Actividad obligatoria 4 A por Fernando sosa

1. ACTIVIDAD OBLIGATORIA 4 A-PRIMERA PARTE
Actividad del Proceso N° 19(C)
Desigualdades Racionales-Inecuaciones:
Ejercicio 19-C
𝑿 + 𝟑
𝟐𝑿 + 𝟏
≤ 𝟎
PUNTOS CRITICOS
NUMERADOR: 𝑿 + 𝟑 = 𝟎 ∴ 𝑿 = −𝟑 (INCLUYE, EXTREMO CERRADO ≤ )
DENOMINADOR: 𝟐𝑿 + 𝟏 = 𝟎 ∴ 𝑿 = −
𝟏
𝟐
(NO INCLUYE, EXTREMO ABIERTO < )
Solución: [-3;−
𝟏
𝟐
)
Esta desigualdad es una inecuación, una inecuación es una desigualdad que
Lleva en su expresión un valor desconocido, un datodesconocido
La regla de la división afirma que un cociente real es nulo si el numerador es nulo.
Un cociente está definido solo para los valores que NO anulan el denominador.
Esta desigualdad que debe cumplir ser menor o igual a 0 y se logra si DIFIEREN EN SUS
SIGNOS NUMERADOR Y DENOMINADOR

2. Verificamos:
Si x = −𝟑 reemplazamos en la ecuación de partida resulta:
𝑿 + 𝟑
𝟐𝑿 + 𝟏
≤ 𝟎
−𝟑 + 𝟑
𝟐(−𝟑)+ 𝟏
≤ 𝟎
𝟎
−𝟓
≤ 𝟎
0 ≤ 𝟎 Satisface con la desigualdad
Si x = −
𝟏
𝟐
reemplazamos en la ecuación de partida resulta:
𝑿 + 𝟑
𝟐𝑿 + 𝟏
≤ 𝟎
−
𝟏
𝟐
+ 𝟑
𝟐 (−
𝟏
𝟐
) + 𝟏
≤ 𝟎
𝟓
𝟐
𝟎
≤ 𝟎 “NO” cumple con la desigualdad
Si x = 𝟐 reemplazamos en la ecuación de partida resulta:
𝑿 + 𝟑
𝟐𝑿 + 𝟏
≤ 𝟎
𝟐 + 𝟑
𝟐. 𝟐 + 𝟏
≤ 𝟎
𝟓
𝟓
≤ 𝟎
𝟏 ≤ 𝟎 “NO” cumple con la desigualdad

3. Podemos verificar en la siguiente gráfica .Le damos valores a “x” en la ecuación
principal y vemos si satisfacen o pertenecen; los valores positivos no satisfacen la
inecuación porque tienen que ser valores ≤ (𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒐 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒂𝒄𝒆𝒓𝒐)obtenemos
lo demostrado en la gráfica.
𝑿 + 𝟑
𝟐𝑿 + 𝟏
≤ 𝟎
X=-4 X=-2 X=0
(−)
(−)
(+)
(−)
(+)
(+)
−∞ + ∞
NO (+) SI (-) NO (+)
-3 −
𝟏
𝟐
Solución: [-3;−
𝟏
𝟐
)
Solución final: Sea: (x/x ∈ ℝ∀ 𝒙 ∴ 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 [−𝟑;−
𝟏
𝟐
))

5. Los resultados con Wolfram Alpha coinciden con los resultados realizados
anteriormente.

6. ACTIVIDAD OBLIGATORIA 4 A-SEGUNDA PARTE
Siguiendoel ejemplodesarrolladoal final del apartado4de la unidadconstruyauna inecuación
cuya soluciónseael intervalo [2,∞),oel intervalo (−∞;
11
3
) .Paraconstruirloaplique nomenosde
tresveces laspropiedadesde ordende losreales.Compartaeneste forodichaconstrucción,de
estaforma tendremosunabanicode inecuacionesconlamismasolución.
𝟑𝑿 + 𝟑 < 𝟏𝟒
𝟑𝑿 + 𝟑 − 𝟑 < 𝟏𝟒 − 𝟑 Propiedad aditiva
𝟑𝑿 + 𝟎 < 𝟏𝟏 Propiedad asociativa, definición de 0
𝟑𝑿 < 𝟏𝟏 Definición de neutro
𝟏
𝟑
𝟑𝑿 <
𝟏
𝟑
𝟏𝟏 Definición de inverso multiplicativo
𝑿 <
𝟏𝟏
𝟑
Propiedad asociativa
La última desigualdad determina claramente el dato desconocido. Se trata de:
Los números reales menores a once tercios
Solución: (−∞;
𝟏𝟏
𝟑
)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
𝟏𝟏
𝟑
4
Solución: Sea: (x/x ∈ ℝ (−∞;
𝟏𝟏
𝟑
))
Verificamos:
Si x = −𝟑 reemplazamos en la ecuación de partida resulta:
𝟑𝑿 + 𝟑 < 𝟏𝟒
𝟑(−𝟑)+ 𝟑 < 𝟏𝟒
−𝟔 < 𝟏𝟒 “Satisface la inecuación”

7. Si x = 𝟒 reemplazamos en la ecuación de partida resulta:
𝟑. 𝟒 + 𝟑 < 𝟏𝟒
𝟏𝟐 + 𝟑 < 𝟏𝟒
𝟏𝟓 < 𝟏𝟒 “NO Satisface la inecuación”
RESULTADO OBTENIDO CON WOLFRAMALPHA

8. Desigualdad multiplicada por un factor negativo-Propiedades de las relaciones de orden
Multiplicativa: La relación de orden entre dos reales se mantiene si a ambos se los
Multiplica por un mismo tercer real positivoy cambia (se invierte) si el tercer real es
Negativo. Recuerde que el numero 0 no es positivo ni negativo
Multiplicativa: a < b ∧ c > 0 ⇒ a ⋅ c < b ⋅ c (lo mismo vale para el símbolo >)
a < b ∧ c < 0 ⇒ a ⋅ c > b ⋅ c (lo mismo vale para el símbolo >)
Ejemplo:
15 – 3x ≥ 39 / −15
− 3x ≥ 39 – 15 /: −3
x≤ 24: (−3)
x≤ − 8 Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Solución: (∞;−𝟖]