1. ING.CIVIL
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Método: Castigliano
I. Para las siguientes vigas simplemente apoyadas
determínese la deflexión indicada. Por los
métodos geométricos y los energéticos
PROBLEMA NRO.: 1
2
3
L
3
L
W
RESOLUCIÓN
Aplicamos una fuerza imaginaria 0P , en el
punto 2.
2
3
L
3
L
W
1YR 3YR
P
11 13
121XR
Por ESTÁTICA:
0XF 1 0XR
0YF 1 3 0
2
Y Y
WL
R R P
1 3
2
Y Y
WL
R R P ...... 1
2 0M 1 3
2
0
3 3
Y Y
L L
R R
1 3
2
3 3
Y Y
L L
R R
1 32 Y YR R ...... 2
Reemplazando (2) en (1):
1 3
2
Y Y
WL
R R P 3
3
2 2
Y
Y
R WL
R P
33
2 2
YR WL
P 3
3
2 2
Y
WL
R P
,
entonces: 1
1
2 2
Y
WL
R P
1. Por Superposición de cargas:
2
3
L
3
L
W
1YR 3YR
P
11 13
121XR
W
3
2
W
3
2
W
a
aP
x
aM
aM
1YR
1
3
2
w
Y x
L
3
1
4
w
M x
L
2
1
3
4
w
V x
L
2
9 2
2 3
w L
Y x
L
2
2
9 2
4 3
w L
V x
L
3
2
3 2
4 3
w L
M x
L
2. 2MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
1 3 2y w
x L
1
3
2
w
y x
L
1
2
1
3
1
3
2
3
4
4
w
Y x
L
w
V x
L
w
M x
L
1 3 2
2 3 3
y w
x L L
2
9 2
2 3
w L
Y x
L
2
2
2
3
2
9 2
2 3
9 2
4 3
3 2
4 3
w L
Y x
L
w L
V x
L
w L
M x
L
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
3
3
1
2 3 2
3 4 4 3
Y
L w w L
Ma R x P x x x
L L
3. Determinamos
Ma
P
:
2 2 2 3
3 3 2 3 2
Ma L L x L x
x x
P
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:
M M
dx
EI P
,
" "P Carga concentrada ficticia 0P
3
3
1
3 2 2 3
4 4 3 3 2
Y
w w L L x
R x x x dx
L L
3
3
1
3 2 2
4 4 3 3
Y
w w L L
R x x x dx
L L
3
3
1
3 2 3
4 4 3 2
Y
w w L x
R x x x dx
L L
3
3
1
3 2 2
4 4 3 3
Y
w w L L
R x x x dx
L L
3
3
1
3 2 3
4 4 3 2
Y
w w L x
R x x x dx
L L
5. Deflexión en 2, para: 2 3x L
2 3
3 5 4
0
2
12 20 405
x L
x
wL w w
EI x x L
L
2 32 4
2 4
0
2
12 24 81
x L
x
w L w L
x w L
4 4 4 4 4
2 8 2 2
81 1215 405 27 243
wL wL wL wL wL
EI
42
81
wL
426
3645
wL
EI
Rpta.:
4
2 3
26
3645
x L wL
EI
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Método: Castigliano
L
Sen
x
W
L
RESOLUCIÓN
Aplicamos una fuerza imaginaria 0P , en el punto
2.
L
Sen
x
W
L
1YR
1XR
3YR
11
12
13
a
a
aM
Por ESTÁTICA:
3. 3Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
0XF 1 0XR
0YF 1 3 0
Sen 0
L
Y Y
x
R R W dx P
L
1 3
2
Y Y
WL
R R P
...... 1
2 0M 1 3 0
2 2
Y Y
L L
R R
1 3Y YR R 1 3Y YR R ...... 2
Reemplazando (2) en (1):
1 3
2
Y Y
WL
R R P
1 1
2
Y Y
WL
R R P
1
2
2 Y
WL
R P
1 3
2
Y Y
WL P
R R
1. Carga aplicada:
L
Sen
x
W
L
Sen
x
W
L
2
L
2
L
1YR
1YR
1XR
3YR
P
11
12
13
a
a
aM
a
a
aM
x
P
Ecuación del momento en la sección:
1 10
Sen
x
a Y Y
x
V dV R W dx R P
L
1
0
Cos
x
a Y
WL x WL
V R P
L
1
0
Cos
x
a Y
WL x WL
M R P dx
L
2
2
0
Sen
2
x
a
WL P WL x WL x
M x Px
L
2
2
0
Sen
2
x
a
WL P WL x WL x
M x Px
L
2
2
Sen
2
a
WL x Px
M
L
1
0
2
2
Cos
Sen
2
x
a Y
a
WL x WL
V R P
L
WL x Px
M
L
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
2
2
Sen
2
WL x Px
Ma
L
3. Determinamos
Ma
P
:
2
Ma x
P
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:
M M
dx
EI P
,
" "P Carga concentrada ficticia 0P
2
2
20
Sen
2
L WL x x
EI dx
L
4
4
L W
EI
4
4
L W
EI
4
4
1WL
EI
Rpta.:
4
2 4
1
x L
WL
EI
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Método: Castigliano
L
4
L
W
n
RESOLUCIÓN
4. 4MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
Aplicamos una fuerza imaginaria 0P , en el punto
1.
L
4
L
W
n
W
n
2YR 3YR
P
P
a
a
a
a
x
aM
aM
2YR 3YR
Por ESTÁTICA:
0YF
2 3 0
1
Y Y
Wa
R R P
n
2 3
5
1 4
Y Y
W L
R R P
n
...... 1
2 0M
2
2
5
0
4 ( 1)( 2)
Y
L WL
R L P
n n
2
5
4 ( 1)( 2)
Y
WL
R P
n n
2
5
4 ( 1)( 2)
Y
WL
R P
n n
...... 2
Reemplazando (2) en (1):
1 3
4
1 5
Y Y
W L
R R P
n
3
4 5
1 5 4 ( 1)( 2)
Y
W L WL
R P P
n n n
3
4 1 1
1 5 2 4
Y
WL
R P
n n
3
4 1 1
1 5 2 4
Y
WL
R P
n n
1. Carga aplicada:
L
4
L
W
n
W
n
2YR 3YR
P
P
a
a
a
a
x
aM
aM
2YR 3YR
1
1
1
2
1
1
1 2
n
n
n
Y kx
kx
V
n
kx
M
n n
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
2
2
4 1 2
n
Y
L kx
Ma R x P x
n n
3. Determinamos
Ma
P
:
5 5
4 4 4 16
Ma L x L
x x
P
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:
M M
dx
EI P
,
" "P Carga concentrada ficticia 0P
2
2
5
4 1 2 4 16
n
Y
L kx x L
R x dx
n n
2
5
( 1)( 2) 4 1 2 4 16
n
WL L kx x L
x dx
n n n n
5. 5Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
0
5
( 1)( 2) 4 4 16
x WL L x L
x dx
n n
2
0
5
1 2 4 16
n
x kx x L
dx
n n
2 2
0
5 5
( 1)( 2) 4 16 16 64
xWL x L Lx L
x dx
n n
3 2
0
5
1 2 4 16
n n
xk x Lx
dx
n n
3 2 2
2
0
5 5
( 1)( 2) 12 32 32 64
x
WL x L Lx L
x x
n n
4 3
0
5
1 2 4 4 16 3
x
n n
k x Lx
n n n n
3 2
23 5
( 1)( 2) 12 16 64
WL x L L
x x
n n
4 3
1 5
1 2 4 4 16 35 4
n n
n
W x Lx
n n n nL
3 2
23 5
( 1)( 2) 12 16 64
WL x L L
x x
n n
4 3
1 5
1 2 4 4 16 35 4
n n
n
W x Lx
n n n nL
5. Deflexión en 1, para: 0x
0
625
6144 1 2 3 4
x
WL
EI
L n n n
4
30 16
6 3 4
5 25n
n n
0
4
625
6144 1 2 3 4
30 16
6 3 4
5 25
x
n
WL
L n n n
n n
Aplicamos una Fuerza Ficticia " "P en el Punto
2, donde 0P :
6. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
2
2
4 4 1 2
n
Y
L L kx
Ma R x P x
n n
7. Determinamos
Ma
P
:
5
4 4 4 4 4
Ma L L x L
x x
P
8. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:
M M
dx
EI P
,
" "P Carga concentrada ficticia 0P
2
2
4 1 2 4 4
n
Y
L kx x L
R x dx
n n
2
( 1)( 2) 4 1 2 4 4
n
WL L kx x L
x dx
n n n n
0 ( 1)( 2) 4 4 4
x WL L x L
x dx
n n
2
0 1 2 4 4
n
x kx x L
dx
n n
2 2
0( 1)( 2) 4 4 16 16
xWL x L Lx L
x dx
n n
3 2
01 2 4 4
n n
xk x Lx
dx
n n
3 2
2
0
5
( 1)( 2) 12 32 16
x
WL x L L
x x
n n
4 3
0
1 2 4 4 4 3
x
n n
k x Lx
n n n n
3 2
25
( 1)( 2) 12 32 16
WL x L L
x x
n n
3
1
1 2 4 4 35 4
n
n
W x x L
n n n nL
9. Deflexión en 2, para: 4x L
3 2 2
4
4 5
( 1)( 2) 12 32 4 16 4
x L
LWL L L L L
n n
3
1 4 4
1 2 4 4 35 4
n
n
L L
W L
n n n nL
3 3 2
4
5
( 1)( 2) 64 12 4 32 4
x L
LWL L L L L
n n
2
2
5
4 1 2 4 16
n
Y
L kx x L
R x dx
n n
6. 6MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
3
1 4
1 2 4 4 4 35
n
L
W L L
n n n n
3
4
11
( 1)( 2) 1536
x L
WL L
n n
4
3 131
1 2 256 4 3 45
n
nW L
n n n n
4
4
11
1536( 1)( 2)
x L
WL
n n
4
3 13
1024 5 1 2 3 4n
nWL
n n n n
4
4
3 1311
512 3 2 5 1 2 3 4
x L n
nWL
n n n n
4
4
3 1311
512 3 2 5 1 2 3 4
x L n
nWL
EI
n n n n
4
4
3 1311
512 3 2 5 1 2 3 4n
x L
nWL
n n n n
EI
Rpta.:
0
4
625
6144 1 2 3 4
30 16
6 3 4
5 25
x
n
WL
L n n n
n n
II.En el siguiente grupo de ejercicios hiperestáticos
levante el grado de hiperestaticidad y determine
deformaciones en los puntos indicados por los
métodos geométricos y energéticos.
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Método: Castigliano
PROBLEMA NRO.: 4
2
3
L
3
L
W
RESOLUCIÓN
Levantamos el grado de indeterminación o hiperes-
tacidad:
2
3
L
3
L
W
1YR
1
3
2
aM
3YR
3XR
3M
a
aP
Por ESTÁTICA:
0YF 1 3 0
2
Y Y
WL
R R P
1 3
2
Y Y
WL
R R P ...... 1
2 0M 1 3 3
2
0
3 3
Y Y
L L
R R M
1 3 3
2
0
3 3
Y Y
L L
R R M
...... 2
Reemplazando (2) en (1):
3 3 3
2
0
2 3 3
Y Y
WL L L
P R R M
3 3
2
0
2 3 3
Y
WL L L
P R M
1. Por Superposición de cargas:
7. 7Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
2
3
L
3
L
W
1YR
P
11
13
12
W
3
2
W
3
2
W
a
aP
x
aM
aM
1YR
a
a
3YR
3XR
3M
3YR
3XR
3M
1 3 2y w
x L
1
3
2
w
y x
L
1
2
1
3
1
3
2
3
4
4
w
Y x
L
w
V x
L
w
M x
L
1 3 2
2 3 3
y w
x L L
2
9 2
2 3
w L
Y x
L
2
2
2
3
2
9 2
2 3
9 2
4 3
3 2
4 3
w L
Y x
L
w L
V x
L
w L
M x
L
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
3
3
1
2 3 2
3 4 4 3
Y
L w w L
Ma R x P x x x
L L
3. Determinamos
Ma
P
:
2 2
3 3
Ma L L
x x
P
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:
M M
dx
EI P
,
" "P Carga concentrada ficticia 0P
3
3
1
3 2 2
4 4 3 3
Y
w w L L
R x x x x dx
L L
3
2 4
1
3 2
4 4 3
Y
w w L
R x x x x dx
L L
3
3
1
2 2
3 6 2 3
Y
L w w L
R x x x dx
3
2 41 3 2
2 2 4 4 3
wL w w L
x x x x dx
L L
3
31 2 2
2 2 3 6 2 3
wL L w w L
x x x dx
5. Deflexión en 2 , para: 2 3x L
4 4 4
31 2 5
4374 1215 648
WL WL WL
EI
4
199
87480
L
EI
Segundo Teorema de Castigliano:
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
3
3
1
3 2
4 4 3
Y
w w L
Ma R x x x
L L
3. Determinamos
1
Ma
R
:
1Y
Ma
x
R
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:
4199
87480
wL
EI
1
3
2
w
Y x
L
3
1
4
w
M x
L
2
1
3
4
w
V x
L
2
9 2
2 3
w L
Y x
L
2
2
9 2
4 3
w L
V x
L
3
2
3 2
4 3
w L
M x
L
8. 8MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
M M
dx
EI P
,
3
3
1
3 2
4 4 3
Y
w w L
R x x x xdx
L L
3 4 4
1 7
0
3 20 3240
YR L WL WL
4
1
31
216
Y
WL
R
Rpta.:
4
2 3
199
87480
x L wL
EI
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Método: Castigliano
L
Sen
x
W
L
RESOLUCIÓN
Aplicamos una fuerza imaginaria 0P , en el punto
2.
L
Sen
x
W
L
1YR
11
12
13
a
a
aM
P
3YR
3XR
3M
Por ESTÁTICA:
0XF 1 0XR
0YF 1 3 0
Sen 0
L
Y Y
x
R R W dx P
L
1 3
2
Y Y
WL
R R P
...... 1
2 0M 1 3 3` 0
2 2
Y Y
L L
R R M
1 3 3` 0
2 2
Y Y
L L
R R M
...... 2
Reemplazando (2) en (1):
1 3
2
Y Y
WL
R R P
1 1
2
Y Y
WL
R R P
1
2
2 Y
WL
R P
1 3
2
Y Y
WL P
R R
1. Carga aplicada:
L
Sen
x
W
L
Sen
x
W
L
2
L
2
L
1YR
1YR
P
11
12
13
a
a
aM
a
a
aM
x
P
3YR
3XR
3M
3XR
3M
3YR
Ecuación del momento en la sección:
1 10
Sen
x
a Y Y
x
V dV R W dx R P
L
1
0
Cos
x
a Y
WL x WL
V R P
L
1
0
Cos
x
a Y
WL x WL
M R P dx
L
2
2
0
Sen
2
x
a
WL P WL x WL x
M x Px
L
2
2
0
Sen
2
x
a
WL P WL x WL x
M x Px
L
2
2
Sen
2
a
WL x Px
M
L
9. 9Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
1
0
2
2
Cos
Sen
2
x
a Y
a
WL x WL
V R P
L
WL x Px
M
L
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
Sen
2
WL x Px
Ma x L
L
3. Determinamos
Ma
P
:
2
Ma x
P
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:
M M
dx
EI P
,
" "P Carga concentrada ficticia 0P
2
0
Sen
2 2
L WL x Px x
EI x L dx
L
4 4 4 4 4
3 3 4 3
3
48 48 48 4
L W L W L W L W L W
EI
4
3
3 1
16
WL
EI
4
3
3 1 1
16
WL
EI
Segundo Teorema de Castigliano:
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
Sen
2
WL x Px
Ma x L
L
3. Determinamos
1Y
Ma
R
:
1 2Y
Ma x
R
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:
M M
dx
EI P
,
Sen
WL x
x L xdx
L
1 3
3
Y
WL WL
R
Rpta.:
4
2 3
3 1 1
16
x L
WL
EI
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Método: Castigliano
L
W
n
4
L
RESOLUCIÓN
Aplicamos una fuerza imaginaria 0P , en el punto
1.
L
4
L
W
n
W
n
2YR 3YR
P
P
a
a
a
a
x
aM
aM
2YR
3YR
3XR
3M
3XR
3M
3YR
Por ESTÁTICA:
0YF
2 3 0
1
Y Y
Wa
R R P
n
2 3
5
1 4
Y Y
W L
R R P
n
...... 1
10. 10MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
2 0M
2
2 1
5
0
4 ( 1)( 2)
Y
L WL
R L P M
n n
2 1
5
4 ( 1)( 2)
Y
WL
R P M
n n
2 1
5
4 ( 1)( 2)
Y
WL
R P M
n n
...... 2
1. Carga aplicada:
L
4
L
W
n
W
n
2YR 3YR
P
P
a
a
a
a
x
aM
aM
2YR
3YR
3XR
3M
3XR
3M
3YR
1
1
1
2
1
1
1 2
n
n
n
Y kx
kx
V
n
kx
M
n n
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
2
2
4 1 2
n
Y
L kx
Ma R x P x
n n
3. Determinamos
Ma
P
:
5 5
4 4 4 16
Ma L x L
x x
P
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:
M M
dx
EI P
,
" "P Carga concentrada ficticia 0P
2
2
5
4 1 2 4 16
n
Y
L kx x L
R x dx
n n
2
5
( 1)( 2) 4 1 2 4 16
n
WL L kx x L
x dx
n n n n
0
5
( 1)( 2) 4 4 16
x WL L x L
x dx
n n
2
0
5
1 2 4 16
n
x kx x L
dx
n n
2 2
0
5 5
( 1)( 2) 4 16 16 64
xWL x L Lx L
x dx
n n
3 2
0
5
1 2 4 16
n n
xk x Lx
dx
n n
3 2 2
2
0
5 5
( 1)( 2) 12 32 32 64
x
WL x L Lx L
x x
n n
4 3
0
5
1 2 4 4 16 3
x
n n
k x Lx
n n n n
5. Deflexión en 1, para: 0x
0
625
256( 1)( 2) 3 4
x
WL
EI
n n n n
4
11 3 4
8 108 5n
n
0
4
625
256( 1)( 2) 3 4
11 3 4
8 108 5
x
n
WL
n n n n
n
Rpta.:
0
4
625
256( 1)( 2) 3 4
11 3 4
8 108 5
x
n
WL
n n n n
n
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Método: Castigliano
11. 11Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
2
3
L
3
L
W
RESOLUCIÓN
Levantamos el grado de indeterminación o hiperes-
tacidad:
2
3
L
3
L
W
1YR
1
3
2
aM
3YR
3XR
3M
a
aP
1XR
1M
1M
Por ESTÁTICA:
0YF 1 3 0
2
Y Y
WL
R R P
1 3
2
Y Y
WL
R R P ...... 1
2 0M 1 3
2
0
3 3
Y Y
L L
R R
1 3
2
3 3
Y Y
L L
R R
1 32 Y YR R ...... 2
Reemplazando (2) en (1):
1 3
2
Y Y
WL
R R P 3
3
2 2
Y
Y
R WL
R P
33
2 2
YR WL
P 3
3
2 2
Y
WL
R P
,
entonces: 1
1
2 2
Y
WL
R P
1. Por Superposición de cargas:
2
3
L
3
L
W
1YR
P
1
1
13
12
W
3
2
W
3
2
W
a
aP
x
aM
aM
1YR
a
a
3YR
3XR
3M
3YR
3XR
3M
1YR
1M
1 3 2y w
x L
1
3
2
w
y x
L
1
2
1
3
1
3
2
3
4
4
w
Y x
L
w
V x
L
w
M x
L
1 3 2
2 3 3
y w
x L L
2
9 2
2 3
w L
Y x
L
2
2
2
3
2
9 2
2 3
9 2
4 3
3 2
4 3
w L
Y x
L
w L
V x
L
w L
M x
L
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
3
3
1 1
2 3 2
3 4 4 3
Y
L w w L
Ma R x P x x x M
L L
1
3
2
w
Y x
L
3
1
4
w
M x
L
2
1
3
4
w
V x
L
2
9 2
2 3
w L
Y x
L
2
2
9 2
4 3
w L
V x
L
3
2
3 2
4 3
w L
M x
L
12. 12MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
3. Determinamos
Ma
P
:
2 2
3 3
Ma L L
x x
P
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:
M M
dx
EI P
,
" "P Carga concentrada ficticia 0P
3
3
1
3 2 2
4 4 3 3
Y
w w L L
R x x x x dx
L L
3
2 4
1
3 2
4 4 3
Y
w w L
R x x x x dx
L L
3
3
1
2 2
3 6 2 3
Y
L w w L
R x x x dx
3
2 41 3 2
2 2 4 4 3
wL w w L
x x x x dx
L L
3
31 2 2
2 2 3 6 2 3
wL L w w L
x x x dx
5. Deflexión en 2 , para: 2 3x L
3
2 41 3 2
2 2 4 4 3
wL w w L
x x x x dx
L L
3
31 2 2
2 2 3 6 2 3
wL L w w L
x x x dx
431
21870
wL
EI
Segundo Teorema de Castigliano:
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
3
3
1 1
3 2
4 4 3
Y
w w L
Ma R x M x x
L L
3. Determinamos
Ma
P
:
1Y
Ma
x
R
1
1
Ma
M
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:
M M
dx
EI P
,
3
3
1
3 2
0
4 4 3
Y
w w L
R x x x xdx
L L
3
3
1
3 2
1 0
4 4 3
Y
w w L
R x x x dx
L L
Entonces, resolviendo:
1
23
108
Y
WL
R
2
1
5
108
WL
M
Rpta.:
4
2 3
31
21870
x L wL
EI
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Método: Castigliano
L
Sen
x
W
L
RESOLUCIÓN
Aplicamos una fuerza imaginaria 0P , en el punto
2.
1YR
1XR
11
12 3
a
a
aM
P
3YR
3XR
3M
1M
Por ESTÁTICA:
0XF 1 0XR
0YF 1 3 0
Sen 0
L
Y Y
x
R R W dx P
L
1 3
2
Y Y
WL
R R P
...... 1
2 0M 1 3 1 0
2 2
Y Y
L L
R R M
13. 13Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
1. Carga aplicada:
L
Sen
x
W
L
Sen
x
W
L
2
L
2
L
P
12
13
a
a
aM
a
a
aM
x
P
3YR
3XR
3M
3XR
3M
3YR
1YR
1
1XR
1M
1YR
1XR
1M
Ecuación del momento en la sección:
1 10
Sen
x
a Y Y
x
V dV R W dx R P
L
1
0
Cos
x
a Y
WL x WL
V R P
L
1
0
Cos
x
a Y
WL x WL
M R P dx
L
2
2
0
Sen
2
x
a
WL P WL x WL x
M x Px
L
2
2
0
Sen
2
x
a
WL P WL x WL x
M x Px
L
2
2
Sen
2
a
WL x Px
M
L
1
0
2
12
Cos
Sen
2
x
a Y
a
WL x WL
V R P
L
WL x Px
M M
L
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
2
12
Sen
2
WL x Px
Ma M
L
3. Determinamos
Ma
P
:
2
Ma x
P
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:
M M
dx
EI P
,
" "P Carga concentrada ficticia 0P
2
2
120
Sen
2 2
L WL x Px x
EI M dx
L
4
2 2
1 1 1
2 4
WL
EI
Rpta.:
4
2 2 2
1 1 1 1
2 4
x L
WL
EI
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Método: Castigliano
2
3
L
3
L
n
n
W
RESOLUCIÓN
Aplicamos una fuerza imaginaria 0P , en el punto
1.
2
3
L
3
L
n
n
W
3
3YR
3XR
3M
1YR
1
1XR
1M a
a
Por ESTÁTICA:
0YF
2 3 0
1
Y Y
Wa
R R WL P
n
2 3
5
1 4
Y Y
W L
R R P
n
...... 1
2 0M
14. 14MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
2
2
5
0
4 ( 1)( 2)
Y
L WL
R L P
n n
2
5
4 ( 1)( 2)
Y
WL
R P
n n
2
5
4 ( 1)( 2)
Y
WL
R P
n n
...... 2
Reemplazando (2) en (1):
1 3
4
1 5
Y Y
W L
R R P
n
3
4 5
1 5 4 ( 1)( 2)
Y
W L WL
R P P
n n n
3
4 1 1
1 5 2 4
Y
WL
R P
n n
3
4 1 1
1 5 2 4
Y
WL
R P
n n
1. Carga aplicada:
2
3
L
3
L
n
n
W
3
3YR
3XR
3M
1YR
1
1XR
1M a
a
3YR
3XR
3M
1YR
1XR
1M
2 0YR
W
W
2M
aM
a
a
1
1
2
1
2
Y W
V Wx
Wx
M
1
1
1
2
1
1
1 2
n
n
n
Y kx
kx
V
n
kx
M
n n
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
2
2
4 1 2
n
Y
L kx
Ma R x P x
n n
3. Determinamos
Ma
P
:
5 5
4 4 4 16
Ma L x L
x x
P
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:
M M
dx
EI P
,
" "P Carga concentrada ficticia 0P
2
2 1
5
4 1 2 4 16
n
Y
L kx x L
R x M dx
n n
2
2 1
5
4 1 2 4 16
n
Y
L kx x L
R x M dx
n n
0
5
( 1)( 2) 4 4 16
x WL L x L
x dx
n n
2
0
5
1 2 4 16
n
x kx x L
dx
n n
5. Deflexión en 1, para: 0x
3 2
2
0
0 3 5
0 0
( 1)( 2) 12 16 64
x
WL L L
EI
n n
34
5 01 0
1 2 4 4 16 35 4
nn
n
LW
n n n nL
4
12 5 927
13122 ( 1)( 2)( 3)( 4)
nWL
EI n n n n
Rpta.:
4
2 3
12 5 927
13122 ( 1)( 2)( 3)( 4)
x L
nWL
EI n n n n
15. 15Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS Método: Tres Momentos
Código: 120430
III. En los siguientes vigas continuas y marcos simples determinar las reacciones en los apoyos diagrama
de la estructura deformada y diagramada de fuerzas axiales, cortante y momentos por los métodos de
los tres momentos; giros y desplazamientos y rigideces según corresponda.
5Sen
5
x
4 /Ton m 4 / mTon
4m 2m 4m 2m
6m 5m 6m
60cm
30cm
60cm
30cm
15cm
40cm
15cm
RESOLUCIÓN
5Sen
5
x
4 /Ton m 4 / mTon
4m 2m 4m 2m
6m 5m 6m
60cm
30cm
60cm
30cm
15cm
40cm
15cm
0L 1L 2L 3L 4L
16. 1. Determinamos las constantes de carga:
)A
2
3
L
3
L
W
)B
L
Sen
x
W
L
Tenemos:
.a De Área de Momentos, se obtiene:
2
3
L
3
L
W
1YR
2
4
WL
1YR L
3YR
2
36
WL
Por ESTÁTICA:
0YF 1 3 0
2
Y Y
WL
R R
1 3
2
Y Y
WL
R R
2 0M 1 0
2 3
Y
WL L
R L
1
6
Y
WL
R 1
6
Y
WL
R ...... 1
.b Determinamos centroides:
Área cx dx
1
2
1 1
2 2
Y YR L R L
L
2
3
L
3
L
2
2 3
4 3 1 16
WL L WL
4
5
L
5
L
3
2 3
1
36 3 1 3 432
WL L WL
4
15
L
15
L
.c Determinamos
6Aa
L
y
6Ab
L
:
2 3 3
16 6 2 4 4
2 3 16 5 432 15
YR LAa L WL L WL L
L L
,
3 4 4
16 6
3 20 1620
YR LAa WL WL
L L
,
3 4 4
6 6
6 3 20 1620
Aa WL L WL WL
L L
,
4 4 4 4
6 6 6
18 20 1620 162
Aa WL WL WL WL
L L L
,
3
6
27
Aa WL
L
2 3 3
16 6
2 3 16 5 432 15
YR LAb L WL L WL L
L L
,
3 4 4
16 6
6 80 6480
YR LAb WL WL
L L
,
3 4 4
6 6
6 6 80 6480
Ab WL L WL WL
L L
,
4 4 4 4
6 6 6 5
36 80 6480 324
Ab WL WL WL WL
L L L
,
17. 17Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
3
6 5
54
Ab WL
L
,
.a De Área de Momentos, se obtiene:
L
Sen
x
W
L
2
2
Sen
WL x
L
2
L
2
L
1YR
1YR
3YR
Por ESTÁTICA:
0YF 1 3 0
Sen 0
L
Y Y
x
R R W
L
1 3
0
2
Cos
2
L
Y Y
WL x WL
R R
L
Por Simetría: 1 3Y YR R
1
2 1
2
Y
WL
R
1Y
WL
R
...... 1
.b Determinamos centroides:
Área cx dx
1
3
3
WL
L
L
2
3
3
WL
2 2
L L L
2 2
L L L
.c Determinamos
6Aa
L
y
6Ab
L
:
3 3
3 3
6 6
2 2
Aa WL L WL L L L
L L
,
3 3
3 3
6 6Aa WL L WL L
L
L L
,
4
4
6 6Aa WL
L L
4 4
3 4
WL WL
4 3
3 3
6 6WL WL
L
,
3
3
6 6Aa WL
L
Por Simetría:
6 6Aa Ab
L L
3
3
6 6 6Aa Ab WL
L L
2
3
L
3
L
W
3
6
27
Aa WL
L
3
6 5
54
Ab WL
L
L
Sen
x
W
L
3
3
6 6 6Aa Ab WL
L L
Por Tres Momentos:
Considerando dos apoyos ficticios (Apoyo 0 y Apoyo
5), ya que existen dos empotramientos es posible:
18. 18MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
5Sen
5
x
4 /Ton m 4 / mTon
4m 2m 4m 2m
6m 5m 6m
0L 1L 2L 3L 4L
1. TRAMO 0 – 1:
0 0
0 0 1 0 1 2 1
6 6
2 0
Aa Ab
M L M L L M L
L L
Como en el Tramo 0 -1 los factores:
06
0
Aa
L
y 0 0M
0 0M L 1 02M L 0
1 2 1
6Aa
L M L
L
06
0
Ab
L
0
1 2
6
2 6 6 0
Ab
M M
L
, entonces:
33
0
4 66
32
27 27
Ab WL
L
1 212 6 32 0M M ...... 1
2. TRAMO 1 – 2:
0 0
1 1 2 1 2 3 2
6 6
2 0
Aa Ab
M L M L L M L
L L
0 0
1 2 3
6 6
6 2 6 5 5 0
Aa Ab
M M M
L L
0 0
1 2 3
6 6
6 22 5 0
Aa Ab
M M M
L L
, entonces:
33
0
5 4 66 5
80
54 54
Aa WL
L
3 3
0
3 3 3
6 6 6 5 5 3750Ab WL
L
1 2 3 3
3750
6 22 5 80 0M M M
...... 2
3. TRAMO 2 – 3:
0 0
2 2 3 2 3 4 3
6 6
2 0
Aa Ab
M L M L L M L
L L
0 0
2 3 4
6 6
5 2 5 6 6 0
Aa Ab
M M M
L L
0 0
2 3 4
6 6
5 22 6 0
Aa Ab
M M M
L L
, entonces:
3 3
0
3 3 3
6 6 6 5 5 3750Aa WL
L
33
0
4 66
32
27 27
Ab WL
L
2 3 4 3
3750
5 22 6 32 0M M M
...... 3
4. TRAMO 3 – 4:
0 0
3 3 4 3 4 5 4
6 6
2 0
Aa Ab
M L M L L M L
L L
Como en el Tramo 4 -5 (Tramo ficticio) los factores:
5 56 6
0
Aa Ab
L L
y 5 0M
3 4 46 2 6M M L 5 4M L 0 06 6Aa Ab
L L
0
0
3 4
6
6 12 0
Aa
M M
L
, entonces:
33
0
5 4 66 5
80
54 54
Aa WL
L
3 46 12 80 0M M ...... 4
De (1), (2), (3) y (4):
1
3
2
3
3
4
32
12 6 0 0 3750
80
6 22 5 0
0 5 22 6 3750
32
0 0 6 12
80
M
M
M
M
1
2
3
4
1.722
8.777
3.636
4.848
M
M
M
M
5. Cálculo de reacciones:
Tramo 1 – 2:
2
3
L
3
L
4 /Ton m
1YR 2YR
8.7771.722
19. 19Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
Por ESTÁTICA:
0YF
1 2
4 6
0
2
Y YR R
1 2 12Y YR R 1 212Y YR R ...... 1
2 0M
1 2
2 6 6
1.722 8.777 0
3 3
Y YR R
1 24 2 7.055 0Y YR R ...... 2
Reemplazando (1) en (2):
26 40.945 0YR 2
40.945
6.824
6
YR
1 12 6.824 5.176YR 1 5.176YR
Tramo 2– 3:
L
5Sen
5
x
2YR
3YR
8.777 3.636
Por ESTÁTICA:
0YF 2 3
2
0Y Y
WL
R R
2 3
2 5 5
Y YR R
2 3
50
Y YR R
...... 1
2 0M (Momento en el centro de la luz)
2 3 8.777 3.636 0
2 2
Y Y
L L
R R
2 35 5 5.141 0Y YR R 2 35 5.141Y YR R
2 3
5.141
5
Y YR R ...... 2
Reemplazando (1) en (2):
2
50 5.141
2
5
YR
2 7.444YR
3
50
7.444 8.471YR
3 8.471YR
Tramo 1 – 2:
2
3
L
3
L
4 /Ton m
3YR 4YR
4.8483.636
Por ESTÁTICA:
0YF
3 4
4 6
0
2
Y YR R
3 4 12Y YR R 3 412Y YR R ...... 1
2 0M (Momento en el centro de la luz)
3 4
2 6 6
3.636 4.848 0
3 3
Y YR R
3 44 2 1.212 0Y YR R ...... 2
Reemplazando (1) en (2):
46 46.788 0YR 4
46.788
7.798
6
YR
3 12 7.798 4.202YR 3 4.202YR
6. Finalmente:
1 5.176YR Ton
2 6.824 7.444 14.268YR Ton
3 8.471 4.202 12.673YR Ton
4 7.798YR Ton
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Método: Giros y Desplazamientos
2
4 /Ton m
6 Ton
6 Ton
2m
1m
1m
2m5m4m
8 /Ton m
4 /Ton m
20. 20MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
1. Por Superposición de cargas:
L
2W
W
a
a
x
3YR
3XR
3M
1YR
1XR
1M
Levantamos el grado de libertad:
1 3 2
2 3 3
y w
x L L
2
9 2
2 3
w L
Y x
L
1
2
1
3
2
1
2
6
Wx
Y W
L
Wx
V Wx
L
Wx
M Wx
L
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
3
2
1 1
6
Y
Wx
Ma R x M Wx
L
3. Determinamos
1Y
Ma
R
y
1
Ma
M
1Y
Ma
x
R
y
1
1
Ma
M
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:
1Y
M Ma
dx
EI R
,
1
M Ma
dx
EI M
3
2
1 1
6
Y
Wx
R x M Wx x dx
L
4
2 3
1 1
6
Y
Wx
R x M x Wx dx
L
2 4 5
31 1
0
0
3 2 8 30
L
YR M x Wx Wx
x
L
3 2 4 4
1 1
0
3 2 8 30
YR L M L WL WL
...... 1
3
2
1 1 1 0
6
Y
Wx
R x M Wx dx
L
3
2
1 1 0
6
Y
Wx
R x M Wx dx
L
2 3 4
1
1
0
0
2 2 24
L
YR x Wx Wx
M x
L
2 3 3
1
1 0
2 2 24
YR L WL WL
M L ...... 2
5. De (1) y (2), se obtiene:
1
2
1
13
20
103
120
Y
WL
R
WL
M
5. Por Estática:
3
2
3
43
20
7
8
Y
WL
R
WL
M
1. Por Superposición de cargas:
L
a
a
x
3YR
3XR
3M
1YR
1XR
1M
P P
2
L
2
L
Levantamos el grado de libertad:
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
1 1
3
4 4
Y
L L
Ma R x M P x P x
3. Determinamos
1Y
Ma
R
y
1
Ma
M
1Y
Ma
x
R
y
1
1
Ma
M
21. 21Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:
1Y
M Ma
dx
EI R
,
1
M Ma
dx
EI M
1 1
3
4 4
Y
L L
R x M P x P x x dx
2
1 1
3
4 4
Y
L L
R x M x Px x Px x dx
2
1 1
3
4 4
Y
L L
R x M x Px x Px x dx
3 2 3 3
1 1 5
0
3 2 24 24
YR L M L PL PL
...... 1
1 1
3
1
4 4
Y
L L
R x M P x P x dx
1 1
3
4 4
Y
L L
R x M P x P x dx
2 2 2
1
1 0
2 4 4
YR L PL PL
M L ...... 2
5. De (1) y (2), se obtiene:
Por Simetría:
1 3
1 3
2
Y YR R P
PL
M M
2
L
2
L
n
n
W
3YR
3XR
3M
1YR1XR
1M
a
a
x
2
1 3
4
12 1 3
n n WL
M M
n n
L
2W
1W
a
x
3YR
3XR
3M
1YR
1XR
1M
a
22
2 11
1
12 30
W W LW L
M
22
2 11
3
12 20
W W LW L
M
Sean las ecuaciones de giros y desplazamientos:
6
4 2ij ij ij i j
ij
M M K
l
6
2 4ji ji ji i j
ij
M M K
l
Determinando la rigideces relativas:
Considerando: 20I
12
23
24
45
20 / 4 5
20 / 4 5
20 / 5 4
20 / 4 5
K
K
K
K
Tenemos:
12
336
55
M 21
1312
165
M
23 12M 32 12M
24
425
33
M 42
150
11
M
45
16
15
M 54
16
15
M
Planteamiento de ecuaciones
12 1
336
5 4
55
M 2
6
2
ijl
2
336
10
55
21 1
1312
5 2
165
M
2
6
4
ijl
2
1312
20
165
23 2 3 2 3
6
12 5 4 2 12 20 10
ij
M
l
23. Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS Método: Trabajo Virtual
Código: 120430
IV. Para las armaduras mostradas determine los grados de libertad en todos los puntos por los métodos
de trabajo virtual y castigliano. NOTA: Si la armadura es hiperestática levante su grado de
indeterminación.
2 Ton
4 Ton 4 Ton
5m
2m
4m 4m
De la figura, se obtiene:
2 Ton
4 Ton 4 Ton
5m
2m
2m 2m 2m 2m
1YR 5YR
5XR1XR
26. 26MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
3_4 6.403
7.430
-0.762 1.976 -0.302 2.823 0 -3.764 0.575 -5.378 0.0
3_5 -3.019 0.904 -0.710 2.892 0 -17.475 13.725 -55.904 0.0
4_5 -3.590 -1.678 1.319 -2.398 0 44.758 -35.183 63.964 0.0
Nodo 5:
1
5
XS S L
u
EA
1.083
u
EA
3
1.3528 10u
1
5
YS S L
v
EA
0
v
EA
0v
TENSIONES COMBINADAS
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Tema: T.C.
V. Para el elemento mostrado, halle el rango de
valores de xy para el cual el esfuerzo cortante
máximo en el plano es igual o menor que 20 .ksi
8ksi
16ksi
xy
Mediante el Círculo de Morh, ubicamos los esfuerzos,
el punto se sitúa en el R.
El radio de los círculos limitante es 20Ksi:
8ksi
16ksi
1C 2C
D
1x 2x
R
Sea 1C la ubicación del radio del círculo que limita
más a la izquierda y 2C sea el de la derecha.
1 20C R ksi y 2 20C R ksi
Además 1C DR y 2C DR son triángulos rectángulos:
2 2 2
1 1C D DR C R
2 2 2
1 8 20C D
1 4 21C D ...... 1
Coordenadas del punto 1C :
1 0,16 4 21 0, 2.330C ksi
Coordenadas del punto 2C :
2 0,16 4 21 0,34.330C ksi
Asimismo:
Coordenadas del punto 1x :
1 2.330 4 21, 8 20.660 , 8x ksi ksi
Coordenadas del punto 2x :
2 34.330 4 21, 8 52.660 , 8C ksi ksi
27. 27Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
El punto ,xy xy debe encontrarse en la línea
1 2x x : 20.660 52.660xyksi ksi
Rpta.: 20.660 52.660xyksi ksi
COLUMNAS
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS
Código: 120430 Tema: Columnas
VI. Un marco consta de 4 elementos en L
conectados por cuatro resortes torsionales de
constante K, cada uno. Si se aplican fuerzas P
iguales en A y D halle la carga crítica crP para el
sistema
P P
A
E
B
F
C
D
G
H
k
k k
k
2
L
2
L
2
L
2
L
Sea " " la rotación del elemento en forma de L
Cambio de ángulo a través de cada resorte de
torsión es 2
A
E
B
F
C
D
G
H
k k
k
2
L
2
L
2
L
2
L
Tenemos:
2k
E
A
H
P
P
2k
El radio de los círculos limitante es 20Ksi:
2 2
L L
x Sen y 2 20C R ksi
Además 0EM
2 2 0k k Px 4Px k
4k
P
x
Entonces
8
cr
k
P
L
Rpta.:
8
cr
k
P
L