ninguna

1. TEOREMA DE CEVA
Sea P el cevacentro del triángulo ABC, entonces:
P
Q
R
S
A C
B
(AS)(BQ)(RC) = (SB)(QC)(AR)
TEOREMA DEL INCENTRO
Si I es el incentro de triángulo ABC, entonces:
B
C
D
A
I
ID
BI
AC
AB BC
= +
TEOREMA DE THALES
Sea L1
// L2
// L3
L1
L5
L4
L2
L3
a m
b n
b
a
n
m
=
PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ
• Interior
a a
B
A D C
m
a b
n
m
a
n
b
=
• Exterior
m
a
b
n
A C D
B
q
q
a
m
b
n
=
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos
interiores tienen igual medida y sus lados homólogos
son proporcionales.
Los lados homólogos en triángulos semejantes , son
aquellos lados opuesto, a ángulos de igual medida.
A
B
C
a a
b
b
q q
M
N
Q
L1
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

2. Notación:
9ABC ~ 9MNQ
Símbolo de semejaza: ~
Se lee: “es semejante a”
Pares de lados homólogos:
AB y MN; BC y NQ; AC y MQ
Se cumple:
MN
AB
NQ
BC
MQ
AC k
= = =
donde k es la razón de semejanza.
CASOSDESEMEJANZADETRIÁNGULOS
1. Dos triángulos son semejantes si dos ángulos del
primer triángulo son de igual medida a dos ángu-
los del segundo triángulo.
A
B
C
a a
b b
M
N
Q
m∠BAC = m∠NMQ y m∠ACB = m∠MQN
Entonces:
9ABC ~ 9MNQ
2. Dos triángulos son semejantes si un ángulo del
primer triángulo es de igual medida de un ángulo
del segundo y los lados que los determinan son
respectivamente proporcionales.
A
B
C
a a
M
N
c
b Q
ck
bk
m∠BAC = m∠NMQ y AB/AC = MN/MQ
Entonces:
9ABC ~ 9MNQ
3. Dos triángulos son semejantes si los tres lados del
primer triángulo son proporcionales a los tres la-
dos del segundo triángulo.
A
B
C M
N
c a
b Q
ck ak
bk
Si
MN
AB
NQ
BC
MQ
AC
= = , entonces
9ABC ~ 9MNQ
PROPIEDADES
1. En todo triángulo, al trazar un recta paralela a
uno de sus lados, siempre se forma un triángulo
parcial semejante al total.
i) Si L //AC
L a
a
b
q
q
B
P Q
A C
Entonces:
9ABC ~ 9PBQ
ii) Si L //AC
a
a
w
w
q
q
P Q
B
A C
L
Entonces:
9ABC ~ 9PBQ
2. En todo triángulo, al unir los pies de dos alturas,
siempre se forma un triángulo parcial semejante
al total.
C
q
a
q
a
b
B
P
Q
A
9ABC ~ 9PBQ

3. Consecuencia:
q
P
Q
B
A C
q
9ABC ~ 9PBQ
3. En la figura:
9ABC ~ 9PBQ
B
a
a
A
C
n
x
m
P
Se cumple:
x2
= m . n
4. En las figuras:
A
B
C
x x
x
x
a
b
A
B
C
D
Q
P
x b
a
a
b A
B
C
D
x
x
Se cumple: x = .
a b
a b
+
Trabajando en clase
Integral
1. Calcula «x».
A
B
C
P
M
N
x 6u
3n
2a
n
a
2. Calcular «x», si I es el incentro
del triángulo ABC.
I
n
3n 8u
7u
B
A D
C
x
3. Calcula «PQ», si AC//PQ.
A C
B
P x Q
7n
18u
2n
PUCP
4. Calcula «x».
x
60°
A
B
P
3n
20u
2n
C
Q
Resolución
x
60°
A H
B
P
3n
20u
10 3 u 2n
C
Q
Trazamos la altura BH, luego
en el triángulo ABH (30° y
60°); BH = 10 3 u.
Finalmente, aplicando seme-
janza en los triángulos CPQ y
CBH, tenemos:
u
x
n
n
10 3 5
2
2 1
=
x = 4 3 u

4. 5. Calcular «x».
37°
C
Q
A
P
3n
n
B
x
3u
6. Calcular «AB».
A
q
D
q
B
C 2m
6m
7. Calcular «CD»
q
q
C
D
11cm
8cm
2cm
E
A
B
UNMSM
8. Calcular «AB», si: AC = 12u,
AI = 8u y IE = 22u; además I es
el incentro del triángulo ABC
y CE es bisectriz exterior.
B
E
I
A C
Resolución
B
E
I
A C
q
22u
8u
a
a
x
q q
12u
b
b
F
Piden «x», si «I»: Incentro, en-
tonces:
m∠BAI = m∠IAC = a
m∠ABI = m∠IBC = q
Luego, CE es bisectriz exterior
por tanto:
m∠BCE = m∠ECF = b
E ⇒ Excentro relativo a BC
Propiedad:
m∠AEC = m ABC
2 2
2
+ θ
=
⇒ m∠AEC = q
iABI ~ iAEC
u
x
u
u
30 12
8
= x = 20u
9. Calcular «IE», si AC = 5m,
AI = 3m, AB = 6m; además I
es incentro del triángulo ABC
y CE es bisectriz exterior.
B
E
I
A C
10. Calcula «x»
M
3u
x
A D
12u
B C
11. Calcula «
ID
BI », si: O, I son cen-
tros, además R = 4r.
A
B
D O C
R
I
r
UNI
12. Calcula «FC», si ABCD es un
cuadrilátero inscrito en una cir-
cunferencia, además AB = AD;
BE = 3u; EF = 2u y AC es diá-
metro.PesunpuntodeBC, PA y
PD cortan a BC en los puntos
E y F, respectivamente.
Resolución
q q a
a
P Q
B
C
D
A
O
3u 2u x
E
F
Piden «x»
como AB = AD
⇒ mAB = mAD
⇒ m∠BPA = m∠APD = q
Trazamos PC y el triángulo APC
esrectángulo(AC:diámetro)
Por tanto:
m∠APD + m∠DPC = 90°
Si: m∠DPC = a
⇒ a + q = 90
Luego: B, P y Q son colineales
⇒ como a + q = 90°
⇒ 2a + 2q = 180°
m∠CPQ = a
Finalmente: B, E, F y C confor-
man una cuaterna armónica
⇒ 3(x) = 2(3 + 2 + x)
x = 10u
13. Calcula «EF», si ABCD es un
cuadrilátero inscrito en una cir-
cunferencia, además AB = AD;
BE = 6m; FC = 9m y AC es diá-
metro. P es un punto de BC, PA
y PD cortan a BC en los puntos
E y F, respectivamente.
14. Calcular «
AC
AB BC
+ », si: I es in-
centroyGesbaricentrodeltrián-
guloABC,ademásIG//AC.
I G
D M
A C
B