Este video tutorial enseña cómo demostrar una sucesión utilizando inducción matemática. Explica la sucesión de Fibonacci y muestra cómo probar que (1) si F = [1 1; 1 0], entonces Fn = [fn+1 fn; fn fn-1] para todo n en N, y (2) que fn+1fn = f2n - 1n para todo n en N. Primero se prueba la base y paso de inducción para (1), y luego se usa este resultado para demostrar (2) tomando determinantes.

1. Vídeo tutorial FdeT:
Problemas resueltos: Inducción
CONTENIDO DE ESTE VÍDEO TUTORIAL
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En este vídeo vas a aprender:
• A realizar una demostración utilizando el método de
inducción.
• Conocerás la sucesión de Fibonacci.

2. Enunciado:
Se considera la sucesión de Fibonaci, definida por:
𝑓0 = 0, 𝑓1 = 1, 𝑓𝑛 = 𝑓𝑛−1 + 𝑓𝑛−2 ∀𝑛 ∈ ℕ
Se pide:
a) Probar que si 𝐹 =
1 1
1 0
, entonces 𝐹 𝑛
=
𝑓𝑛+1 𝑓𝑛
𝑓𝑛 𝑓𝑛−1
∀𝑛 ∈ ℕ
b) Probar que 𝑓𝑛+1 𝑓𝑛 = 𝑓2
𝑛
+ −1 𝑛
, ∀𝑛 ∈ ℕ
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Problemas resueltos: Inducción

3. a) En primer lugar notaremos por:
𝐴 𝑛 =
𝑓𝑛+1 𝑓𝑛
𝑓𝑛 𝑓𝑛−1
Y por 𝐹 =
1 1
1 0
.
Tenemos que probar que para todo número natural n se cumple que 𝐹 𝑛 = 𝐴 𝑛.
Probaremos esta igualdad usando el método de inducción.
• Vamos a probar la etapa base para n=1.
Este caso es obvio, ya que
𝐹1
= 𝐹 =
1 1
1 0
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Problemas resueltos: Inducción

4. Y
𝐴1 =
𝑓2 𝑓1
𝑓1 𝑓0
=
1 1
1 0
Obsérvese que
𝑓0 = 0, 𝑓1 = 1
𝑓2 = 𝑓1 + 𝑓0 = 1 + 0 = 1
Por lo tanto se cumple la igualdad 𝐹1 = 𝐴1
• Realizaremos la prueba para n=2, aunque este paso no sea necesario.
Para n=2, tenemos que:
𝐹2 =
1 1
1 0
2
=
1 1
1 0
1 1
1 0
=
2 1
1 1
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5. Por otro lado tenemos que:
𝐴2 =
𝑓3 𝑓2
𝑓2 𝑓1
=
2 1
1 1
Observamos que
𝑓3 = 𝑓2 + 𝑓1 = 1 + 1 = 2
Por lo tanto se cumple que: 𝐹2 = 𝐴2
• Vamos ahora a realizar la etapa de inducción. Suponemos cierta la igualdad que
queremos probar para un cierto n, y la probamos para n+1.
Es decir supongamos que 𝐹 𝑛 = 𝐴 𝑛
Tenemos que probar que: 𝐹 𝑛+1 = 𝐴 𝑛+1
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Consideramos
𝐹 𝑛+1 = 𝐹 𝑛 𝐹 = 𝐴 𝑛 𝐹 =
𝑓𝑛+1 𝑓𝑛
𝑓𝑛 𝑓𝑛−1
1 1
1 0
=
𝑓𝑛+1 + 𝑓𝑛 𝑓𝑛+1
𝑓𝑛 + 𝑓𝑛−1 𝑓𝑛
=
𝑓𝑛+2 𝑓𝑛+1
𝑓𝑛+1 𝑓𝑛
= 𝐴 𝑛+1
Por tanto se cumple que: 𝐹 𝑛+1 = 𝐴 𝑛+1
Por tanto se cumple la igualdad 𝐹 𝑛
= 𝐴 𝑛 ∀𝑛 ∈ ℕ
Por hipótesis de inducción
se cumple 𝐹 𝑛
= 𝐴 𝑛
Por la definición de la sucesión
de Fibonacci se tiene que:
𝑓𝑛+1 + 𝑓𝑛 = 𝑓𝑛+2
𝑓𝑛 + 𝑓𝑛−1 = 𝑓𝑛+1

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b) Vamos a probar a continuación que se cumple:
𝑓𝑛+1 𝑓𝑛−1 = 𝑓2
𝑛
+ −1 𝑛, ∀𝑛 ∈ ℕ
Para probar esta igualdad, basta con utilizar la igualdad demostrada en el apartado
anterior, es decir usaremos que 𝐹 𝑛 =
𝑓𝑛+1 𝑓𝑛
𝑓𝑛 𝑓𝑛−1
.
Por lo visto en el apartado anterior demostramos que:
1 1
1 0
𝑛
=
𝑓𝑛+1 𝑓𝑛
𝑓𝑛 𝑓𝑛−1
Por tanto si tomamos determinantes, se tendría que:

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1 1
1 0
𝑛
=
𝑓𝑛+1 𝑓𝑛
𝑓𝑛 𝑓𝑛−1
Vamos a hacer los dos determinantes por separado, y después igualaremos los
resultados.
•
1 1
1 0
𝑛
=
1 1
1 0
𝑛
= −1 𝑛
•
𝑓𝑛+1 𝑓𝑛
𝑓𝑛 𝑓𝑛−1
=𝑓𝑛+1 𝑓𝑛−1 − 𝑓2
𝑛
Por lo tanto, al igualar tenemos que: 𝑓𝑛+1 𝑓𝑛−1 − 𝑓2
𝑛
= −1 𝑛
O equivalentemente
𝑓𝑛+1 𝑓𝑛 = 𝑓2
𝑛
+ −1 𝑛
, ∀𝑛 ∈ ℕ