UNAM Economía Jorge Mendoza

1. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
I. Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
identifica si es consistente de solución única, consistente de
solución múltiple o inconsistente, mediante el método de Gauss-
Jordan.
1.
𝟓𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟑
−𝟕𝒙 + 𝒚 = 𝟔
El método de Gauss-Jordan utiliza operaciones con matrices para resolver
sistemas de ecuaciones de n numero de variables.
Para aplicar este método solo hay que recordar que cada operación que se realice
se aplicara a toda la fila o a toda la columna en su caso.
El objetivo de este método es tratar de convertir la parte de la matriz donde están
los coeficientes de las variables en una matriz identidad. Esto se logra mediante
simples operaciones de suma, resta y multiplicación.
El procedimiento es el siguiente:
Se acomodan los coeficientes y los resultados en una matriz:
[
5 2 3
−7 1 6
]
Para convertir algunos elementos de la primer fila en 1, la reemplazamos con:
𝑅1 =
1
5
𝑅1
[(
1
5
) ∙ (5) (
1
5
) ∙ (2) (
1
5
) ∙ (3)
−7 1 6
]
[ 1
2
5
3
5
−7 1 6
]
Para convertir algunos elementos de la segunda fila en 0, la reemplazamos con:
𝑅2 = 7 ∙ 𝑅1 + 𝑅2
[
1
2
5
3
5
(7) ∙ (1) + (−7) (7)∙ (
2
5
) + (1) (7) ∙ (
3
5
) + (6)
]
[
1
2
5
3
5
0
19
5
51
5
]
Para convertir algunos elementos de la segunda fila en 1, la reemplazamos con:

2. 𝑅2 =
5
9
𝑅2
[
1
2
5
3
5
(
5
9
) ∙ (0) (
5
19
) ∙ (
19
5
) (
5
19
) ∙ (
51
5
)
]
[
1
2
5
3
5
0 1
51
19
]
Para convertir algunos elementos de la primera fila en 0, la reemplazamos con:
𝑅1 = −
2
5
𝑅2 + 𝑅1
[
(−
2
5
) ∙ (0) + (1) (−
2
5
) ∙ (1)+
2
5
(−
2
5
) ∙ (
51
19
) +
3
5
0 1
51
19
]
[
1 0 −
9
19
0 1
51
19
]
Por tanto:
𝒙𝟏 = −
𝟗
𝟏𝟗
𝒙𝟐 =
𝟓𝟏
𝟏𝟗
2.
𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟏𝟏
𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟐𝟐
Se acomodan los coeficientes y los resultados en una matriz:
[
1 5 11
4 −2 22
]
Para convertir algunos elementos de la segunda fila en 0, la reemplazamos con:
𝑅1 = −4 ∙ 𝑅1 + 𝑅2
[
1 5 11
(−4) ∙ (1) + 4 (−4) ∙ (5) − 2 (−4) ∙ (11)+ 22
]
[
1 5 11
0 −22 −22
]
Para convertir algunos elementos de la segunda fila en 1, la reemplazamos con:
𝑅2 = −
1
22
𝑅2
[
1 5 11
0
22
−
22
22
−
22
22
]
[
1 5 11
0 1 1
]

3. Para convertir algunos elementos de la primera fila en 0, la reemplazamos con:
𝑅1 = −5 ∙ 𝑅1 + 𝑅2
[
(−5)∙ (0) + (1) (−5) ∙ (1) + 5 (−5) ∙ (1)+ 11
0 1 1
]
[
1 0 6
0 1 1
]
Por tanto:
𝒙𝟏 = 𝟔
𝒙𝟐 = 𝟏
3.
𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = −𝟐
𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝒛 = −𝟒
𝟒𝒙 + 𝟖𝒚 + 𝒛 = −𝟖
Se acomodan los coeficientes y los resultados en una matriz:
[
1 2 −1
1 4 −1
4 8 1
−2
−4
−8
]
Para convertir algunos elementos de la segunda fila en 0, la reemplazamos con:
𝑅2 = −1 ∙ 𝑅1 + 𝑅2
[(−1)∙
1 2 −1
(1) + 1 (−1) ∙ (2) + 4 (−1) ∙ (−1) + (−1)
4 8 1
(−1)∙ (−2)
−2
+(−4)
−8
]
[
1 2 −1
0 2 0
4 8 1
−2
−2
−8
]
Para convertir algunos elementos de la tercera fila en 0, la reemplazamos con:
𝑅3 = −4 ∙ 𝑅1 + 𝑅3
[
1 2 −1
0 2 0
(−4) ∙ (1) + 4 (−4)(2)+ 8 (−4)∙ (−1)+ 1
−2
−2
(−4) ∙ (−2) + (−8)
]
[
1 2 −1
0 2 0
0 0 5
−2
−2
0
]
Para convertir algunos elementos de la segunda fila en 1, la reemplazamos con:
𝑅2 =
1
2
𝑅2
[
1 2 −1
(
1
2
) ∙ (0) (
1
2
) ∙ (2) (
1
2
) ∙ (0)
0 0 5
−2
(
1
2
) ∙ (−2)
0
]

4. [
1 2 −1
0 1 0
0 0 5
−2
−1
0
]
Para convertir algunos elementos de la primera fila en 0, la reemplazamos con:
𝑅1 = −2 ∙ 𝑅2 + 𝑅1
[
(−2) ∙ (0) + 1 (−2) ∙ (1)+ 2 (−2)∙ (0)+ (−1)
0 1 0
0 0 5
(−2) ∙ (−1) + (−2)
−1
0
]
[
1 0 −1
0 1 0
0 0 5
0
−1
0
]
Para convertir algunos elementos de la tercera fila en 1, la reemplazamos con:
𝑅3 =
1
5
𝑅3
[
1 0 −1
0 1 0
(
1
5
) ∙ (0) (
1
5
) ∙ (0) (
1
5
) ∙ (5)
0
−1
(
1
5
) ∙ (0)
]
[
1 0 −1
0 1 0
0 0 1
0
−1
0
]
Para convertir algunos elementos de la primera fila en 0, la reemplazamos con:
𝑅1 = 𝑅3 + 𝑅1
[
0 + 1 0 + 0 1 − 1
0 1 0
0 0 1
0 + 0
−1
0
]
[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0
−1
0
]
Por tanto:
𝑥1 = 0
𝑥2 = −1
𝑥3 = 0