Este documento presenta una introducción a los conjuntos y subconjuntos. Explica conceptos básicos como elementos de un conjunto, determinación de conjuntos por extensión y comprensión, el conjunto universal y el conjunto vacío. También cubre la inclusión de conjuntos, subconjuntos, igualdad de conjuntos y diagramas de Venn.

1. Apuntes de Matem´atica Discreta
1. Conjuntos y Subconjuntos
Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
C´adiz, Octubre de 2004

2. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
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3. Lecci´on 1
Conjuntos y Subconjuntos
Contenido
1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Conjuntos y Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Determinaci´on por Extensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Determinaci´on por Comprensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Conjunto Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.5 Conjunto Vac´ıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.6 Axioma de Extensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Inclusi´on de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Inclusi´on Estricta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Proposici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Proposici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.5 Caracterizaci´on de la Igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.6 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.7 Transitividad de la Inclusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Un conjunto es la reuni´on en un todo de objetos de nuestra in-
tuici´on o de nuestro pensar, bien determinados y diferenciables
los unos de los otros.
Georg Cantor (1845-1918)
El concepto de conjunto es de fundamental importancia en las matem´aticas modernas. La mayor´ıa de los
matem´aticos creen que es posible expresar todas las matem´aticas en el lenguaje de la teor´ıa de conjuntos.
Nuestro inter´es en los conjuntos se debe tanto al papel que representan en las matem´aticas como a su
utilidad en la modelizaci´on e investigaci´on de problemas en la inform´atica.
Los conjuntos fueron estudiados formalmente por primera vez por Georg Cantor1
. Despu´es de que la
teor´ıa de conjuntos se estableciera como un ´area bien definida de las matem´aticas, aparecieron con-
tradicciones o paradojas en la misma. Para eliminar tales paradojas, se desarrollaron aproximaciones
m´as sofisticadas que las que hizo Cantor. Un tratamiento introductorio de la teor´ıa de conjuntos se
ocupa, generalmente, de la teor´ıa elemental, la cual es bastante similar al trabajo original de Cantor.
Utilizaremos esta aproximaci´on m´as simple y desarrollaremos una teor´ıa de conjuntos de la cual es posible
1Georg Cantor. Matem´atico alem´an de origen ruso (San Petesburgo 1845-Halle 1918). Despu´es de estudiar en Alemania,
fue profesor de la universidad de Halle (1879). Escribi´o numerosas memorias, pero es especialmente conocido por ser el
creador de la Teor´ıa de los conjuntos.
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4. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
derivar contradicciones. Parece extra˜no el proponerse tal cosa deliberadamente, pero las contradicciones
no son un problema si, como es nuestro caso, el universo del discurso se define convenientemente. A´un
m´as, la existencia de las paradojas en la teor´ıa elemental no afecta a la validez de nuestros resultados ya
que los teoremas que presentaremos pueden demostrarse mediante sistemas alternativos en los que las
paradojas no ocurren.
1.1 Generalidades
Definimos los conceptos fundamentales del tema como conjunto, elemento, determinaci´on de un conjunto
por extensi´on, por comprensi´on y estudiamos la igualdad de dos conjuntos.
1.1.1 Conjuntos y Elementos
Intuitivamente, un conjunto es cualquier colecci´on de objetos que pueda tratarse como una entidad.
A cada objeto de la colecci´on lo llamaremos elemento o miembro del conjunto.
A los conjuntos los designaremos con letras may´usculas y a sus elementos con letras min´usculas. La
afirmaci´on “el elemento a pertenece al conjunto A” se escribe
a ∈ A
y la negaci´on de este hecho, ¬(a ∈ A), se escribe
a /∈ A
La definici´on de un conjunto no debe ser ambigua en el sentido de que pueda decidirse cuando un objeto
particular pertenece, o no, a un conjunto.
1.1.2 Determinaci´on por Extensi´on
Un conjunto est´a definido por extensi´on cuando se especifican todos los elementos que forman el
mismo.
Ejemplo 1.1 Los siguientes conjuntos est´an definidos por extensi´on.
(a) El conjunto de las vocales del alfabeto.
A = {a, e, i, o, u}
(b) El conjunto formado por los n´umeros enteros pares no negativos y menores que diez.
B = {0, 2, 4, 6, 8}
Obs´ervese que los elementos del conjunto est´an separados por comas y encerrados entre llaves.
Ejemplo 1.2 Definir por extensi´on los siguientes conjuntos.
(a) El conjunto de los enteros no negativos menores que cinco.
(b) El conjunto de las letras de mi nombre.
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(c) El conjunto cuyo ´unico elemento es el primer Presidente de Gobierno de la democracia.
(d) El conjunto de los n´umeros primos entre 10 y 20.
(e) El conjunto de los m´ultiplos de 12 que son menores que 65.
Soluci´on
(a) A = {0, 1, 2, 3, 4}
(b) B = {p, a, c, o}
(c) C = {Adolfo Su´arez}
(d) D = {11, 13, 17, 19}
(e) E = {12, 24, 36, 48, 60}
Ejemplo 1.3 Definir, por extensi´on, los conjuntos siguientes:
(a) A = {x : x ∈ Z ∧ 3 < x < 12}
(b) B = {x : x es un n´umero de un d´ıgito}
(c) B = {x : x = 2 ∨ x = 5}
Soluci´on
(a) A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
(b) B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
(c) C = {2, 5}
Nota 1.1 Los elementos de un conjunto infinito no pueden especificarse de una forma expl´ıcita; con-
secuentemente, necesitaremos una forma alternativa de describir tales conjuntos impl´ıcitamente.
1.1.3 Determinaci´on por Comprensi´on
Se dice que un conjunto est´a definido por comprensi´on cuando se especifica una propiedad que carac-
teriza a todos los elementos del mismo.
Esta propiedad o especificaci´on impl´ıcita, se hace a menudo mediante un predicado con una variable
libre. El conjunto estar´a determinado por aquellos elementos del universo que hacen del predicado una
proposici´on verdadera. De aqu´ı que si p(x) es un predicado con una variable libre, el conjunto
A = {x : p(x)}
denota al conjunto A tal que a ∈ A si, y s´olo si p(a) es verdad.
Ejemplo 1.4 Definir por comprensi´on los siguientes conjuntos:
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(a) El conjunto de los enteros mayores que diez.
(b) El conjunto de los enteros pares.
(c) El conjunto {1, 2, 3, 4, 5}
Soluci´on
(a) A = {x : x ∈ Z ∧ x > 10}
(b) B = {x : x ∈ Z ∧ ∃y ∈ Z ∧ x = 2y}
(c) C = {x : x ∈ Z ∧ 1 x 5}
Ejemplo 1.5 Definir por extensi´on el siguiente conjunto dado por comprensi´on.
A = x ∈ R : x2
− 3x + 2 = 0
Soluci´on
Dado que las soluciones de la ecuaci´on son 1 y 2, podemos escribir
A = {1, 2}
Nota 1.2 Muchas veces se utilizan significados algo menos formales para describir conjuntos.
Por ejemplo, el conjunto de los n´umeros enteros mayores que diez, suele escribirse:
A = {x ∈ Z : x > 10}
y el conjunto de los enteros pares,
B = {x : x = 2y, y ∈ Z}
A veces tanto en conjuntos finitos demasiado grandes como en conjuntos infinitos, se utiliza la elipsis
matem´atica para caracterizar a los elementos de un conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los n´umeros
enteros del 1 al 100,
C = {1, 2, 3, . . . , 100}
o el conjunto de los enteros pares no negativos,
D = {0, 2, 4, 6, . . .}
Algunos conjuntos aparecer´an muy frecuentemente a lo largo del curso y se usan s´ımbolos especiales para
designarlos.
Z: Conjunto de los n´umeros enteros.
N = Z+
: Conjunto de los n´umeros naturales o enteros positivos.
Z+
0 : Conjunto de los enteros no negativos.
Q: Conjunto de los n´umeros racionales.
R: Conjunto de los n´umeros reales.
C: Conjunto de los n´umeros complejos.
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Incluso si podemos especificar todos los elementos de un conjunto puede que no sea pr´actico hacerlo.
Por ejemplo, no definir´ıamos por extensi´on el conjunto de los estudiantes de la Universidad de C´adiz que
estudien Inform´atica, aunque te´oricamente es posible definirlo.
As´ı pues, describiremos un conjunto mediante un listado exhaustivo de sus elementos s´olo si contiene unos
pocos elementos, en caso contrario describiremos un conjunto mediante una propiedad que caracterice a
los mismos.
1.1.4 Conjunto Universal
En cualquier aplicaci´on de la teor´ıa de conjuntos, los elementos de todos los conjuntos en consideraci´on
pertenecen a un gran conjunto fijo llamado conjunto universal. Lo notaremos por U .
Ejemplo 1.6 Para cada uno de los conjuntos siguientes, elegir un conjunto universal y un predicado
apropiados para definirlo.
(a) El conjunto de los enteros entre 0 y 100.
(b) El conjunto de los enteros positivos impares.
(c) El conjunto de los m´ultiplos de 10.
Soluci´on
(a) A = {x : x ∈ Z ∧ x > 0 ∧ x < 100} ´o A = {x ∈ Z : 0 < x < 100}
(b) B = {x : ∃y ∈ Z+
, x = 2y − 1} ´o B = {x : x = 2y − 1, y ∈ Z+
}
(c) C = {x : ∃y ∈ Z, x = 10y} ´o C = {x : x = 10y, y ∈ Z}
1.1.5 Conjunto Vac´ıo
Al conjunto ´unico que no contiene elementos, lo llamaremos conjunto vac´ıo. Lo notaremos con el
s´ımbolo ∅ que proviene del alfabeto noruego.
1.1.6 Axioma de Extensi´on
Dos conjuntos A y B son iguales si, y s´olo si tienen los mismos elementos. Es decir, cada elemento
del conjunto A es un elemento de B y cada elemento de B es un elemento de A.
Su expresi´on formal en notaci´on l´ogica es:
A = B ⇐⇒ ∀x [(x ∈ A =⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B =⇒ x ∈ A)]
o bien,
A = B ⇐⇒ ∀x (x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B)
Nota 1.3 El axioma de extensi´on asegura que si dos conjuntos tienen los mismos elementos, ambos
son iguales, independientemente de como est´en definidos.
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Como todo conjunto tiene los mismos elementos que ´el mismo, se sigue que si un conjunto est´a definido
por extensi´on, el orden el que los elementos figuren en ´el es intrascendente. As´ı pues, los conjuntos
{a, b, c}, {b, c, a} y {c, b, a} son iguales.
Tambi´en se sigue del axioma de extensi´on que la aparici´on de un elemento m´as de una vez en un conjunto,
es igualmente intrascendente. Por ejemplo, los conjuntos {a, b}, {a, b, b} y {a, a, a, b} son iguales ya que
todo elemento de cualquiera de ellos est´a en los dem´as, por tanto, son especificaciones diferentes del
mismo conjunto.
Ejemplo 1.7 Determinar, en el conjunto de los n´umeros enteros, cu´ales de los siguientes conjuntos son
iguales.
A = x : x es par y x2
es impar
B = {x : ∃y, y ∈ Z ∧ x = 2y}
C = {1, 2, 3}
D = {0, 2, −2, 3, −3, 4, −4, . . .}
E = {2x : x ∈ Z}
F = {3, 3, 2, 1, 2}
G = x : x3
− 6x2
− 7x − 6 = 0
Soluci´on
Sea x cualquier n´umero entero, entonces
x es par =⇒ x = 2y, y ∈ Z
=⇒ x2
= 4y2
, y ∈ Z
=⇒ x2
= 2(2y2
), 2y2
∈ Z
=⇒ x2
es par
Por lo tanto, la proposici´on ∀x(x es par ∧ x2
es impar) es falsa o dicho de otra forma no hay
ning´un n´umero par cuyo cuadrado sera impar y, por lo tanto, A no tiene elementos es decir es el
conjunto vac´ıo.
x ∈ B ⇐⇒ ∃y : y ∈ Z ∧ x = 2y ⇐⇒ x es par, luego B = {x ∈ Z : x es par}
x ∈ C ⇐⇒ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3
E = {0, 2, −2, 4, −4, 6, −6, . . .} = {x ∈ Z : x es par}
x ∈ F ⇐⇒ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3
x ∈ G ⇐⇒ x3
− 6x2
− 7x − 6 = 0
Pero no existe ning´un n´umero entero que satisfaga la ecuaci´on anterior, por lo tanto, G es el
conjunto vac´ıo.
De todo lo anterior, se sigue que
∗ A = G
∗ B = E
∗ C = F
∗ El conjunto D no es igual a ninguno de los otros.
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Ejemplo 1.8 Dar una condici´on necesaria y suficiente para que dos conjuntos sean distintos.
Soluci´on
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera de un universal arbitrario U . Entonces, por el axioma de
extensi´on
A = B ⇐⇒ ∀x [(x ∈ A =⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B =⇒ x ∈ A)]
de aqu´ı que por asociatividad (??), tengamos que
A = B ⇐⇒ [∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B) ∧ ∀x (x ∈ B =⇒ x ∈ A)]
y si ahora negamos ambos miembros, tendremos
¬(A = B) ⇐⇒ ¬ [∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B) ∧ ∀x (x ∈ B =⇒ x ∈ A)]
por lo tanto,
A = B ⇐⇒ ¬ [∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B) ∧ ∀x (x ∈ B =⇒ x ∈ A)]
⇐⇒ [¬∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B)] ∨ [¬∀x (x ∈ B =⇒ x ∈ A)] {De Morgan}
⇐⇒ [∃x : ¬ (x ∈ A =⇒ x ∈ B)] ∨ [∃x : ¬ (x ∈ B =⇒ x ∈ A)] {Regla General}
⇐⇒ [∃x : ¬ (¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B))] ∨ [∃x : ¬ (¬(x ∈ B) ∨ (x ∈ A))] {Implicaci´on}
⇐⇒ [∃x : (¬¬(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B))] ∨ [∃x : (¬¬(x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ A))] {De Morgan}
⇐⇒ [∃x : (x ∈ A ∧ x /∈ B)] ∨ [∃x : (x ∈ B ∧ x /∈ A)] {Doble Negaci´on}
As´ı pues, una condici´on necesaria y suficiente para que dos conjuntos A y B sean distintos es que exista
un elemento en A que no est´e en B o que exista un elemento en B que no est´e en A.
1.2 Inclusi´on de conjuntos
1.2.1 Subconjuntos
Sean A y B dos conjuntos. Diremos que A est´a contenido en B o que es un subconjunto de B, y lo
notaremos por A ⊆ B, si cada elemento de A es un elemento de B, es decir,
A ⊆ B ⇐⇒ ∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B)
Tambi´en puede decirse que B contiene a A, en cuyo caso escribiremos B ⊇ A.
Ejemplo 1.9 Probar que el conjunto A = x ∈ R : x2
− 3x + 2 = 0 es subconjunto del B = {1, 2, 3}
Soluci´on
En efecto, sea a un elemento cualquiera de R, o sea, un n´umero real arbitrario. Entonces,
a ∈ A ⇐⇒ a2
− 3a + 2 = 0 ⇐⇒ a = 2 ´o a = 1 =⇒ a ∈ B
luego ∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B) y seg´un la definici´on anterior, A ⊆ B.
Ejemplo 1.10 Dar una condici´on necesaria y suficiente para que un conjunto A no est´e contenido en
otro conjunto B.
Soluci´on
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10. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
A B ⇐⇒ ¬(A ⊆ B)
⇐⇒ ¬ [∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B)]
⇐⇒ ∃x : [¬ (x ∈ A =⇒ x ∈ B)]
⇐⇒ ∃x : [¬ (¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B))]
⇐⇒ ∃x : [¬¬(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)]
⇐⇒ ∃x : (x ∈ A ∧ x /∈ B)
es decir, una condici´on necesaria y suficiente para que A no est´e contenido en B es que exista, al menos,
un elemento en A que no est´e en B.
Ejemplo 1.11 ¿Es B = {1, 2, 3} un subconjunto de A = x ∈ R : x2
− 3x + 2 = 0 ?
Soluci´on
No, ya que 3 ∈ B y, sin embargo, 32
− 3 · 3 + 2 = 2 = 0, luego 3 /∈ A, es decir, hemos encontrado un
elemento en B que no est´a en A, por tanto, B A.
1.2.2 Inclusi´on Estricta
Si A ⊆ B y adem´as B tiene un elemento que no est´a en A, diremos que A est´a estrictamente incluido
en B o que A es un subconjunto propio de B y lo notaremos por A ⊂ B.
A ⊂ B ⇐⇒ A ⊆ B ∧ [∃x : (x ∈ B ∧ x ∈/ A)]
Ejemplo 1.12 Dar una condici´on necesaria y suficiente para que un conjunto est´e estrictamente con-
tenido en otro.
Soluci´on
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera de un universal arbitrario U . Entonces, seg´un acabamos de ver
A ⊂ B ⇐⇒ A ⊆ B ∧ [∃x : (x ∈ B ∧ x /∈ A)]
de donde, teniendo en cuenta el resultado del ejemplo 1.8, se sigue que
A ⊂ B ⇐⇒ A ⊆ B ∧ A = B
Nota 1.4 Los conjuntos tambi´en son objetos, luego pueden ser elementos de otros conjuntos, por
ejemplo, el conjunto
A = {{a, b} , {a, c} , {b} , {c}}
tiene cuatro elementos que son los conjuntos {a, b} , {a, c} , {b} y {c}. Si tuvi´eramos una caja con tres
paquetes de caramelos, la considerar´ıamos como una caja con paquetes antes que una caja con caramelos,
por lo que se tratar´ıa de un conjunto (la caja) con tres elementos (los paquetes).
An´alogamente, si A es un conjunto, entonces {A} es un conjunto con un ´unico elemento, A, sin impor-
tarnos cuantos elementos tenga A.
Un caso curioso ocurre con el conjunto vac´ıo, ∅. Una caja con un paquete vac´ıo de caramelos no es una
caja vac´ıa ya que contiene algo, un paquete. De la misma forma {∅} es un conjunto con un elemento
mientras que ∅ no contiene elementos, as´ı que ∅ y {∅} son conjuntos distintos. Tendremos que ∅ ∈ {∅} e
incluso ∅ ⊆ {∅}, pero ∅ = {∅}.
Ejemplo 1.13 Describir brevemente la diferencia entre los conjuntos {a} y {{a}} y entre los conjuntos
∅, {∅} y {∅, {∅}}.
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11. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
Soluci´on
{a} es un conjunto cuyo ´unico elemento es el a.
{{a}} es un conjunto cuyo ´unico elemento es el conjunto {a}.
∅. Conjunto ´unico que no tiene elementos (definici´on 1.1.5).
{∅}. Conjunto con un ´unico elemento que es el ∅.
{∅, {∅}}. Conjunto con dos elementos, el ∅ y el {∅}.
1.2.3 Proposici´on
Sea U el conjunto universal y A un conjunto cualquiera. Entonces A ⊆ U .
Demostraci´on
La demostraci´on es un ejemplo de demostraci´on trivial basada en la definici´on de conjunto universal que
nos permite afirmar que la proposici´on ∀x, x ∈ U es una tautolog´ıa, es decir es verdad siempre.
El conjunto A es un subconjunto de U si, y s´olo si la implicaci´on
x ∈ A =⇒ x ∈ U
es verdad para cada x de U . Pero x ∈ U es verdad para todos los x, luego la implicaci´on tambi´en es
verdad independientemente de que x ∈ A sea verdadero o falso. Como x es un elemento arbitrario de
U , se sigue que
∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ U )
es verdad y, por lo tanto,
A ⊆ U
1.2.4 Proposici´on
Sea A un conjunto cualquiera, entonces ∅ ⊆ A.
Demostraci´on
Esta demostraci´on es un ejemplo de demostraci´on vac´ıa ya que la definici´on de conjunto vac´ıo nos permite
afirmar que la proposici´on ∃x : x ∈ ∅ es una contradicci´on, es decir siempre es falsa.
Pues bien, sea x un elemento arbitrario del universal. Como x ∈ ∅ es falsa para todos los elementos de
U tendremos que la implicaci´on
x ∈ ∅ =⇒ x ∈ A
es verdadera.
De la arbitrariedad de x se sigue que
∀x (x ∈ ∅ =⇒ x ∈ A)
y, consecuentemente,
∅ ⊆ A
Ejemplo 1.14 Determinar los subconjuntos de un conjunto.
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12. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
(a) Veamos cuantos subconjuntos tiene el conjunto {a, b}.
De la proposici´on 1.2.4 se sigue que el conjunto vac´ıo, ∅ es uno de ellos. Por otra parte, a ∈ A
y b ∈ B luego por la definici´on de inclusi´on (1.2.1), {a}, {b} y {a, b} son subconjuntos de {a, b}.
Consecuentemente, el conjunto propuesto tiene cuatro subconjuntos distintos:
∅, {a} , {b} , y {a, b}
Obs´ervese que {a} ⊆ {a, b} y a ∈ {a, b}, pero a {a, b} y {a} /∈ {a, b}. Tambi´en ∅ ⊆ {a, b}, pero
∅ /∈ {a, b}
(b) El conjunto {{a}} es un conjunto unitario ya que tiene un ´unico elemento, el conjunto {a}. Sus
subconjuntos son el ∅ y el {{a}}.
Ejemplo 1.15 Determinar todos los subconjuntos de los siguientes conjuntos:
(a) {1, 2, 3}
(b) {1, {2, 3}}
(c) {{1, {2, 3}}}
(d) {∅}
(e) {∅, {∅}}
(f) {{1, 2} , {2, 1, 1} , {2, 1, 1, 2}}
(g) {{∅, 2} , {2}}
Soluci´on
Utilizaremos la definici´on de subconjunto (1.2.1),
A ⊆ B ⇐⇒ ∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B)
(a) {1, 2, 3}
∅ ⊆ {1, 2, 3} (Proposici´on 1.2.4).
1 ∈ {1, 2, 3}, luego {1} ⊆ {1, 2, 3}.
2 ∈ {1, 2, 3}, luego {2} ⊆ {1, 2, 3}.
3 ∈ {1, 2, 3}, luego {3} ⊆ {1, 2, 3}.
1 ∈ {1, 2, 3} y 2 ∈ {1, 2, 3}, luego {1, 2} ⊆ {1, 2, 3}.
1 ∈ {1, 2, 3} y 3 ∈ {1, 2, 3}, luego {1, 3} ⊆ {1, 2, 3}.
2 ∈ {1, 2, 3} y 3 ∈ {1, 2, 3}, luego {2, 3} ⊆ {1, 2, 3}.
1 ∈ {1, 2, 3}, 2 ∈ {1, 2, 3} y 3 ∈ {1, 2, 3}, luego {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}.
por lo tanto, los subconjuntos de {1, 2, 3} son
∅, {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} y {1, 2, 3}
(b) {1, {2, 3}}. Aqu´ı tenemos que 1 y {2, 3} son los dos elementos que tiene este conjunto, luego
razonando igual que en el apartado anterior, sus subconjuntos son:
∅, {1} , {{2, 3}} y {1, {2, 3}}
(c) {{1, {2, 3}}}. Este conjunto tiene un ´unico elemento que es {1, {2, 3}}, por lo tanto sus subconjuntos
son:
∅ y {{1, {2, 3}}}
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13. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
(d) {∅}. Este conjunto tiene un elemento que es ∅, por lo tanto tiene dos subconjuntos,
∅ (por 1.2.4) y {∅} (por 1.2.1)
(e) {∅, {∅}}. Este conjunto tiene dos elementos, ∅ y {∅}, por lo tanto sus subconjuntos son
∅ (por 1.2.4) y {∅} , {{∅}} y {∅, {∅}} (por 1.2.1)
(f) {{1, 2} , {2, 1, 1} , {2, 1, 1, 2}}. Obs´ervese que
{1, 2} = {2, 1, 1} = {2, 1, 1, 2}
luego el conjunto propuesto es
{{1, 2}}
y, por lo tanto, sus subconjuntos son
∅ y {{1, 2}}
(g) {{∅, 2} , {2}}. Siguiendo un razonamiento id´entico a los anteriores apartados, sus subconjuntos son
∅, {{∅, 2}} , {{2}} y {{∅, 2} , {2}}
1.2.5 Caracterizaci´on de la Igualdad
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera de un universal arbitrario U . Entonces A = B si, y s´olo si
A ⊆ B y B ⊆ A.
Demostraci´on
“S´olo si.” A = B =⇒ A ⊆ B ∧ B ⊆ A
En efecto, supongamos que A = B. Entonces por el axioma de extensi´on, cada elemento de
A es un elemento de B luego por definici´on de subconjunto, A ⊆ B. As´ı pues, si A = B,
entonces A ⊆ B. Utilizando los mismos argumentos, aunque intercambiando los papeles de
A y B, tendremos que si A = B, entonces B ⊆ A. De aqu´ı que
(A = B =⇒ A ⊆ B) ∧ (A = B =⇒ B ⊆ A)
lo cual equivale a
A = B =⇒ A ⊆ B ∧ B ⊆ A
“Si.” A ⊆ B ∧ B ⊆ A =⇒ A = B
En efecto,
(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) =⇒ [(∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B)] ∧ [(∀x (x ∈ B =⇒ x ∈ A)]
consecuentemente, por el axioma de extensi´on
A = B
Este teorema lo utilizaremos con mucha frecuencia para comprobar que dos conjuntos son iguales, es
decir, para probar que A = B, probaremos que A ⊆ B y B ⊆ A.
11

14. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
1.2.6 Corolario
De la caracterizaci´on anterior se sigue que para cualquier conjunto A, se verifica que A ⊆ A.
1.2.7 Transitividad de la Inclusi´on
Sean A, B y C tres conjuntos cualesquiera de un universal arbitrario U . Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces
A ⊆ C.
Demostraci´on
Sea x un elemento arbitrario del universal U .
De A ⊆ B, se sigue que x ∈ A =⇒ x ∈ B
De B ⊆ C, se sigue que x ∈ B =⇒ x ∈ C
De la transitividad de la implicaci´on l´ogica se sigue que
x ∈ A =⇒ x ∈ C
y al ser x arbitrario, tendremos
∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ C)
por lo tanto,
A ⊆ C
Ejemplo 1.16 Sean A, B y C tres conjuntos. Si A ∈ B y B ∈ C, ¿es posible que A ∈ C?, ¿es siempre
verdad que A ∈ C?. Da ejemplos de tus afirmaciones.
Soluci´on
En efecto, es posible. Por ejemplo, sean
A = {a}
B = {{a}}
C = {{{a}} , {a}}
entonces, A ∈ B, B ∈ C y A ∈ C. Ahora bien, esto no es verdad siempre. En efecto, sean
A = {a} , B = {{a}} y C = {{{a}}}
entonces,
A ∈ B y B ∈ C
y sin embargo,
A /∈ C
Ejemplo 1.17 Estudiar la relaci´on que existe entre los siguientes conjuntos:
A = {1, 2}
B = {1, 3}
C = x ∈ R : x2
− 4x + 3 = 0
D = x ∈ R : x2
− 3x + 2 = 0
E = {x ∈ Z+
: x < 3}
F = {x ∈ Z+
: x es impar y x < 5}
12

15. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
Soluci´on
A y B son distintos, ya que 2 ∈ A y 2 /∈ B y 3 ∈ B y 3 /∈ A. As´ı pues, hemos encontrado un elemento en
A que no est´a en B y un elemento en B que no est´a en A. Por tanto, por el resultado del ejemplo 1.8,
A = B.
Ahora observemos lo siguiente:
Sea x un n´umero real arbitrario. Entonces,
x ∈ C ⇐⇒ x2
− 4x + 3 = 0 ⇐⇒ x = 1 ∨ x = 3 ⇐⇒ x ∈ B
o sea, C = B
x ∈ D ⇐⇒ x2
− 3x + 2 = 0 ⇐⇒ x = 1 ∨ x = 2 ⇐⇒ x ∈ A
es decir, A = D.
Sea x un entero positivo cualquiera. Entonces,
x ∈ E ⇐⇒ x < 3 ⇐⇒ x = 1 ∨ x = 2 ⇐⇒ x ∈ A
por lo tanto, A = E.
Sea x un entero positivo cualquiera. Entonces,
x ∈ F ⇐⇒ x es impar x < 5 ⇐⇒ x = 1 ∨ x = 3 ⇐⇒ x ∈ B
por lo tanto, F = B.
Consecuentemente,
A = B
A = C 2 B = C
A = D 2 B = D 2 C = D
A = E 2 B = E 2 C = E 2 D = E
A = F 2 B = F 2 C = F 2 D = F 2 E = F
Nota 1.5 Con el conjunto vac´ıo puede construirse una sucesi´on infinita de conjuntos distintos.
En la sucesi´on,
∅, {∅} , {{∅}} , {{{∅}}} , . . .
el primer conjunto no tiene ning´un elemento y cada uno de los restantes tiene, exactamente, un elemento
que es el conjunto que le precede en la sucesi´on.
En la sucesi´on,
∅, {∅} , {∅, {∅}} , {∅, {∅} , {∅, {∅}}} , {∅, {∅} , {∅, {∅}} , {∅, {∅} , {∅, {∅}}}}
cada conjunto tiene como elementos todos los conjuntos que le preceden en la sucesi´on. As´ı, contando
desde cero, el conjunto que ocupa el lugar k tiene k elementos.
1.3 Diagramas de Venn
Una representaci´on gr´afica para los conjuntos son los diagramas de Venn. El conjunto universal se
representa por el interior de un rect´angulo y todos los dem´as conjuntos se representan por regiones
cerradas incluidos en el mismo.
13

16. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
B
A
(a) A ⊆ B
U
B
A
(b) A y B son disjuntos
U
B A
(c) A y B no son disjuntos
U
Diagramas de Venn
− Si A es un subconjunto de B, A ⊆ B, entonces la regi´on que representa a A, estar´a contenida en
la que representa a B (apartado (a) de la figura).
− Si A y B no tienen elementos en com´un (A y B son disjuntos), entonces la regi´on que representa
a A estar´a separada completamente de la regi´on que representa a B (apartado (b) de la figura).
− Si A y B son dos conjuntos arbitrarios, entonces es posible que algunos elementos est´en en A pero
no en B, algunos en B pero no en A, algunos en los dos, A y B, y algunos ni en A, ni en B
(apartado (c) en la figura).
14

17. Apuntes de Matem´atica Discreta
2. Operaciones con Conjuntos
Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
C´adiz, Octubre de 2004

18. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
ii

19. Lecci´on 2
Operaciones con Conjuntos
Contenido
2.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Uni´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Intersecci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.3 Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.4 Complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.5 Diferencia Sim´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Algebra de conjuntos. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Leyes Idempotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 Leyes Conmutativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.3 Leyes Asociativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.4 Leyes Distributivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.5 Leyes de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.6 Ley Involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.7 Leyes del Complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.8 Leyes de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Conjunto de las Partes de un Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Producto cartesiano de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1 n-tupla ordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.2 Igualdad de n-tuplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.3 Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.4 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Introduciremos las operaciones con conjuntos que nos van a permitir obtener nuevos conjuntos, partiendo
de conjuntos ya conocidos. A y B ser´an dos conjuntos cualesquiera de un universal arbitrario U .
2.1 Definiciones
Definiremos las principales operaciones entre conjuntos.
15

20. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
2.1.1 Uni´on
La uni´on de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A
o a B. Se nota A ∪ B.
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} .
La disyunci´on, ∨, se utiliza en el sentido inclusivo, es decir, significa “y/o”.
2.1.2 Intersecci´on
La intersecci´on de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen
a A y a B. Se nota A ∩ B.
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
Si A y B no tienen elementos en com´un, es decir, si A ∩ B = ∅, entonces diremos que A y B son
conjuntos disjuntos.
Ejemplo 2.1 Sean A, B y C tres conjuntos.
(a) Demostrar que si C ⊆ A y C ⊆ B, entonces C ⊆ (A ∩ B), es decir, A ∩ B es el mayor conjunto que
contiene a A y a B.
(b) Demostrar que si C ⊇ A y C ⊇ B, entonces C ⊇ (A ∪ B), es decir, A ∪ B es el conjunto m´as
peque˜no que contiene a A y a B.
Soluci´on
(a) Supongamos que C ⊆ A y C ⊆ B, entonces la proposici´on
∀x (x ∈ C =⇒ x ∈ A) ∧ ∀x (x ∈ C =⇒ x ∈ B)
es verdad. Esta proposici´on es equivalente a
∀x [(x ∈ C =⇒ x ∈ A) ∧ (x ∈ C =⇒ x ∈ B)]
la cual, a su vez, equivale a
∀x, [ x ∈ C =⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B)]
de aqu´ı que
∀x, x ∈ C =⇒ x ∈ [(A ∩ B)]
y, por lo tanto,
C ⊆ A ∩ B
(b) Supongamos que C ⊇ A y que C ⊇ B, y sea x un elemento arbitrario de A ∪ B entonces,
x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B {Definici´on de uni´on}
=⇒ x ∈ C ∨ x ∈ C {Por hip´otesis}
⇐⇒ x ∈ C {Idempotencia de ∨}
luego,
∀x, (x ∈ A ∪ B =⇒ x ∈ C)
de aqu´ı que
C ⊇ (A ∪ B)
16

21. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
2.1.3 Diferencia
La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen
a A y no pertenecen a B. Se nota por A B.
A B = {x : x ∈ A ∧ x ∈/ B}
El conjunto A B se lee “A menos B” y recibe tambi´en el nombre de complementario relativo del
conjunto B respecto del conjunto A.
2.1.4 Complementario
El complementario de un conjunto A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto
universal que no pertenecen a A. Se nota Ac
.
Ac
= {x : x ∈ U ∧ x ∈/ A}
Obs´ervese que el complementario de A es igual a la diferencia entre U y A, es decir, Ac
= U A.
2.1.5 Diferencia Sim´etrica
La diferencia sim´etrica entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen a A o a B pero no a ambos. Se nota por A B.
A B = (A B) ∪ (B A)
A ∪ B
A
A B A ∩ B B A
B
Operaciones con conjuntos
17

22. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
Ejemplo 2.2 Sean los conjuntos
A = {n ∈ Z+
: n 13}
B = {n ∈ Z+
: n es par y n 20}
C = {n ∈ Z+
: n es par}
Hallar A ∪ B, A ∩ B, Ac
, Bc
, A B, B A, A B, B ∩ C y B C.
Soluci´on
18

23. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
A ∪ B = {n ∈ Z+
: n 13} ∪ {n ∈ Z+
: n es par y n 20}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} ∪ {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 20}
A ∩ B = {n ∈ Z+
: n 13} ∩ {n ∈ Z+
: n es par y n 20}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} ∩ {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
= {2, 4, 6, 8, 10, 12}
Ac
= {n ∈ Z+
: n /∈ A}
= {n ∈ Z+
: n > 13}
Bc
= {n ∈ Z+
: n /∈ B}
= {n ∈ Z+
: ¬(n ∈ B)}
= {n ∈ Z+
: ¬ [n es par ∧ (n 20)]}
= {n ∈ Z+
: ¬(n es par) ∨ ¬(n 20)}
= {n ∈ Z+
: (n es impar) ∨ (n > 20)}
= {1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .} ∪ {21, 22, 23, 24, . . .}
= {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 24, . . .}
A B = {n ∈ Z+
: n ∈ A ∧ n /∈ B}
= {n ∈ Z+
: n ∈ A ∧ n ∈ Bc
}
= {n ∈ Z+
: n 13 ∧ n ∈ Bc
}
= {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}
B A = {n ∈ Z+
: n ∈ B ∧ n /∈ A}
= {n ∈ Z+
: n ∈ B ∧ n ∈ Ac
}
= {n ∈ Z+
: n es par y n 20 y n > 13}
= {n ∈ Z+
: n es par y 14 n 20}
= {14, 16, 18, 20}
A B = (A B) ∪ (B A)
= {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} ∪ {14, 16, 18, 20}
= {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 20}
B ∩ C = {n ∈ Z+
: n es par y n 20} ∩ {n ∈ Z+
: n es par}
= {n ∈ Z+
: n es par y n 20 y n es par}
= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
B C = {n ∈ Z+
: n ∈ B y n /∈ C}
= {n ∈ Z+
: n es par y n 20 y n es impar}
= ∅
19

24. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
2.2 Algebra de conjuntos. Dualidad
Bajo las operaciones definidas en los apartados anteriores, los conjuntos satisfacen varias leyes o identi-
dades. Observaremos que existe una dualidad entre las leyes que utilizan la intersecci´on y las que utilizan
la uni´on.
2.2.1 Leyes Idempotentes
Dado cualquier conjunto A en un universal arbitrario U , se verifica:
1. A ∪ A = A
2. A ∩ A = A
Demostraci´on
En efecto, sea x un elemento arbitrario del universal U . Entonces,
1.
x ∈ (A ∪ A) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ A {Definici´on de uni´on}
⇐⇒ x ∈ A {Idempotencia de ∨}
De la arbitrariedad de x se sigue que
∀x [x ∈ (A ∪ A) ⇐⇒ x ∈ A]
de aqu´ı que
A ∪ A = A
2. An´alogamente se prueba que A ∩ A = A.
2.2.2 Leyes Conmutativas
Dados dos conjuntos A y B de un universal arbitrario U , se verifica:
1. A ∪ B = B ∪ A
2. A ∩ B = B ∩ A
Demostraci´on
En efecto,
1. Sea x cualquier elemento de U . Entonces,
x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B {Definici´on de uni´on}
⇐⇒ x ∈ B ∨ x ∈ A {Commutatividad de ∨}
⇐⇒ x ∈ (B ∪ A) {Definici´on de uni´on}
Como x es cualquiera de U , se sigue que
∀x [x ∈ A ∪ B ⇐⇒ x ∈ B ∪ A]
por lo tanto,
A ∪ B = B ∪ A
2. De una forma similar se demuestra que A ∩ B = B ∩ A.
20

25. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
2.2.3 Leyes Asociativas
Dados tres conjuntos A, B y C de un universal arbitrario, U , se verifica:
1. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
2. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Demostraci´on
En efecto, sea x es un elemento arbitrario de U . Entonces,
1.
x ∈ A ∪ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A ∨ [x ∈ (B ∪ C)] {Definici´on de uni´on}
⇐⇒ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C) {Definici´on de uni´on}
⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C {Asociatividad de ∨}
⇐⇒ (x ∈ A ∪ B) ∨ x ∈ C {Definici´on de uni´on}
⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∪ C {Definici´on de uni´on}
De la arbitrariedad de x se sigue que
∀x [x ∈ A ∪ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∪ C]
de aqu´ı que
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
2. An´alogamente se demuestra que
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
2.2.4 Leyes Distributivas
Dados tres conjuntos A, B y C de un conjunto universal arbitrario, U , se verifica:
1. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
2. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Demostraci´on
En efecto,
1. En efecto, sea x cualquier elemento del conjunto universal U , entonces
x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇐⇒ x ∈ A ∨ [x ∈ (B ∩ C)] {Definici´on de uni´on}
⇐⇒ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C) {Definici´on de intersecci´on}
⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C) {Distributividad}
⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ (A ∪ C) {Definici´on de uni´on}
⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) {Definici´on de intersecci´on}
Al ser x cualquier elemento de U , se sigue que
∀x [x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)]
21

26. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
consecuentemente,
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
2. De una forma similar se prueba que
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
2.2.5 Leyes de Identidad
Dado un conjunto cualquiera de un universal arbitrario, U , se verifica:
1. A ∪ ∅ = A
2. A ∪ U = U
3. A ∩ ∅ = ∅
4. A ∩ U = A
Demostraci´on
1. A ∪ ∅ = A. En efecto, sea x es un elemento arbitrario de U . Entonces,
x ∈ (A ∪ ∅) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ ∅ {Definici´on de uni´on}
⇐⇒ x ∈ A {x ∈ ∅ es falso siempre}
luego,
∀x [x ∈ (A ∪ ∅) ⇐⇒ x ∈ A]
de aqu´ı que
A ∪ ∅ = A
2. A ∪ U = U . Sea x un elemento cualquiera de U . Entonces,
x ∈ (A ∪ U ) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ U {Definici´on de uni´on}
⇐⇒ x ∈ U {x ∈ U es verdad siempre}
luego,
∀x [x ∈ (A ∪ U ) ⇐⇒ x ∈ U ]
es decir,
A ∪ U = U
3. A ∩ ∅ = ∅. Si x es cualquiera de U , entonces
x ∈ (A ∩ ∅) ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ ∅ {Definici´on de uni´on}
⇐⇒ x ∈ ∅ {x ∈ ∅ es falso siempre}
luego,
A ∩ ∅ = ∅
4. A ∩ U = A. Sea x un elemento arbitrario de U . Entonces,
x ∈ A ∩ U ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ U {Definici´on de intersecci´on}
⇐⇒ x ∈ A {x ∈ U es verdad siempre}
luego,
A ∩ U = A
22

27. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
2.2.6 Ley Involutiva
Dado un conjunto cualquiera A de un universal U , se verifica:
(Ac
)c
= A
Demostraci´on
Sea x cualquiera de U . Entonces,
x ∈ (Ac
)
c
⇐⇒ x /∈ Ac
{Definici´on de complementario}
⇐⇒ ¬(x ∈ Ac
) {Negaci´on}
⇐⇒ ¬(x /∈ A) {Definici´on de complementario}
⇐⇒ ¬¬(x ∈ A) {Negaci´on}
⇐⇒ x ∈ A {Doble negaci´on}
luego,
∀x [x ∈ (Ac
)
c
⇐⇒ x ∈ A]
es decir,
(Ac
)
c
= A
2.2.7 Leyes del Complementario
Dado un conjunto cualquiera A de un universal arbitrario U , se verifica:
1. A ∪ Ac
= U
2. U c
= ∅
3. A ∩ Ac
= ∅
4. ∅c
= U
Demostraci´on
1. A ∪ Ac
= U . En efecto, sea x cualquier elemento de U . Entonces,
x ∈ (A ∪ Ac
) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ Ac
{Definici´on de uni´on}
⇐⇒ x ∈ A ∨ x /∈ A {Complementario}
⇐⇒ x ∈ A ∨ ¬(x ∈ A) {Negaci´on}
⇐⇒ x ∈ U {Tautolog´ıa}
luego,
∀x [x ∈ (A ∪ Ac
) ⇐⇒ x ∈ U ]
por lo tanto,
A ∪ Ac
= U
2. U c
= ∅. En efecto,
U c
= {x ∈ U : x ∈ U c
} = {x ∈ U ∧ x /∈ U } = ∅
23

28. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
3. A ∩ Ac
= ∅. En efecto,
A ∩ Ac
= {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ Ac
} = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x /∈ A} = ∅
4. ∅c
= U . En efecto,
∅c
= {x ∈ U : x ∈ ∅c
} = {x ∈ U : x /∈ ∅} = {x ∈ U } = U
2.2.8 Leyes de De Morgan
Dados dos conjuntos A y B en un universal U , se verifica:
1. (A ∪ B)c
= Ac
∩ Bc
2. (A ∩ B)c
= Ac
∪ Bc
Demostraci´on
1. (A ∪ B)c
= Ac
∩ Bc
En efecto, sea x un elemento arbitrario del conjunto universal U . Entonces,
x ∈ (A ∪ B)c
⇐⇒ x /∈ (A ∪ B) {Definici´on de complementario}
⇐⇒ ¬ [x ∈ (A ∪ B)] {Negaci´on}
⇐⇒ ¬ [(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)] {Definici´on de uni´on}
⇐⇒ ¬(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B) {De Morgan para ∨}
⇐⇒ (x /∈ A) ∧ (x /∈ B) {Negaci´on}
⇐⇒ (x ∈ Ac
) ∧ (x ∈ Bc
) {Definici´on de complementario}
⇐⇒ x ∈ (Ac
∩ Bc
) {Definici´on de intersecci´on}
y al ser x un elemento arbitrario de U , se sigue que
∀x [x ∈ (A ∪ B)
c
⇐⇒ x ∈ (Ac
∩ Bc
)]
luego,
(A ∪ B)c
= Ac
∩ Bc
2. An´alogamente se prueba que
(A ∩ B)c
= Ac
∪ Bc
Ejemplo 2.3 Sean A, B, C y D subconjuntos arbitrarios de un conjunto universal arbitrario, U .
Entonces,
(a) A B ⊆ A
(b) Si A ⊆ B y C ⊆ D, entonces (A ∪ C) ⊆ (B ∪ D)
(c) Si A ⊆ B y C ⊆ D, entonces (A ∩ C) ⊆ (B ∩ D)
(d) A ⊆ (A ∪ B)
(e) A ∩ B ⊆ A
24

29. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
(f) Si A ⊆ B, entonces A ∪ B = B
(g) Si A ⊆ B, entonces A ∩ B = A
(h) A ∅ = A
(i) A ∩ (B A) = ∅
(j) A ∪ (B A) = A ∪ B
(k) A (B ∪ C) = (A B) ∩ (A C)
(l) A (B ∩ C) = (A B) ∪ (A C)
Soluci´on
(a) A B ⊆ A
En efecto, sea x un elemento arbitrario de U ,
x ∈ A B ⇐⇒ x ∈ A ∧ x /∈ B {Definici´on de diferencia}
=⇒ x ∈ A {Simplificaci´on}
luego,
∀x [x ∈ A B =⇒ x ∈ A]
consecuentemente,
A B ⊆ A
(b) Si A ⊆ B y C ⊆ D, entonces (A ∪ C) ⊆ (B ∪ D)
En efecto, supongamos que A ⊆ B y C ⊆ D y sea x un elemento arbitrario de U , entonces
x ∈ A ∪ C ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ C {Definici´on de uni´on}
=⇒ x ∈ B ∨ x ∈ D {Hip´otesis}
⇐⇒ x ∈ (B ∪ D) {Definici´on de uni´on}
luego,
∀x [x ∈ (A ∪ C) =⇒ x ∈ (B ∪ D)]
por lo tanto,
A ∪ C ⊆ B ∪ D
(c) Si A ⊆ B y C ⊆ D, entonces (A ∩ C) ⊆ (B ∩ D)
Se prueba de forma an´aloga a la anterior.
(d) A ⊆ (A ∪ B)
En efecto, si x es cualquiera de U , entonces
x ∈ A =⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B {Adici´on}
⇐⇒ x ∈ A ∪ B {Definici´on de uni´on}
luego,
∀x [x ∈ A =⇒ x ∈ (A ∪ B)]
de aqu´ı que
A ⊆ (A ∪ B)
25

30. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
(e) A ∩ B ⊆ A
En efecto, sea x un elemento cualquiera de A ∩ B. Entonces,
x ∈ A ∩ B ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B {Definici´on de intersecci´on}
=⇒ x ∈ A {Simplificaci´on}
luego,
∀x [x ∈ (A ∩ B) =⇒ x ∈ A]
de donde se sigue
A ∩ B ⊆ A
(f) Si A ⊆ B, entonces A ∪ B = B
En efecto, sea x cualquiera de U y supongamos que A ⊆ B.
x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B {Definici´on de uni´on}
=⇒ x ∈ B ∨ x ∈ B {Hip´otesis}
⇐⇒ x ∈ B {Idempotencia de ∨}
luego,
∀x [x ∈ (A ∪ B) =⇒ x ∈ B]
por lo tanto,
A ∪ B ⊆ B
y por (d)
B ⊆ (A ∪ B)
De la doble inclusi´on se sigue la igualdad que buscamos.
(g) Si A ⊆ B, entonces A ∩ B = A
Por el apartado (e), tenemos que
A ∩ B ⊆ A
Veamos la inclusi´on contraria.
Supongamos que A ⊆ B y sea x un elemento arbitrario de U , entonces
x ∈ A =⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B {Hip´otesis}
⇐⇒ x ∈ (A ∩ B) {Definici´on de intersecci´on}
luego,
∀x [x ∈ A =⇒ x ∈ (A ∩ B)]
de aqu´ı que
A ⊆ (A ∩ B)
Tenemos, pues, que
A ⊆ (A ∩ B) y (A ∩ B) ⊆ A
por lo tanto,
A = A ∩ B
(h) A ∅ = A
Sea x cualquiera de U . Entonces,
x ∈ A ∅ ⇐⇒ x ∈ A ∧ x /∈ ∅ {Definici´on de diferencia}
⇐⇒ x ∈ A {Por ser x /∈ ∅ verdad, siempre}
luego,
A ∅ = {x : x ∈ A} = A
26

31. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
(i) A ∩ (B A) = ∅
En efecto,
A ∩ (B A) = A ∩ (B ∩ Ac
) {Diferencia de conjuntos}
= A ∩ (Ac
∩ B) {Conmutatividad de la uni´on}
= (A ∩ Ac
) ∩ B {Asociatividad de la intersecci´on}
= ∅ ∩ B {Leyes del complementario}
= ∅ {Leyes de identidad}
(j) A ∪ (B A) = A ∪ B
En efecto,
A ∪ (B A) = A ∪ (B ∩ Ac
) {Diferencia de conjuntos}
= (A ∪ B) ∩ (A ∪ Ac
) {Distributividad}
= (A ∪ B) ∩ U {Leyes del complementario}
= A ∪ B {Leyes de identidad}
(k) A (B ∪ C) = (A B) ∩ (A C)
A (B ∪ C) = A ∩ (B ∪ C)
c
{Diferencia de conjuntos}
= A ∩ (Bc
∩ Cc
) {De Morgan}
= (A ∩ A) ∩ (Bc
∩ Cc
) {Idempotencia de la intersecci´on}
= (A ∩ Bc
) ∩ (A ∩ Cc
) {Commutatividad y asociatividad}
= (A B) ∩ (A C) {Diferencia de conjuntos}
(l) A (B ∩ C) = (A B) ∪ (A C)
La demostraci´on es similar a la del apartado anterior.
Ejemplo 2.4 Probar las identidades siguientes:
(a) A ∪ (A ∩ B) = A
(b) A ∩ (A ∪ B) = A
(c) A B = A ∩ Bc
(d) A ∪ (Ac
∩ B) = A ∪ B
(e) A ∩ (Ac
∪ B) = A ∩ B
Soluci´on
(a) A ∪ (A ∩ B) = A
Sea x un elemento cualquiera del universal U , entonces
x ∈ A ∪ (A ∩ B) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ (A ∩ B) {Definici´on de uni´on}
=⇒ x ∈ A
luego ∀x, x ∈ A ∪ (A ∩ B) =⇒ x ∈ A es decir,
A ∪ (A ∩ B) ⊆ A
27

32. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
Por otro lado, siempre se verifica que
A ⊆ A ∪ X, ∀X ∈ U
en particular,
A ⊆ A ∪ (A ∩ B)
De la doble inclusi´on se sigue el resultado,
A = A ∪ (A ∩ B)
(b) A ∩ (A ∪ B) = A
En efecto,
A ∩ (A ∪ B) = (A ∩ A) ∪ (A ∩ B) {Distributividad}
= A ∪ (A ∩ B) {Idempotencia de la intersecci´on}
= A {Apartado (a)}
(c) A B = A ∩ Bc
En efecto, sea x cualquiera del conjunto universal U , entonces
x ∈ A B ⇐⇒ x ∈ A ∧ x /∈ B {Definici´on de diferencia}
⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ Bc
{Definici´on de complementario}
⇐⇒ x ∈ (A ∩ Bc
) {Definici´on de intersecci´on}
luego,
∀x, x ∈ A B ⇐⇒ x ∈ (A ∩ Bc
)
por lo tanto,
A B = A ∩ Bc
(d) A ∪ (Ac
∩ B) = A ∪ B En efecto,
A ∪ (Ac
∩ B) = (A ∪ Ac
) ∩ (A ∪ B) {Distributividad}
= U ∩ (A ∪ B) {Leyes del complementario}
= A ∪ B {Leyes de identidad}
(e) A ∩ (Ac
∪ B) = A ∩ B
A ∩ (Ac
∪ B) = (A ∩ Ac
) ∪ (A ∩ B) {Distributividad}
= ∅ ∪ (A ∩ B) {Leyes del complementario}
= A ∩ B {Leyes de identidad}
2.3 Conjunto de las Partes de un Conjunto
Dado un conjunto A, si nos referimos a algunos de sus subconjuntos estar´ıamos considerando un conjunto
de conjuntos. En tales casos hablaremos de una clase de conjuntos o colecci´on de conjuntos en vez de
un conjunto de conjuntos. Si quisi´eramos considerar algunos de los conjuntos de una clase dada de
conjuntos, entonces hablaremos de una subclase o de una subcolecci´on.
28

33. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
Ejemplo 2.5 Sea A = {a, b, c, d, e} y sea A la clase de subconjuntos de A que contienen exactamente
tres elementos de A. Entonces,
A = {{a, b, c} , {a, b, d} , {a, b, e} , {a, c, d} , {a, c, e} , {a, d, e} , {b, c, d} , {b, c, e} , {c, d, e}}
siendo los elementos de A los conjuntos:
{a, b, c} , {a, b, d} , {a, b, e} , {a, c, d} , {a, c, e} , {a, d, e} , {b, c, d} , {b, c, e} y {c, d, e}
2.3.1 Definici´on
Dado un conjunto A, llamaremos conjunto de las partes de A a la clase o colecci´on de todos los
subconjuntos de A y se nota por P(A).
Obs´ervese que de acuerdo con esta definici´on, si X es un conjunto cualquiera de U , entonces
X ∈ P(A) ⇐⇒ X ⊆ A
Ejemplo 2.6 Sea A = {1, 2, 3}. Entonces,
P(A) = {∅, {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} , {1, 2, 3}}
Nota 2.1 Si el conjunto A es finito y tiene n elementos, entonces P(A) tambi´en es un conjunto finito
y tiene 2n
elementos.
En efecto, sea X un elemento arbitrario de P(A). Para cada a ∈ A, hay dos opciones a ∈ X ´o a /∈ X;
como hay n elementos en A, habr´a
n veces
2 · 2 · 2 · · · · · · 2 = 2n
diferentes conjuntos X. Es decir, P(A) tiene 2n
elementos.
Veremos otra demostraci´on en una lecci´on posterior.
Ejemplo 2.7 Especificar el conjunto de las partes para cada uno de los conjuntos siguientes:
(a) {a, b, c}
(b) {{a, b} , {c}}
(c) {{a, b} , {b, a} , {a, b, b}}
Soluci´on
(a) {a, b, c}
P ({a, b, c}) = {∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , {a, b, c}}
(b) {{a, b} , {c}}
P ({{a, b} , {c}}) = {∅, {{a, b}} , {{c}} {{a, b} , {c}}}
(c) {{a, b} , {b, a} , {a, b, b}}
P ({{a, b} , {b, a} , {a, b, b}}) = P ({a, b}) = {∅, {a, b} {{a, b}}}
29

34. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
2.4 Producto cartesiano de conjuntos
El concepto matem´atico de relaci´on est´a basado en la noci´on de relaci´on entre objetos. Algunas relaciones
describen comparaciones entre elementos de un conjunto: Una caja es m´as pesada que otra, un hombre
es m´as rico que otro, etc. Otras relaciones involucran elementos de conjuntos diferentes, tal como “x
vive en y”, donde x es una persona e y es una ciudad, “x es propiedad de y” donde x es un edificio e y
es una empresa, ´o “x naci´o en el pa´ıs y en el a˜no z”.
Todos los ejemplos anteriores son de relaciones entre dos o tres objetos, sin embargo, en principio,
podemos describir relaciones que abarquen n objetos, donde n es cualquier entero positivo. Cuando
hagamos una afirmaci´on que relacione n objetos, ser´a necesario no solamente especificar los objetos en s´ı
mismos sino tambi´en una ordenaci´on de los mismos. Por ejemplo, la posici´on relativa de 3 y 5 da lugar
´unicamente a dos afirmaciones “5 < 3” y “3 < 5”, siendo una de ellas falsa y la otra verdadera.
Usaremos las n-tuplas ordenadas de elementos para especificar una sucesi´on finita de objetos no nece-
sariamente distintos; la posici´on relativa de los objetos en la sucesi´on nos dar´a la ordenaci´on necesaria
de los mismos.
2.4.1 n-tupla ordenada
Llamaremos n-tupla ordenada a una sucesi´on de n objetos a1, a2, . . . , an dados en un cierto orden y
la notaremos por (a1, a2, . . . , an).
Obs´ervese que es fundamental el orden en que escribamos los elementos de la n-tupla, as´ı
(a1, a2, . . . , an) = (a2, a1, . . . , an)
Si n = 2, una n-tupla ordenada se llama “par ordenado” y si n = 3, “terna ordenada”.
2.4.2 Igualdad de n-tuplas
Diremos que dos n-tuplas ordenadas son iguales si, y s´olo si, sus i-´esimas componentes son iguales
para todo i, 1 i n, es decir,
(a1, a2, . . . , an) = (b1, b2, . . . , bn) ⇐⇒ ai = bi, ∀i, 1 i n
Muchas veces trataremos con colecciones de n-tuplas donde la componente i-´esima de cada n-tupla es
un elemento de un conjunto Ai. Definimos el conjunto de todas las n-tuplas ordenadas.
2.4.3 Producto cartesiano
Dada una colecci´on arbitraria de conjuntos A1, A2, . . . , An, llamaremos producto cartesiano de los
mismos y lo notaremos por A1 × A2 × · · · × An, al conjunto formado por todas las n-tuplas ordenadas,
(a1, a2, . . . , an), donde ai ∈ Ai, 1 i n, es decir,
A1 × A2 × · · · × An = {(a1, a2, . . . , an) : ai ∈ Ai 1 i n}
En el caso de dos conjuntos A y B, tendremos
A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}
y este producto se llama binario si A = B, o sea,
A × A = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ A}
30

35. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
y suele notarse por A2
.
Su extensi´on a n conjuntos se define como
A × A×
(n
· · · ×A = {(a1, a2, . . . , an) : ai ∈ A, 1 i n}
y lo notaremos por An
.
Nota 2.2 Obs´ervese que A × ∅ = ∅. En efecto, si A × ∅ no fuese vac´ıo, entonces existir´ıa, al menos, un
par (a, b) ∈ A × ∅ de aqu´ı que a ∈ A y b ∈ ∅, lo cual es imposible.
Ejemplo 2.8 Considerando el conjunto R de los n´umeros reales, el producto cartesiano R2
= R × R
es el conjunto de todos los pares ordenados de n´umeros reales.
R × R = R2
= {(x, y) : x, y ∈ R}
Cada punto P representa un par ordenado (x, y) de n´umeros reales y viceversa. A R2
se le llama
normalmente plano cartesiano.
Ejemplo 2.9 Sean A = {x ∈ R : 1 x 2} y B = {y ∈ R : 0 y 1}. Hallar A × B y B × A.
Soluci´on
A × B = {(x, y) : 1 x 2 ∧ 0 y 1}
B × A = {(y, x) : 0 y 1 ∧ 1 x 2}
•
0
•
1
•
2
•
3
•1
•2
•3
A × B
•
0
•
1
•
2
•
3
•1
•2
•3
B × A
Ejemplo 2.9
Cuando A y B son, como en este caso, conjuntos de n´umeros reales, su producto cartesiano puede
representarse como un conjunto de puntos en el plano cartesiano.
Ejemplo 2.10 Sea A = {1, 2} y B = {a, b, c}. Entonces
A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}
B × A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}
31

36. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
tambi´en,
A × A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
B × B = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}
Nota 2.3 En los ejemplos anteriores se observa que el producto cartesiano de dos conjuntos no es
conmutativo. Es decir, en general, A × B = B × A
Ejemplo 2.11 Sean A1 = {1, 2}, A2 = {a, b} y A3 = {x, y}. Calcular A1 × A2 × A3, A2 × A1 × A3 y
A2
3.
Soluci´on
A1 × A2 × A3 = {(1, a, x), (1, a, y), (1, b, x), (1, b, y), (2, a, x), (2, a, y), (2, b, x), (2, b, y)}
A2 × A1 × A3 = {(a, 1, x), (a, 1, y), (a, 2, x), (a, 2, y), (b, 1, x), (b, 1, y), (b, 2, x), (b, 2, y)}
A2
3 = A3 × A3 = {(x, x), (x, y), (y, x), (y, y)}
2.4.4 Propiedades
El producto cartesiano es distributivo respecto de la uni´on y la intersecci´on de conjuntos, es decir, si
A, B y C son tres conjuntos cualesquiera, se verifica:
(a) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
(b) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
(c) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)
(d) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)
Demostraci´on
(a) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
En efecto, sea (x, y) un elemento arbitrario de A × (B ∪ C), entonces,
(x, y) ∈ A × (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A ∧ y ∈ (B ∪ C) {Def. producto cartesiano}
⇐⇒ x ∈ A ∧ (y ∈ B ∨ y ∈ C) {Def. de uni´on}
⇐⇒ (x ∈ A ∧ y ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ y ∈ C) {Dist. de ∧ respecto de ∨}
⇐⇒ (x, y) ∈ (A × B) ∨ (x, y) ∈ (A × C) {Def. producto cartesiano}
⇐⇒ (x, y) ∈ (A × B) ∪ (A × C) {Definici´on de uni´on}
luego,
∀(x, y) ((x, y) ∈ A × (B ∪ C) ⇐⇒ (x, y) ∈ (A × B) ∪ (A × C))
es decir,
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
Los apartados (b), (c) y (d) se demuestran de una forma similar.
Ejemplo 2.12 Si U = Z+
, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 5} y C = {3, 4, 7}, determ´ınense los conjuntos
siguientes:
(a) A × B
32

37. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
(b) B × A
(c) A ∪ (B × C)
(d) (A ∪ B) × C
(e) (A × C) ∪ (B × C)
Soluci´on
(a) A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}
luego,
A × B = {(1, 2), (1, 5), (2, 2), (2, 5), (3, 2), (3, 5), (4, 2), (4, 5)}
(b) B × A = {(b, a) : b ∈ B ∧ a ∈ A}
luego,
B × A = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)}
(c)
A ∪ (B × C) = {1, 2, 3, 4, (2, 3), (2, 4), (2, 7), (5, 3), (5, 4), (5, 7)}
(d)
(A ∪ B) × C = {(1, 3), (1, 4), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 7), (3, 3),
(3, 4), (3, 7), (4, 3), (4, 4), (4, 7), (5, 3), (5, 4), (5, 7)}
(e)
(A × C) ∪ (B × C) = {(1, 3), (1, 4), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 7), (3, 3),
(3, 4), (3, 7), (4, 3), (4, 4), (4, 7), (5, 3), (5, 4), (5, 7)}
Ejemplo 2.13 Sean A = {a, b, c}, B = {b, c, d} y C = {a, d}. Encontrar A × B × C utilizando un
diagrama en ´arbol.
Soluci´on
•
a
•b
•
d
•
a
•c
•a
•
d
•
a
•d
•
d
•
a
•b
•
d
•
a
•c
•b
•
d
•
a
•d
•
d
•
a
•b
•
d
•
a
•c
• c
•
d
•
a
•d
•
d
Ejemplo 2.13
33

38. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
La figura muestra el diagrama en ´arbol. Recorriendo cada una de las ramas obtenemos las distintas
ternas que integran el producto cartesiano de los tres conjuntos, es decir,
A × B × C = {(a, b, a), (a, b, d), (a, c, a), (a, c, d), (a, d, a), (a, d, d), (b, b, a), (b, b, d), (b, c, a)
(b, c, d), (b, d, a), (b, d, d), (c, b, a), (c, b, d), (c, c, a), (c, c, d), (c, d, a), (c, d, d)}
Ejemplo 2.14 Dados tres conjuntos arbitrarios A, B, C ⊂ U , probar A×(B ∩C) = (A×B)∩(A×C)
Soluci´on
A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) En efecto,
∀(a, b) ∈ A × (B ∩ C) ⇐⇒ a ∈ A ∧ b ∈ (B ∩ C)
⇐⇒ a ∈ A ∧ (b ∈ B ∧ b ∈ C)
⇐⇒ (a ∈ A ∧ b ∈ B) ∧ (a ∈ A ∧ b ∈ C)
⇐⇒ (a, b) ∈ A × B ∧ (a, b) ∈ A × C
⇐⇒ (a, b) ∈ (A × B) ∩ (A × C)
luego,
∀(a, b) ((a, b) ∈ A × (B ∩ C) ⇐⇒ (a, b) ∈ (A × B) ∩ (A × C))
es decir,
A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
Ejemplo 2.15 Se consideran los conjuntos A = {x ∈ Z : 3 x 8} y B = {x ∈ Z : −6 < x −4}.
Hallar A × B
Soluci´on
A = {x ∈ Z : 3 x 8} = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
B = {x ∈ Z : −6 < x −4} = {−5, −4}
luego,
A × B =
{(3, −5), (4, −5), (5, −5), (6, −5), (7, −5), (8, −5), (3, −4), (4, −4), (5, −4), (6, −4), (7, −4), (8, −4)}
Ejemplo 2.16 Demostrar que
(A1 × B1) ∩ (A2 × B2) = (A1 ∩ A2) × (B1 ∩ B2)
Soluci´on
En efecto, sea (a, b) un elemento arbitrario de (A1 × B1) ∩ (A2 × B2). Entonces,
(a, b) ∈ (A1 × B1) ∩ (A2 × B2) ⇐⇒ (a, b) ∈ (A1 × B1)) ∧ (a, b) ∈ (A2 × B2) {Def. de ∩}
⇐⇒ (a ∈ A1 ∧ b ∈ B1) ∧ (a ∈ A2 ∧ b ∈ B2) {Def. de ×}
⇐⇒ (a ∈ A1 ∧ a ∈ A2) ∧ (b ∈ B1 ∧ b ∈ B2) {Asoc. y conm.}
⇐⇒ a ∈ (A1 ∩ A2) ∧ b ∈ (B1 ∩ B2)
⇐⇒ (a, b) ∈ (A1 ∩ A2) × (B1 ∩ B2)
34

39. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
luego,
∀(a, b) ((a, b) ∈ (A1 × B1) ∩ (A2 × B2) ⇐⇒ (a, b) ∈ (A1 ∩ A2) × (B1 ∩ B2))
es decir,
(A1 × B1) ∩ (A2 × B2) = (A1 ∩ A2) × (B1 ∩ B2)
Ejemplo 2.17 Dados los conjuntos A = {a, b, c, d} , B = {1, 2, 3} y C = {α, β, γ}, hallar
(a) A × B × C
(b) A × (B ∩ C)
(c) A × (B ∪ C)
Soluci´on
(a)
A × B × C = {(a, 1, α), (a, 1, β), (a, 1, γ), (a, 2, α), (a, 2, β), (a, 2, γ), (a, 3, α), (a, 3, β),
(a, 3, γ), (b, 1, α), (b, 1, β), (b, 1, γ), (b, 2, α), (b, 2, β), (b, 2, γ), (b, 3, α),
(b, 3, β), (b, 3, γ), (c, 1, α), (c, 1, β), (c, 1, γ), (c, 2, α), (c, 2, β), (c, 2, γ),
(c, 3, α), (c, 3, β), (c, 3, γ), (d, 1, α), (d, 1, β), (d, 1, γ), (d, 2, α), (d, 2, β),
(d, 2, γ), (d, 3, α), (d, 3, β), (d, 3, γ)}
(b) A × (B ∩ C) = A × ∅ = ∅
(c) A × (B ∪ C)
Seg´un hemos visto en la lecci´on,
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
luego,
A × (B ∪ C) = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (d, 1), (d, 2), (d, 3)
(a, α), (a, β), (a, γ), (b, α), (b, β), (b, γ), (c, α), (c, β), (c, γ), (d, α), (d, β), (d, γ)}
Ejemplo 2.18 Para A, B, C ⊆ U , probar que A × (B C) = (A × B) (A × C).
Soluci´on
En efecto,
∀(a, b) ∈ A × (B C) ⇐⇒ a ∈ A ∧ b ∈ B C
⇐⇒ a ∈ A ∧ (b ∈ B ∧ b /∈ C)
⇐⇒ (a ∈ A ∧ b ∈ B) ∧ (a ∈ A ∧ b /∈ C)
⇐⇒ (a, b) ∈ A × B ∧ (a, b) /∈ (A × C)
⇐⇒ (a, b) ∈ (A × B) (A × C)
luego,
∀(a, b) ((a, b) ∈ A × (B C) ⇐⇒ (a, b) ∈ (A × B) (A × C))
es decir,
A × (B C) = (A × B) (A × C)
35

40. Apuntes de Matem´atica Discreta
3. Principios B´asicos de Conteo
Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
C´adiz, Octubre de 2004

41. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
ii

42. Lecci´on 3
Principios B´asicos de Conteo
Contenido
3.1 Partici´on de un Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2 Recubrimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.3 Cardinal de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Principio de Adici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.2 Regla de la Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Principio de Multiplicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.2 Regla del Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Principio de Inclusi´on-Exclusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.3 Generalizaci´on del Principio de Inclusi´on-Exclusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5 Principio de Distribuci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5.2 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Desarrollamos en esta lecci´on los principios b´asicos para contar elementos de un conjunto, el de Adici´on,
el de Multiplicaci´on, el de Inclusi´on-Exclusi´on y finalizaremos con el de Distribuci´on.
3.1 Partici´on de un Conjunto
3.1.1 Definici´on
Dado un conjunto A, diremos que los subconjuntos de A, A1, A2, . . . , An, constituyen una partici´on
del mismo si se cumplen las siguientes condiciones:
1. Ai = ∅; ∀i = 1, 2, . . . . . . , n
2. Ai ∩ Aj = ∅; ∀i = j, i, j = 1, 2, . . . . . . n
3. A1 ∪ A2 ∪ · · · · · · ∪ An = A
37

43. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
3.1.2 Recubrimiento
Si los subconjuntos B1, B2, . . . . . . , Bn de un conjunto A cumplen las condiciones 1. y 3. de la
definici´on anterior, diremos que B1, B2, . . . . . . , Bn constituyen un recubrimiento de A.
Ejemplo 3.1
A1
A2 A3
A4
A
Partici´on del conjunto A. Ejemplo 3.1
Los subconjuntos A1, A2, A3 y A4 constituyen una partici´on de A.
Ejemplo 3.2 Si A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}, los conjuntos
A1 = {a, b, c, d}
A2 = {c, d, e, f, g}
A3 = {g, h, i}
A4 = {j, k}
constituyen un recubrimiento del conjunto A.
Soluci´on
En efecto,
Ai = ∅; i = 1, 2, 3, 4
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 = {a, b, c, d} ∪ {c, d, e, f, g} ∪ {g, h, i} ∪ {j, k} = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} = A
38

44. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
Sin embargo no es una partici´on ya que, por ejemplo,
A1 ∩ A2 = {a, b, c, d} ∩ {c, d, e, f} = {c, d} = ∅
3.1.3 Cardinal de un conjunto
Si A es un conjunto finito no vac´ıo, designaremos por cardinal de A al n´umero de elementos que tiene
A. Si A es el conjunto vac´ıo, entonces su cardinal es cero. Lo notaremos |A|.
3.2 Principio de Adici´on
Estudiamos el m´as b´asico y simple de los principios para contar elementos de un conjunto.
3.2.1 Teorema
Si A1, A2, . . . , An es una colecci´on de conjuntos finitos no vac´ıos, disjuntos dos a dos, entonces
|A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An| = |A1| + |A2| + · · · + |An|
Demostraci´on
Procederemos por inducci´on sobre el n´umero de conjuntos n.
Paso b´asico. Veamos que el teorema es cierto para n = 2.
En efecto, sean A1 y A2 dos conjuntos finitos tales que A1 ∩ A2 = ∅. Pues bien, si
A1 = {a1, a2, . . . , aq} y A2 = {b1, b2, . . . , br}
al ser disjuntos no tendr´an elementos comunes, de aqu´ı que
A1 ∪ A2 = {a1, a2, . . . , aq, b1, b2, . . . , br}
luego,
|A1 ∪ A2| = q + r = |A1| + |A2|
y el teorema es cierto para n = 2.
Paso inductivo. Supongamos que el teorema es cierto para n = p, es decir, si A1, A2, . . . , Ap son una
familia de conjuntos finitos y disjuntos dos a dos, entonces
p
i=1
Ai =
p
i=1
|Ai|
Veamos que el teorema es cierto para n = p + 1. En efecto, sea A1, A2, . . . , Ap, Ap+1 una familia de
conjuntos finitos y dos a dos disjuntos, entonces por la asociatividad de la uni´on de conjuntos,
p+1
i=1
Ai = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ap ∪ Ap+1 = (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ap) ∪ Ap+1 =
p
i=1
Ai ∪ Ap+1
39

45. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
siendo,
p
i=1
Ai ∩ Ap+1 = (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ap) ∩ Ap+1
= (A1 ∩ Ap+1) ∪ (A2 ∩ Ap+1) ∪ · · · ∪ (Ap ∩ Ap+1)
= ∅ ∪ ∅ ∪ · · · ∪ ∅
= ∅
luego,
p+1
i=1
Ai =
p
i=1
Ai ∪ Ap+1
=
p
i=1
Ai + |Ap+1| {Paso b´asico}
=
p
i=1
|Ai| + |Ap+1| {Hip´otesis de inducci´on}
=
p+1
i=1
|Ai|
Consecuentemente, por el primer principio de inducci´on, la propiedad es cierta para todo entero positivo
n y,
|A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An| = |A1| + |A2| + · · · + |An|
Obs´ervese que en este tipo de problemas, la palabra “o” aparece o se sobrentiende impl´ıcitamente. En
cualquier caso en el que tengamos una acci´on simple a realizar y que debe satisfacer una condici´on u otra
siendo las condiciones mutuamente excluyentes, utilizaremos normalmente el principio de adici´on. Este
primer principio del conteo puede expresarse como sigue:
3.2.2 Regla de la Suma
Si una primera tarea puede realizarse de m formas distintas, mientras que una segunda tarea puede
realizarse de n formas distintas, y no es posible realizar ambas tareas de manera simult´anea, entonces,
para llevar a cabo cualquiera de ellas pueden utilizarse cualquiera de m + n formas.
Ejemplo 3.3 Se lanza al aire una moneda cuatro veces. ¿De cu´antas formas distintas pueden obtenerse
una, dos, tres o cuatro caras?
Soluci´on
Sea Ai el conjunto formado por todos los resultados posibles en los que aparezcan, exactamente, “i caras”
al lanzar cuatro veces la moneda. Entonces,
A1 = {(c, x, x, x), (x, c, x, x), (x, x, c, x), (x, x, x, c)}
A2 = {(c, c, x, x), (c, x, c, x), (c, x, x, c), (x, c, c, x), (x, c, x, c), (x, x, c, c)}
A3 = {(c, c, c, x), (c, c, x, c), (c, x, c, c), (x, c, c, c)}
A4 = {(c, c, c, c)}
y el conjunto A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 estar´a formado por todos los resultados en los que aparecen una, dos,
tres o cuatro caras, por tanto el n´umero pedido es el cardinal de dicho conjunto. Al ser los Ai dos a dos
disjuntos, por el principio de adici´on, tendremos que habr´a
|A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4| = |A1| + |A2| + |A3| + |A4| = 15
40

46. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
formas distintas de obtener una, dos, tres o cuatro caras.
3.3 Principio de Multiplicaci´on
Este principio nos va a permitir resolver con m´as comodidad situaciones que involucren procesos que
consistan en acciones sucesivas.
Supongamos una acci´on que consista en una secuencia de pasos. Por ejemplo tirar un dado, luego otro
y a continuaci´on un tercero. Diremos que los pasos son independientes si el n´umero de formas en que
puede hacerse cada uno de ellos no depende del n´umero de formas en que pueden realizarse cada uno de
los otros.
3.3.1 Teorema
Si A1, A2, . . . , An es una colecci´on de conjuntos finitos no vac´ıos, entonces
|A1 × A2 × · · · × An| = |A1| · |A2| · · · · · |An|
Demostraci´on
Procederemos por inducci´on sobre el n´umero de conjuntos, n.
Paso b´asico. Veamos si el teorema es cierto para n = 2. En efecto, sean A1 y A2 dos conjuntos finitos
no vac´ıos,
A1 = {a1, a2, . . . , aq} y A2 = {b1, b2, . . . , br}
Por definici´on de producto cartesiano,
A1 × A2 = {(ai, bj) : ai ∈ A1 y bj ∈ A2}
para cada uno de los ai, 1 i q, tendremos los pares distintos,
(ai, b1), (ai, b2), . . . , (ai, br)
es decir, r pares o r elementos de A1 × A2. Haciendo lo mismo para cada uno de los ai ∈ Ai, 1 i q,
tendremos
(a1, b1), (a1, b2), . . . , (a1, br)
(a2, b1), (a2, b2), . . . , (a2, br)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(aq, b1), (aq, b2), . . . , (aq, br)
o sea, un total de q · r pares distintos en A1 × A2, luego
|A1 × A2| = q · r = |A1| · |A2|
por tanto, la proposici´on es cierta para n = 2.
Paso inductivo. Supongamos que es cierta para n = p, es decir si A1, A2, . . . , Ap es una colecci´on de
conjuntos finitos no vac´ıos. Entonces,
|A1 × A2 × · · · × Ap| = |A1| · |A2| · · · · · |Ap|
Veamos si la proposici´on es cierta para n = p + 1. En efecto, si A1, A2, . . . , Ap, Ap+1 es una colecci´on de
conjuntos finitos no vac´ıos, entonces
|A1 × A2 × · · · × Ap × Ap+1| = |(A1 × A2 × · · · × Ap) × Ap+1| {Asociatividad de ×}
= |A1 × A2 × · · · × Ap| · |Ap+1| {Paso b´asico}
= |A1| · |A2| · · · · · |Ap| · |Ap+1| {Paso inductivo}
41

47. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
Consecuentemente, por el Principio de inducci´on matem´atica, el teorema es cierto para todo entero
positivo, n, es decir,
|A1 × A2 × · · · × An| = |A1| · |A2| · · · · · |An|
Ejemplo 3.4 ¿Cu´antos resultados distintos son posibles al tirar tres dados diferentes?
Soluci´on
Sean A1, A2 y A3 los conjuntos formados por los posibles resultados que podamos obtener al tirar cada
uno de los tres dados, entonces |Ai| = 6, i = 1, 2, 3 y cada resultado es un elemento del producto
cartesiano A1 × A2 × A3, luego por el principio de multiplicaci´on, habr´a
|A1 × A2 × A3| = |A1| · |A2| · |A3| = 6 · 6 · 6 = 216
resultados distintos.
Obs´ervese que al ser diferentes los dados, podemos etiquetarlos como primero, segundo y tercero y tratar
la tirada como una acci´on con tres pasos sucesivos, cada uno de las cuales tiene seis resultados posibles.
El n´umero de posibilidades ser´a, por tanto,
6 · 6 · 6 = 216
Obs´ervese tambi´en que si los dados no fueran diferentes, la respuesta ser´ıa distinta. Por ejemplo ser´ıa
imposible distinguir entre el resultado 152 y el 251.
Ejemplo 3.5 Un n´umero de tel´efono consta de siete d´ıgitos. Si la primera ha de ser un n´umero entre
2 y 9, ambos inclusive, la segunda y la tercera han de ser n´umeros entre 1 y 9 ambos inclusive. ¿Cu´antos
n´umeros de tel´efono distintos pueden formarse con estas condiciones?
Soluci´on
Sean los conjuntos,
A1 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A2 = A3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A4 = A5 = A6 = A7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
El n´umero de tel´efonos con numeraciones distintas que pueden formarse son los del conjunto
A1 × A2 × A3 × A4 × A5 × A6 × A7
Por el principio de multiplicaci´on,
|A1 × A2 · · · × A7| = |A1| · |A2| · |A3| · |A4| · |A5| · |A6| · |A7|
= 8 · 9 · 9 · 10 · 10 · 10 · 10
= 6.480.000
3.3.2 Regla del Producto
Si un procedimiento puede descomponerse en las etapas primera y segunda, y si existen m resultados
posibles de la primera etapa y si, para cada uno de estos resultados, existen n resultados posibles para
la segunda etapa, entonces el procedimiento entero puede realizarse, en el orden dado, de mn formas.
Ejemplo 3.6 Se dispone de una baraja de 40 cartas de la cual extraemos cuatro de dos formas difer-
entes:
42

48. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
(a) Sin devoluci´on de cada carta extra´ıda.
(b) Con devoluci´on de la carta en cada extracci´on.
Calcular el n´umero de formas diferentes de obtener cuatro cartas en cada caso.
Soluci´on
Consideraremos el experimento como una acci´on con cuatro pasos independientes.
(a) Para el primer paso tenemos 40 opciones posibles y como la carta extra´ıda no se devuelve quedar´an
39 opciones para el segundo paso y, por la misma raz´on, 38 y 37 opciones para el tercero y el cuarto,
respectivamente. As´ı pues el experimento podr´a hacerse de
40 · 39 · 38 · 37 = 2193360
formas distintas.
(b) Cada carta extra´ıda se devuelve a la baraja. Por tanto, para cada una de las cuatro extracciones
dispondremos de las cuarenta. As´ı pues, el n´umero de formas diferentes de obtener las cuatro cartas
es
40 · 40 · 40 · 40 = 2560000
Ejemplo 3.7 Se lanzan dos dados, uno azul y otro rojo, a continuaci´on se registra el resultado de cada
tirada.
(a) ¿En cu´antos resultados la suma es 7 u 11?
(b) ¿En cu´antos resultados uno y s´olo uno de los dados muestra un 2?
(c) ¿En cu´antos resultados ninguno de los dados muestra un 2?
Soluci´on
(a) Sean a y b los resultados de los dados azul y rojo, respectivamente. Entonces,
a, b ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
y el par (a, b) puede considerarse como un par ordenado.
Pues bien, si A es el conjunto formado por todos los pares ordenados cuya suma sea 7 y B el
formado por aquellos que suman 11, entonces,
A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
B = {(5, 6), (6, 5)}
y el n´umero de resultados en los cuales la suma es 7 u 11 ser´a igual al cardinal de A ∪ B. Al ser A
y B disjuntos, por el principio de adici´on, habr´a
|A ∪ B| = |A| + |B| = 8
resultados que cumplan las condiciones requeridas.
43

49. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
(b) Sean
A1 = {2}
B1 = {1, 3, 4, 5, 6}
y
A2 = {1, 3, 4, 5, 6}
B2 = {2}
donde Ai y Bi, i = 1, 2, representan, respectivamente, los resultados de los dados azul y rojo.
Entonces, todos los resultados en los cuales aparece un 2 en uno s´olo de los dados, son los elementos
del conjunto
(A1 × B1) ∪ (A2 × B2)
siendo A1 × B1 y A2 × B2, disjuntos.
Consecuentemente, por el principio de adici´on y luego por el de multiplicaci´on tendremos que el
n´umero de resultados en los que uno s´olo de los dados muestra un 2 es
|(A1 × B1) ∪ (A2 × B2)| = |A1 × B1| + |A2 × B2|
= |A1| · |A2| + |B1| · |B2|
= 1 · 5 + 1 · 5 = 10
(c) Utilizando los mismos conjuntos que en el apartado anterior, los resultados en los que ninguno de
los dos dados muestra un 2 son los elementos de A2 × B1. Por el principio de multiplicaci´on, habr´a
|A2 × B1| = |A2| · |B1| = 5 · 5 = 25
resultados que cumplen la condiciones pedidas.
Ejemplo 3.8 Un viajante de comercio ha de visitar n ciudades sin pasar dos veces por ninguna de
ellas. ¿Cu´antas rutas distintas puede tomar si el viaje ha de empezar y terminar en la ciudad A?
Soluci´on
El viajante elige cualquiera de las n − 1 ciudades restantes para la primera visita, las opciones para la
segunda ser´ıan n−2 y n−3 posibilidades para la siguiente. Seguimos as´ı sucesivamente y por el principio
de multiplicaci´on, el n´umero de rutas distintas ser´ıa:
(n − 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1
Obs´ervese que al contar de esta forma, el orden en que se visitan las ciudades es importante, es decir una
ruta tal como ABCDEFA es distinta de la AFEDCBA. Si las rutas que se recorren en sentidos inversos
las consideramos iguales, el n´umero de posibilidades se reducir´ıa a:
(n − 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1
2
es decir, la mitad de opciones.
En el siguiente ejemplo, veremos una situaci´on en la cual se mezclan los principios de adici´on y multipli-
caci´on.
Ejemplo 3.9 El viajante de comercio del ejemplo anterior ha de visitar cinco ciudades A,B,C,D y E,
teniendo su base en la ciudad A. ¿Cu´antas rutas distintas puede tomar si no puede visitar la ciudad E
hasta despu´es de haber visitado la B o la C?
Soluci´on
Como la ciudad E no puede ser visitada hasta despu´es de visitar B o C, la primera visita deber´a ser a B
o a C o a D.
44

50. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
− Si la primera visita es a la ciudad B, entonces el viajante tiene tres opciones para la segunda, dos
para la siguiente y una para la ´ultima, luego por el principio de multiplicaci´on hay
3 · 2 · 1 = 6
rutas distintas teniendo a B como la primera ciudad visitada.
− Si la primera ciudad visitada es C, un razonamiento id´entico al anterior ofrecer´a al viajante el
mismo n´umero de opciones, es decir, seis rutas distintas.
− Si la primera ciudad visitada es la D, entonces hay dos opciones para la segunda (B y C), dos
opciones para la siguiente y una para la ´ultima. Consecuentemente, el n´umero de opciones distintas
es, en este caso, por el principio de multiplicaci´on
2 · 2 · 1 = 4
As´ı pues, por el principio de adici´on existen un total de
6 + 6 + 4 = 16
rutas posibles que puede tomar el viajante.
3.4 Principio de Inclusi´on-Exclusi´on
El principio de adici´on establec´ıa que si X es la uni´on de una colecci´on de conjuntos A1, A2, . . . , An,
disjuntos dos a dos, entonces
|X| = |A1| + |A2| + · · · + |An| .
En muchas ocasiones, necesitaremos calcular el n´umero de elementos de un conjunto X que es la uni´on
de una colecci´on de conjuntos A1, A2, . . . , An que no sean disjuntos. El principio de inclusi´on-exclusi´on
nos dice como hacerlo en funci´on del n´umero de elementos de los conjuntos A1, A2, . . . , An.
En s´ıntesis, este principio nos dice que si sabemos contar elementos de intersecciones de conjuntos,
entonces podremos determinar el tama˜no de la uni´on de dichos conjuntos.
3.4.1 Teorema
Sean A y B dos subconjuntos de un conjunto universal arbitrario, U . Entonces,
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Demostraci´on
45

51. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
A ∪ B
A
A B A ∩ B B A
B
U
Principio de Inclusi´on-Exclusi´on
Intuitivamente, podemos justificar este teorema examinando la figura. Si sumamos el n´umero de elemen-
tos que hay en A y en B, entonces contamos los elementos de A ∩ B dos veces. As´ı pues, para encontrar
el |A ∪ B| deber´ıamos sumar |A| a |B| y restar |A ∩ B|. Veamos una demostraci´on formal.
Sea x un elemento cualquiera de U . Entonces,
x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B). (3.1)
Ahora bien, si un elemento x est´a en A, puede estar en A y no en B o en A y en B, es decir,
x ∈ A ⇐⇒ [(x ∈ A) ∧ (x /∈ B)] ∨ [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)]
o sea,
x ∈ A ⇐⇒ [x ∈ (A B)] ∨ [x ∈ (A ∩ B)] (3.2)
de aqu´ı que
A = (A B) ∪ (A ∩ B) (3.3)
Tambi´en, si un elemento x est´a en B, razonando exactamente igual, tendremos
x ∈ B ⇐⇒ [x ∈ (B A)] ∨ [x ∈ (A ∩ B)] (3.4)
luego
B = (B A) ∪ (A ∩ B) (3.5)
Llevando los resultados (3.2) y (3.4) a (3.1), obtenemos
x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ [x ∈ (A B)] ∨ [x ∈ (A ∩ B)] ∨ [x ∈ (B A)] (3.6)
es decir, si un elemento pertenece a A ∪ B, entonces puede estar en A y no en B o en B o en A y en B
o en B y no en A.
46

52. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
De (3.6) se sigue directamente que
A ∪ B = (A B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B A) . (3.7)
Adem´as,
(A B) ∩ (A ∩ B) = (A ∩ Bc
) ∩ (A ∩ B)
= A ∩ (Bc
∩ B)
= A ∩ ∅
= ∅
(A B) ∩ (B A) = (A ∩ Bc
) ∩ (B ∩ Ac
)
= A ∩ Bc
∩ B ∩ Ac
= A ∩ ∅ ∩ Ac
= ∅
(A ∩ B) ∩ (B A) = (A ∩ B) ∩ (B ∩ Ac
)
= A ∩ B ∩ Ac
= A ∩ Ac
∩ B
= ∅
es decir, los tres conjuntos son disjuntos dos a dos, por lo tanto (3.3), (3.5) y (3.7) son, respectivamente,
descomposiciones de los conjuntos A, B y A ∪ B en uni´on de subconjuntos disjuntos, de aqu´ı que por el
principio de adici´on,
|A| = |A B| + |A ∩ B| =⇒ |A B| = |A| − |A ∩ B|
|B| = |B A| + |A ∩ B| =⇒ |B A| = |B| − |A ∩ B|
|A ∪ B| = |A B| + |A ∩ B| + |B A|
y sustituyendo los dos primeros resultados en la tercera igualdad,
|A ∪ B| = |A| − |A ∩ B| + |B| − |A ∩ B| + |A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Ejemplo 3.10 De un grupo de programadores, 35 est´an familiarizados con ordenadores del tipo A, 41
con ordenadores del tipo B y 46 con algunos de los dos. ¿Cu´antos est´an familiarizados con ambos?
Soluci´on
Sea P el conjunto de todos los programadores y sean A y B los subconjuntos de P formados por los
que est´an familiarizados con los ordenadores de tipo A y tipo B, respectivamente. Los que lo est´an con
ambos son, por tanto, los del conjunto A ∩ B. Pues bien, seg´un los datos del enunciado,
|A| = 35
|B| = 41
|A ∪ B| = 46.
Aplicando el principio de inclusi´on-exclusi´on,
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| =⇒ |A ∩ B| = 35 + 41 − 46 = 30
Hay, por tanto, 30 programadores que est´an familiarizados con ambos tipos de ordenadores.
Ejemplo 3.11 Los 100 alumnos de una facultad se han examinado de Matem´atica Discreta y de L´ogica
Matem´atica, obteniendo los siguientes resultados en los ex´amenes.
47

53. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
20 alumnos no han aprobado ninguna de las dos asignaturas.
Han aprobado las dos asignaturas un total de 25 personas.
El n´umero de alumnos que han aprobado Matem´atica discreta es el doble de los que han aprobado
el L´ogica Matem´atica.
¿Cu´antos alumnos aprobaron ´unicamente Matem´atica discreta?
¿Cu´antos alumnos aprobaron ´unicamente L´ogica Matem´atica?
Soluci´on
Un diagrama de Venn que refleja la situaci´on planteada en el ejercicio es el de la figura, donde D y
L son los conjuntos cuyos elementos son los alumnos que han aprobado Matem´atica Discreta y L´ogica
Matem´atica, respectivamente.
Dc
∩ Lc
D
D ∩ Lc
D ∩ L Dc
∩ L
L
U
Ejemplo 3.11
Los alumnos que han aprobado una de las dos asignaturas puede que no hayan aprobado la otra o que
si la hayan aprobado, luego
D = (D ∩ Lc
) ∪ (D ∩ L),
L = (D ∩ L) ∪ (Dc
∩ L)
y
D ∪ L = (D ∩ Lc
) ∪ (D ∩ L) ∪ (Dc
∩ L)
donde
(D ∩ Lc
) ∩ (D ∩ L) = D ∩ Lc
∩ L = D ∩ ∅ = ∅
48

54. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
y
(D ∩ L) ∩ (Dc
∩ L) = D ∩ Dc
∩ L = ∅ ∩ D = ∅
de aqu´ı que por el Principio de Adici´on,
|D| = |D ∩ Lc
| + |D ∩ L|
|L| = |D ∩ L| + |Dc
∩ L|
|D ∪ L| = |D ∩ Lc
| + |D ∩ L| + |Dc
∩ L| .
Por otra parte, si llamamos U al conjunto formado por los 100 alumnos,
U = (D ∪ L) ∪ (D ∪ L)c
donde,
(D ∪ L) ∪ (D ∪ L)c
= ∅
de aqu´ı que nuevamente por el Principio de Adici´on,
|U | = |D ∪ L| + |(D ∪ L)
c
|
Pues bien, seg´un los datos aportados por el enunciado:
20 alumnos no han aprobado ninguna de las dos asignaturas, es decir,
|(D ∪ L)
c
| = 20.
luego
|D ∪ L| = 100 − 20 = 80.
Han aprobado las dos asignaturas un total de 25 personas, o sea,
|D ∩ L| = 25
El n´umero de alumnos que han aprobado Matem´atica discreta es el doble de los que han aprobado
el L´ogica Matem´atica, es decir,
|D| = 2 |L| .
Datos que sustituidos en las ecuaciones anteriores, nos llevan a
2 |L| = |D ∩ Lc
| + 25
|L| = 25 + |Dc
∩ L|
80 = |D ∩ Lc
| + 25 + |Dc
∩ L| .
de aqu´ı que
|D ∩ Lc
| = 45
|Dc
∩ L| = 10
luego hay 45 alumnos que han aprobado ´unicamente la Matem´atica Discreta y 10 que aprobaron ´unicamente
el L´ogica Matem´atica.
3.4.2 Teorema
Sean A, B y C tres subconjuntos de un conjunto universal arbitrario, U . Entonces,
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Demostraci´on
49

55. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
Apoy´andonos en el teorema anterior y en la distributividad de la intersecci´on respecto a la uni´on de
conjuntos,
|A ∪ B ∪ C| = |A ∪ (B ∪ C)|
= |A| + |B ∪ C| − |A ∩ (B ∪ C)|
= |A| + |B| + |C| − |B ∩ C| − |(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)|
= |A| + |B| + |C| − |B ∩ C| − (|A ∩ B| + |A ∩ C| − |(A ∩ B) ∩ (A ∩ C)|)
= |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Ejemplo 3.12 ¿Cu´antos n´umeros existen entre 1 y 1000, ambos inclusive, que no sean ni cuadrados
perfectos, ni cubos perfectos ni cuartas potencias?
Soluci´on
Sea Z el conjunto de todos los enteros entre 1 y 1000 y sean A1, A2 y A3 los subconjuntos de Z formados
por los cuadrados perfectos, los cubos perfectos y las cuartas potencias, respectivamente. Entonces,
A1 = x : x = n2
, n ∈ Z
A2 = x : x = n3
, n ∈ Z
A3 = x : x = n4
, n ∈ Z
Pues bien,
312
= 961 < 1000 y 322
= 1024 > 1000, luego |A1| = 31
103
= 1000, luego |A2| = 10
54
= 625 y 64
= 1296, luego |A3| = 5
Observemos ahora lo siguiente:
A1 ∩ A2 = x : ∃n ∈ Z+
; x = n2
y x = n3
= x : ∃n ∈ Z; x = n6
y al ser 36
= 729 < 1000 y 46
= 4096 > 1000, tendremos que |A1 ∩ A2| = 3.
Por otra parte,
x ∈ A3 ⇐⇒ x = n4
, n ∈ Z =⇒ x = n2 2
, n ∈ Z ⇐⇒ x ∈ A1
es decir cada cuarta potencia es tambi´en un cuadrado, luego A3 ⊆ A1 y, por tanto, A1 ∩ A3 = A3 y
|A1 ∩ A3| = 5. Tambi´en,
A2 ∩ A3 = x : x = n3
y x = n4
, n ∈ Z+
= x : x = n12
, n ∈ Z+
luego el conjunto A2 ∩ A3 estar´a formado por todos los n´umeros que son a un tiempo, cubos y cuartas
potencias, es decir son de la forma n12
para alg´un entero n y al ser 212
= 4096 > 1000, tendremos que
|A2 ∩ A3| = 1.
Finalmente,
x ∈ A2 ∩ A3 ⇐⇒ x = n12
=⇒ x = n6 2
, n ∈ Z ⇐⇒ x ∈ A1
luego las doceavas potencias son tambi´en cuadrados, es decir, A2 ∩ A3 ⊆ A1 de aqu´ı que
A1 ∩ A2 ∩ A3 = A2 ∩ A3
50

56. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
y
|A1 ∩ A2 ∩ A3| = 1
Con todos estos datos,
|A1 ∪ A2 ∪ A3| = |A1| + |A2| + |A3| − |A1 ∩ A2| − |A1 ∩ A3| − |A2 ∩ A3| + |A1 ∩ A2 ∩ A3|
= 31 + 10 + 5 − 3 − 5 − 1 + 1
= 38
Consecuentemente, el n´umero de enteros entre 1 y 1000 que no son cuadrados, cubos o cuartas potencias
son 1000 − 38 = 962.
Ejemplo 3.13 Demostrar que
|A ∪ B ∪ C| = |A (B ∪ C)| + |B (A ∪ C)| + |C (A ∪ B)|
+ |(A ∩ B) C| + |(A ∩ C) B| + |(B ∩ C) A|
+ |A ∩ B ∩ C|
donde A, B y C est´an incluidos en un universal arbitrario U .
Soluci´on
En efecto, sea x un elemento arbitrario de U . Entonces
x ∈ (A ∪ B ∪ C) ⇐⇒ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ∨ (x ∈ C) .
Pues bien, si x est´a en A, entonces puede estar en A y no estar en B ni en C, o estar en A y en B pero
no estar en C o estar en A y en C pero no en B o estar en A, en B y en C (la situaci´on planteada puede
apreciarse con claridad en la figura), es decir,
C (A ∪ B) (B ∩ C) A B (A ∪ C)
A ∩ B ∩ C
A (B ∪ C)
(A ∩ C) B (A ∩ B) C
A
C B
U
Ejemplo 3.13
51

57. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
x ∈ A ⇐⇒ [(x ∈ A) ∧ (x /∈ B) ∧ (x /∈ C)] ∨ [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ∧ (x /∈ C)]
∨ [(x ∈ A) ∧ (x /∈ B) ∧ (x ∈ C)]
∨ [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ∧ (x ∈ C)]
⇐⇒ [(x ∈ A) ∧ (x ∈ Bc
) ∧ (x ∈ Cc
)] ∨ [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ∧ (x ∈ Cc
)]
∨ [(x ∈ A) ∧ (x ∈ Bc
) ∧ (x ∈ C)]
∨ [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ∧ (x ∈ C)]
⇐⇒ [x ∈ (A ∩ Bc
∩ Cc
)] ∨ [x ∈ (A ∩ B ∩ Cc
)] ∨ [x ∈ (A ∩ Bc
∩ C)] ∨ [x ∈ (A ∩ B ∩ C)]
de aqu´ı que
A = (A ∩ Bc
∩ Cc
) ∪ (A ∩ B ∩ Cc
) ∪ (A ∩ Bc
∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C)
y razonando de forma an´aloga para los conjuntos B y C, tendremos
B = (Ac
∩ B ∩ Cc
) ∪ (A ∩ B ∩ Cc
) ∪ (Ac
∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C)
y
C = (Ac
∩ Bc
∩ C) ∪ (A ∩ Bc
∩ C) ∪ (Ac
∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) .
Si ahora unimos los tres, tendremos que
A ∪ B ∪ C = (A ∩ Bc
∩ Cc
) ∪ (A ∩ B ∩ Cc
) ∪ (A ∩ Bc
∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C)
∪ (Ac
∩ B ∩ Cc
) ∪ (Ac
∩ B ∩ C) ∪ (Ac
∩ Bc
∩ C) .
Adem´as, en cada pareja de conjuntos que tomemos, en uno de sus miembros aparece un conjunto y en
el otro su complementario, por lo tanto su intersecci´on es vac´ıa. Por ejemplo,
(A ∩ Bc
∩ Cc
) ∩ (A ∩ B ∩ Cc
) = A ∩ Bc
∩ Cc
∩ A ∩ B ∩ Cc
= A ∩ Bc
∩ B ∩ Cc
= A ∩ ∅ ∩ Cc
= ∅.
Consecuentemente, la igualdad que obtuvimos anteriormente es una descomposici´on de A ∪ B ∪ C en
uni´on de conjuntos disjuntos y aplicando el principio de adici´on, tendremos que
|A ∪ B ∪ C| = |A ∩ Bc
∩ Cc
| + |A ∩ B ∩ Cc
| + |A ∩ Bc
∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
+ |Ac
∩ B ∩ Cc
| + |Ac
∩ B ∩ C| + |Ac
∩ Bc
∩ C|
y ahora bastar´ıa aplicar las leyes de De Morgan y la definici´on de diferencia de conjuntos para obtener
el resultado,
|A ∪ B ∪ C| = |A (B ∪ C)| + |B (A ∪ C)| + |C (A ∪ B)|
+ |(A ∩ B) C| + |(A ∩ C) B| + |(B ∩ C) A|
+ |A ∩ B ∩ C|
Ejemplo 3.14 Una encuesta realizada entre 200 personas arroj´o el resultado siguiente:
40 leen Diario de C´adiz.
42 leen El Mundo.
45 leen El Pa´ıs.
13 leen Diario de C´adiz y El Mundo.
20 leen El Mundo y El Pa´ıs.
18 leen Diario de C´adiz y El Pa´ıs.
7 leen los tres peri´odicos.
52

58. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
(a) ¿Cu´antas personas no leen ninguno de los tres peri´odicos?
(b) ¿Cu´antas personas leen ´unicamente el Diario de C´adiz?
(c) ¿Cu´antas personas leen un s´olo peri´odico?
Soluci´on
Un diagrama de Venn de la situaci´on planteada se muestra en la figura.
U
D
MP
D ∩ Mc
∩ Pc
D ∩ Mc
∩ P D ∩ M ∩ Pc
D ∩ M ∩ P
Dc
∩ Mc
∩ P Dc
∩ M ∩ P Dc
∩ M ∩ Pc
Dc
∩ Mc
∩ Pc
Ejemplo 3.14
Sea U el conjunto formado por todas las personas encuestadas y sean D, M y P los conjuntos formados
por las personas que leen Diario de C´adiz, El Mundo y El Pa´ıs, respectivamente. Seg´un los datos del
enunciado
|D| = 40
|M| = 42
|P| = 45
|D ∩ M| = 13
|M ∩ P| = 20
|D ∩ P| = 18
|D ∩ M ∩ P| = 7
53

59. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
(a) Veamos cu´antas personas no leen ninguno de los tres peri´odicos.
El conjunto D∪M ∪P est´a formado por las personas que leen, al menos, uno de los tres peri´odicos,
luego el conjunto de las personas que no leen ninguno de los tres peri´odicos ser´a su complementario
(D ∪ M ∪ P)
c
y al ser D ∪M ∪P y (D ∪ M ∪ P)
c
disjuntos, por el principio de adici´on, tendremos
|U | = |(D ∪ M ∪ P) ∪ (D ∪ M ∪ P)
c
| = |D ∪ M ∪ P| + |(D ∪ M ∪ P)
c
|
de aqu´ı que
|(D ∪ M ∪ P)
c
| = |U | − |D ∪ M ∪ P| .
Por el principio de inclusi´on-exclusi´on para tres conjuntos, tendremos
|D ∪ M ∪ P| = |D| + |M| + |P| − |D ∩ M| − |M ∩ P| − |D ∩ P| + |D ∩ M ∩ P|
= 40 + 42 + 45 − 13 − 20 − 18 + 7
= 134 − 51
= 83
por lo tanto,
|(D ∪ M ∪ P)
c
| = 200 − 83 = 117
(b) Calculemos ahora el n´umero de personas que leen ´unicamente Diario de C´adiz.
Las personas que leen ´unicamente Diario de C´adiz ser´an aquellas que lean Diario de C´adiz y no
lean El Mundo ni El Pa´ıs, es decir las del conjunto D ∩ Mc
∩ Pc
. Para calcular el n´umero de
estas personas, y teniendo en cuenta los datos que proporciona el enunciado, habr´a que hacerlo en
funci´on de |D|, |D ∩ M|, |D ∩ P| y |D ∩ M ∩ P|.
Pues bien, las personas que leen Diario de C´adiz puede que lean alguno de los otros dos peri´odicos
(D ∩ (M ∪ P)) o que no lean ninguno de los otros dos (D ∩ (M ∪ P)
c
), es decir,
D = [D ∩ (M ∪ P)] ∪ [D ∩ (M ∪ P)
c
]
siendo esta descomposici´on en uni´on de disjuntos. Aplicando el principio de adici´on y, posterior-
mente, el de inclusi´on-exclusi´on,
|D| = |D ∩ (M ∪ P)| + |D ∩ (M ∪ P)
c
|
= |(D ∩ M) ∪ (D ∩ P)| + |D ∩ Mc
∩ Pc
|
= |D ∩ M| + |D ∩ P| − |D ∩ M ∩ P| + |D ∩ Mc
∩ Pc
|
de donde,
|D ∩ Mc
∩ Pc
| = |D| − |D ∩ M| − |D ∩ P| + |D ∩ M ∩ P| = 40 − 13 − 18 + 7 = 16
(c) Veamos ahora cu´antas personas leen un s´olo peri´odico.
Las personas que leen ´unicamente un s´olo peri´odico ser´an aquellas que lean ´unicamente Diario de
C´adiz (ni El Mundo, ni El Pa´ıs) o que ´unicamente lean El Mundo (ni Diario de C´adiz ni El Pa´ıs)
o que lean ´unicamente El Pa´ıs (ni Diario de C´adiz ni El Mundo), es decir las del conjunto
(D ∩ Mc
∩ Pc
) ∪ (Dc
∩ M ∩ Pc
) ∪ (Dc
∩ Mc
∩ P)
y como estos tres conjuntos son disjuntos dos a dos, por el principio de adici´on, tendremos
|(D ∩ Mc
∩ Pc
) ∪ (Dc
∩ M ∩ Pc
) ∪ (Dc
∩ Mc
∩ P)| = |D ∩ Mc
∩ Pc
| + |Dc
∩ M ∩ Pc
|
+ |Dc
∩ Mc
∩ P| (3.8)
El primero de los sumandos lo hemos calculado en el apartado anterior.
Si seguimos un camino an´alogo para calcular los otros dos, tendremos:
|Dc
∩ M ∩ Pc
| = |M| − |M ∩ P| − |D ∩ M| + |D ∩ M ∩ P| = 42 − 20 − 13 + 7 = 16 (3.9)
54

60. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
y
|Dc
∩ Mc
∩ P| = |P| − |M ∩ P| − |D ∩ P| + |D ∩ M ∩ P| = 45 − 20 − 18 + 7 = 14. (3.10)
Sustituyendo (3.9) y (3.10) junto con el resultado obtenido en el apartado anterior en (3.8) ten-
dremos que el n´umero de personas que leen ´unicamente un peri´odico es
|(D ∩ Mc
∩ Pc
) ∪ (Dc
∩ M ∩ Pc
) ∪ (Dc
∩ Mc
∩ P)| = 16 + 16 + 14 = 46
Ejemplo 3.15 Se ha comprado un lote de banderas monocolores, bicolores y tricolores. En todas ellas
figura, al menos, el blanco, el rojo o el negro. Adem´as, en ocho de ellas no figura el blanco, en diez
no figura el rojo y en cuatro no figura el negro. Por otra parte, cinco banderas tienen, al menos, los
colores rojo y blanco, siete el blanco y el negro y seis el rojo y el negro. Finalmente, cuatro tienen los
tres colores. Averiguar:
(a) N´umero total de banderas.
(b) N´umero de monocolores rojas.
Soluci´on
Sean
B: Conjunto formado por las banderas en las que figura, al menos, el blanco.
N: Conjunto formado por las banderas en las que figura, al menos, el negro.
R: Conjunto formado por las banderas en las que figura, al menos, el rojo.
(a) N´umero total de banderas.
Como en todas las banderas figura, al menos, uno de los tres colores, el n´umero total de banderas
ser´a el cardinal del conjunto B ∪ R ∪ N.
Veamos que datos aporta el enunciado.
En ocho de ellas no figura el blanco. Entonces,
|Bc
| = 8
En diez de ellas no figura el rojo, es decir,
|Rc
| = 10
En cuatro de ellas no figura el negro, luego,
|Nc
| = 4
Cinco tienen, al menos, los colores rojo y blanco. Pues bien,
|B ∩ R| = 5
Siete tienen, al menos, los colores blanco y negro, o sea,
|B ∩ N| = 7
55

61. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
Seis tienen, al menos, los colores rojo y negro, es decir,
|R ∩ N| = 6
Cuatro tienen los tres colores, es decir,
|B ∩ R ∩ N| = 4.
A la vista de estos datos parece que lo m´as l´ogico es utilizar el principio de inclusi´on-exclusi´on
para 3 conjuntos:
|B ∪ N ∪ R| = |B| + |N| + |R| − |B ∩ N| − |B ∩ R| − |N ∩ R| + |B ∩ N ∩ R|
y utilizando el principio de adici´on,
B ∪ Bc
= B ∪ N ∪ R =⇒ |B| + |Bc
| = |B ∪ N ∪ R| =⇒ |B| = |B ∪ N ∪ R| − |Bc
|
N ∪ Nc
= B ∪ N ∪ R =⇒ |N| + |Nc
| = |B ∪ N ∪ R| =⇒ |N| = |B ∪ N ∪ R| − |Nc
|
R ∪ Rc
= B ∪ N ∪ R =⇒ |R| + |Rc
| = |B ∪ N ∪ R| =⇒ |R| = |B ∪ N ∪ R| − |Rc
|
Si ahora sustituimos estos resultados en la igualdad anterior,
−2 |B ∪ N ∪ R| = − |Bc
| − |Nc
| − |Rc
| − |B ∩ N| − |B ∩ R| − |N ∩ R| + |B ∩ N ∩ R|
de donde se sigue que el n´umero total de banderas es
|B ∪ N ∪ R| =
|Bc
| + |Nc
| + |Rc
| + |B ∩ N| + |B ∩ R| + |N ∩ R| − |B ∩ N ∩ R|
2
=
8 + 10 + 4 + 5 + 7 + 6 − 4
2
= 18
B
RN
B (N ∪ R)
(B ∩ N) R (B ∩ R) N
B ∩ R ∩ N
N (B ∪ R) (R ∩ N) B R (B ∪ N)
Ejemplo 3.15
56

62. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
(b) N´umero de monocolores rojas.
El conjunto de banderas que tienen ´unicamente el color rojo es R (B ∪ N) o Bc
∩ Nc
∩ R. Pues
bien las banderas que tienen el color rojo, puede que tengan, adem´as, uno de los otros dos colores
o ninguno de los dos, es decir,
R = [R ∩ (B ∪ N)] ∪ [R ∩ (B ∪ N)
c
]
siendo ´esta una descomposici´on de R en uni´on de subconjuntos disjuntos. Aplicando el principio
de adici´on y el principio de inclusi´on-exclusi´on,
|R| = |R ∩ (B ∪ N)| + |R ∩ (B ∪ N)
c
|
= |(B ∩ R) ∪ (N ∩ R)| + |Bc
∩ Nc
∩ R|
= |B ∩ R| + |N ∩ R| − |B ∩ N ∩ R| + |Bc
∩ Nc
∩ R|
si ahora sustituimos |R| por |B ∪ N ∪ R| − |Rc
| y despejamos,
|Bc
∩ Nc
∩ R| = |B ∪ N ∪ R| − |Rc
| − |N ∩ R| − |B ∩ R| + |B ∩ N ∩ R|
= 18 − 10 − 6 − 5 + 4
= 1
luego hay una sola bandera de color rojo.
Ejemplo 3.16 En una muestra de 1000 individuos elegida para el estudio las preferencias gastron´omicas
de una poblaci´on, se observa que sesenta comen pescado y carne pero no huevos, cuarenta comen pescado
y huevos pero no carne, treinta carne y huevos pero no pescado, cincuenta comen ´unicamente pescado,
cuarenta s´olo carne y treinta comen ´unicamente, huevos. Todos comen al menos, una de las tres cosas.
(a) ¿Cu´antos comen las tres cosas?
(b) ¿Cu´antos comen pescado?
Soluci´on
Sean C, H y P los conjuntos formados por los individuos que comen, respectivamente, carne, huevos y
pescado.
(a) Los individuos que comen las tres cosas ser´an los del conjunto C ∩ H ∩ P es decir, tenemos que
calcular |C ∩ H ∩ P|.
Descompondremos el conjunto C ∪H ∪P en uni´on de conjuntos disjuntos, para lo cual razonaremos
igual que en los ejercicios anteriores. En efecto, si un individuo come una de las tres cosas, puede
que coma tambi´en las otras dos, una o ninguna. Por ejemplo, si come carne, puede que tambi´en
coma huevos y pescado o huevos y no coma pescado o pescado y no coma huevos o que no coma
huevos ni pescado. Esto en t´erminos de los conjuntos C, H y P quiere decir lo siguiente:
C = (C ∩ H) ∪ (C ∩ Hc
)
= (C ∩ H ∩ P) ∪ (C ∩ H ∩ Pc
) ∪ (C ∩ Hc
∩ P) ∪ (C ∩ Hc
∩ Pc
)
H = (C ∩ H) ∪ (Cc
∩ H)
= (C ∩ H ∩ P) ∪ (C ∩ H ∩ Pc
) ∪ (Cc
∩ H ∩ P) ∪ (Cc
∩ H ∩ Pc
)
P = (C ∩ P) ∪ (Cc
∩ P)
= (C ∩ H ∩ P) ∪ (C ∩ Hc
∩ P) ∪ (Cc
∩ H ∩ P) ∪ (Cc
∩ Hc
∩ P)
57

63. Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas
y si ahora unimos los tres, tendremos que
C ∪ H ∪ P = (C ∩ H ∩ P) ∪ (C ∩ H ∩ Pc
) ∪ (C ∩ Hc
∩ P) ∪ (C ∩ Hc
∩ Pc
)
∪ (Cc
∩ H ∩ P) ∪ (Cc
∩ Hc
∩ P) ∪ (Cc
∩ H ∩ Pc
) .
Donde, como siempre, los conjuntos que integran el segundo miembro son disjuntos dos a dos ya
que en cada pareja que elijamos figura un conjunto en uno de sus miembros y su complementario
en el otro. Tenemos, por tanto, una descomposici´on de C ∪ H ∪ P en uni´on de conjuntos disjuntos,
luego por el principio de adici´on,
|C ∪ H ∪ P| = |C ∩ H ∩ P| + |C ∩ H ∩ Pc
| + |C ∩ Hc
∩ P| + |C ∩ Hc
∩ Pc
|
+ |Cc
∩ H ∩ P| + |Cc
∩ Hc
∩ P| + |Cc
∩ H ∩ Pc
| .
La situaci´on se refleja en la figura.
C
HP
C ∩ Hc
∩ Pc
C ∩ Hc
∩ P C ∩ H ∩ Pc
C ∩ H ∩ P
Cc
∩ Hc
∩ P Cc
∩ H ∩ P Cc
∩ H ∩ Pc
Ejemplo 3.16
Observemos ahora los datos que proporciona el enunciado.
Sesenta comen pescado y carne pero no huevos. Entonces,
|C ∩ Hc
∩ P| = 60
Cuarenta comen pescado y huevos pero no carne, es decir,
|Cc
∩ H ∩ P| = 40
Treinta comen carne y huevos pero no comen carne, o sea,
|C ∩ H ∩ Pc
| = 30
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64. Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
Cincuenta comen ´unicamente pescado. Entonces,
|Cc
∩ Hc
∩ P| = 50
Cuarenta comen s´olo carne, o sea,
|C ∩ Hc
∩ Pc
| = 40
Treinta comen s´olo huevos. Entonces,
|Cc
∩ H ∩ Pc
| = 30
Todos comen, al menos, una de las tres cosas.
|C ∪ H ∪ P| = 1000
Sustituyendo estos datos en la expresi´on de |C ∪ H ∪ P| que ten´ıamos al principio,
|C ∪ H ∪ P| = |C ∩ H ∩ P| + |C ∩ H ∩ Pc
| + |C ∩ Hc
∩ P| + |C ∩ Hc
∩ Pc
|
+ |Cc
∩ H ∩ P| + |Cc
∩ Hc
∩ P| + |Cc
∩ H ∩ Pc
| .
se sigue que
1000 = |C ∩ H ∩ P| + 30 + 60 + 40 + 40 + 50 + 30
de aqu´ı que los individuos que comen las tres cosas sean,
|C ∩ H ∩ P| = 750
(b) Los individuos que comen pescado son los del conjunto P, y seg´un vimos anteriormente, una
descomposici´on de este conjunto en uni´on de subconjuntos disjuntos era:
P = (C ∩ H ∩ P) ∪ (C ∩ Hc
∩ P) ∪ (Cc
∩ H ∩ P) ∪ (Cc
∩ Hc
∩ P)
luego por el principio de adici´on,
|P| = |C ∩ H ∩ P| + |C ∩ Hc
∩ P| + |Cc
∩ H ∩ P| + |Cc
∩ Hc
∩ P|
= 750 + 60 + 40 + 50
= 900
As´ı pues, son 900 los individuos que comen pescado.
En los dos teoremas anteriores hemos probado el principio de inclusi´on-exclusi´on para dos y tres con-
juntos. Se puede generalizar a n conjuntos, aunque para hacerlo se necesitan coeficientes binomiales.
3.4.3 Generalizaci´on del Principio de Inclusi´on-Exclusi´on
Sean A1, A2, . . . , An subconjuntos de alg´un universal U . Entonces,
n
i=1
Ai =
n
i=1
|Ai| −
i,j
|Ai ∩ Aj| +
i,j,k
|Ai ∩ Aj ∩ Aj| + · · · + (−1)n−1
n
i=1
Ai
Ejemplo 3.17 En una encarnizada batalla al menos el 70% de los combatientes pierde un ojo, al menos
un 75% pierden una oreja, como m´ınimo un 80% pierde un brazo y al menos el 85% una pierna.
¿Cu´antos han perdido por lo menos, las cuatro cosas?
Soluci´on
Sean
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