Ecuación de una parábola

1. 1
e r
K
I
M’ M
F
K E
A B z
med(FB)
y
M
F
O x
z
PARÁBOLA
PARÁBOLA: Dados en un plano una recta y un punto que no le pertenece, llamamos parábola al lugar
geométrico de los puntos del plano que equidistan de la recta y del punto.
• La recta recibe el nombre de directriz de la parábola y la notaremos con z.
• El punto recibe el nombre de foco de la parábola y lo notaremos con F.
• M ∈ P ⇔ d(M, F) = d(M, z)
Definición: M es interior a P ⇔ d(M, F) < d(M, z) ; M es exterior a P ⇔ d(M, F) > d(M, z)
Construcción: Sea e, e⊥z ∧ F∈e ⇒ e ∩ z = {A}
¿Existe algún punto de e que pertenezca a P ?
Sea V, V punto medio del segm. AF, V∈ P pues:
d(V, F) = d(V, z)
Consideremos r, r ⊥z , ¿(∃M), M∈r / M∈ P ?
{ }
M d(M,F) = d(M,z)
d(M,B)=d(M,F)
r z= B d(M,z) = d(M,B)
M med(FB)
∈ ⇒
⇒
∩ ⇒
⇒ ∈
P
Por lo tanto por cada recta perpendicular a la
directriz de una parábola hay un punto, y solo uno,
de ella.
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
Definición: Dada una parábola P, llamamos parámetro de la misma, a la distancia entre el foco y la directriz
de la parábola. Notación: p, p∈ℜ+, parámetro de P ⇔ p = d(F, z)
1) Ecuación de la parábola de eje Oy (Ox) y vértice O(0, 0).
Datos:
p
2
p
2
F(0, )
z) y = −



Sea M(x, y), M ∈ P ⇔ d(M, F) = d(M, z)
2 2 2 2 2
2 2
p
2p p p
2 2 2
y+
(x-0) (y- x +(y- (y+ )
0 +1
) )⇔ + ⇔= =
2 2 2
p 0
1
x - py =py y = x y = ax a 0
2p≠⇔ ≠←→ ⇔
F(0, 1/4a) y de la recta fija z) y + 1/4a =0.
Observaciones:
o ¿ 21
y= x
8
es la ecuación de una parábola? Sí, de eje Oy, vértice O(0, 0), foco F(0, 2) y
directriz z) y+2=0.
o Si a>0 → la curva presenta concavidad positiva
Si a<0 → la curva presenta concavidad negativa.
o Haciendo una simetría de eje la recta que contiene la bisectriz del primer cuadrante (ecuación y = x),
obtenemos la ecuación de la parábola de eje Ox y vértice O(0, 0):
2 1 1
) x=ay foco F( , 0), direct riz z) x+ = 0 y, por supuest o, ejeOxy ve´rt iceO(0, 0)
4a 4a
→P

2. 2
y y ’
y y ‘ M(x, y)
y0
O’ x’ x’
O x0 x x
y
y’ P
y0 V x’
O x0 x
Traslación de ejes.
Sea un punto M(x, y) referido a un sistema xOy; queremos
hallar las coordenadas de ese punto pero referidas al sistema
x’O’y’, vale decir M(x’, y’)
Conocemos las coordenadas del punto O’ en el sistema xOy:
O’(xO, yO) ⇒
00
0 0
x= x' xx' = x x
o
y' = y y y = y' y
+−
− +

 
 
2) Ecuación de la parábola de eje paralelo a Oy (Ox).
La ecuación de la parábola P, de eje paralelo a Oy (x=x0) y vértice
V(xO, yO),referida a los ejes cartesianos x’O’y’ es P) y’ = ax’2.
Queremos la ecuación de esta parábola pero referida a los ejes xOy:
0 2
0 0
0
2 2
0 0 0
x' = x x
) (y y ) = a(x x )
y' = y y
) y = ax 2ax x+ (ax +y )
−
− −
−
−

⇒

⇒
P
P
Resulta ser entonces una ecuación del tipo y = ax2 + bx + c.
Para hallar los elementos de esta parábola (referido a los ejes cartesianos xOy) debemos conocer xO, yO
en función de a, b y c:
0 0
2 2
2 2
0 0 0 0 0 0
b
2ax = b x
2a
b 4ac b
ax +y = c y c ax y c a y
2a 4a
− ⇒ −
−
⇒ − ⇒ − − ⇒
 =


  = = =   
Por lo tanto:
P) y = ax2
P) y = ax2
+ bx + c
Vértice V(0, 0)
V(x0, y0) → V(
2
b 4ac b
,
2a 4a
−
− )
Eje e) x = 0
e) x = x0 → e) x =
b
2a
−
Foco
F(0,
1
4a
) F(
2
b 4ac b +1
2a 4a
,
−
− )
Directriz
z) y = -
1
4a
z) y =
2
4ac b 1
4a
− −
Podaria p) y = 0
p) y =
2
4ac b
4a
−
Observación: la ecuación de la parábola de eje paralelo a Ox es P) x = ay2
+ by + c.
3) Ecuación de la parábola de eje cualquiera.
Hallaremos la ecuación de una parábola P de foco F(α, β) y directriz z) y = mx + n; el único caso que no queda
incluido es la ecuación de la parábola de directriz paralela a Oy (eje paralelo a Oy) pero ya fue estudiado.
Sea M(x, y), M ∈ P ⇔ d(M, F) = d(M, z)

3. 3
2 2 2 2 2 2
2 2
mx y n
(x ) +(y ) = (m 1). (x ) +(y ) = (mx y n)
m ( 1)
α β α β
+
⇔ ⇔ + +
+
−
− −  − −  − 
−
que es
una ecuación del tipo: Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 donde A = 1, B = 2m y C = m2
(calcular D, E y F).
Es decir que la ecuación de una parábola de eje cualquiera es del tipo Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 con A, B y C
calculados o un múltiplo de ellos; hallemos B2
– 4AC con A = k, B = 2mk y C = m2k:
2 2 2 2 2
B 4AC= (2mk) 4(k)(m k) = 4m k 4m k = 0−− −
Por lo tanto: 1º) La ecuación de toda parábola es Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 con B2
– 4AC = 0.
2º) La parábola es una cónica descentrada.
¿Los puntos del plano cuyas coordenadas verifican una ecuación del tipo es Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 con B2
– 4AC = 0, pertenecen a una parábola? Para contestar esta pregunta analicemos lo siguiente:
Sean
r) ax+ by + c = 0
(ax+ by + c)(a'x+ b'y + c') = 0
r) a'x+ b'y + c' = 0

⇒

que es una ecuación del tipo Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 donde
A = aa'
B = ab'+a'b
C= bb'
calculemos
2 2 2
B 4AB = (ab'+a'b) 4(aa')(bb') = (ab' a'b)− − − por lo tanto B2
– 4AC = 0 ⇔ ab’ – a’b = 0 ⇔ r || r’
Entonces: el “producto de dos recta paralelas” se comporta como si fuera una parábola (o dicho de otra forma: la
parábola degenera en dos rectas paralelas). Al mismo tiempo contestamos la pregunta anterior:
B2
– 4AC = 0 NO es condición suficiente para que Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0
sea la ecuación de una parábola.
Antes, se pidió que se calcularan los coeficientes D, E y F de la ec. de una parábola:
2
2
2 2 2 2
D= 2 (m + 1) 2mn
E= 2 (m + 1) + 2n
F= (m +1)( ) n
α
β
α β
− −
−
+ −
Este sistema, conocidos D, E y F, es de tres ecuaciones con cuatro incógnitas. Si pudiéramos conocer una de las
incógnitas a priori, nos quedaría un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y podríamos así hallar los elementos
de la parábola cuya ecuación conocemos.
Dirección del eje de una parábola
Supongamos que queremos saber la posición de una recta r relativa a una parábola P, para eso debemos resolver el
sistema:
2 2
2 2 2 2
) Ax + Bxy + Cy + Dx+ Ey + F = 0
Ax + Bm'x + Cm' x + Dx+ Em'x+ F = 0
r) y = m'x
(A+ Bm' +
⇒

⇒

⇒
P
2 2
Cm' x + (D+ Em')x+ F = 0)
Si esta última ecuación:
no tiene raíces reales decimos que r es exterior a P,
tiene una sola raíz real decimos que r es tangente a P,
tiene dos raíces reales decimos que r es secante a P.
pero esta ecuación no siempre es de segundo grado, por lo tanto tenemos otra posibilidad para r: una recta que tiene un
solo punto (simple, no de tangencia) con la parábola; estas rectas son rectas paralelas al eje. Entonces:
Cm 2
+ Bm’ + A = 0 ⇔
2
2
B 4AC=0B ± B 4AC B
m' = m' =
2C 2C
−− − −
→ por lo tanto el coeficiente angular de la directriz
es m =
2C
B
o m =
B
2A
(ya que B2 – 4AC = 0).
Observación: Si A = 0, como B2
– 4AC = 0 concluimos que B = 0 ⇒ P) Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 quedaría (en caso de
no degenerar) la ecuación de una parábola de eje paralelo a Oy.