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1. Matemáticas:_____________________
GEOMETRIA N° 2
TRIANGULOS
1. Definición :
Es la figura plana formada por la unión de tres segmentos determinados por tres puntos no colineales.
2. Elementos del triángulo:
Los tres puntos no colineales son los vértices y los segmentos son los lados; además se determinan tres
ángulos, cuyos lados son los lados del triángulo, y se denominan ángulos interiores. Existen también los ángulos
exteriores:
C
γ‘ γ
b a A, B, C = ........................
AB ; BC ; CA = ........................
A α β β‘ α ; β ; γ = ........................
α‘ c B α‘ ; β‘ ; γ ‘ = ........................
3. Clasificación de los triángulos :
I)Según sus Lados :
a) EQUILATERO : Tienen sus tres lados iguales y, por lo tanto, sus tres ángulos interiores también iguales.
C
γ AB BC CA  ......................
b a
α β α β γ = .......................
A c B
b) ISOSCELES : Tiene dos lados iguales llamados “lados” y el tercero se llama “base.
C
γ AC BC = ..............................
b a AB = ..............................
α β α β = ..............................
A c B γ = ..............................
c) ESCALENO : Tiene sus tres lados distintos y, por lo tanto, sus tres ángulos también diferentes
C
γ
b a AB .......... BC ............ CA
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2. α β α .......... β ............. γ
A c B
II)Según sus ángulos :
a) ACUTANGULO : Tiene sus tres ángulos interiores agudos.
C
γ ............. < α < .............
b a ............. < β < .............
α β ............. < γ < ..............
A c B
b) RECTANGULO : Tiene un ángulo recto y los otros dos ángulos interiores son agudos y
complementarios.
B
β ABC rectángulo en C :
AC ; BC = ....................
a c AB = ....................
α + β= ....................
γ α γ = ....................
C b A
c) OBTUSANGULO : Tiene un ángulo interior obtuso.
C
γ
a ............... < α < ..................
b
α β
A c B
4. Teoremas sobre ángulos en los triángulos:
TEOREMA 1 : “En todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es 180°”
C
γ
α + β + γ = 180°
α β
A B
TEOREMA 2 : “Todo ángulo exterior, en un triángulo, es igual a la suma de los ángulos interiores no
adyacentes a él”
C
γ
b a α‘ = β + γ
β‘ = α + γ
γ‘ = α + β
A α β β‘
α‘ c B
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γ ‘

3. TEOREMA 3 : “La suma de los ángulos exteriores en un triángulo es de 360° ”
γ‘ C
α‘ + β‘ + γ‘ = 360°
A β‘
α‘ B
 EJERCICIOS:
I. PARTE
1. CBCA =
δ = 100°
x = ?
2. x = ?
3. L // L1
x= ?
4. α - β = 70°
γ =
5. En un triángulo isósceles, la suma de uno de los
ángulos exteriores basales y el exterior del
vértice es 230°. ¿Cuánto mide el ángulo del
vértice?
6. x = ?
7. α : β = 2 : 3 ; β : γ = 3 : 4. Hallar ángulos.
8. BCAC =
∡ CAD = ∡ DAB
∡ ACB = ¼∡ ABC
x = ?
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C
A
x
B
2a
x
20º
L1
130°
α
x
β
38°
x
α
52°
β
L
γ
P
γ
Q
3a
4a
δ
R
D
A B
x
C

4. 9. Si L1 // L2 α = ?
BCAC = ; β = 70°
10. En un triángulo el ángulo mayor mide 9° más
que el ángulo del medio y este mide 18° más
que el ángulo menor. ¿Cuánto grados miden
los ángulos respectivamente?.
II. PARTE
1. En la figura ∡ ACO =∡ BCO ∧ ∡ CBO =∡ ABO
x = ?
A) 103°
B) 136°
C) 217°
D) 257°
E) 259°
2. Triángulo ABC es equilátero y AB BD= .
Si∡ ABD = 130° , entonces x = ?
C
A) 20°
B) 30° D
C) 55°
D) 40°
E) 50°
A B
3. En el triángulo ABC, AD//BC , ∡ EAD = 40°
∡ BAC = 60° , entonces “ x ”?
A) 80°
B) 60°
C) 40°
D) 90°
E) 100°
4. En la figura ∡ CAD = ∡ BAD ¿cuánto mide la
quinta parte del ángulo “ x ” ?
A) 3°
B) 4°
C) 10°
D) 15°
E) 20°
5. Triángulo ABC rectángulo en B y triángulo DEC
rectángulo en D , BCAB = , ángulo BCE =
15°. Cuánto mide el ángulo DEC = ?
A) 15°
B) 22,5°
C) 30°
D) 37,5°
E) 60°
6. Si L1 // L2
∡ QMP = ∡ PMN = ∡ MNP y ∡ 1 = ∡ 3
Entonces ∡ 1 + ∡ 2 + ∡ 3 =
A) 135°
B) 145°
C) 150°
D) 180°
E) 200°
7. Si x + y = 200º ∡ y = ?
y + z = 250º
A) 100°
B) 150°
C) 110°
D) 90°
E) 120°
8. Si L1 // L2 ; L2 ⊥ L3 ∡ w = 5 ∡ z . Cuánto mide el
∡ x ?
A) 40°
B) 50°
C) 60°
D) 75°
E) 85°
9. L1 ⊥ L2 ∡ α = 2 ∡ β . ∡ x = ?
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β
C
α
B
L1
L2
C
26°
x
0
A
B
x
D
A
BE
C
x
A
B
C
x
80°
120°
D
C
D
A B E
R
M
Q
P
N
1
2
3
L1
L2
w
z
x
L1
L2
L3
L1
A
x y
z

5. A) 112°30’
B) 120°
C) 130°
D) 135°
E) 150°
10. Si ADAB ⊥ Y AEAC ⊥ . ∡ DAE = 35°
entonces “ x ”= ?
A) 35°
B) 45°
C) 55°
D) 105°
E) N.A.
11. α = 2β ∡ x = ?
A) 90°
B) 95°
C) 120°
D) 110°
E) 100°
12. ACAB = x : y = 4 : 7 ; ∡ x y ∡ y
respectivamente miden:
Α A) 20° , 40°
Β B) 40° , 70°
C) 30° , 80°
D) 20° , 60°
E) N.A.
13. Si CD//AB , entonces “ x ” ?
A) 100°
B) 70°
C) 120°
D) 180°
E) 205°
14. α y β son suplementarios, si α mide 12° menos que el
triple de β. ¿Cuál es el complemento de β ?
A) 42° B) 48° C) 132° D) 144° E) N.A.
15. Si L1 // L2 α + β = ?
A) 70°
B) 105°
C) 140°
D) 165°
E) 175°
16. L1 // L2 α = 45° - 3x ; β = 5x + 30° ; γ =
6x + 65° , entonces ∡ a = ?
A) 5°
B) 25°
C) 30°
D) 65°
E) 85°
• TRIANGULOS CONGRUENTES:
• CRITERIOS DE CONGRUENCIAS:
Se llaman criterios de congruencias los postulados y teoremas que enuncian cuales son las condiciones mínimas que
deben reunir dos o más triángulos para que sean congruentes.
1. Postulado L.A.L. (Lado, ángulo, lado)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo determinado por ellos respectivamente
congruentes.
C F
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C
x
α
x
A E
D
C
B
x
60º
β α
x
y
A B
C
30º 40ºx
B D
A C
L1
L22β
α+40º
α
L1
L2
α γ
β
a
Se dice que un triángulo ABC es congruente
con triángulo DEF, si sus lados respectivos son
congruentes y sus ángulos respectivos son
congruentes
C
A B
α
β
F
D E
β
α γ
∆ ABC ≅ ∆ DEF
DEAB ≅
Si EFBC ≅  ∆ ABC ≅ ∆ DEF
∡ABC ≅ ∡ DEF
L2
β

6. A B D E
2. Postulado A.L.A (ángulo, lado, ángulo)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ellos, respectivamente congruentes.
O
3. Postulado L.L.L. (Lado, lado, lado)
Dos triángulos son congruentes si tiene sus tres lados respectivamente congruentes.
 Indicar que postulados indican congruencia de los ángulos:
1. 2. 3.
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DA C
A B
x w
y
z v
E F
G
E
M N
R
P Q
∡ MNO ≅ ∡ PQR
Si ∡ MON ≅ ∡ PRQ  ∆ MNO ≅ ∆ PQR
QRNO ≅
S
A R
Q
T P
TQAS ≅
Si TPAR ≅  ∆ ARS ≅ ∆ TPQ
PQSR ≅

7. A B D E
2. Postulado A.L.A (ángulo, lado, ángulo)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ellos, respectivamente congruentes.
O
3. Postulado L.L.L. (Lado, lado, lado)
Dos triángulos son congruentes si tiene sus tres lados respectivamente congruentes.
 Indicar que postulados indican congruencia de los ángulos:
1. 2. 3.
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DA C
A B
x w
y
z v
E F
G
E
M N
R
P Q
∡ MNO ≅ ∡ PQR
Si ∡ MON ≅ ∡ PRQ  ∆ MNO ≅ ∆ PQR
QRNO ≅
S
A R
Q
T P
TQAS ≅
Si TPAR ≅  ∆ ARS ≅ ∆ TPQ
PQSR ≅