El documento describe los sistemas complejos y ofrece varios ejemplos. Un sistema complejo se define como un sistema formado por un gran número de componentes que interactúan localmente y de forma no lineal, dando lugar a comportamientos emergentes en el conjunto que son difíciles de predecir. Se mencionan ejemplos como colonias de insectos, movimientos en grupo, sincronización y modelos de tráfico, que ilustran esta definición. Finalmente, se introducen los sistemas dinámicos y las redes complejas como formalizaciones matemáticas para estud

1. Vida Artificial
Sistemas Complejos

2. ¿Qué es un sistema complejo?
• Concepto Multidisciplinar:
biología, química, física, matemáticas, ciencias
sociales…
• Sin definición unificada ni rigurosa.
2

3. • Sistema formado por un número
elevado de componentes elementales
que interactúan de forma local entre
ellos y con el entorno.
• La evolución temporal es complicada de
predecir.
• Aparecen comportamientos difíciles de
explicar a partir de las reglas.
• Las interacciones no suelen ser lineales:
existen procesos de retroalimentación o
inhibición en las mismas.
• Pueden variar su estructura con el
tiempo: nuevos elementos, nuevos
enlaces,…: son sistemas dinámicos.
Las hormigas emiten más
feromonas cuanta más
densidad de feromonas
exista.
¿Qué es un sistema complejo?

4. More is different!
Sistemas cuantitativamente muy grandes son
cualitativamente diferentes.
Comportamientos microscópicos simples
dan lugar a comportamientos macroscópicos
complejos.
4
P.W. Anderson,
Science 177 393-396 (1972)

5. 5
Ejemplos de Sistemas Complejos

6. Colonias de insectos
En una colonia de hormigas podemos
observar:
• Toma de decisiones colectivas
• Organización sin existencia de líderes
Mecanismos básicos:
• Al moverse cada hormiga emite una
señal química.
• Las otras hormigas pueden detectar el
rastro y seguir el gradiente químico.

7. Colonias de insectos
Tenemos:
• Reglas individuales de
comportamiento.
• Emergencia de comportamiento
colectivo.
• Sin líderes. Sin mapas del terreno.
• Interacciones locales.
• Transición de fase en el número
crítico de hormigas.

8. Movimientos en grupo
8
Podemos observar:
• Coordinación en el movimiento de
cientos de individuos.
• Significado adaptativo: defensa contra
presas, incrementar eficiencia.
Mecanismos Básicos:
• Cada individuo ajusta la posición de
acuerdo con sus vecinos más próximos.
• Trata de mantener una separación.
• Adopta una alineación con los vecinos

9. Movimientos en grupo
9
Tenemos:
• Reglas individuales simples
• Emergencia de movimiento
organizado colectivo.
• No líder, no existencia de puntos
de referencia.
• Interacciones locales.

10. Sincronización
Podemos Observar:
• Número elevado de individuos que comienza a
emitir destellos de forma no sincronizada.
• Al cabo de un tiempo los destellos se
sincronizan.
• La organización permite emitir destellos de
mayor intensidad.
Mecanismos Básicos:
• Cada individuo emite un destello,
• … tiene un ciclo interno regulador,
• … trata de ajustar el momento del destello
mirando a sus vecinos más próximos. 10

11. Sincronización
Tenemos:
• Reglas individuales simples.
• Emergencia de sincronización colectiva.
• Sin conductores (internos o externos).
• Interacciones locales.
11

12. Modelos de tráfico
12
•Existen varios modelos aplicables al
estudio de atascos en el tráfico de coches
en carreteras o de datos en redes de
ordenadores.
•En todos ellos el tráfico está formado
por elementos discretos que se mueven
en una determinada estructura.

13. El modelo de Biham-Middleton-Levine es una de las
aproximaciones más simples a los procesos de
circulación con atascos.
13
Modelos de tráfico
•Dos tipos de coches en el retículo
periódico: Rojos hacia el norte, Azules
hacia el Este.
•Dinámica del sistema: primero se
mueven los azules, luego los rojos.
•Totalmente determinista.

14. 14
Modelos de tráfico
• p determina la densidad de coches en la
configuración inicial.
• Distintos comportamientos en función de p.
p = 0.2 p = 0.8
Parámetro fundamental de estudio
• Velocidad media de una partícula:
nº de movimientos/ nº de pasos
• Velocidad media del conjunto.

15. 15
Modelos de tráfico
Algunos comportamientos:
p=0.36
El sistema se ha auto-
organizado y todos las
partículas se mueven
libremente. La velocidad
del sistema tiende a 1.
p=0.40
Ninguna partícula
puede moverse.
p=0.38
Situación intermedia:
algunas partículas se
mueven; aparecen
varios atascos de
carácter local.

16. 16
Modelos de tráfico
• Solo hay aleatoriedad en la configuración inicial.
• Cambio de comportamiento brusco en función de
la densidad p.
• Figuras de formación de atascos muy estructuradas.
• Repetición del comportamiento para mismos
valores de p.

17. Emergencia de propiedades
• En la dinámica del conjunto global surgen propiedades
inesperadas que en principio no se deducen de las propiedades
de los elementos aislados que forman el sistema.
• Las propiedades que aparecen no son sencillas de predecir a
priori.
• La emergencia de propiedades aparece a diferentes escalas.
• Aparecen propiedades emergentes distintas aunque se sigan
las mismas reglas de evolución: moléculas de agua pueden
formar gases, líquidos o sólidos cristalinos.
17

18. Emergencia de propiedades
• Una de las propiedades emergentes más interesante es la
auto-organización.
• En muchos sistemas la estructura macroscópica que se
observa al evolucionar el sistema es altamente ordenada.
• El orden es dinámico, no estático.
• El orden aparece sin necesidad de intervención externa al
sistema y sin la existencia de líderes dentro del propio
sistema.
18

19. Transiciones de fase
• El modelo matemático del sistema depende de ciertos
parámetros con los que podemos controlar pautas de
comportamiento del mismo: temperatura, densidad, masa,
velocidad, ...
• Hay regiones de valores en el espacio de los parámetros que
separan zonas muy diferenciadas de comportamientos en el
sistema: el cambio de una región a otra ocasiona pérdida de
simetrías o la transición de cambios de estado en el sistema.
19
Una transición de fase conocida: Si la
temperatura de un cazo con agua se
incrementa de 99º a 101º grados, ¡la
densidad decrece por un factor de 1600!

20. Robustez
• Fijados los valores de los parámetros, los
sistemas complejos muestran la cualidad de ser
muy estables incluso aunque exista aleatoriedad
en la configuración inicial.
20

21. Robustez
• Aunque existan procesos aleatorios en la evolución
temporal, el sistema tiende casi siempre a estados muy
similares.
• En muchos sistemas si realizamos ciertos cambios en
medio de su evolución, éstos son asumidos por el sistema,
que recupera su comportamiento habitual a pesar de ellos.
21
21

22. Sistemas Dinámicos: Primera
Formalización para la Complejidad
Un sistema dinámico es una 3-tupla (T,M,Φ), donde
• T es el tiempo,
• M es un conjunto de posibles estados del sistema
• Φ es una función verificando:

23. Esencialmente, (T,M,Φ) produce una serie de aplicaciones
de M en sí mismo.
Dada una condición inicial x0= x(0), (T,M,Φ) produce una
trayectoria determinista, x(t), para cada t en T.
Habitualmente, o bien T es un intervalo de la recta real (y
suele llamarse flujo), o bien los números naturales (y suele
llamarse mapeado).
Sistema Dinámico = Tiempo + Estados + Determinismo
Sistemas Dinámicos: Primera
Formalización para la Complejidad

24. Expresiones habituales de SSDD
Cuando el sistema es continuo, suele ser habitual
tenerlo representado por medio de ecuaciones
diferenciales:
Si el sistema es discreto, suele venir dado por una
ecuación iterativa:

25. Ejemplo de flujo 2D

26. Atractores y Puntos Fijos
Definición: Un atractor, A, de un sistema dinámico
(T,M,Φ) es un subconjunto de M tal que:
1. A es invariante, es decir, T(A)  A.
2. A atrae un conjunto abierto de condiciones iniciales, U,
es decir: existe un abierto, U, tal que si x(0)  U,
entonces x(t) se acerca a A con el tiempo. Al mayor
abierto, U, verificando esta propiedad, se le llama basin
de atracción.
3. A is minimal, es decir, no tiene ningún subconjunto
propio verificando las condiciones anteriores.
Un punto fijo es un punto verificando: T(x)=x.

27. Puntos fijos en 1D
En dimensión 1, y con un sistema dinámico continuo que
proviene de una ecuación diferencial, la cosas son fáciles y
tenemos, esencialmente, dos opciones:
Los puntos fijos son atractores o repulsores

28. Puntos fijos en 2D
Punto Fijo Oscilante Punto de silla
Mezcla de
Varios tipos

29. 2D: Más complicado todavía…
Junto a las oscilaciones y los puntos
fijos, los sistemas 2D pueden
presentar ciclos.
Teorema de Poincare-Bendixon:
En el plano, solo se presentan puntos fijos u
órbitas cerradas.

30. … ¿y qué ocurre en dimensiones
superiores?
• 2 ángulos y 2
velocidades
angulares: 4
variables.
• Se observa un
movimiento caótico.
• Los atractores no
son ni puntos, ni
líneas, ni áreas. Son
atractores extraños
(fractales).

31. Determinismo Débil y Fuerte
• Determinismo Débil: condiciones iniciales
idénticas conllevan trayectorias idénticas.
• Determinismo Fuerte: Débil + condiciones
iniciales “similares” conllevan órbitas cercanas
Los sistemas que verifican el determinismo fuerte
son “sencillos”. Los que verifican únicamente el
determinismo débil, a pesar de ser deterministas,
pueden llegar a ser impredecibles.

32. Determinismo Débil y Fuerte:
Representación Geométrica

33. Un ejemplo: Curva de Lorenz
E. Lorenz creó un modelo para
ciertos fenómenos
meteorológicos.
Observó dependencia crítica de
las condiciones iniciales: primera
observación “real” de
determinismo débil.

34. Atractor de Lorenz: efecto mariposa
• Pequeñas variaciones tienen
grandes efectos: relación lineal
entre la precisión y el tiempo de
predicción correcto.
• Sistemas determinista, pero
impredecible en varios sentidos.

35. Redes Complejas: Segunda
Formalización para la Complejidad

36. Redes: antecedentes
• Los sociólogos fueron los primeros en
considerar el estudio de redes para aplicaciones
reales:
– Estudio de patrones de formación de conexiones
para comprender la sociedad.
– Personas=nodos, interacciones=lados.
– Utilización de encuestas para recoger datos.
– Interés en cuestiones de conectividad y centralidad.
– Limitados a pequeños grafos.
36

37. Redes: nueva visión
• Redes enormes (web, internet, on-line social
networks) con millones de nodos.
• Preguntas tradicionales sin interés:
– Antes: ¿Qué ocurre si quito un nodo?
– Ahora: ¿Qué porcentaje de nodos debo quitar para
que afecte a la conectividad de la red?
• El interés pasa de estudiar nodos fijos a
considerar propiedades estadísticas.
• Imposibilidad de representar la red.
37

38. Redes: nueva visión
• ¿Qué forma puede tener la red aunque no podamos
verla gráficamente?
• Necesidad de modelos matemáticos para comprender el
problema.
• Queremos clasificar y analizar distintos tipos de redes.
• Queremos encontrar predicciones de comportamiento
de sistemas complejos basados en la medición de
propiedades estructurales de la red y de reglas locales
que afectan al comportamiento de los nodos.
38

39. Redes en el mundo real
• Redes de información:
– World Wide Web: hyperlinks
– Redes de citación
– Redes de Noticias y Blogs
• Redes sociales
– Organizativas
– Comunicativas
– Colaborativas
– Contactos sexuales
• Redes tecnológicas:
– Energéticas
– Transporte (aéreo, carreteras,
fluviales,…)
– Telefónicas
– Internet
– Sistemas Autónomos
39
Karate club network Redes de colaboración
Redes de amistad

40. Redes en el mundo real
• Redes biológicas
– Metabólicas
– Cadenas alimenticias
– Neuronales
– Regulación Genética
• Redes de lenguaje
– Semánticas
– Lingüísticas
• Redes de software
• …
40
Interacciones
entre las
proteínas de la
levadura
Red semántica
Red Lingüística

41. Modelo de Representación unificado: Teoría de
Grafos
• Grafo como representación abstracta de
carácter general.
• Propiedades que lo hacen adecuado:
– Flexibilidad en la representación.
Sistema Real -> Multitud de posibles grafos (cada uno pudiendo
resaltar una “visión” de la realidad)
– Robustez del modelo matemático:
• Posee resultados de gran potencia.
• Permite mezclarlo con otras teorías matemáticas de gran
potencia (probabilidad, computación, …)

42. Fundamentos de Teoría de Grafos
• Elementos sustanciales: Nodos y Aristas.
• Aristas dirigidas o no dirigidas.
• Información (o no) en los nodos y/o aristas:
pesos.
arista
Nodo
3

43. Medidas usuales en Teoría de Grafos
• Grado y Distribución de Grados.
• Coeficiente de Clustering.
• Conectividad: caminos, distancia y componentes.
• Centralidad Betweenness.

44. Medidas: Grado y Distribuciones de Grados
• Grado de un nodo: número de nodos conectados a
él. Lo denotaremos por k
Friendship
4
)
( 
k
2
)
( 
k
Caso Grafo no Dirigido

45. Medidas: Grado y Distribuciones de Grados
• En el caso dirigido se distingue entre grado
entrante y grado saliente: kin, kout
Friendship
1
)
( 
in
k
1
)
( 
in
k
Caso Grafo Dirigido
3
)
( 
out
k
1
)
( 
out
k

46. Medidas: Grado y Distribuciones de Grados
• Distribución de Grados: P(k), probabilidad de que
un nodo tenga grado k.
Caso Grafo no Dirigido
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
k=1 k=2 k=3 k=4 k=5
P(k)
2
2
3
3
3
3
4
4

47. Medidas: Coeficiente de Clustering o de
Transitividad
• Probabilidad de que dos nodos vecinos a uno dado, sean
vecinos entre sí.
donde Ei es el número de aristas que conectan entre sí los nodos
adyacentes al nodo i.
• De igual forma, se trabaja con la distribución de clustering,
C(k).
)
1
(
2
1


i
i
i
i
k
k
E
C
3
1
3
4
2
1
2
4
2





i
i
i
C
k
E

48. Medidas: Conectividad
• Componente Conexa: cada
subfamilia de nodos que son
accesibles entre sí.
• En grafos dirigidos: fuertemente
conexa.
– Componente de entrada: nodos que
pueden alcanzar la componente
conexa, pero no pueden ser
alcanzados desde ella.
– Componente de salida: el recíproco.

49. Medidas: distancia
• Distancia entre dos nodos: menor longitud de los caminos que
los unen.
0
1
1
1
2
2
2
3
3
A B C D E F G H I
A 0 2 2 1 1 2 3 3 1
B 2 0 2 3 3 4 3 4 1
C 2 2 0 2 1 2 1 2 1
D 1 3 2 0 1 1 2 2 2
E 1 3 1 1 0 1 2 2 2
F 2 4 2 1 1 0 1 1 3
G 3 3 1 2 1 1 0 1 2
H 3 4 2 2 2 1 1 0 3
I 1 1 1 2 2 3 2 3 0
nodo i
nodo
j
B
A
C
D
E
F
G
H
I
4
9
.
1


d
Distancia media:
Diámetro: 4

50. Medidas: Betweenness o Carga
• Carga de un nodo i: proporción de caminos (más
cortos) que van de un nodo s a un nodo t
pasando a través del nodo i.
– Dan idea de la conectividad relativa y de la capacidad
de dirección de tráfico de un nodo.
– También sobre aristas.
Nodos coloreados en función de su carga:
Rojo: menor carga
Azul: mayor carga

51. Modelos de Redes
La clase de topología de la red se determina a
partir de su Distribución de Grados P(k), las más
importantes son:
– Topología de Poisson.
– Topología Libre de Escala.

52. Topología de Poisson
En las redes de Poisson todos los nodos tienen un número similar de conexiones, es decir,
las conexiones están distribuidas homogéneamente entre sus nodos.
El valor medio de los grados es representativo del grado de los vértices.

53. Topología Libre de Escala
Las redes Libres de Escala poseen alta heterogeneidad, al contener nodos con pocas,
medias y muchas conexiones. El valor medio de la distribución no es representativo de la
conectividad de la red. La mayoría de los vértices tienen baja conectividad y alta solo unos
pocos: “muchos con poco, pocos con mucho”


 Ak
k
P )
(

54. Robustez de las topologías Libres de Escala

55. Modelos de construcción de Redes
• Dos procedimientos principales:
– Modelos Estadísticos
• Modelo de Grafos aleatorios
• Modelo de Wattz-Strogatz
– Modelos Dinámicos
• Enlace Preferencial
• Duplicación

56. Modelo de Grafos Aleatorios
Iniciador de la Teoría de Redes Complejas: Erdos-Renyi (50’s).
– Construye la red enlazando nodos elegidos al azar según
determinada probabilidad

57. Modelo de Wattz-Strogatz
(1998) Transforma un grafo regular en una red
aleatoria al recablear enlaces añadiendo o moviendo
los ya existentes.

58. Características de los Mod. Est.
• Permiten construir redes con homogeneidad en
el conexionado.
• Las redes originadas por el Modelo de Grafos
Aleatorios tienen la propiedad Small World y bajo
Coeficiente de Clustering
• Las creadas a través del Modelo WS poseen
característica Small World y alto Coeficiente de
Clustering.
• Estos modelos no logran reproducir las
características de los sistemas complejos.

59. Modelos Dinámicos
• Consideran las redes como sistemas con interacciones que
varían en el tiempo según determinadas leyes.
• Se llaman también Modelos de Crecimiento o de Evolución ya que
imitan los procesos de crecimiento mediante la adición gradual
de nodos o enlaces.
• Logran reproducir la heterogeneidad en el conexionado, la
Distribución de Grados, el Coeficiente de Clustering y el efecto Small
World observados en sistemas complejos.

60. Modelo de Enlace Preferencial
Asume que la conexión de los nuevos nodos añadidos al sistema está regulada por
la cantidad de conexiones de los ya presentes. Es decir, los nuevos elementos se
unirán con mayor probabilidad a los más conectados ya ubicados en la red: “el
rico se vuelve más rico”.(Barabási y Albert, 1999)

61. Modelo de Duplicación
Asume que el origen de los nuevos elementos añadidos a la red es interno. Los nodos se
duplican y se unen a los ya existentes según determinada probabilidad (Pastor
Santorras et al, 2003).

62. Redes Naturales vs. Redes Artificiales
• Las redes naturales evolucionan por adaptación al entorno.
• A diferencia de éstas, el origen de una red artificial, como Internet, está
basado en un diseño humano inteligente.
• Sin embargo, presentan características topológicas análogas.
Red Internet Red de interacciones
proteínicas

63. Comparativa de algunas redes
Presentan:
• estructura Libre de Escala, (e, exponente)
• bajo valor de la Longitud Promedio (efecto Small World) entre nodos, L
• alto Coeficiente de Clustering, C.
e