derivadas

1. AMG. Hoja 5.02 (Repaso de Cálculo de una variable: derivadas.)
UAH. GRADO DE ECONOMÍA. ANÁLISIS MATEMÁTICO.
Derivadas HOJA 5.02
1. Dada la función






1si),/(2
1si,3
)(
2
xax
xax
xf
a) ¿Para qué valores del parámetro a es continua? b) ¿Para qué valores de a es derivable?
2. Dada la función






0si
0sisen25
)( 2
xbaxx
xx
xf
a) ¿Para qué valores de los parámetros a y b es continua la función f (x)?
b) Determina a y b para que f(x) sea derivable en x = 0.
3. Calcula, simplificando el resultado, la derivada de la función:
x
x
xf
cos1
cos1
ln)(


 .
4. Deriva y simplifica: a) 32
)5( xxy  b) 3 22
)25( xxy 
5. Para las funciones del problema anterior, indica los puntos en los que la derivada vale 0.
6. Deriva: a) )43ln()( 2
 xxxf b) )1ln()1()( 2
 xxxf c) 3
2
)1ln(
)(
x
x
xf


7. Deriva: a) 13 2
2 
 x
y b) 32

 x
ey c) 122 
 x
exy d)
2

x
e
y
x
8. Si 1)( 2
 xxf y 2
)( senxxg  halla la derivada de las funciones ))(()( xgfxF  y
))(()( xfgxG  , aplicando la regla de la cadena.
9. Halla la ecuación de la recta tangente a xxxf 3)( 2
 en el punto x = 1. Representa
gráficamente la curva y la tangente.
10. Halla la ecuación de la recta tangente a
x
xf
4
)(  en el punto de abscisa x = 4.
11. Halla los puntos de la curva xxy 23
 en los que su tangente tiene pendiente 1. Halla la
ecuación de esas tangentes.
12. Comprueba que, en el punto x = 1, la función xy  puede aproximarse por la recta
2
1
2
1
 xy . Utiliza ese resultado para hallar la raíz cuadrada de 1,1.
13. Calcula la diferencial de la función tag x en el punto
4

para x = dx = 0,01.
14. Halla la derivada n-ésima de xxf ln)(  .
15. Deriva: a) 32
2 
 x
y b)
2
2
3 xx
y 
 c) 3
 x
ey d) x
ey 5
2 e) 12
)12( 
 x
exy
16. Deriva: a)
x
e
y
x
 b) x
e
x
y  c)
12
3


x
e
y
x
d)
x
xe
y
x


1
e) x
ey  f) x
ey 

2. AMG. Hoja 5.02 (Repaso de Cálculo de una variable: derivadas.)
Soluciones e indicaciones:
1. a) 1 o 2; b) 1. 2. b = 5; a = 2.
3.
senx
2
4. a) xxxy 5)52(
2
3
´ 2
 ;b)
3 2
253
)210(2
´
xx
x
y



5. a) Nunca; b) 1/5.
6. a)
43
3
)43ln(2
1


x
x
xx ; b)
1
2
)1ln( 2


x
x
x ; c)
)1(
)1ln()1(32
24
222


xx
xxx
7. a) 2ln2·6´ 13 2

 x
xy ; b) 32
2´ 
 x
xey ; c) 122
)1(2´ 
 x
exxy ; d) 2
)2(
)1(
´



x
xe
y
x
8. l. 22
cos4 xxsenx ; 222
)1cos()1(4  xxx .
9. 1 xy .
10. 2
4
1
 xy )
11. y = x + 2 e y = x 2.
12. 05,11,1  .
13. 0,02.
14. n
n
n
x
n
xf
)!1·()1(
)(
1
) 


15. a) 2ln2·2 32
x
x ; b) 3ln3)·22(
2
2 xx
x 
 ; c) 3
 x
e ; d) x
e5
10 e) 12
)44 
 x
ex
16. a) 2
)1(
x
xex

; b) x
e
x1
; c) 2
)12(
)36(


x
ex x
; d) 2
2
)1(
)1(
x
exx x


; e) x
e
x2
1
; f) 2/
2
1 x
e
Ejercicios de tipo test propuestos en exámenes anteriores (Licenciatura)
1. (S/98). La función






0para,12
0para,
)(
xx
xe
xf
x
, en el punto x = 0 es:
a) Derivable pero no continua. b) Continua pero no derivable. c) Continua y derivable.
2. (F04). La función






2si2
2si
)(
2
xx
xbaxx
xf es derivable en x = 2 si:
a) b = –2a b) Sólo si a = 2 y b = 4 c) Ninguna de las anteriores.
3. (F10). Dada la función 132)( 23
 xxxxf :
a) La recta 2:1  xyr , es tangente a la curva )(xfy  en algún punto.
b) La recta 27:2  xyr , es tangente a la curva )(xfy  en el punto (1, 5).
c) Ninguna de las anteriores.
4. (F02) Dada 32
)3(
2
)(


x
x
xf , los valores de f ´(1) y f ´´(1) son, respectivamente:
a) 1 y 14 b) 1 y 4 c) 1 y 21/4
5. (F02) La ecuación de la recta tangente a la curva
3
2


x
y en el punto de abscisa x = 1 es:
a) xy
2
1
 b)
8
5
8
1
 xy c) y = 2x