El documento explica los números enteros (Z), que complementan a los números naturales (N) para resolver problemas que requieren valores negativos, como temperaturas bajo cero o ubicaciones bajo el nivel del mar. Los números enteros incluyen los números naturales y sus opuestos, y pueden representarse en una recta numérica. Se definen las propiedades de la adición y sustracción de números enteros, así como el uso de signos de agrupación.

1. Obj.Nº CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS (Z)<br />Los Números Naturales (N): Es el conjunto de números formado por el 0, 1, 2, 3, 4,…..+∞<br />Representación Matemática de los números (N):<br />N=0,1,2,3….+∞<br />-73660352425Representación grafica de los números (N):<br /> “Recta Numérica”<br />Necesidad de ampliar el conjunto (N): Ocurrió debido a que muchos problemas y situaciones no se lograban representar su valor numérico con números naturales.<br />Ejemplo:<br />18681702527301) Existen lugares, como la cima del pico Bolívar donde las temperaturas son menores de cero, es decir, bajo cero.<br />1016002114552) Tampoco podemos representar con números naturales las ubicaciones de lugares bajo el nivel del mar.<br />3) al referirnos a la era cristiana, las fechas antes de Cristo.<br />Los números Enteros (Z): Son aquellos números que complementan los números naturales, para resolver problemas practicos o situaciones.<br />Representación Matemática de los números (Z):<br />-135255287020Representación grafica de los números (Z):<br /> <br /> “Recta Numérica”<br />Los números a la derecha del cero son enteros positivos.<br />Los números a la izquierda del cero son enteros negativos.<br />Subconjuntos notables de los números (Z): El conjunto Z se puede dividir en 3 subconjuntos.<br />Enteros Positivos : <br />Enteros Negativos <br />Enteros sin el Cero <br />-71755104140Representación grafica de los subconjuntos (Z):<br /> <br />Nota: los números negativos anteponen siempre el signo menos delante, mientras los números positivos pueden o no llevar el signo más.<br /> <br /> <br /> <br />Aplicación de los números enteros en problemas:<br />Cuando la temperatura esta a 10 grados centígrados bajo cero: se escribe <br />250 años antes de Cristo: se escribe <br />30m bajo el nivel del mar: se escribe: <br />Gano 200bsf: se escribe <br />Ejercicios: <br />1) Clasifica en un cuadro los números enteros y no enteros:<br />a) b) c) d) e) <br />f) g) h) <br />ENTEROSNO ENTEROS <br />2) Representa con números enteros las siguientes situaciones:<br />SituacionesNúmero Enteroa) 50ºC sobre cero……………b) 30ºC bajo cero………………c) Perdí 3105bsf……………….d) Gané 20bsf………………….e) 4m bajo el nivel del mar…….f) 512 a.c (antes de Cristo)…….g) Rebaje 5 kg………………….h) Subí 120 escalones………….i) Engorde 10 kg………………j) Escalé 4metros……………..<br />3) Señala a cuál conjunto pertenece las siguientes cantidades, marca con una:<br />No<br />Número Opuestos: Es el número contrario del conjunto que se señala, recuerde los números positivos son los opuestos de los números negativos, es decir:<br /> es opuesto de <br /> es opuesto de <br /> es opuesto de <br />Nota: El único número que no posee opuesto es el cero, debido a que no tiene signo, ni es positivo, ni es negativo.<br />Valor Absoluto: es la distancias que existe entre el cero y un numero cualquiera. El valor absoluto se simboliza siendo un número cualquiera.<br />Si x es positivo: el valor absoluto es el mismo número. Ejemplo:<br />a) b) c) <br /> Si x es negativo: el valor absoluto es el número opuesto. Ejemplo: <br />a) b) c) <br />Si x es cero: el valor absoluto es cero. Ejemplo: <br />Ejercicios: <br />1) Señala el valor absoluto y el número opuesto de las siguientes cantidades.<br />CantidadValor AbsolutoNumero OpuestoNo tiene<br />2) Representa en la recta numérica el número opuesto de las siguientes cantidades. <br />-83185205105; ; ;<br />Obj.Nº ORDEN DE NÚMEROS ENTEROS (Z)<br />Orden en Z: En el conjunto de los números enteros (Z) el orden depende de la posición donde se encuentren los números que vamos a relacionar. <br />La relación que utilizaremos para ordenar son:<br /> “mayor o igual que” (apunta hacia a la derecha).<br /> “menor o igual que” (apunta hacia a la izquierda).<br />Relación “mayor o igual que”: Sean a y b dos números enteros, diremos que (a) es mayor que (b), es decir, si (a) se encuentra a la derecha de la recta.<br />Ejemplo: Ordena las siguientes cantidades utilizando la relación mayor o igual que <br />3810163830a) y <br /> “ esta mas a la derecha que <br />3810168910b) y <br /> <br />c) y <br /> <br />38106350d) y <br />3810264160 e) y <br /> <br />Relación “menor o igual que”: Sean a y b dos números enteros, diremos que (a) es menor que (b), es decir, si (a) se encuentra a la izquierda de la recta.<br />Ejemplo: Ordena las siguientes cantidades utilizando la relación menor o igual que <br />3810122555a) y <br /> “ esta mas a la izquierda que <br />3810236220b) , +1 y <br /> <br />3810213360c) , 0 y <br /> <br />3810135255d) y <br /> <br />3810177165e) , +3 y <br /> <br />Conclusiones: <br />Dos números positivos, es mayor el que tenga mayor valor absoluto.<br />Dos números negativos, es menor el que tenga menor valor absoluto.<br />Todo número positivo, es mayor que todo negativo.<br />El cero es mayor que todo negativo.<br />Ejercicio:<br />Ordena las siguientes cantidades utilizando la relación mayor o igual que <br />3, -2 b) -12, 0 c) 5, 2, -4 d) 12, -24<br />e) 0, +1, -5 f) 3, -5, 0 g) -8, -9, 0 h) 12, 11<br />i) -4, 2, 0<br /> Señala cual de las siguientes expresiones es verdadera o falsa.<br /> ( )<br /> ( )<br /> ( )<br /> ( )<br /> ( )<br /> ( )<br /> ( )<br /> ( )<br /> ( )<br /> ( )<br /> Escribe el símbolo correspondiente en cada caso<br /> <br />Obj.Nº ADICIÓN DE NÚMEROS<br /> ENTEROS (Z)<br />Adición: Es una operación de la matemática, donde las cantidades a sumar se llaman “sumando” y el resultado se le llama “suma”<br />Ejemplo: Señala las partes de una adición y resuélvela <br />393065103505<br />Propiedad de la Adición:<br />Conmutativa: Sean a y b dos números enteros esta propiedad dice: que el orden de colocación de los sumandos no altera la suma.<br />Ejemplo: Aplica la propiedad Conmutativa a la siguiente adición:<br /> <br />Ejercicio: Aplica y resolver la propiedad Conmutativa a la siguiente adición:<br /> <br /> <br />Asociativa: Sean a b y c tres números enteros esta propiedad dice: se puede obtener una suma entre dos sumandos y luego efectuarse otra con el sumando faltante y se obtiene el mismo resultado.<br />Ejemplo: Aplica la propiedad Asociativa a la siguiente adición:<br /> <br />Ejercicio: Aplica y resolver la propiedad Asociativa a la siguiente adición:<br /> <br /> <br /> <br /> <br />Elemento Neutro: Todo sumando con el cero es igual al mismo número, ya que el cero es elemento neutro para la adición.<br />Ejemplo: Aplica la propiedad Neutro a la siguiente adición:<br /> <br /> <br /> <br />Ejercicio: Aplica y resolver la propiedad Neutro a la siguiente adición:<br />Regla de la adición de los números enteros:<br />Caso # 1: Suma de números positivos: se suman los sumando y el resultado es positivo.<br />Ejercicio: Resuelve la siguiente adición:<br />949960187325<br />Caso # 2: Suma de números negativos: se suman los sumando y el resultado es negativo.<br />Ejercicio: Resuelve la siguiente adición:<br />949960193675<br />Caso # 3: Suma de un número positivo y un negativo: se restan los sumando y el resultado es del signo mayor.<br />Ejercicio: Resuelve las siguientes adiciones:<br />897255241935<br />860425275590<br />Caso # 4: Suma de varios números positivos y negativos: se realiza la regla T donde se suman los positivos con positivos y negativos con negativos y luego se restan los sumando y el resultado es del signo mayor el resultado.<br />Ejercicio: Resuelve las siguientes adiciones:<br />887730358140<br />741680284480<br />654050300990<br /> <br />Ejercicio: Indica el caso que se debe aplicar y resuelve las siguientes operaciones de adiciones:<br />100+(+100)=<br />Ejercicio: Resuelve las siguientes operaciones de adiciones aplicando la Propiedad Conmutativa<br />192151056515349885173355 <br /> <br />1670685150495349885128905<br />Ejercicio: Resuelve las siguientes operaciones de adiciones aplicando la Propiedad Asociativa.<br />2102485279400181610279400<br /> <br /> <br />386080270510<br />2054860158750<br />Obj.Nº SUSTRACCION DE NÚMEROS (Z)<br />Sustracción: Es una operación de la matemática, donde sus términos son: El minuendo “es la primera cantidad”; El sustraendo “es la segunda cantidad” y el resultado se le llama “diferencia”<br />Ejemplo: Señala las partes de una sustracción y resuélvela <br />762000290195<br />100965165735<br />Regla para la Sustracción: Estas operaciones se resuelven cambiando el sustraendo por el número opuesto convirtiendo así la sustracción en una adicción.<br />Ejercicio: Resuelve las siguientes operaciones de sustracciones.<br />Actividades: realiza las siguientes sustracciones <br />Obj.Nº SIGNO DE AGRUPACIÓN<br />Definición: Son quienes indican que dos o mas cantidades encerrada entre ellos se deben considerar como un todo, es decir, como una sola cantidad.<br />Los signos de agrupación son:<br />El paréntesis <br />El corchete <br />Las llaves <br />Regla para Eliminar signos de Agrupación:<br />Para eliminar un signo de agrupación que tenga el signo “mas” antes de él, “se dejara” el mismo signo que tengan cada una de las cantidades que se encuentren dentro de él.<br />Para eliminar un signo de agrupación que tenga el signo “menos” antes de él, “se cambiaran” el signo que tengan cada una de las cantidades que se encuentren dentro de él.<br />Para eliminar los signos de agrupación precedido por otro signo de agrupación se procede a resolver las operaciones indicada entre ellos en el siguiente orden:<br />Paréntesis; Corchete; Llaves<br />Ejercicio: Elimina los siguientes signo de agrupación y resuelve.<br />Se elimina los paréntesis<br />Se elimina las Llaves<br />234315266700Se aplica la regla T<br />se eliminan los paréntesis<br />Se eliminan los corchetes<br />Se eliminan las llaves<br />1130935141605Se aplica la regla T<br />Actividad:<br />Ubicar los números enteros en la recta numérica<br />Cada alumno le corresponderá un número entero hecho con cartón e hilaza.<br /> La recta numérica será representada por una fila de pupitres, cada pupitre le corresponderá un espacio en la recta numérica. con <br />1487805710565 El juego consiste en que los integrante de un grupo deberá ubicarse en el pupitre, que ocupa el espacio correspondiente al número que posea, el grupo que lo haga en menos tiempo será el ganador.<br />-254040005<br />Ubicar los números enteros en el conjunto correspondiente.<br />Cada alumno le corresponderá un número entero hecho con cartón e hilaza.<br /> Los grupos numéricos será representado por una columna de pupitres.<br />El juego consiste en que un integrante por grupo deberá ubicar en la columna de pupitre, al resto de los jugadores de acuerdo a si pertenece o no al grupo en 1 minuto de tiempo, el grupo ganador será aquel que logre sentar más alumnos.<br />760730233045.<br />-34925233045<br />Enano NO y gigante SI<br />Cada alumno le corresponderá un número entero hecho con cartón e hilaza.<br /> Habrán 3 columna con 3 filas de pupitres participaran 3 integrantes de cada grupo.<br />El juego consiste en decir por parte de profesor un determinado conjunto de números y solo se levantara los alumnos que represente los números dentro de ese conjunto, el resto se quedara sentado o si no perderá. El grupo ganador será aquel que logre tener más alumnos dentro del juego.<br />Instrumento de Evaluación:<br />Juego 1: primer lugar. 7ptos; 5ptos; 4ptos<br />Juego 2: primer lugar. 7ptos; 5ptos; 4ptos<br />Juego 3: primer lugar. 6ptos; 4ptos; 2pto<br />GrupoJuego 1Juego 2Juego 3ABC<br />Obj.Nº MULTIPLICACIÓN EN Z<br />Definición: es una operación de la matemática, donde los términos que se presentan son: los factores, es decir, las cantidades a multiplicar y el resultado llamado producto.<br />Ejemplo: Señala las partes de una multiplicación y resuélvela <br />198120307340<br />Regla de los signos para multiplicar en Z: <br />Regla N°1: El producto de dos números de igual signos resulta “positivo”.<br />Ejemplo: resolver las siguientes multiplicaciones<br />Regla N°2: El producto de dos números de diferentes signos resulta “negativo”.<br />Ejemplo: resolver las siguientes multiplicaciones<br />En resumen:<br />+.++_._+_.+_+.__<br />Ejercicio: Completa el siguiente cuadro realizando las siguientes multiplicaciones, no borrar las cuentas<br />.+6-12+43-4-24+48-172+37+222-444+1.591-954-5.724+11.448-41.022-10-60+120-430<br />Propiedad de la Multiplicación en Z: <br />Propiedad Conmutativa: Sean a y b dos números enteros, se dice que el orden de los factores no altera el producto, es decir:<br />Ejercicio: Aplicar la propiedad conmutativa de las siguientes multiplicaciones y resolver.<br />Propiedad Asociativa: Sean a, b y c tres números enteros, se dice que la forma de agrupar los factores no altera el producto, es decir:<br />Ejercicio: Aplicar la propiedad asociativa a la siguiente multiplicación y resolver.<br /> <br /> <br />Elemento Neutro: Cualquier factor multiplicado por el uno resulta el mismo factor, es decir, el uno en la multiplicación es el elemento neutro.<br />Ejercicio: Aplicar la propiedad neutra a la siguiente multiplicación y resolver.<br />Propiedad Distributiva: Es la operación que relaciona la multiplicación y la adicción de números enteros, se realiza multiplicando el factor por cada sumando y luego se efectúa la adicción de los productos obtenidos.<br />Ejercicio: Aplicar la propiedad distributiva a la siguiente multiplicación y resolver.<br />684530306070<br /> <br /> <br />63309510795<br />Factorizar: Es la operación inversa de la propiedad distributiva, donde se debe simplificar las operaciones colocando el factor que se repite fuera del corchete y los factores que NO se repite dentro del corchete como sumando.<br />Ejercicio: Factorizar las siguiente multiplicación<br />a) <br />b) <br />Ejercicios Combinado de Multiplicación: Son ejercicios que combina varias operaciones al mismo tiempo, para resolverse se debe llevar un orden primero efectuar la propiedad distributiva, luego las multiplicaciones y por último las adicciones<br />Multiplicación con Adicción:<br />00<br />Distributiva con Multiplicación: <br />163830326390<br />Distributiva con Adicción:<br />272415252095<br />Distributiva con Multiplicación y Adicción:<br />672465332105<br />Obj.Nº POTENCIA EN Z<br />Definición: es una operación de la matemática, que abrevia la multiplicación de factores repetidos en una sola expresión, formada por una cantidad que se multiplicara llamada Base, y las veces que se multiplicara esta base lo indica el Exponente<br />64770268605Ejemplo: Señala las partes de una potencia<br />Ejercicio: Resuelve las siguientes potencias<br />(+8)2=(+8).(+8)= +64<br />(6)3=6.6.(6)= 216<br />(2)4=2.2.2.2= +16<br />(+1)5=+1(+1).(+1).(+1).(+1)= +1<br />Regla de los signos para las potencias:<br />Regla Nº 1: Bases positivas y Exponente cualquiera: Toda base positiva y exponente par o impar el resultado es POSITIVO.<br />Regla Nº 2: Bases negativa y Exponente par: Toda base negativa y exponente par el resultado es POSITIVO.<br />Regla Nº 3: Bases negativa y Exponente impar: Toda base negativa y exponente impar el resultado es NEGATIVO.<br />Ejercicio: Indica cual es el signo de las siguientes potencias <br />a) (+10)5=+<br />b) (-6)3=-<br />c) (-2)6=+<br />d) (-1)7=-<br />e) (+7)4=+<br />f) (-9)5=-<br />g) (+11)4=+<br />h) (-12)3=-<br />i) (-5)4=+<br />j) (-3)3=-<br />k) (4)2=+<br />Ejercicio: Resuelve las potencias anteriores<br />a) (+10)5=+100000<br />b) (-6)3=-216<br />c) (-2)6=+64<br />d) (-1)7=-1<br />e) (+7)4=+2401<br />f) (-9)5=-59049<br />g) (+11)4=+14641<br />h) (-12)3=-1728<br />i) (-5)4=+625<br />j) (-3)3=-27<br />k) (4)2=+16<br />Propiedad de las Potencia:<br />a) Multiplicación de potencia de bases iguales: se coloca la misma base y se suman los exponentes.<br />a) 23.22.22=29=512<br />3+2+2=13<br />b) x-3.x-2.x-7=b-12<br />-3+-2+-7=-12<br />207645249555c) b-3.b.b-7=b-9<br />b) División de potencia de bases iguales: se coloca la misma base y se restan los exponentes.<br />a) 3734=33=+27<br />7-4=3<br />b) z5.y5z9=y5z4<br />9-5=4<br />c) z5.y15y9=z5.y6<br />15-9=6<br />c) Potencia de potencia: se coloca la misma base y se multiplican los exponentes.<br />a) (+2)23=+26=+64 2.3=6<br />b) (-a)3-5=(-a)-15 3.-5=-15<br />c) y-3-16=y18<br />d) Producto de potencias: se coloca las mismas bases y se multiplican los exponentes, el exterior con los interiores.<br />a) a3.b3=a9.b3<br />b) x3.y-4.z25=x15.y-20.z10<br />e) Potencia elevada a la cero: Toda potencia elevada a la cero resulta uno, es decir, la unidad.<br />a) (+10)0=1 b) (-6)0=1<br />c) (-2)0=1<br />f) Potencia elevada a la uno: Toda potencia elevada a la uno resulta la misma base.<br />a) (+10)1=10 b) (-6)1=-6<br />c) (-2)1=-2<br />Ejercicio Combinado de potencias:<br />Para resolver estos ejercicios se debe llevar un cierto orden en su solución:<br />Resolver las potencia de potencias<br />Resolver el productor de potencias<br />Resolver las multiplicaciones de potencias de iguales bases.<br />Resolver las divisiones de potencias de iguales bases.<br /> <br />a) y42.z5y5.z3.z2.z=y8.z5y5.z3.z2.z=y8.z5y5.z6=y3z<br />b) y4.z54y5.y3.z2.z35=y16.z20y5.y3.z2.z35=y16.z20y5.y3.z2.z15=y16.z20y8.z17=y8.z3<br />Ojetivo # ___<br />Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor<br />Reglas de divisibilidad: son criterios que sirven para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división. Estas reglas son importantes dado que te facilitan el cálculo de las descomposición de factores que a su vez sirven para reducir y simplificar fracciones. <br />Divisibilidad 2: Un número es divisible por 2, si: termina en 0 o en cifra par<br />Ejemplos: (dejar 1 línea)<br />Divisibilidad 3: Un número es divisible por 3, si la suma de sus cifras es múltiplo de tres. Ejemplos: (dejar 1 línea) <br />Divisibilidad 5: Un número es divisible por 5, si termina en 0 o en 5<br />Ejemplos: (dejar 1 línea)<br />Múltiplos: los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los números naturales.<br />Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.): El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero. Para calcularse: se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se multiplican:<br />Máximo común divisor (M.C.D) de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números.<br />Divisible significa que al dividirlo por ese número el resultado es una división exacta<br />Para calcularse: se toman los factores comunes menor exponente y se multiplican:<br />Transformar cantidades en potencias: Para transformar cantidades en potencias debemos descomponer en factores primos mediante los criterios de divisibilidad<br />Ejercicios<br />Indica con una X si la cantidad es divisible entre 2, 3 ó 5<br />