Analisis de una funcion racional

1. Instituto Universitario Aeronáutico
Facultad Ciencias de la Administración
INGENIERÍA DE SISTEMAS
Matemática II plan 2010
Unidad 4. Actividad 5 segunda parte.
Nombre y apellido: Gustavo Alejandro Zamar Monzó
Curso: IS-MA2-COR-zplacereano-DIST-A
Fecha: 7 de Noviembre 2015
Aplicaciones de la derivada
Análisis de la función f (x)=
x
(x−1)(x+1)
Resolución
Dominio de la función: Conjunto de número Reales distintos de 1 y -1.
Intersecciónes con lo ejes:
 Eje Y: x=0→f (x)=
0
(0−1)(0+1)
=0
 Eje X: f (x)=
x
(x−1)(x+1)
=0
 Concluimos que la gráfica de dicha función cruza por el origen.
Continuidad: Analizaremos que sucede en los puntos y
 lim
x→−1 ⁻
x
(x−1)(x+1)
=−∞ y lim
x→−1 ⁺
x
(x−1)(x+1)
=+∞
x<-1 x>-1
x-1 - -
x+1 - +
(x-1)(x+1) + -
x - -
- +
Concluimos que la función f(x) en el punto x=-1 presenta una discontinuidad escencial
de salto infinito, esto es, existe una asintota vertical.
 lim
x→1⁻
x
(x−1)(x+1)
=−∞ Y lim
x→1⁺
x
(x−1)(x+1)
=+∞

2. x<1 x>1
x-1 - +
x+1 + +
(x-1)(x+1) - +
x + +
f (x)=
x
(x−1)(x+1)
- +
Concluimos que la función f(x) en el punto x=1 presenta una discontinuidad escencial
de salto infinito, esto es, existe una asintota vertical.
Verifiquemos la existencia de asintota horizontal, para ello analizamos:
lim
x→∞
x
(x−1)(x+1)
=lim
x→∞
x
(x−1)(x+1)
=lim
x→∞
x
(x ²−1)
=lim
x→∞
(
x
x
)
1
(x−
1
x
)
=0
Por lo anterior, la función f(x) posee una asintota horizontal en y=0.
Concluimos entonces que f es continua en (−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,∞)
Puntos críticos: Buscamos aquellos puntos críticos basados en la prueba de la primera
derivada
Primera derivada, consideremos p(x)=x y q(x)=x²-1
f ' (x)=
(1)(x ²−1)−(x)(2 x)
(x ²−1)²
=
x²−2 x²−1
(x²−1)²
=
−x ²−1
(x ²−1)²
Ahora bien, si deseamos encontrar puntos críticos deberíamos verificar cuándo f'(x)=0
con lo cual concluimos que no posee puntos críticos a evaluar bajo este criterio.
Segunda derivada:
f ' ' (x)=
(−2 x)(x ²−1)²−(−x²−1)(2(x²−1)(2x))
(x ²−1)⁴
=
2x ⁵+4 x ³−6 x
(x ²−1)⁴
Puntos críticos x=-1; x=0; x=1. Aquí ya se considera la inviabilidad del análisis de dos
puntos por ser asintotas verticales a la función f. Sólo quedaría verificar lo que sucede
con x=0 en donde, mediante un análisis previo, era una intersección entre la función f y
el origen por lo que es probable punto de inflexión.
x<0 x>0
2x ⁵+4 x ³−6 x + -
(x²−1)⁴ + +
f ' ' (x) + -

3. Demostrado entonces que f''(0) cambia de signo mediante la prueba de la segunda
derivada para el análisis de la concavidad podemos afirmar que en x=0 existe un punto
de inflexión.
La gráfica de la función quedaría definida entonces de la siguiente manera: