En esta presentación se habla un poco sobre algunos sistemas numéricos precursores de nuestro sistema decimal.

1. Sistemas de
numeración
Profesor Gerardo Ignacio Bonilla Alfonso
Licenciado en Matemáticas con Especialización en
Métodos Estadísticos y Magíster(c) en Estadística Aplicada
Aritmética
NIVEL: Bachillerato

2. Sistemas egipcio, babilónico y romano.
Sistemas numéricos

3. Un viejo problema…
Uno de los problemas más antiguos que ha enfrentado la
humanidad, es lograr una correcta comunicación entre
iguales.
¿Cómo lo resolvió?

4. Creó símbolos y códigos…
Creó códigos orales y escritos para comunicarse.
Nace el lenguaje
(Conjunto de sonidos y símbolos escritos que se
ordenan según reglas determinadas (código), y que
son empleados para comunicarse)

5. ¿Qué dijo?
Por ejemplo, lean el siguiente código:
erbmon ut se lauc
¿Qué significado tiene?

6. Debemos conocer los símbolos y códigos…
Claramente no tiene significado para ti, pues no se te indicó la forma
en que se iban a codificar los símbolos que ya conoces (letras). Ahora
léelo de derecha a izquierda…
erbmon ut se lauc
cual es tu nombre

7. En resumen…
Es de suma importancia conocer los símbolos y
sonidos que conforman los lenguajes para
poder realizar una correcta comunicación entre
iguales.

8. Otro problema…
¿Qué símbolos usarían para cuantificar
bienes, personas, impuestos, pérdidas,
etc.?

9. Todo surge a través de conteos...
Hace aproximadamente 10,000, en el Oriente Próximo, ya se
llevaba un registro de los habitantes y de los bienes con que
contaban usando fichas de arcilla para representarlos (conos,
esferas, huevos, cilindros, discos y pirámides). Cada figura
representaba un bien, por ejemplo, las esferas: a las fanegas de
grano, los cilindros: animales, los huevos: jarras de aceite, etc.

10. Todo surge a través de conteos...
El problema es que dichas figuras eran fácilmente falsificables,
por lo cual, se guardaron en vasijas que se debían romper para
ver su contenido y continuar con el registro, lo cual claramente
era muy complicado. Dado lo anterior, idearon dibujar en las
vasijas los elementos que contenían (enlistarlos), facilitando el
proceso de registro y conteo de bienes.

11. Todo surge a través de conteos...
Aun con los avances mostrados, era tedioso dibujar
cada figura en las vasijas, situación que llevó a
modificar los dibujos usando sólo líneas para dar
seguimiento al registro (marcas de cuenta).

12. Todo surge a través de conteos...
Evidencias halladas:
•29 muescas grabadas en un hueso de pata de babuino (tienen unos
37,000 años) halladas en las montañas de Lebombo (frontera de
Suazilandia y Sudáfrica) en la llamada “cueva de la frontera”.
Se cree que las marcas
representan los días de
un mes.

13. Todo surge a través de conteos...
•Hueso de lobo hallado en la antigua Checoslovaquia en
1937 por el arqueólogo checo Karel Absolon (tiene unos
30,000 años). Presenta 57 marcas ordenadas en 11
grupos de 5 marcas con 2 sobrantes que se piensa,
representan un registro lunar de dos meses.

14. Todo surge a través de conteos...
•El hueso de Ishango (un peroné de babuino) hallado en
Zaire por Jean de Heinzelin de Braucourt en 1960 (tiene
unos 25,000 años). El arqueólogo Alexander Marshack
cree que las marcas halladas representan un calendario
lunar de 6 meses además de la tabla de números primos
más antigua de la humanidad.

15. Nacen los Sistemas de numeración…
Al seguir tratando de sintetizar la representación de
cantidades, gracias a la creatividad humana, nacen los
numerales o números (símbolos para representar
cantidades), los cuales conformaron diferentes sistemas
numéricos.

16. Sistema numérico egipcio (Aprox. 3050 a.C.)
Sistemas numéricos

17. Sistema numérico Egipcio
Es un sistema “aditivo” de base 10, compuesto por
diferentes símbolos que representaban a los números: 1,
10, 100, 1,000, 10,000, 100,000 y 1,000,000.
Aunque era fácil representar cantidades enteras positivas,
las cosas se complicaban cuando expresaban fracciones.

18. Sistema numérico Egipcio (Enteros)
Símbolo Valor Nombre
1 Vara o bastón
10
Talón o
herradura
invertida
100
Cuerda
enrollada
1,000 Flor de loto
Símbolo Valor Nombre
10,000 Dedo
100,000
Pájaro (o
rana o pez)
1,000,000
Hombre
arrodillado
con brazos
levantados (u
hombre
asustado)

19. Sistema numérico Egipcio (Enteros)
Ejemplos: Número egipcio Número arábigo
123
12
12,021
1,200,000

20. Sistema numérico Egipcio (Fracciones)
Se colocaba el símbolo encima de los enteros para expresar
fracciones de la forma 1/n. Por ejemplo, 1/12 quedaría
representado por:
Además, contaban con símbolos especiales para determinadas
fracciones.

21. Sistema numérico Egipcio (Fracciones)
Símbolo Valor
1/8
1/2
1/4
Fracciones especiales
formadas por partes
del ojo de la cobra (o
de Horus).
Ojo completo
Símbolo Valor
1/16
1/64
1/32

22. Sistema numérico Egipcio (Fracciones)
Símbolo Valor
1/2
2/3
3/4
Otros símbolos especiales
para expresar fracciones: El problema de la representación de fracciones consistía en
que éstas se expresaban empleando figuras distintas, lo
cual era bastante complicado. Por ejemplo:
Fracción Correcto Incorrecto
7
12
7
12
=
1
3
+
1
4
7
12
=
1
12
+
1
12
+
1
12
+
1
12
+
1
12
+
1
12
+
1
12

23. Sistema numérico babilónico (Aprox. 2,000 a.C.)
Sistemas numéricos

24. Sistema numérico Babilónico
Los sumerios crearon una forma de escritura cuneiforme (en forma
de cuña) hacia el año 3000 a.C., usando un estilete seco con un
extremo plano y afilado, el cual tuvo una gran influencia en la
numeración babilónica (o mesopotámica), después de que ésta se
transfirió a los pueblos que conformaron Mesopotamia.
Este sistema es posicional de base 60 (sexagesimal) para números
mayores que 59, pero aditivo del 1 al 59.

25. Sistema numérico Babilónico
Se realizaba con dos clases
diferentes de cuñas: una delgada
y vertical para representar al 1 y
una cuña gruesa horizontal para
el número 10.

26. Sistema numérico Babilónico
Las cuñas delgadas se
ordenaban en grupos
para conformar los
números de 2 a 9 y las
gruesas para formar los
números de 20 a 50,
hasta llegar al 59.

27. Sistema numérico Babilónico
Para formar número superiores a 59, se disponían los números en
columnas, similar a la forma en que ordenamos las cifras actualmente
usando la numeración arábiga, considerando que el cero se representaba
por el símbolo . Por ejemplo 61 y 60 se escribían como sigue:
1𝑥601
+ 1𝑥600
=61
1𝑥601
+ 0𝑥600
=60

28. Sistema numérico Babilónico
Los babilónicos ya usaban decimales como actualmente lo
hacemos, sólo que no usaban un punto, sino un punto y
coma “;”. Por ejemplo:
3𝑥601
+ 1𝑥600
+ 1𝑥60−1
=181.01666666…
;

29. Sistema numérico Babilónico
Otro ejemplo:
Otros usos que tiene el sistema sexagesimal es el tiempo (horas, minutos y segundos),
además de la medición de ángulos (grados, minutos y segundos).
;
7𝑥602 + 3𝑥601 + 0𝑥600 + 4𝑥60−1 + 1𝑥60−2 = 25380.066944444443

30. Sistema numérico romano (Aprox. 750 a.C.)
Sistemas numéricos

31. Sistema numérico Romano
Este es un sistema numérico desarrollado en la Antigua Roma.
Está conformado por un conjunto de números representados por
letras mayúsculas que se codifican usando símbolos, que en
algunos casos, se suman a valores base, o a sí mismos, y en otras
ocasiones, se restan, por lo cual, se dice que es un sistema aditivo
y también sustractivo.

32. Sistema numérico Romano
Ejemplo:
El símbolo I corresponde al 1.
Para expresar a 3, se escribe dicho símbolo 3 veces. Esto
es:
Número 3: I I I (Por esta razón se denomina aditivo)

33. Sistema numérico Romano
Ejemplo:
El símbolo VI corresponde al 6, pues el múltiplo de 5
que aparece es justamente 5 (V), y a su derecha
aparece el 1 (I), con lo cual, debemos sumar 5+1,
obtendiendo 6.

34. Sistema numérico Romano
Ejemplo:
El símbolo V corresponde al 5. Cuando escribimos unos (hasta un máximo de
3) a su derecha, éstos se suman al 5 para formar al número: Número 6: VI;
Número 7: VII; Número 8: VIII.
Pero, si se escribe I a la izquierda de 5 (hasta un máximo de 1), éste se resta
formando al número 4 (por esta razón se llama a este sistema sustractivo).
Número 4: IV

35. Sistema numérico Romano
Existen más símbolos base (5, 10, 50, 100, etc.),
a los cuales se les adiciona o se les restan otros,
para ir conformando toda la numeración.
Como se verá en la siguiente diapositiva.

36. Sistema numérico Romano
Otros ejemplos:
Número
arábigo
Número
Romano
9 IX
10 X
11 XI
12 XII
13 XIII
Número
arábigo
Número
Romano
40 XL
48 XLVIII
50 L
51 LI
60 LX
Número
arábigo
Número
Romano
400 CD
500 D
600 DC
900 CM
1000 M

37. Sistema numérico Romano
A continuación se te presenta una lista
más completa de la numeración
romana.

38. Números
romanos
entre
1
y
20,000
1 31 XXX I 61 LX I 91 XC I 121 CXX I 200 CC
2 32 XXX II 62 LX II 92 XC II 122 CXX II 300 CCC
3 33 XXX III 63 LX III 93 XC III 123 CXX III 400 CD
4 34 XXX IV 64 LX IV 94 XC IV 124 CXX IV 500 D
5 35 XXX V 65 LX V 95 XC V 125 CXX V 600 DC
6 36 XXX VI 66 LX VI 96 XC VI 126 CXX VI 700 DCC
7 37 XXX VII 67 LX VII 97 XC VII 127 CXX VII 800 DCCC
8 38 XXX VIII 68 LX VIII 98 XC VIII 128 CXX VIII 900 CM
9 39 XXX IX 69 LX IX 99 XC IX 129 CXX IX 1,000 M
10 40 70 100 130 2,000 MM
11 X I 41 XL I 71 LXX I 101 C I 131 CXXX I 3,000 MMM
12 X II 42 XL II 72 LXX II 102 C II 132 CXXX II 4,000
13 X III 43 XL III 73 LXX III 103 C III 133 CXXX III 5,000
14 X IV 44 XL IV 74 LXX IV 104 C IV 134 CXXX IV 10,000
15 X V 45 XL V 75 LXX V 105 C V 135 CXXX V 20,000
16 X VI 46 XL VI 76 LXX VI 106 C VI 136 CXXX VI
17 X VII 47 XL VII 77 LXX VII 107 C VII 137 CXXX VII
18 X VIII 48 XL VIII 78 LXX VIII 108 C VIII 138 CXXX VIII
19 X IX 49 XL IX 79 LXX IX 109 C IX 139 CXXX IX
20 50 80 110 140
21 XX I 51 L I 81 LXXX I 111 CX I 141 CXL I
22 XX II 52 L II 82 LXXX II 112 CX II 142 CXL II
23 XX III 53 L III 83 LXXX III 113 CX III 143 CXL III
24 XX IV 54 L IV 84 LXXX IV 114 CX IV 144 CXL IV
25 XX V 55 L V 85 LXXX V 115 CX V 145 CXL V
26 XX VI 56 L VI 86 LXXX VI 116 CX VI 146 CXL VI
27 XX VII 57 L VII 87 LXXX VII 117 CX VII 147 CXL VII
28 XX VIII 58 L VIII 88 LXXX VIII 118 CX VIII 148 CXL VIII
29 XX IX 59 L IX 89 LXXX IX 119 CX IX 149 CXL IX
30 60 90 120 150
VI
I
II
III
IV
V
CXXX
C
LXX
XL
VII
VIII
IX
X
XXX
XX L
LX
LXXX
XC
CX
CXX
CXL
CL

39. Sistema numérico decimal (Aprox. 300 a.C.)
Sistemas numéricos

40. Sistema numérico decimal
Este sistema fue desarrollado por los hindúes
aproximadamente en el año 300 a.C., e introducido
por los árabes en Europa, donde se le da el nombre
de sistema de numeración decimal o arábigo.
Actualmente es el más usado nivel mundial.

41. Sistema numérico decimal
Es un sistema posicional que consta de 10 símbolos
(cifras o guarismos):
0 (cero), 1 (uno), 2 (dos), 3 (tres), 4 (cuatro), 5 (cinco),
6 (seis), 7 (siete), 8 (ocho) y 9 (nueve).

42. Base 10 en el sistema decimal…
Las cantidades se representan usando base 10, es decir, son resultado de
una suma de múltiplos de potencias de 10. Por ejemplo:
4132.5 = 4𝑥103
+ 1𝑥102
+ 3𝑥101
+ 2𝑥100
+ 5𝑥10−1
Los números que constan de una sola cifra se llaman dígitos, y los que
constan de dos o más se les denomina polidígitos.
Cuenta con reglas para expresar enteros y decimales.

43. Orden y suborden
El sistema decimal consta de órdenes y subórdenes que
están divididos por el punto decimal.
• En un número dado, las cifras antes del punto decimal
expresan órdenes.
• Los subórdenes quedan expresados por las cifras
después del punto decimal.

44. Regla para escribir un número…
Para escribir un número se van anotando las unidades
correspondientes a cada orden, comenzando por las
superiores (de izquierda a derecha), poniendo un cero en el
lugar correspondiente al orden en el cual no haya unidades,
y separando con un punto los órdenes de los subórdenes.

45. Clases y Periodos
Una clase queda conformada por la reunión de tres órdenes,
iniciando por las unidades simples.
Dado lo anterior, las unidades, decenas y centenas forman la clase
de las unidades; las unidades de millar, decenas de millar, y
centenas de millar forman la clase de los millares; la unidad de
millón, decenas de millón y centenas de millón forman la clase de los
millones; y así sucesivamente.

46. Clases y Periodos
Los periodos se conforman por dos clases consecutivas.
Dado lo anterior, la clase de las unidades y la clase de los
millares forman el periodo de las unidades; la clase de los
millones y la de los millares de millón forman el periodo de los
millones; la clase de los millones y la de los millares de billón
forman el periodo de los billones; y así sucesivamente.

47. Regla para leer un número…
Los número se leen de izquierda a derecha. Por ejemplo el número 7592
se lee iniciando por el 7 que corresponde al dígito de las unidades de
millar (7𝑥103 = 7,000 –Siete mil–), se sigue con el dígito de las centenas
5 ( 5𝑥102 = 500 –Quinientos–), luego las decenas ( 9𝑥10 = 90
–Noventa–) y al final las unidades (2𝑥100 –Dos–), con lo cual el
número se lee: “Siete mil quinientos noventa y dos”.

49. Bibliografía de interés...
• Stewart, I. (2008). Historia de las Matemáticas en los últimos 10,000 años. Barcelona, España: Critica.
Para aprender más…
• Melo, M. (2003). Las matemáticas en la ingeniería a través de la historia. Ciencia e Ingeniería Neogranadina, 1(13), pp.
53-60. Recuperado de http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=91101306
• Miralles, J. y Deulofeu, J. (2005). Historia y enseñanza de la matemática. Aproximaciones de las raíces cuadradas.
Educación Matemática, 17(1), pp. 87-106. Distrito Federal, México: Grupo Santillana México. Recuperado de
http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=40517104.