PRE CALCULO N°12 ESAN

1. Precálculo
Semana 12

2. Valor Absoluto: Definición y propiedades
Ecuaciones con valor absoluto
Inecuaciones con valor absoluto
Precálculo

3. 3
Definición:
El valor absoluto de un número real a , denotado
por │a│ es un número no negativo definido
mediante:






0,
0,
asia
asia
a

4. 4
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real a,
denotado por │a│ es la distancia que
existe desde el número a hasta el 0
(cero), sobre la recta de los números
reales.
Como la distancia siempre es positiva o
cero, se tiene que │a│≥ 0.

5. 5
• │-3 │ es la distancia entre el -3 y el cero.
│-3 │ = - (-3) = 3
• │8 │ es la distancia entre el 8 y el cero.
│8 │ = 8
│ –3– 0 │
- 3 0
│ 8 – 0 │
0 8

6. 6
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
Sean a y b dos números reales.
0a.1  aa.2 
bab.a.3  0b;
b
a
b
a
.4 
2
aa.5  222
aaa.6 

7. 7
Ejemplos:
12)a
 5)b
0)c
 82)d

3
1
4
1
)e
 ab)ba(,baSi)f 2

8. Valor Absoluto: Definición y propiedades
Ecuaciones con valor absoluto
Inecuaciones con valor absoluto
Precálculo

9. 9
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Para resolver ecuaciones con valor absoluto, solo
utilizaremos la definición del valor absoluto.
Ejemplo 1 :
Halle el conjunto solución de │x - 2 │= - 4
C.S.
Solución:
No existe un valor de x tal que │x - 2│ sea un valor
negativo.

10. Ejemplo 2:
Halle el conjunto solución de │2x-16│= 18
10
 






8decir,es,0162si;162
8decir,es,0162si;162
xxx
xxx
Solución:
Por definición,
│2x - 16│=

11. En la recta numérica se determinan dos zonas:
A1 : ] - ; 8 [ ; A2 : [ 8; + [
A1 : x < 8 A2 : x ≥ 8

11

8-(2x – 16) = 18
2x – 16 = - 18
x = -1  A1
CS1 = { -1 }
C S. = CS1  CS2 = { -1; 17 }
2x – 16 = 18
2x = 34
x = 17  A2
CS2 = { 17 }

12. Ejemplo 3:
Halle el conjunto solución de │5x - 7│= 11 – x
12
Respuesta: C. S. = { -1; 3 }
Ejemplo 4:
Halle el conjunto solución de │x -1│+ x =│x -5│- 11
Respuesta: C. S. = { - 7 }

13. Ejemplo 5:
Halle el conjunto solución de │3x -5│=│x -1│
13
Respuesta: C. S. =
Ejemplo 6:
Halle el conjunto solución de
Respuesta: C. S. =






2;
2
3
23
3
32
x
x
x
x 









3
4

14. Ejemplo 7: 2da. P.C. 2009-2
Halle el conjunto solución de
14
x , Si x 0
- x , Si x < 0
1x
1
x2
1
1x
1




Solución:
Por definición│x│=

15. En la recta numérica se determinan dos zonas:
A1 : x < 0 A2 : x 0
15
1,1,0;
1
1
2
1
1
1




xxx
xxx
1x
1
x2
1
1x
1



0
x2
1

xexisteNo


2CS
)1)(2)(1(
)1(2
)1)(2)(1(
)1)(1()1(2





xxx
xx
xxx
xxxx

16. 222
x2x2)x1(x2x2 
16
1x5 2

11 A
5
1
xA
5
1
x
5
1
x 









5
1
CS1







5
1
CSCSCSol 21

17. Ejemplo 8:
Halle el conjunto solución de
17
Respuesta: C. S. =
Ejemplo 9:
Halle el conjunto solución de ; a < - b ;
b > 0.
Respuesta: C. S. =






 4;
2
1
;0;
2
3
abaxaxa 2





 
2
ba
xx  3413

18. Valor Absoluto: Definición y propiedades
Ecuaciones con valor absoluto
Inecuaciones con valor absoluto
Precálculo

19. 19
Inecuaciones con valores absolutos
Aplicaremos las siguientes propiedades para resolver
desigualdades que contienen valores absolutos.
Desigualdad Forma equivalente Gráfica
x a a x a   1.
a a
x a a x a   2.
a a
x a x a x a    3.
a a
x a x a x a    4.
a a
En todos los casos hemos supuesto que a es una cantidad no
negativa.

20. 20
Aplicaciones
Resolveremos inecuaciones que contienen valor absoluto
1 11 7x  .
2 5 3 13x  .
3 5 2 1 4x  .
4 3
4 1,5
2
x 
 .
5 4 3 3 4x x  .
6 1 2 5 3x x    .
 18;4.. SC
 



 ;2
5
16
;..SC
 2;1.. SC
Φ.. SC




 7;
7
1
..SC
  ;4..SC

21. 21
11 3 1. x x  
1
8 2 1
1
x
x
x

  

.
2
7 2 1 1x x x     .
 2
9 1 4 4 12x x   .
2
10 9 3x x  .
12
23
23
12
.12





x
x
x
x
 1;0.. SC
  14;0.. SC
 











2
1
;1
5
3
;..SC
  ;1..SC
 3;1.. SC
 3.. SC

22. 22
Resolución de un problema interesante
Determine el conjunto solución de la inecuación
1
3 1x
x
  
Resolución.
De acuerdo con las propiedades y considerando que x + 1  0,
la desigualdad dada es equivalente al sistema de desigualdades
1
( 1) 3 1x x
x
     
Primero, resolvemos el lado izquierdo, así
2
1 1 4 1
( 1) 3 0 4 0
x x
x x
x x x
 
         

23. 23
Completando cuadrados el numerador
    22
4 1 2 5 2 5 2 5
0 0 0
x x x x x
x x x
       
    
Luego los puntos de referencia son
1 2 32 5, 2 5, 0x x x      
Ubicándolos en la recta numérica real y aplicando la regla de los
signos, obtenemos:
Por tanto el conjunto solución de esta primera desigualdad es
2 5  0 2 5 
++
    ;520;52ICS

24. 24
Segundo, resolvemos el lado derecho, así
 22
1 1 2 1 1
3 1 0 2 0 0
x x x
x x
x x x x
  
          
Luego los puntos de referencia son
1 21 (doble), 0x x 
Ubicándolos en la recta numérica real y aplicando la regla de los
signos, obtenemos:
Luego el conjunto solución de esta segunda desigualdad es
0 1
++
    ;11;0IICS

25. 25
Tercero, realizamos la intersección de los conjuntos soluciones,
obteniendo
Este es, finalmente, el conjunto solución de la inecuación
propuesta.
    ;11;52III CSCSCS