UNAM Economía Jorge Mendoza

1. 1.
𝟑𝒙𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 = −𝟏𝟑
𝟒𝒙𝟏 − 𝟔𝒙𝟐 = 𝟎
Solución:
1. Representamos el sistema de ecuaciones en formato de matriz:
[
3 −2
4 −6
] [
𝑥
𝑦] = [
−13
0
]
2. Escribimos la matriz principal y encontramos su determinante:
|
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| = 𝑎𝑑 − 𝑐𝑑
∆= [
3 −2
4 −6
] = (3)(−6)− (4)(−2) = −18 + 8 = −10
3. Reemplazamos la columna número 1 de la matriz principal con la solución
del vector y encontramos su determinante:
|
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| = 𝑎𝑑 − 𝑐𝑑
∆1= [
−13 −2
0 −6
] = (−13)(−6)− (0)(−2) = 78 − 0 = 78
4. Reeemplazamos la columna 2 de la matriz principal con la solución del vector
y encontramos su determinante:
|
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| = 𝑎𝑑 − 𝑐𝑑
∆2= [
3 −13
4 0
] = (3)(0)− (4)(−13) = 0 + 52 = 52
5. Encontramos el valor de x y y por la regla de Cramer: Un sistema de Cramer
tiene una solución que viene dada por las siguientes expresiones:
𝑥1 =
∆1
∆
, 𝑥2 =
∆2
∆
,𝑥3 =
∆3
∆
, … , 𝑥𝑛 =
∆𝑛
∆
𝑥1 =
∆1
∆
=
78
−10
= −
39
5
𝑥2 =
∆2
∆
=
52
−10
= −
26
5
Por tanto:
𝒙𝟏 = −
𝟑𝟗
𝟓

2. 𝒙𝟐 = −
𝟐𝟔
𝟓
Sistema consistente independiente o de solución única Dado que el sistema de
ecuaciones puede ser representado como un punto, el sistema es independiente.
𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟑 = 𝟏𝟕
𝟒. 𝟐𝒙𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = −𝟏𝟔
𝟓𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝟑 = 𝟐𝟏
Solución:
Representamos el sistema de ecuaciones en formato de matriz:
[
1 3 −2
2 −4 1
5 2 −4
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
17
−16
21
]
a) Escribimos la matriz principal y encontramos su determinante;
∆= [
1 3 −2
2 −4 1
5 2 −4
]
Para hallar el determinante de una matriz 3x3, lo dividimos en componentes más
pequeños:
∆= 1 |
−4 1
2 −4
| − 2|
3 −2
2 −4
| + 5 |
3 −2
−4 1
|
∆= 1|
−4 1
2 −4
| = 1[(−4)(−4)− (1)(2)] = 1[16− 2] = 1(14) = 14
∆= −2|
3 −2
2 −4
| = −2[(3)(−4)− (2)(−2)] = −2[−12+ 4] = −2(−8) = 16
∆= 5|
3 −2
−4 1
| = 5[(3)(1)− (−4)(−2)] = 5[3 − 8] = 5(−5) = −25
Sumamos los tres determinantes:
∆= 14 + 16 − 25 = 5
Por tanto:
∆= [
1 3 −2
2 −4 1
5 2 −4
] = 5
b) Reemplazamos la columna número 1 de la matriz principal con la solución
del vector y encontramos su determinante:

3. ∆1= [
17 3 −2
−16 −4 1
21 2 −4
]
Para hallar el determinante de una matriz 3x3, lo dividimos en componentes más
pequeños:
∆1= 17 |
−4 1
2 −4
| + 16|
3 −2
2 −4
| + 21 |
3 −2
−4 1
|
∆1= 17|
−4 1
2 −4
| = 17[(−4)(−4)− (2)(1)] = −17[16 − 2] = 17(14) = 238
∆1= 16|
3 −2
2 −4
| = 16[(3)(−4)− (2)(−2)] = 16[−12 + 4] = 16(−8) = −128
∆1= 21|
3 −2
−4 1
| = 21[(3)(1)− (−4)(−2)] = 21[3 − 8] = 21(−5) = −105
Sumamos los tres determinantes:
∆1= 238 − 128 − 105 = 5
Por tanto:
∆1= [
17 3 −2
−16 −4 1
21 2 −4
] = 5
c) Reemplazamos la columna número 2 de la matriz principal con la solución
del vector y encontramos su determinante:
∆2= [
1 17 −2
2 −16 1
5 21 −4
]
Para hallar el determinante de una matriz 3x3, lo dividimos en componentes más
pequeños:
∆2= 1|
−16 1
21 −4
| − 2 |
17 −2
21 −4
| + 5 |
17 −2
−16 1
|
∆2= 1 |
−16 1
21 −4
| = 1[(−16)(−4)− (21)(1)] = 1[64 − 21] = 1(43) = 43
∆2= −2 |
17 −2
21 −4
| = −2[(17)(−4)− (21)(−2)] = −2[−68 + 42] = −2(−26)
= 52
∆2= 5|
17 −2
−16 1
| = 5[(17)(1)− (−16)(−2)] = 5[17 − 32] = 5(−15) = −75

4. Sumamos los tres determinantes:
∆2= 43 + 52 − 75 = 20
Por tanto:
∆2= [
1 17 −2
2 −16 1
4 21 −4
] = 20
d) Reemplazamos la columna número 3 de la matriz principal con la solución
del vector y encontramos su determinante:
∆3= [
1 3 17
2 −4 −16
5 2 21
]
Para hallar el determinante de una matriz 3x3, lo dividimos en componentes más
pequeños:
∆3= 1|
−4 −16
2 21
| − 2 |
3 17
2 21
| + 5 |
3 17
−4 −16
|
∆3= 1 |
−4 −16
2 21
| = 1[(−4)(21)− (2)(−16)] = 1[−84 + 32] = 1(−52)
= −52
∆3= −2 |
3 17
2 21
| = −2[(3)(21)− (2)(17)] = −2[63− 34] = −2(29) = −58
∆3= 5 |
3 17
−4 −16
| = 5[(3)(−16)− (−4)(17)] = 5[−48 + 68] = 5(20) = 100
Sumamos los tres determinantes:
∆3= −52 − 58 + 100 = −10
Por tanto:
∆3= [
1 3 17
2 −4 −16
5 3 21
] = −10
e) Encontramos el valor de x, y y z por la regla de Cramer: Un sistema de
Cramer tiene una solución que viene dada por las siguientes expresiones:
𝑥1 =
∆1
∆
, 𝑥2 =
∆2
∆
,𝑥3 =
∆3
∆
, … , 𝑥𝑛 =
∆𝑛
∆
𝑥1 =
∆1
∆
=
5
5
= 1
𝑥2 =
∆2
∆
=
20
5
= 4

5. 𝑥2 =
∆3
∆
=
−10
5
= −2
Por tanto:
𝒙𝟏 = 𝟏
𝒙𝟐 = 𝟒
𝒙𝟑 = −𝟐
La solución al sistema de ecuaciones puede ser representada como un
escalar (1,4,-2). Dado que el sistema tiene un punto de intersección, es
consistente independiente.