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PRE CALCULO N°12 ESAN

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Precálculo
Semana 12
Valor Absoluto: Definición y propiedades
Ecuaciones con valor absoluto
Inecuaciones con valor absoluto
Precálculo
3
Definición:
El valor absoluto de un número real a , denotado
por │a│ es un número no negativo definido
mediante:






0,
0,
asia
asia
a
4
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real a,
denotado por │a│ es la distancia que
existe desde el número a hasta el 0
(cero), sobre la recta de los números
reales.
Como la distancia siempre es positiva o
cero, se tiene que │a│≥ 0.
5
• │-3 │ es la distancia entre el -3 y el cero.
│-3 │ = - (-3) = 3
• │8 │ es la distancia entre el 8 y el cero.
│8 │ = 8
│ –3– 0 │
- 3 0
│ 8 – 0 │
0 8
6
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
Sean a y b dos números reales.
0a.1  aa.2 
bab.a.3  0b;
b
a
b
a
.4 
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aa.5  222
aaa.6 

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  • 2. Valor Absoluto: Definición y propiedades Ecuaciones con valor absoluto Inecuaciones con valor absoluto Precálculo
  • 3. 3 Definición: El valor absoluto de un número real a , denotado por │a│ es un número no negativo definido mediante:       0, 0, asia asia a
  • 4. 4 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real a, denotado por │a│ es la distancia que existe desde el número a hasta el 0 (cero), sobre la recta de los números reales. Como la distancia siempre es positiva o cero, se tiene que │a│≥ 0.
  • 5. 5 • │-3 │ es la distancia entre el -3 y el cero. │-3 │ = - (-3) = 3 • │8 │ es la distancia entre el 8 y el cero. │8 │ = 8 │ –3– 0 │ - 3 0 │ 8 – 0 │ 0 8
  • 6. 6 PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO Sean a y b dos números reales. 0a.1  aa.2  bab.a.3  0b; b a b a .4  2 aa.5  222 aaa.6 
  • 8. Valor Absoluto: Definición y propiedades Ecuaciones con valor absoluto Inecuaciones con valor absoluto Precálculo
  • 9. 9 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Para resolver ecuaciones con valor absoluto, solo utilizaremos la definición del valor absoluto. Ejemplo 1 : Halle el conjunto solución de │x - 2 │= - 4 C.S. Solución: No existe un valor de x tal que │x - 2│ sea un valor negativo.
  • 10. Ejemplo 2: Halle el conjunto solución de │2x-16│= 18 10         8decir,es,0162si;162 8decir,es,0162si;162 xxx xxx Solución: Por definición, │2x - 16│=
  • 11. En la recta numérica se determinan dos zonas: A1 : ] - ; 8 [ ; A2 : [ 8; + [ A1 : x < 8 A2 : x ≥ 8  11  8-(2x – 16) = 18 2x – 16 = - 18 x = -1  A1 CS1 = { -1 } C S. = CS1  CS2 = { -1; 17 } 2x – 16 = 18 2x = 34 x = 17  A2 CS2 = { 17 }
  • 12. Ejemplo 3: Halle el conjunto solución de │5x - 7│= 11 – x 12 Respuesta: C. S. = { -1; 3 } Ejemplo 4: Halle el conjunto solución de │x -1│+ x =│x -5│- 11 Respuesta: C. S. = { - 7 }
  • 13. Ejemplo 5: Halle el conjunto solución de │3x -5│=│x -1│ 13 Respuesta: C. S. = Ejemplo 6: Halle el conjunto solución de Respuesta: C. S. =       2; 2 3 23 3 32 x x x x           3 4
  • 14. Ejemplo 7: 2da. P.C. 2009-2 Halle el conjunto solución de 14 x , Si x 0 - x , Si x < 0 1x 1 x2 1 1x 1     Solución: Por definición│x│=
  • 15. En la recta numérica se determinan dos zonas: A1 : x < 0 A2 : x 0 15 1,1,0; 1 1 2 1 1 1     xxx xxx 1x 1 x2 1 1x 1    0 x2 1  xexisteNo   2CS )1)(2)(1( )1(2 )1)(2)(1( )1)(1()1(2      xxx xx xxx xxxx
  • 16. 222 x2x2)x1(x2x2  16 1x5 2  11 A 5 1 xA 5 1 x 5 1 x           5 1 CS1        5 1 CSCSCSol 21
  • 17. Ejemplo 8: Halle el conjunto solución de 17 Respuesta: C. S. = Ejemplo 9: Halle el conjunto solución de ; a < - b ; b > 0. Respuesta: C. S. =        4; 2 1 ;0; 2 3 abaxaxa 2        2 ba xx  3413
  • 18. Valor Absoluto: Definición y propiedades Ecuaciones con valor absoluto Inecuaciones con valor absoluto Precálculo
  • 19. 19 Inecuaciones con valores absolutos Aplicaremos las siguientes propiedades para resolver desigualdades que contienen valores absolutos. Desigualdad Forma equivalente Gráfica x a a x a   1. a a x a a x a   2. a a x a x a x a    3. a a x a x a x a    4. a a En todos los casos hemos supuesto que a es una cantidad no negativa.
  • 20. 20 Aplicaciones Resolveremos inecuaciones que contienen valor absoluto 1 11 7x  . 2 5 3 13x  . 3 5 2 1 4x  . 4 3 4 1,5 2 x   . 5 4 3 3 4x x  . 6 1 2 5 3x x    .  18;4.. SC       ;2 5 16 ;..SC  2;1.. SC Φ.. SC      7; 7 1 ..SC   ;4..SC
  • 21. 21 11 3 1. x x   1 8 2 1 1 x x x      . 2 7 2 1 1x x x     .  2 9 1 4 4 12x x   . 2 10 9 3x x  . 12 23 23 12 .12      x x x x  1;0.. SC   14;0.. SC              2 1 ;1 5 3 ;..SC   ;1..SC  3;1.. SC  3.. SC
  • 22. 22 Resolución de un problema interesante Determine el conjunto solución de la inecuación 1 3 1x x    Resolución. De acuerdo con las propiedades y considerando que x + 1  0, la desigualdad dada es equivalente al sistema de desigualdades 1 ( 1) 3 1x x x       Primero, resolvemos el lado izquierdo, así 2 1 1 4 1 ( 1) 3 0 4 0 x x x x x x x            
  • 23. 23 Completando cuadrados el numerador     22 4 1 2 5 2 5 2 5 0 0 0 x x x x x x x x              Luego los puntos de referencia son 1 2 32 5, 2 5, 0x x x       Ubicándolos en la recta numérica real y aplicando la regla de los signos, obtenemos: Por tanto el conjunto solución de esta primera desigualdad es 2 5  0 2 5  ++     ;520;52ICS
  • 24. 24 Segundo, resolvemos el lado derecho, así  22 1 1 2 1 1 3 1 0 2 0 0 x x x x x x x x x               Luego los puntos de referencia son 1 21 (doble), 0x x  Ubicándolos en la recta numérica real y aplicando la regla de los signos, obtenemos: Luego el conjunto solución de esta segunda desigualdad es 0 1 ++     ;11;0IICS
  • 25. 25 Tercero, realizamos la intersección de los conjuntos soluciones, obteniendo Este es, finalmente, el conjunto solución de la inecuación propuesta.     ;11;52III CSCSCS