Este documento presenta una introducción a la optimización lineal. Explica conceptos básicos como la forma matricial de un problema de programación lineal, las diferentes formas de representación de un problema (canónica, estándar, general), y la representación geométrica de las restricciones y la región factible. También cubre temas como factibilidad, condiciones de igualdad, conjuntos convexos y politopos. El objetivo es que los estudiantes comprendan los fundamentos de la optimización lineal.

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FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS
SEMESTRE
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OPTIMIZACION LINEAL
Guías Didácticas del Aprendizaje Semana N° 01 CICLO VI
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UNIV ER S ID AD NACIONAL D EL ALT IPLANO
2020
GUÍAS DIDÁCTICAS DEL APRENDIZAJE
DE OPTMIZACION LINEAL
TEMA:INTRODUCCION
Lic. Ruperto zapana Yerba
rzapana@unap.edu.pe
M.Sc. Martín Condori Concha
mcondori06@hotmail.com
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INTRODUCCION: CONCEPTOS BASICOS
Logros Aprendizaje:
 Comprende los conceptos básicos de la Programación lineal.
 Diferencia un PPL de forma estándar y canónica y entiende su equivalencia.
 Analiza los conjuntos convexos como también entiende y trabaja con politopos
Contenidos:
 El Problema de la Programación lineal forma general y matricial
 Forma canónica, estándar y general
 Factibilidad y condiciones de igualdad
 Conjuntos convexos y politopos
Tiempo: 04 horas
1. Introducción
En 1949, George B. Dantzig publicó el método simplex" para resolver programas lineales. A
partir de esa fecha, un número de individuos han contribuido al campo de la programación lineal
en muchas formas, incluyendo desarrollos teóricos, aspectos de computación y exploración de
nuevas aplicaciones. El método simplex de programación lineal tiene mucha aceptación debido
a:
1) Su habilidad para modelar importantes problemas de decisión en las áreas administrativas.
2) Su capacidad para producir soluciones en un tiempo razonable.
En esta sesión se introduce el problema de la programación lineal. Se discuten los tópicos
siguientes: definiciones básicas en programación lineal, suposiciones que conducen a modelos
lineales, manipulación del problema, ejemplos de problemas lineales, y solución geométrica en
el espacio de soluciones factibles y el espacio de requerimientos. Este capítulo es elemental y
puede omitirse si el lector tiene un conocimiento previo de programación lineal.
EL PROBLEMA DE LA PROGRAMACION LINEAL
Un problema de programación lineal es un problema de minimizar o maximizar una función
lineal en la presencia de restricciones lineales del tipo de desigualdad, igualdad ambas. En esta
sección se formula el problema de programación lineal.
Definiciones Básicas
Considérese el siguiente problema de programación lineal:

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𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2+ . . . +𝑐𝑛𝑥𝑛
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2+ . . . +𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2+ . . . +𝑎2𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏2
…. ….
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2+ . . . +𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏𝑚
Donde 𝑥1 , 𝑥2 , … .. 𝑥𝑛 ≥ 0
Debe tomarse en cuenta que 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2+ . . . +𝑐𝑛𝑥𝑛 es nuestra función objetivo que debe
minimizarse el cual lo denotaremos por Z, los coeficientes 𝑐1, 𝑐2, … . , 𝑐𝑛 se denominan los
coeficientes de costo los cuales se conocen por dato del problema y 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 son las
variables de decisión o niveles de actividad que deben determinarse.
2. NotaciónMatricial
Usando la notación matricial, un problema de la programación lineal se puede escribir en una
forma más conveniente, como por ejemplo, consideremos el siguiente problema:
𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 ∑ 𝑐𝑗𝑥𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎 ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗
𝑛
𝑗=1
= 𝑏𝑖 𝑖 = 1,2, . . . , 𝑚
𝑥𝑗 ≥ 0 𝑗 = 1,2,. . . , 𝑛
Donde el equivalente expresado en matrices está dado por la forma:
𝑥 = [
𝑥1
𝑥2
.
.
.
𝑥𝑛
] 𝑏 =
[
𝑏1
𝑏2
.
.
.
𝑏𝑚]
𝑦 𝐴 = [
𝑎11𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
]
Sintetizando el problema anterior se puede escribir por:
𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑐x
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎 𝐴𝑥 = 𝑏 , 𝑥 ≥ 0

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3. Formas de representación de un Problema de Programación lineal(PPL)
3.1 Forma General
3.2. Forma Mixta
3.3. Forma Canónica

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3.4. Forma Estándar
3.5. Equivalencia Entre las Formas

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4. Representación geométrica del problema lineal en un subespacio
La representación geométrica de los problemas lineales tiene una representación en el
espacio y subespacio de actividad de Rn
: el subespacio donde se presentan los puntos x.
Es el subespacio donde la expresión de la región factible, o conjuntos de puntos
interiores a la zona delimitan los hiperplanos que definen cada una de las condiciones,
es esto lo que veremos a continuación:

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5. Factibilidad y Condiciones de Igualdad

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5.1. POLITOPOS

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3.1. Actividades
I.
II. En cada uno de los problemas verifique por sustitución, que cada función dada es una
solución de la ecuación diferencial considerada.

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Bibliografía:
 Luenberger, D.G. 1984. Linear and Nonlinear Programming. Addison-Wesley Publishing Company
 Taha H, 2012 investigación de operaciones,9na edición, Editorial Pearson, México
 Bazarra, M., H. Sherali, y C. Shetty, Nonlinear Programming Theory and Algorithms, 3a. ed.,
Wiley, Nueva York, 2006.
 Beightler,C.,D. Phillips, y D.Wilde, Foundations of Optimization, 2a. ed., Prentice Hal