En esta presentación resolveremos un problema aparecido en selectividad en matemáticas aplicadas a las CCSS, donde tendremos que optimizar una determinada función

1. Vídeo tutorial FdeT
APLICACIONES DE OPTIMIZACION
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- Interpretar el valor numérico de un polinomio en un problema dado.
- Calcular e interpretar los máximos y los mínimos de una función en un problema dado.

2. ENUNCIADO:
El porcentaje de personas que sintonizan un programa de radio que se emite entre las 6 y las
12 horas viene dado, según la hora t, mediante la función
𝑓 𝑡 = 660 − 231𝑡 + 27𝑡2 − 𝑡3 6 ≤ 𝑡 ≤ 12
a) ¿Qué porcentaje de personas sintonizan el programa al comenzar la emisión? ¿Y al cierre?
b) ¿A qué hora tiene máxima y mínima audiencia? ¿Qué porcentaje de personas sintonizan
el programa a dichas horas?
Vídeo tutorial FdeT
APLICACIONES DE OPTIMIZACION

3. a) ¿Qué porcentaje de personas sintonizan el programa al comenzar la emisión? ¿Y al cierre?
En primer lugar observamos que la variable t representa la hora, que va oscilando entre las 6 y las 12. La función f(t)
representa el porcentaje de espectadores que sintonizan un programa de radio a la hora t.
𝑓 𝑡 = 660 − 231𝑡 + 27𝑡2 − 𝑡3 6 ≤ 𝑡 ≤ 12
Por lo tanto al comenzar el programa lo sintonizarán:
𝑓 6 = 660 − 231 6 + 27 6 2 − 63 = 30
Al comenzar el programa lo sintonizarán el 30%.
Al cierre del programa lo sintonizarán:
𝑓 12 = 660 − 231 12 + 27 12 2 − 123 = 48
Por tanto al cierre del programa lo sintonizarán el 48%
Vídeo tutorial FdeT
APLICACIONES DE OPTIMIZACION

4. b) ¿A qué hora tiene máxima y mínima audiencia? ¿Qué porcentaje de personas sintonizan el programa a dichas horas?
Para calcular la hora a la que el programa tiene máxima y mínima audiencia, tenemos que hallar los extremos de la función,
para ello calculamos la derivada de la misma.
𝑓´ 𝑡 = −231 + 54𝑡 − 3𝑡2
6 < 𝑡 < 12
Igualamos a cero para obtener los puntos críticos de la función.
−231 + 54𝑡 − 3𝑡2
= 0 𝑡 = 7, 𝑡 = 11
Observamos en primer lugar que los dos valores obtenidos están en el dominio de definición de la función. A continuación
tenemos que estudiar si esos valores son máximos o mínimos. Para ello podemos estudiar el signo de la segunda derivada, o
si existe un cambio de signo en la primera derivada.
Vídeo tutorial FdeT
APLICACIONES DE OPTIMIZACION

5. Por lo tanto se tiene que:
𝑓 es monótona decreciente en (6,7) y en (11,12)
𝑓 es monótona creciente en (7,11)
𝑓 tiene un máximo relativo en 𝑥 = 6 y vale 6, 𝑓(6) = 6,30
𝑓 tiene un máximo relativo en 𝑥 = 11 y vale 11, 𝑓(11) = 11,55
𝑓 tiene un mínimo relativo en 𝑥 = 7 y vale 7, 𝑓(7) = 7,23
𝑓 tiene un mínimo relativo en 𝑥 = 12 y vale 12, 𝑓(12) = 12,48
Recordemos que al estar f definida en un intervalo cerrado y acotado, entonces f alcanza su máximo y mínimo absoluto.
Se tiene en este caso que el máximo absoluto de la función lo alcanza en 𝑥 = 11, con un 55% de audiencia.
El mínimo absoluto de la función lo alcanza en 𝑥 = 7 con un 23% de audiencia.
Vídeo tutorial FdeT
APLICACIONES DE OPTIMIZACION
6 7 11 12
Signo 𝑓´(𝑥)
- + -