué pasaría si? ¿ Cuánta carga
pasaría por este punto en el intervalo de tiempo
entre t = 0 y 𝑡 = ∞
69. En el modelo de Bohr del átomo de hidrogeno, un
electrón del más bajo estado de energía sigue la
trayectoria a 5.29 × 10−11
m del protón. (a)
Demuestre que la velocidad del electrón es igual a
2.19 × 10 6
m/s. (b) ¿Cuál es la corriente efectiva
asociada con este electrón en órbita?
70. Una corriente eléctrica está definida por la
expresión I(t) = 100 sen(120 𝜋t), donde I esta en
amperes y t en segundos. ¿Cuál es el valor de la
densidad de corriente de t = 0 hasta t = (1/240) s?
71. Una bombilla tiene una resistencia de 240 Ω
cuando está funcionando, sujeta a una diferencia de
potencial de 220 V. ¿Cuál es la corriente que pasa
por la bombilla?
72. Se mantiene una diferencia de potencial de 0.900 V
de un extremo a otro de un alambre de tungsteno de
2 m de longitud y área trasversal igual a 0.600 mm2
,
¿Cuál es la corriente del alambre?.
73. Suponga que desea fabricar un alambre uniforme a
partir de 10 g de cobre. Si el alambre debe tener
una resistencia R = 0,5 Ω, y si debe utilizarse todo
el cobre disponible, ¿Cuál será (a) la longitud y (b)
el diámetro de este alambre.
74. Un cubo sólido de plata de densidad 10,5 g/cm3
tiene una masa de 200 g . (a) ¿Cuál es la resistencia
entre las caras opuestas del cubo, (b) suponga que
cada átomo de plata contribuye con 1 electrón de
conducción. Determine la velocidad promedio de
arrastre de los electrones cuando se le aplica una
deferencia de potencial de 1.10-5
V entre las caras
opuestas del cubo. El número atómico de la plata es
47 y su masa molar es de 107,87 g/mol
75. La varilla de la figura está fabricada con dos
materiales. La figura no está a escala cada
conductor tiene una sección transversal cuadrada de
3 mm de lado. El primer material tiene una
resistividad de 4.10-3
Ω.m y tiene 25 cm de largo,
en tanto que el segundo material tiene una
resistividad de 6.10-3
Ω.m y tiene 40 cm de largo.
(a) ¿Cuál es la resistencia de un extremo a otro de
la varilla. (b) Si entre los extremos del alambre
compuesto se establece una diferencia de potencial
de 110 V, ¿Cuál sería densidad de corriente en cada
uno de los alambres?. (c) Cual es la potencia
disipada en el alambre compuesto
76. Mientras tomaba fotografía en México en un día en
que la temperatura era 58°C Luis encontró que
cierto voltaje, al aplicarlo a un alambre de cobre,
produce una corriente de 1 A. A continuación viaja
a la antártica y aplica ese mismo voltaje sobre el
mismo alambre. ¿Qué corriente se registrará
entonces si la temperatura es de -88°C?. Suponga
que el alambre no h sufrido ningún cambio en su
forma y dimensiones.
77. Cierta bombilla tiene un filamento de tungsteno
con una resistencia de 19 Ω cuando está frio y de
140 Ω cuando está caliente. Suponga que la
resistividad del tungsteno varía linealmente con la
temperatura incluso en el amplio rango de
temperaturas que aquí se mencionan y determine la
temperatura del filamento caliente. Suponga que la
temperatura inicial es de 20°C.
78. ¿Cuál es la resistencia requerida de un calefactor
por inmersión que incremente la temperatura de 0,5
kg de agua de 15 °C a 75 °C en 30 minutos estando
operando a 220V?.
79. A una esfera maciza de hierro de radio b = 10 cm,
con una cavidad de radio a = 5 cm, se le aplica una
diferencia de potencial ΔV = 110 V entre el interior
y el exterior de manera que fluye una corriente

296
radial uniforme como se muestra en la figura. Si el
material entre las cáscaras es débilmente conductor
con una resistividad ρ = 104
Ω.m. Encuentre: (a) La
resistencia eléctrica, (b) la potencia disipada.
80. Un capacitor de placas paralelas está constituido
por placas cuadradas de bordes de longitud L,
separadas por una distancia d, donde d << L. entre
las placas se mantiene una diferencia de potencial
ΔV. Un material de constante dieléctri ca κ llena la
mitad del espacio entre las placas. Ahora la placa
dieléctrica se retira del capacitor, como se observa
en la figura. (a) Determine la capacitancia cuando
el borde izquierdo del material dieléctrico esté a
una distancia x del centro del capacitor. (b) si se va
retirando el dieléctrico a una rapidez constante v,
¿Cuál será la corriente en el circuito conforme se
retira el dieléctrico.
81. Halle la corriente total en un conductor circular de
2 mm de radio si la densidad de corriente varía con
r de acuerdo a 𝑗 = 103
/𝑟 (A/m).
82. Un material con una resistividad uniforme ρ se
modela en forma de una cuña como se muestra en
la figura. Determine la resistencia entre la cara A y
B de la cuña es.
83. El material dieléctrico que existe entre las placas de
un capacitor de placas paralelas tiene siempre
alguna conductividad σ diferente de cero. Si elárea
de las placas es A, la distancia entre ellas es d y el
material dieléctrico tiene una constante κ. (a)
Demuestre que el producto de la resistencia R y la
capacitancia está dado por 𝑅𝐶 = 𝜅𝜀0/𝜎, (b)
Determine la resistencia entre las placas de un
capacitor de 14 nF con dieléctrico de cuarzo
fundido
84. Un material de resistividad ρ se modela como un
cono truncado de altura h como se muestra en la
figura. El extremo inferior tiene un radio b, en tanto
que el extremo superior tiene un radio a. Suponga
que la corriente está uniformemente distribuida en
cualquier sección transversal circular del tronco de
cono, de forma que la densidad de corriente no
dependerá de la posición radial. (La densidad de
corriente variará dependiendo de su posición a lo
largo del eje del cono). Determine la resistencia
entre ambas caras del cono trucado
85. El espacio entre las armaduras de un capacitor
plano se llena con vidrio, cura resistividad es ρ =
100 HΩ.m. la capacidad del capacitor es C = 4 nF.
Determine la corriente de escape a través del
capacitor cuando a éste se le aplica una diferencia
de potencial de ΔV = 2 kV.

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