Tutorial: Cinemática del sólido rígido
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El documento explica cómo resolver problemas de cinemática de sólidos rígidos rotacionales. En particular, analiza un disco que rueda sobre una superficie horizontal sometido a fuerzas, y cómo calcular su aceleración angular, la aceleración en su eje y centro de masas, y el coeficiente de rozamiento.
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- 1. Tutorial: PROBLEMA RESUELTO CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: 02 ¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ? • Cómo dibujar el diagrama de sólido libre de un cuerpo • Cómo calcular la aceleración lineal de su c.d.m. y de su eje • Cómo obtener las relaciones geométricas que permitan obtener los parámetros de cálculo. Javier Luque javier@fdet.es Área de ingeniería industrial http://fdet.es http://fdetonline.com FdeT en redes sociales
- 2. Se tiene un disco de masa “m” rodando sobre una superficie horizontal. El disco está sometido a una fuerza vertical 𝐹𝑣 sobre su eje y a una fuerza 𝐹ℎ que ejerce una barra situada a una distancia “d” del centro de masas, tal y como se aprecia en la figura. Considerando que el radio de giro del disco respecto de c.d.m. (G) es 𝑖0 y que el c.d.m. se sitúa a una distancia “b” del eje del disco (C) se pide, para el instante que se muestra, cuando el disco lleva una velocidad angular 𝜔: a) Representación del diagrama de cuerpo libre del disco b) Aceleración del disco en su eje c) Aceleración que tiene el disco en su c.d.m. d) Expresión del coeficiente de rozamiento entre disco y superficie de rodadura e) Aceleración angular del disco 𝜃G C 𝜔 𝐹ℎ 𝐹𝑣 B Tutorial: PROBLEMA RESUELTO CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: 02
- 3. 𝜃G C 𝜔 𝐹ℎ 𝐹𝑣 a) Representación del diagrama de cuerpo libre del disco G C 𝜔 𝐹ℎ 𝐹𝑣 P 𝐹𝑅 N B B Tutorial: PROBLEMA RESUELTO CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: 02
- 4. 𝜃G C 𝜔 𝐹ℎ 𝐹𝑣 a) Representación del diagrama de cuerpo libre del disco G C 𝜔 𝐹ℎ 𝐹𝑣 P 𝐹𝑅 N B B G C B 𝜃 (d+b)cos𝜃 b·sen𝜃 Tutorial: PROBLEMA RESUELTO CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: 02
- 5. 𝜃G C 𝜔 𝐹ℎ 𝐹𝑣 b) Aceleración del disco en su eje B G C B 𝜃 (d+b)cos𝜃 b·sen𝜃 El disco rueda → 𝑎 𝑐 = −𝛼 · 𝑅 𝑖 Tutorial: PROBLEMA RESUELTO CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: 02
- 6. 𝜃G C 𝜔 𝐹ℎ 𝐹𝑣 B G C B 𝜃 (d+b)cos𝜃 b·sen𝜃 𝑎 𝑐 = −𝛼 · 𝑅 𝑖 La aceleración del c.d.m. considerando las relaciones del campo de aceleraciones entre el centro del disco y el c.d.m. 𝑎 𝐺 = 𝑎 𝑐 + 𝛼 × 𝑟 𝐺 𝑐 − 𝜔2·𝑟 𝐺 𝑐 c) Aceleración que tiene el disco en su c.d.m. Tutorial: PROBLEMA RESUELTO CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: 02
- 7. 𝜃G C 𝜔 𝐹ℎ 𝐹𝑣 B G C B 𝜃 (d+b)cos𝜃 b·sen𝜃 c) Aceleración que tiene el disco en su c.d.m. La aceleración del c.d.m. considerando las relaciones del campo de aceleraciones entre el centro del disco y el c.d.m. 𝑎 𝐺 = 𝑎 𝑐 + 𝛼 × 𝑟 𝐺 𝑐 − 𝜔2·𝑟 𝐺 𝑐 𝑟 𝐺 𝑐 = −𝑏 · 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑖 + 𝑏 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑗 𝑎 𝑐 = −𝛼 · 𝑅 𝑖 Tutorial: PROBLEMA RESUELTO CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: 02
- 8. 𝜃G C 𝜔 𝐹ℎ 𝐹𝑣 B G C B 𝜃 (d+b)cos𝜃 b·sen𝜃 c) Aceleración que tiene el disco en su c.d.m. La aceleración del c.d.m. considerando las relaciones del campo de aceleraciones entre el centro del disco y el c.d.m. 𝑎 𝐺 = 𝑎 𝑐 + 𝛼 × 𝑟 𝐺 𝑐 − 𝜔2·𝑟 𝐺 𝑐 𝑟 𝐺 𝑐 = −𝑏 · 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑖 + 𝑏 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑗 𝑎 𝐺 = −𝛼 · 𝑅 𝑖 + 𝑖 𝑗 𝑘 0 0 𝛼 −𝑏 · 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑏 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 − 𝜔2· −𝑏 · 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑖 + 𝑏 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑗 = 𝑎 𝑐 = −𝛼 · 𝑅 𝑖 Tutorial: PROBLEMA RESUELTO CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: 02
- 9. 𝜃G C 𝜔 𝐹ℎ 𝐹𝑣 B G C B 𝜃 (d+b)cos𝜃 b·sen𝜃 c) Aceleración que tiene el disco en su c.d.m. La aceleración del c.d.m. considerando las relaciones del campo de aceleraciones entre el centro del disco y el c.d.m. 𝑎 𝐺 = 𝑎 𝑐 + 𝛼 × 𝑟 𝐺 𝑐 − 𝜔2·𝑟 𝐺 𝑐 𝑟 𝐺 𝑐 = −𝑏 · 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑖 + 𝑏 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑗 𝑎 𝐺 = −𝛼 · 𝑅 𝑖 + 𝑖 𝑗 𝑘 0 0 𝛼 −𝑏 · 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑏 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 − 𝜔2· −𝑏 · 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑖 + 𝑏 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑗 = 𝑎 𝐺 = (−𝛼 · 𝑅 − b · α · 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑏 · 𝜔2 · 𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑖 + (−b · α · 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑏 · 𝜔2 · 𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝑗 𝑎 𝑐 = −𝛼 · 𝑅 𝑖 Tutorial: PROBLEMA RESUELTO CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: 02
- 10. La expresión del coeficiente de rozamiento es 𝜇 = 𝐹𝑟 𝑁 d) Expresión del coeficiente de rozamiento entre disco y superficie de rodadura G C 𝜔 𝐹ℎ 𝐹𝑣 P 𝐹𝑅 N B Tutorial: PROBLEMA RESUELTO CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: 02
- 11. d) Expresión del coeficiente de rozamiento entre disco y superficie de rodadura Empleamos el equilibrio dinámico para obtener su relación 𝐹𝑥 = 𝑚 · 𝑎 𝑥,𝐺 𝐹𝑟 − 𝐹ℎ = 𝑚 · 𝑎 𝑥,𝐺 = 𝑚(−𝛼 · 𝑅 − b · α · 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑏 · 𝜔2 · 𝑠𝑒𝑛𝜃) G C 𝜔 𝐹ℎ 𝐹𝑣 P 𝐹𝑅 N B 𝜇 = 𝐹𝑟 𝑁 Tutorial: PROBLEMA RESUELTO CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: 02
- 12. d) Expresión del coeficiente de rozamiento entre disco y superficie de rodadura 𝐹𝑦 = 𝑚 · 𝑎 𝑦,𝐺 𝑁 − 𝑃 − 𝐹𝑣 = 𝑚 · 𝑎 𝑦,𝐺 = 𝑚(−b · α · 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑏 · 𝜔2 · 𝑐𝑜𝑠𝜃) G C 𝜔 𝐹ℎ 𝐹𝑣 P 𝐹𝑅 N B Empleamos el equilibrio dinámico para obtener su relación 𝐹𝑥 = 𝑚 · 𝑎 𝑥,𝐺 𝐹𝑟 − 𝐹ℎ = 𝑚 · 𝑎 𝑥,𝐺 = 𝑚(−𝛼 · 𝑅 − b · α · 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑏 · 𝜔2 · 𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝜇 = 𝐹𝑟 𝑁 Tutorial: PROBLEMA RESUELTO CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: 02
- 13. d) Expresión del coeficiente de rozamiento entre disco y superficie de rodadura 𝐹𝑦 = 𝑚 · 𝑎 𝑦,𝐺 𝑁 − 𝑃 − 𝐹𝑣 = 𝑚 · 𝑎 𝑦,𝐺 = 𝑚(−b · α · 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑏 · 𝜔2 · 𝑐𝑜𝑠𝜃) G C 𝜔 𝐹ℎ 𝐹𝑣 P 𝐹𝑅 N B Empleamos el equilibrio dinámico para obtener su relación 𝐹𝑥 = 𝑚 · 𝑎 𝑥,𝐺 𝐹𝑟 − 𝐹ℎ = 𝑚 · 𝑎 𝑥,𝐺 = 𝑚(−𝛼 · 𝑅 − b · α · 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑏 · 𝜔2 · 𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝜇 = 𝐹𝑟 𝑁 𝜇 = 𝐹𝑟 𝑁 = 𝐹ℎ+𝑚(−𝛼·𝑅−b·α·𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑏·𝜔2·𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑃+ 𝐹𝑣+𝑚(−b·α·𝑠𝑒𝑛𝜃−𝑏·𝜔2·𝑐𝑜𝑠𝜃) Tutorial: PROBLEMA RESUELTO CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: 02
- 14. G C 𝜔 𝐹ℎ 𝐹𝑣 P 𝐹𝑅 N B Empleamos, la última ecuación del equilibrio dinámico y el valor que suponemos conocido del momento de inercia respecto del c.d.m. 𝜇 = 𝐹𝑟 𝑁 𝑀 𝐺 = 𝐼 𝐺 · 𝛼 𝐹ℎ · 𝑑 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝐹𝑣 · 𝑏 · 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑁 · 𝑏 · 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝐹𝑟 · 𝑅 + 𝑏 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐼 𝐺 · 𝛼 e) Aceleración angular del disco 𝛼 = 𝐹ℎ · 𝑑 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝐹𝑣 · 𝑏 · 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑁 · 𝑏 · 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝐹𝑟 · 𝑅 + 𝑏 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐼 𝐺 𝐹𝑟 = 𝐹ℎ + 𝑚(−𝛼 · 𝑅 − b · α · 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑏 · 𝜔2 · 𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑁 = 𝑃 + 𝐹𝑣 + 𝑚(−b · α · 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑏 · 𝜔2 · 𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝐼 𝐺 = 𝑚 · 𝑖0 2 Tutorial: PROBLEMA RESUELTO CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: 02
- 15. 𝑀 𝐺 = 𝐼 𝐺 · 𝛼 e) Aceleración angular del disco 𝛼 = 𝐹ℎ · 𝑑 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝐹𝑣 · 𝑏 · 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑁 · 𝑏 · 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝐹𝑟 · 𝑅 + 𝑏 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐼 𝐺 = 𝛼 = 𝐹ℎ · 𝑑 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝐹𝑣 · 𝑏 · 𝑠𝑒𝑛𝜃 + (𝑃 + 𝐹𝑣 + 𝑚 −b · α · 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑏 · 𝜔2 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 ) · 𝑏 · 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐼 𝐺 + (𝐹ℎ+𝑚(−𝛼 · 𝑅 − b · α · 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑏 · 𝜔2 · 𝑠𝑒𝑛𝜃)) · 𝑅 + 𝑏 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐼 𝐺 𝐼 𝐺 = 𝑚 · 𝑖0 2 𝛼 = 𝐹ℎ · 𝑅 + b · α · 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑑 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑚 · b · 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑔 + 𝑅 · 𝜔2 𝑚(𝑖0 2 + 𝑏2 + 2 · 𝑏 · 𝑅 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑅2) FIN Tutorial: PROBLEMA RESUELTO CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO: 02