Teoría y aplicaciones para la formación de futuros ingenieros.

1. Lógica Proposicional
Centro de Estudios Preuniversitarios CEPRE - UNI
Los Profesores c
1 Julio 2020
1 / 37
Lógica Proposicional
N

2. Contenido Teórico
¿Que es la lógica?
Es la ciencia que estudia y valida los razonamientos.
2 / 37
Lógica Proposicional
N

3. Contenido Teórico
Proposición Lógica
Definición
Es un enunciado que afirma algo acerca de un sujeto y que tiene o
puede adquirir un valor de verdad entre verdadero (V) o falso (F), solo
uno de ellos.
3 / 37
Lógica Proposicional
N

4. Contenido Teórico
Proposición Lógica
Definición
Es un enunciado que afirma algo acerca de un sujeto y que tiene o
puede adquirir un valor de verdad entre verdadero (V) o falso (F), solo
uno de ellos.
Ejemplos de proposiciones:
3 / 37
Lógica Proposicional
N

5. Contenido Teórico
Proposición Lógica
Definición
Es un enunciado que afirma algo acerca de un sujeto y que tiene o
puede adquirir un valor de verdad entre verdadero (V) o falso (F), solo
uno de ellos.
Ejemplos de proposiciones:
√
2 es irracional.
3 / 37
Lógica Proposicional
N

6. Contenido Teórico
Proposición Lógica
Definición
Es un enunciado que afirma algo acerca de un sujeto y que tiene o
puede adquirir un valor de verdad entre verdadero (V) o falso (F), solo
uno de ellos.
Ejemplos de proposiciones:
√
2 es irracional.
La Odisea fue escrita por Homero.
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Lógica Proposicional
N

7. Contenido Teórico
Proposición Lógica
Definición
Es un enunciado que afirma algo acerca de un sujeto y que tiene o
puede adquirir un valor de verdad entre verdadero (V) o falso (F), solo
uno de ellos.
Ejemplos de proposiciones:
√
2 es irracional.
La Odisea fue escrita por Homero.
3 es un número par.
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Lógica Proposicional
N

8. Contenido Teórico
Proposición Lógica
Definición
Es un enunciado que afirma algo acerca de un sujeto y que tiene o
puede adquirir un valor de verdad entre verdadero (V) o falso (F), solo
uno de ellos.
Ejemplos de proposiciones:
√
2 es irracional.
La Odisea fue escrita por Homero.
3 es un número par.
2 6= 6 .
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Lógica Proposicional
N

9. Contenido Teórico
Proposición Lógica
Definición
Es un enunciado que afirma algo acerca de un sujeto y que tiene o
puede adquirir un valor de verdad entre verdadero (V) o falso (F), solo
uno de ellos.
Ejemplos de proposiciones:
√
2 es irracional.
La Odisea fue escrita por Homero.
3 es un número par.
2 6= 6 .
Si hoy es lunes, estudiaré álgebra y trigonometría.
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Lógica Proposicional
N

10. Contenido Teórico
Proposición Lógica
Señale cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones:
4 / 37
Lógica Proposicional
N

11. Contenido Teórico
Proposición Lógica
Señale cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones:
¡Viva el Perú!
4 / 37
Lógica Proposicional
N

12. Contenido Teórico
Proposición Lógica
Señale cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones:
¡Viva el Perú!
43 < 4
4 / 37
Lógica Proposicional
N

13. Contenido Teórico
Proposición Lógica
Señale cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones:
¡Viva el Perú!
43 < 4
√
2 = 1.4142
4 / 37
Lógica Proposicional
N

14. Contenido Teórico
Proposición Lógica
Señale cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones:
¡Viva el Perú!
43 < 4
√
2 = 1.4142
¿Qué hora es?
4 / 37
Lógica Proposicional
N

15. Contenido Teórico
Proposición Lógica
Señale cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones:
¡Viva el Perú!
43 < 4
√
2 = 1.4142
¿Qué hora es?
x + 8 = 9
4 / 37
Lógica Proposicional
N

16. Contenido Teórico
Proposición Lógica
Señale cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones:
¡Viva el Perú!
43 < 4
√
2 = 1.4142
¿Qué hora es?
x + 8 = 9
4 / 37
Lógica Proposicional
N

17. Contenido Teórico
Proposición Lógica
Señale cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones:
¡Viva el Perú!
43 < 4
√
2 = 1.4142
¿Qué hora es?
x + 8 = 9
Observación
Este último enunciado al depender su valor de verdad de la variable x,
no es una proposición.
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Lógica Proposicional
N

18. Contenido Teórico
Conectores Lógicos
Definición
Los conectores lógicos son términos de enlace entre proposiciones, estos
son:
Conector Nombre lectura
∼ Negación no
∨ Disyunción o
∧ Conjunción y
−→ Condicional entonces
←→ Bicondicional si y sólo si
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Lógica Proposicional
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19. Contenido Teórico
Conectores Lógicos
Definición
Los conectores lógicos son términos de enlace entre proposiciones, estos
son:
Conector Nombre lectura
∼ Negación no
∨ Disyunción o
∧ Conjunción y
−→ Condicional entonces
←→ Bicondicional si y sólo si
Observación:
p −→ q



si p entonces q
p es condición suficiente para q
q es condición necesaria para p
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Lógica Proposicional
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20. Contenido Teórico
Ejemplo 1
Dadas las proposiciones:
t: Juan hará una fiesta.
q: Juan aprueba lógica.
r: Juan apruebe programación.
p: Juan estudiará durante el verano.
Mediante el diccionario anterior traduzca la siguiente proposición en el
lenguaje lógico formal:
“Para que Juan haga una fiesta es suficiente que el apruebe lógica y para
que Juan estudie durante el verano es necesario que Juan apruebe
programación”. CepreUNI 2016-I
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Lógica Proposicional
N

21. Contenido Teórico
Ejemplo 1
Dadas las proposiciones:
t: Juan hará una fiesta.
q: Juan aprueba lógica.
r: Juan apruebe programación.
p: Juan estudiará durante el verano.
Mediante el diccionario anterior traduzca la siguiente proposición en el
lenguaje lógico formal:
“Para que Juan haga una fiesta es suficiente que el apruebe lógica y para
que Juan estudie durante el verano es necesario que Juan apruebe
programación”. CepreUNI 2016-I
Rpt.- (q → t) ∧ (p → r)
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Lógica Proposicional
N

22. Contenido Teórico
Proposición simple y compuesta
Definición
Una proposición será llamada simple si no presenta conectores lógicos
en su estructura, caso contrario será llamada compuesta.
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Lógica Proposicional
N

23. Contenido Teórico
Proposición simple y compuesta
Definición
Una proposición será llamada simple si no presenta conectores lógicos
en su estructura, caso contrario será llamada compuesta.
Ejemplos:
√
2 es irracional.
7 / 37
Lógica Proposicional
N

24. Contenido Teórico
Proposición simple y compuesta
Definición
Una proposición será llamada simple si no presenta conectores lógicos
en su estructura, caso contrario será llamada compuesta.
Ejemplos:
√
2 es irracional.(S)
Lima es la capital de Perú y Quito de Ecuador.
7 / 37
Lógica Proposicional
N

25. Contenido Teórico
Proposición simple y compuesta
Definición
Una proposición será llamada simple si no presenta conectores lógicos
en su estructura, caso contrario será llamada compuesta.
Ejemplos:
√
2 es irracional.(S)
Lima es la capital de Perú y Quito de Ecuador.(C)
Aprenderas matemática si y solo si tienes imaginación.
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Lógica Proposicional
N

26. Contenido Teórico
Proposición simple y compuesta
Definición
Una proposición será llamada simple si no presenta conectores lógicos
en su estructura, caso contrario será llamada compuesta.
Ejemplos:
√
2 es irracional.(S)
Lima es la capital de Perú y Quito de Ecuador.(C)
Aprenderas matemática si y solo si tienes imaginación. (C)
Cervantes escribio Romeo y Julieta.
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Lógica Proposicional
N

27. Contenido Teórico
Proposición simple y compuesta
Definición
Una proposición será llamada simple si no presenta conectores lógicos
en su estructura, caso contrario será llamada compuesta.
Ejemplos:
√
2 es irracional.(S)
Lima es la capital de Perú y Quito de Ecuador.(C)
Aprenderas matemática si y solo si tienes imaginación. (C)
Cervantes escribio Romeo y Julieta.(S)
Hoy es lunes si y sólo si mañana es martes.
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Lógica Proposicional
N

28. Contenido Teórico
Proposición simple y compuesta
Definición
Una proposición será llamada simple si no presenta conectores lógicos
en su estructura, caso contrario será llamada compuesta.
Ejemplos:
√
2 es irracional.(S)
Lima es la capital de Perú y Quito de Ecuador.(C)
Aprenderas matemática si y solo si tienes imaginación. (C)
Cervantes escribio Romeo y Julieta.(S)
Hoy es lunes si y sólo si mañana es martes.(C)
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Lógica Proposicional
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29. Contenido Teórico
Fórmula lógica
Definición
Variable proposicional.
Representan proposiciones, serán denotadas por letras minúsculas
p, q, r, s, t, etc.
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Lógica Proposicional
N

30. Contenido Teórico
Fórmula lógica
Definición
Variable proposicional.
Representan proposiciones, serán denotadas por letras minúsculas
p, q, r, s, t, etc.
Fórmula lógica.
Es una expresión que contiene un número finito de variables
proposicionales y conectores lógicos, en una correcta combinación.
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Lógica Proposicional
N

31. Contenido Teórico
Fórmula lógica
Definición
Variable proposicional.
Representan proposiciones, serán denotadas por letras minúsculas
p, q, r, s, t, etc.
Fórmula lógica.
Es una expresión que contiene un número finito de variables
proposicionales y conectores lógicos, en una correcta combinación.
Ejemplos de fórmulas lógicas:
(p ∧ q) → r
8 / 37
Lógica Proposicional
N

32. Contenido Teórico
Fórmula lógica
Definición
Variable proposicional.
Representan proposiciones, serán denotadas por letras minúsculas
p, q, r, s, t, etc.
Fórmula lógica.
Es una expresión que contiene un número finito de variables
proposicionales y conectores lógicos, en una correcta combinación.
Ejemplos de fórmulas lógicas:
(p ∧ q) → r
∼ (p ∨ q) ↔ (∼ p)
8 / 37
Lógica Proposicional
N

33. Contenido Teórico
Fórmula lógica
Definición
Variable proposicional.
Representan proposiciones, serán denotadas por letras minúsculas
p, q, r, s, t, etc.
Fórmula lógica.
Es una expresión que contiene un número finito de variables
proposicionales y conectores lógicos, en una correcta combinación.
Ejemplos de fórmulas lógicas:
(p ∧ q) → r
∼ (p ∨ q) ↔ (∼ p)
(q ∧ p)∨ ∼ (∼ p∨ ∼ q)
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Lógica Proposicional
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34. Contenido Teórico
Fórmula lógica
Definición
Variable proposicional.
Representan proposiciones, serán denotadas por letras minúsculas
p, q, r, s, t, etc.
Fórmula lógica.
Es una expresión que contiene un número finito de variables
proposicionales y conectores lógicos, en una correcta combinación.
Ejemplos de fórmulas lógicas:
(p ∧ q) → r
∼ (p ∨ q) ↔ (∼ p)
(q ∧ p)∨ ∼ (∼ p∨ ∼ q)
8 / 37
Lógica Proposicional
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35. Contenido Teórico
Tabla de verdad
Definición
Una tabla de verdad nos muestra los valores de verdad que toma una
fórmula lógica en función de los valores de verdad de la proposiciones
que la conforman.
9 / 37
Lógica Proposicional
N

36. Contenido Teórico
Tabla de verdad
Definición
Una tabla de verdad nos muestra los valores de verdad que toma una
fórmula lógica en función de los valores de verdad de la proposiciones
que la conforman.
Ejemplo:
9 / 37
Lógica Proposicional
N

37. Contenido Teórico
Tabla de verdad
Definición
Una tabla de verdad nos muestra los valores de verdad que toma una
fórmula lógica en función de los valores de verdad de la proposiciones
que la conforman.
Ejemplo:
Estados
de
verdad
10 / 37
Lógica Proposicional
N

38. Contenido Teórico
Tabla de verdad
Definición
Una tabla de verdad nos muestra los valores de verdad que toma una
fórmula lógica en función de los valores de verdad de la proposiciones
que la conforman.
Ejemplo:
Estados
de
verdad
Observación : El número de estados de verdad es:
10 / 37
Lógica Proposicional
N

39. Contenido Teórico
Tabla de verdad
Definición
Una tabla de verdad nos muestra los valores de verdad que toma una
fórmula lógica en función de los valores de verdad de la proposiciones
que la conforman.
Ejemplo:
Estados
de
verdad
Observación : El número de estados de verdad es:
2número de variables
10 / 37
Lógica Proposicional
N

40. Contenido Teórico
Negación
Sea la proposición
11 / 37
Lógica Proposicional
N

41. Contenido Teórico
Negación
Sea la proposición
p: Yo ingresaré a la UNI.
11 / 37
Lógica Proposicional
N

42. Contenido Teórico
Negación
Sea la proposición
p: Yo ingresaré a la UNI.
La negación “Yo no ingresaré a la UNI”, se representa simbólicamente
∼ p
11 / 37
Lógica Proposicional
N

43. Contenido Teórico
Negación
Sea la proposición
p: Yo ingresaré a la UNI.
La negación “Yo no ingresaré a la UNI”, se representa simbólicamente
∼ p
p ∼ p
V F
F V
11 / 37
Lógica Proposicional
N

44. Contenido Teórico
Negación
Sea la proposición
p: Yo ingresaré a la UNI.
La negación “Yo no ingresaré a la UNI”, se representa simbólicamente
∼ p
p ∼ p
V F
F V
La negación de una proposición toma un valor de verdad distinto al de
dicha proposición.
11 / 37
Lógica Proposicional
N

45. Contenido Teórico
Conjunción
Sean las proposiciones
12 / 37
Lógica Proposicional
N

46. Contenido Teórico
Conjunción
Sean las proposiciones
p: Juan estudia.
q: Juan trabaja.
12 / 37
Lógica Proposicional
N

47. Contenido Teórico
Conjunción
Sean las proposiciones
p: Juan estudia.
q: Juan trabaja.
La conjunción “Juan estudia y trabaja”, se representa simbólicamente
p ∧ q
12 / 37
Lógica Proposicional
N

48. Contenido Teórico
Conjunción
Sean las proposiciones
p: Juan estudia.
q: Juan trabaja.
La conjunción “Juan estudia y trabaja”, se representa simbólicamente
p ∧ q
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
12 / 37
Lógica Proposicional
N

49. Contenido Teórico
Conjunción
Sean las proposiciones
p: Juan estudia.
q: Juan trabaja.
La conjunción “Juan estudia y trabaja”, se representa simbólicamente
p ∧ q
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
La conjunción es verdadera solo cuando ambas proposiciones que la
conforman son verdaderas.
12 / 37
Lógica Proposicional
N

50. Contenido Teórico
Disyunción
Sean las proposiciones
13 / 37
Lógica Proposicional
N

51. Contenido Teórico
Disyunción
Sean las proposiciones
p: Hoy te llevo al cine.
q: Hoy te llevo al parque.
13 / 37
Lógica Proposicional
N

52. Contenido Teórico
Disyunción
Sean las proposiciones
p: Hoy te llevo al cine.
q: Hoy te llevo al parque.
La disyunción “hoy te llevo al cine o al parque”, se representa
simbólicamente
p ∨ q
13 / 37
Lógica Proposicional
N

53. Contenido Teórico
Disyunción
Sean las proposiciones
p: Hoy te llevo al cine.
q: Hoy te llevo al parque.
La disyunción “hoy te llevo al cine o al parque”, se representa
simbólicamente
p ∨ q
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
13 / 37
Lógica Proposicional
N

54. Contenido Teórico
Disyunción
Sean las proposiciones
p: Hoy te llevo al cine.
q: Hoy te llevo al parque.
La disyunción “hoy te llevo al cine o al parque”, se representa
simbólicamente
p ∨ q
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
La disyunción es falsa solo cuando ambas proposiciones que la conforman
son falsas.
13 / 37
Lógica Proposicional
N

55. Contenido Teórico
Condicional
Sean las proposiciones
14 / 37
Lógica Proposicional
N

56. Contenido Teórico
Condicional
Sean las proposiciones
p: Voy a metro.
q: Compro detergente.
14 / 37
Lógica Proposicional
N

57. Contenido Teórico
Condicional
Sean las proposiciones
p: Voy a metro.
q: Compro detergente.
La condicional “si voy a metro entonces compro detergente”, se
representa simbólicamente
p → q
14 / 37
Lógica Proposicional
N

58. Contenido Teórico
Condicional
Sean las proposiciones
p: Voy a metro.
q: Compro detergente.
La condicional “si voy a metro entonces compro detergente”, se
representa simbólicamente
p → q
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
14 / 37
Lógica Proposicional
N

59. Contenido Teórico
Condicional
Sean las proposiciones
p: Voy a metro.
q: Compro detergente.
La condicional “si voy a metro entonces compro detergente”, se
representa simbólicamente
p → q
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
La condicional es falsa solo cuando el antecedente es verdadero y el
consecuente es falso.
14 / 37
Lógica Proposicional
N

60. Contenido Teórico
Condicional
Observaciones
1. En la condicional p → q
p recibe el nombre de antecedente y q recibe el nombre de
consecuente.
15 / 37
Lógica Proposicional
N

61. Contenido Teórico
Condicional
Observaciones
1. En la condicional p → q
p recibe el nombre de antecedente y q recibe el nombre de
consecuente.
2. Para la condicional p → q
q → p es su recíproco
∼ q →∼ p es su contrarrecíproco.
15 / 37
Lógica Proposicional
N

62. Contenido Teórico
Condicional
Observaciones
1. En la condicional p → q
p recibe el nombre de antecedente y q recibe el nombre de
consecuente.
2. Para la condicional p → q
q → p es su recíproco
∼ q →∼ p es su contrarrecíproco.
3. En la condicional p → q.
Si el antecedente es falso la condicional es siempre verdadera.
Si el consecuente es verdadero la condicional es siempre verdadera.
15 / 37
Lógica Proposicional
N

63. Contenido Teórico
Bicondicional
Sean las proposiciones
16 / 37
Lógica Proposicional
N

64. Contenido Teórico
Bicondicional
Sean las proposiciones
p: Julia irá a la fiesta.
q: Julia estudia toda la semana.
16 / 37
Lógica Proposicional
N

65. Contenido Teórico
Bicondicional
Sean las proposiciones
p: Julia irá a la fiesta.
q: Julia estudia toda la semana.
La bicondicional “Julia irá a la fiesta si y solo si estudia toda la semana”,
se representa simbólicamente
p ↔ q
16 / 37
Lógica Proposicional
N

66. Contenido Teórico
Bicondicional
Sean las proposiciones
p: Julia irá a la fiesta.
q: Julia estudia toda la semana.
La bicondicional “Julia irá a la fiesta si y solo si estudia toda la semana”,
se representa simbólicamente
p ↔ q
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
16 / 37
Lógica Proposicional
N

67. Contenido Teórico
Bicondicional
Sean las proposiciones
p: Julia irá a la fiesta.
q: Julia estudia toda la semana.
La bicondicional “Julia irá a la fiesta si y solo si estudia toda la semana”,
se representa simbólicamente
p ↔ q
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
La bicondicional es verdadera solo cuando ambas proposiciones que la
conforman tienen el mismo valor de verdad.
16 / 37
Lógica Proposicional
N

68. Contenido Teórico
Disyunción excluyente
Sean las proposiciones
17 / 37
Lógica Proposicional
N

69. Contenido Teórico
Disyunción excluyente
Sean las proposiciones
p: Juan va en micro a CepreUNI.
q: Juan va en taxi a CepreUNI.
17 / 37
Lógica Proposicional
N

70. Contenido Teórico
Disyunción excluyente
Sean las proposiciones
p: Juan va en micro a CepreUNI.
q: Juan va en taxi a CepreUNI.
La disyunción excluyente “o Juan va en micro a CepreUNI o va en taxi”,
se representa simbólicamente
p4q
17 / 37
Lógica Proposicional
N

71. Contenido Teórico
Disyunción excluyente
Sean las proposiciones
p: Juan va en micro a CepreUNI.
q: Juan va en taxi a CepreUNI.
La disyunción excluyente “o Juan va en micro a CepreUNI o va en taxi”,
se representa simbólicamente
p4q
p q p4q
V V F
V F V
F V V
F F F
17 / 37
Lógica Proposicional
N

72. Contenido Teórico
Disyunción excluyente
Sean las proposiciones
p: Juan va en micro a CepreUNI.
q: Juan va en taxi a CepreUNI.
La disyunción excluyente “o Juan va en micro a CepreUNI o va en taxi”,
se representa simbólicamente
p4q
p q p4q
V V F
V F V
F V V
F F F
La disyunción excluyente es verdadera solo cuando ambas proposiciones
que la conforman tienen distinto valor de verdad.
17 / 37
Lógica Proposicional
N

73. Contenido Teórico
Ejemplo 2
Determine la tabla de verdad de la fórmula lógica
((p −→ q)∧ ∼ q) −→ q
18 / 37
Lógica Proposicional
N

74. Contenido Teórico
Ejemplo 2
Determine la tabla de verdad de la fórmula lógica
((p −→ q)∧ ∼ q) −→ q
Solución:
p q ((p −→ q) ∧ ∼ q) −→ q
V V V F F V V
V F F F V V F
F V V F F V V
F F V V V F F
18 / 37
Lógica Proposicional
N

75. Contenido Teórico
Ejemplo 3
Determine la tabla de verdad de la fórmula lógica
(r ∨ q) −→∼ (r −→ p)
19 / 37
Lógica Proposicional
N

76. Contenido Teórico
Ejemplo 3
Determine la tabla de verdad de la fórmula lógica
(r ∨ q) −→∼ (r −→ p)
p q r (r ∨ q) −→ ∼ (r −→ p)
V V V V F F V
V V F V F F V
V F V V F F V
V F F F V F V
F V V V V V F
F V F V F F V
F F V V V V F
F F F F V V V
19 / 37
Lógica Proposicional
N

77. Contenido Teórico
Tautología, Contradicción,
Contingencia.
Definición:
Una fórmula lógica se llama tautología si siempre es VERDAD,
independiente de los valores de verdad de las variables proposicionales.
20 / 37
Lógica Proposicional
N

78. Contenido Teórico
Tautología, Contradicción,
Contingencia.
Definición:
Una fórmula lógica se llama tautología si siempre es VERDAD,
independiente de los valores de verdad de las variables proposicionales.
Una fórmula lógica se llama contradicción si siempre es FALSA,
independiente de los valores de verdad de las variables proposicionales.
20 / 37
Lógica Proposicional
N

79. Contenido Teórico
Tautología, Contradicción,
Contingencia.
Definición:
Una fórmula lógica se llama tautología si siempre es VERDAD,
independiente de los valores de verdad de las variables proposicionales.
Una fórmula lógica se llama contradicción si siempre es FALSA,
independiente de los valores de verdad de las variables proposicionales.
Una fórmula lógica se llama contingencia si no es tautología ni
contradición.
20 / 37
Lógica Proposicional
N

80. Contenido Teórico
Ejemplo 4
tautología contradicción
(p ∧ q) −→ p (p ∧ q)∧ ∼ p
p q (p ∧ q) −→ p
V V V
V F V
F V V
F F V
p q (p ∧ q)∧ ∼ p
V V F
V F F
F V F
F F F
Contingencia
p ∧ (p → q)
p q p ∧ (p → q)
V V V
V F F
F V F
F F F
21 / 37
Lógica Proposicional
N

81. Contenido Teórico
Equivalencia lógica
Definición
Dos fórmulas lógicas α(p, q, · · · ) y β(p, q, · · · ) son equivalentes, y se
denotan por α(p, q, · · · ) ≡ β(p, q, · · · ), si tienen el mismo valor de
verdad en cada estado de verdad.
22 / 37
Lógica Proposicional
N

82. Contenido Teórico
Equivalencia lógica
Definición
Dos fórmulas lógicas α(p, q, · · · ) y β(p, q, · · · ) son equivalentes, y se
denotan por α(p, q, · · · ) ≡ β(p, q, · · · ), si tienen el mismo valor de
verdad en cada estado de verdad.
Ejemplo:
22 / 37
Lógica Proposicional
N

83. Contenido Teórico
Equivalencia lógica
Definición
Dos fórmulas lógicas α(p, q, · · · ) y β(p, q, · · · ) son equivalentes, y se
denotan por α(p, q, · · · ) ≡ β(p, q, · · · ), si tienen el mismo valor de
verdad en cada estado de verdad.
Ejemplo:
Las fórmulas
22 / 37
Lógica Proposicional
N

84. Contenido Teórico
Equivalencia lógica
Definición
Dos fórmulas lógicas α(p, q, · · · ) y β(p, q, · · · ) son equivalentes, y se
denotan por α(p, q, · · · ) ≡ β(p, q, · · · ), si tienen el mismo valor de
verdad en cada estado de verdad.
Ejemplo:
Las fórmulas p −→ q y ∼ p ∨ q
22 / 37
Lógica Proposicional
N

85. Contenido Teórico
Equivalencia lógica
Definición
Dos fórmulas lógicas α(p, q, · · · ) y β(p, q, · · · ) son equivalentes, y se
denotan por α(p, q, · · · ) ≡ β(p, q, · · · ), si tienen el mismo valor de
verdad en cada estado de verdad.
Ejemplo:
Las fórmulas p −→ q y ∼ p ∨ q
p q p −→ q ∼ p ∨ q
V V V V
V F F F
F V V V
F F V V
22 / 37
Lógica Proposicional
N

86. Contenido Teórico
Equivalencia lógica
Definición
Dos fórmulas lógicas α(p, q, · · · ) y β(p, q, · · · ) son equivalentes, y se
denotan por α(p, q, · · · ) ≡ β(p, q, · · · ), si tienen el mismo valor de
verdad en cada estado de verdad.
Ejemplo:
Las fórmulas p −→ q y ∼ p ∨ q
p q p −→ q ∼ p ∨ q
V V V V
V F F F
F V V V
F F V V
son equivalentes.
p −→ q ≡ ∼ p ∨ q
22 / 37
Lógica Proposicional
N

87. Contenido Teórico
Álgebra proposicional
Equivalencias lógicas
23 / 37
Lógica Proposicional
N

88. Contenido Teórico
Álgebra proposicional
Equivalencias lógicas
Idempotencia
p ∨ p ≡ p p ∧ p ≡ p
23 / 37
Lógica Proposicional
N

89. Contenido Teórico
Álgebra proposicional
Equivalencias lógicas
Idempotencia
p ∨ p ≡ p p ∧ p ≡ p
Conmutativa
p ∨ q ≡ q ∨ p p ∧ q ≡ q ∧ p
23 / 37
Lógica Proposicional
N

90. Contenido Teórico
Álgebra proposicional
Equivalencias lógicas
Idempotencia
p ∨ p ≡ p p ∧ p ≡ p
Conmutativa
p ∨ q ≡ q ∨ p p ∧ q ≡ q ∧ p
Asociativa
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
23 / 37
Lógica Proposicional
N

91. Contenido Teórico
Álgebra proposicional
Equivalencias lógicas
Idempotencia
p ∨ p ≡ p p ∧ p ≡ p
Conmutativa
p ∨ q ≡ q ∨ p p ∧ q ≡ q ∧ p
Asociativa
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
Distributiva
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
23 / 37
Lógica Proposicional
N

92. Contenido Teórico
Álgebra proposicional
Identidad
p ∨ V ≡ V p ∨ F ≡ p
p ∧ V ≡ p p ∧ F ≡ F
24 / 37
Lógica Proposicional
N

93. Contenido Teórico
Álgebra proposicional
Identidad
p ∨ V ≡ V p ∨ F ≡ p
p ∧ V ≡ p p ∧ F ≡ F
Morgan
∼ (p ∨ q) ≡∼ p ∧ ∼ q ∼ (p ∧ q) ≡∼ p ∨ ∼ q
24 / 37
Lógica Proposicional
N

94. Contenido Teórico
Álgebra proposicional
Identidad
p ∨ V ≡ V p ∨ F ≡ p
p ∧ V ≡ p p ∧ F ≡ F
Morgan
∼ (p ∨ q) ≡∼ p ∧ ∼ q ∼ (p ∧ q) ≡∼ p ∨ ∼ q
Absorción
p ∨ (p ∧ q) ≡ p p ∧ (p ∨ q) ≡ p
p ∨ (∼ p ∧ q) ≡ p ∨ q p ∧ (∼ p ∨ q) ≡ p ∧ q
24 / 37
Lógica Proposicional
N

95. Contenido Teórico
Álgebra proposicional
Complemento
p ∨ ∼ p ≡ V p ∧ ∼ p ≡ F
∼ (∼ p) ≡ p ∼ V ≡ F ∼ F ≡ V
25 / 37
Lógica Proposicional
N

96. Contenido Teórico
Álgebra proposicional
Complemento
p ∨ ∼ p ≡ V p ∧ ∼ p ≡ F
∼ (∼ p) ≡ p ∼ V ≡ F ∼ F ≡ V
Condicional
p → q ≡∼ p ∨ q p → q ≡∼ q →∼ p
25 / 37
Lógica Proposicional
N

97. Contenido Teórico
Álgebra proposicional
Complemento
p ∨ ∼ p ≡ V p ∧ ∼ p ≡ F
∼ (∼ p) ≡ p ∼ V ≡ F ∼ F ≡ V
Condicional
p → q ≡∼ p ∨ q p → q ≡∼ q →∼ p
Bicondicional
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q)
25 / 37
Lógica Proposicional
N

98. Contenido Teórico
Álgebra proposicional
Complemento
p ∨ ∼ p ≡ V p ∧ ∼ p ≡ F
∼ (∼ p) ≡ p ∼ V ≡ F ∼ F ≡ V
Condicional
p → q ≡∼ p ∨ q p → q ≡∼ q →∼ p
Bicondicional
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q)
Disyunción excluyente
p4q ≡ ∼ (p ←→ q) p4q ≡ q4p
(p4q)4r ≡ p4(q4r) p4F ≡ p
p4V ≡ ∼ p p4p ≡ F
25 / 37
Lógica Proposicional
N

99. Contenido Teórico
Ejemplo 5
Simplifique
[(∼ p ∧ q) −→ (q −→ p)] ∧ ∼ (∼ p ∧ q)
26 / 37
Lógica Proposicional
N

100. Contenido Teórico
Ejemplo 5
Simplifique
[(∼ p ∧ q) −→ (q −→ p)] ∧ ∼ (∼ p ∧ q)
Solución:
26 / 37
Lógica Proposicional
N

101. Contenido Teórico
Ejemplo 5
Simplifique
[(∼ p ∧ q) −→ (q −→ p)] ∧ ∼ (∼ p ∧ q)
Solución:
Tenemos
[(∼ p ∧ q) −→ (q −→ p)] ∧ ∼ (∼ p ∧ q)
26 / 37
Lógica Proposicional
N

102. Contenido Teórico
Ejemplo 5
Simplifique
[(∼ p ∧ q) −→ (q −→ p)] ∧ ∼ (∼ p ∧ q)
Solución:
Tenemos
[(∼ p ∧ q) −→ (q −→ p)] ∧ ∼ (∼ p ∧ q)
≡ [∼ (∼ p ∧ q) ∨ (q −→ p)] ∧ ∼ (∼ p ∧ q)
27 / 37
Lógica Proposicional
N

103. Contenido Teórico
Ejemplo 5
Simplifique
[(∼ p ∧ q) −→ (q −→ p)] ∧ ∼ (∼ p ∧ q)
Solución:
Tenemos
[(∼ p ∧ q) −→ (q −→ p)] ∧ ∼ (∼ p ∧ q)
≡ [∼ (∼ p ∧ q) ∨ (q −→ p)] ∧ ∼ (∼ p ∧ q)
≡ [∼ (∼ p ∧ q) ∨ (q −→ p)] ∧ ∼ (∼ p ∧ q)
28 / 37
Lógica Proposicional
N

104. Contenido Teórico
Ejemplo 5
Simplifique
[(∼ p ∧ q) −→ (q −→ p)] ∧ ∼ (∼ p ∧ q)
Solución:
Tenemos
[(∼ p ∧ q) −→ (q −→ p)] ∧ ∼ (∼ p ∧ q)
≡ [∼ (∼ p ∧ q) ∨ (q −→ p)] ∧ ∼ (∼ p ∧ q)
≡ [∼ (∼ p ∧ q) ∨ (q −→ p)] ∧ ∼ (∼ p ∧ q)
≡ ∼ (∼ p ∧ q)
29 / 37
Lógica Proposicional
N

105. Contenido Teórico
Ejemplo 5
Simplifique
[(∼ p ∧ q) −→ (q −→ p)] ∧ ∼ (∼ p ∧ q)
Solución:
Tenemos
[(∼ p ∧ q) −→ (q −→ p)] ∧ ∼ (∼ p ∧ q)
≡ [∼ (∼ p ∧ q) ∨ (q −→ p)] ∧ ∼ (∼ p ∧ q)
≡ [∼ (∼ p ∧ q) ∨ (q −→ p)] ∧ ∼ (∼ p ∧ q)
≡ ∼ (∼ p ∧ q)
≡ p ∨ ∼ q
30 / 37
Lógica Proposicional
N

106. Contenido Teórico
Ejemplo 6
Simplifique:
(p4q)4[(p4q)4p]
31 / 37
Lógica Proposicional
N

107. Contenido Teórico
Ejemplo 6
Simplifique:
(p4q)4[(p4q)4p]
Solución:
31 / 37
Lógica Proposicional
N

108. Contenido Teórico
Ejemplo 6
Simplifique:
(p4q)4[(p4q)4p]
Solución:Tenemos
(p4q) 4 [(p4q)4p]
31 / 37
Lógica Proposicional
N

109. Contenido Teórico
Ejemplo 6
Simplifique:
(p4q)4[(p4q)4p]
Solución: Tenemos
(p4q) 4 [(p4q)4p]
≡ p4q 4 p4q4p
32 / 37
Lógica Proposicional
N

110. Contenido Teórico
Ejemplo 6
Simplifique:
(p4q)4[(p4q)4p]
Solución: Tenemos
(p4q) 4 [(p4q)4p]
≡ p4q 4 p4q4p
≡ p4q 4 p4q 4p
33 / 37
Lógica Proposicional
N

111. Contenido Teórico
Ejemplo 6
Simplifique:
(p4q)4[(p4q)4p]
Solución: Tenemos
(p4q) 4 [(p4q)4p]
≡ p4q 4 p4q4p
≡ p4q 4 p4q 4p
≡ p4p 4 q4q 4p
34 / 37
Lógica Proposicional
N

112. Contenido Teórico
Ejemplo 6
Simplifique:
(p4q)4[(p4q)4p]
Solución: Tenemos
(p4q) 4 [(p4q)4p]
≡ p4q 4 p4q4p
≡ p4q 4 p4q 4p
≡ p4p 4 q4q 4p
≡ F 4 F 4p
35 / 37
Lógica Proposicional
N

113. Contenido Teórico
Ejemplo 6
Simplifique:
(p4q)4[(p4q)4p]
Solución: Tenemos
(p4q) 4 [(p4q)4p]
≡ p4q 4 p4q4p
≡ p4q 4 p4q 4p
≡ p4p 4 q4q 4p
≡ F 4 F 4p
≡ F4F 4 p
36 / 37
Lógica Proposicional
N

114. Contenido Teórico
Ejemplo 6
Simplifique:
(p4q)4[(p4q)4p]
Solución: Tenemos
(p4q) 4 [(p4q)4p]
≡ p4q 4 p4q4p
≡ p4q 4 p4q 4p
≡ p4p 4 q4q 4p
≡ F 4 F 4p
≡ F4F 4 p
≡ F 4 p
≡ p
37 / 37
Lógica Proposicional
N