Formulario de lógica que presenta sus más importantes reglas. Es de utilidad para los estudiantes del área en los niveles bachillerato y universidad. Asimismo, para aquellos estudiantes que ingresarán al nivel superior.
1. FORMULARIO
Lógica
GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada
Proposición lógica simple (o atómica o primitiva)
Es una oración que se puede calificar cómo falso o verdadero (pero no ambos).
Valor de verdad de una proposición lógica
Es la calificación de falso o verdadero, que recibe una proposición lógica.
Proposición abierta
Una proposición lógica es abierta cuando presenta una variable. No se puede conocer el valor de verdad
de una proposición abierta, hasta conocer el valor de la variable. Se usan generalmente para expresar
propiedades que cumplen solo ciertos valores de la variable.
Proposición compuesta
Una proposición compuesta es aquella que se compone de dos (o más) proposiciones simples, unidas por
un conector lógico: ∧, ∨, ∨, →, ↔.
Tablas de valor de verdad
Proposiciones
lógicas
Conjunción Disyunción Disyunción
Exclusiva
Implicación Doble
implicación
∧ ∨ ∨ → ↔
V V V V F V V
V F F V V F F
F V F V V V F
F F F F F V V
Proposición
lógica
Negación
~
V F
F V
2. FORMULARIO
Lógica
GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada
Definición de Teorema
Es una proposición que puede ser demostrada y se compone de Hipótesis y Tesis. Las hipótesis son los
supuestos iniciales y la tesis es la conclusión.
Teorema: Dos proposiciones son lógicamente equivalentes (o iguales), sí tienen tablas de verdad
idénticas.
Identidades lógicas
Leyes idempotentes ∧ ≡ ∨ ≡
Leyes asociativas ∧ ∧ ≡ ∧ ∧ ∨ ∨ ≡ ∨ ∨
Leyes conmutativas ∧ ≡ ∧ ∨ ≡ ∨
Leyes distributivas ∧ ∨ ≡ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ≡ ∨ ∧ ∨
Leyes de identidad ∧ ≡
∧ ≡
∨ ≡
∨ ≡
Ley de doble negación ~~ ≡
Leyes de complementos ∧ ~ ≡
~ ≡
∨ ~ ≡
~ ≡
Leyes de absorción ∧ ∨ ≡ ∨ ∧ ≡
Leyes de DeMorgan ~ ∧ ≡ ~ ∨ ~ ~ ∨ ≡ ~ ∧ ~
Axiomas
∨ → → ∨
∨ → ∨ → → ∨ → ∨
3. FORMULARIO
Lógica
GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada
Tautologías
Son proposiciones lógicas verdaderas para cualesquiera valores de verdad de sus variables.
Contradicciones
Son proposiciones falsas para cualesquiera valores de verdad de sus variables.
Las tres leyes fundamentales del pensamiento
Principio de identidad Principio de no contradicción Principio del tercero excluido
Si cualquier enunciado es
verdadero, entonces es
verdadero.
Este principio afirma que todo
enunciado de la forma: ⊃
es verdadero, es decir, que todo
enunciado semejante es una
tautología.
Ningún enunciado puede ser
verdadero y falso a la vez.
Este principio afirma que todo
enunciado de la forma: ∧∼
es falso.
Cualquier enunciado es, o bien
verdadero, o bien falso.
Este principio afirma que todo
enunciado de la forma: ∨∼
es verdadero.
Los axiomas y reglas de inferencia deben de cumplir las siguientes condiciones:
Independencia Consistencia Plenitud
Ninguno de los axiomas se debe
poder derivar de los restantes, y
además, ninguna de las reglas de
inferencia se debe poder derivar
de las restantes, en nuestro
sistema axiomático.
El cuadro de axiomas y las reglas
de inferencia admitidas deben
dar como resultado solo
tautologías de cálculo.
Se deben poder derivar todas las
tautologías de cálculo a través del
cuadro de axiomas y las reglas de
inferencia admitidas.
Silogismo
Un silogismo es un argumento que consta de tres proposiciones, la última de las cuales se deduce
necesariamente de las otras dos.
4. FORMULARIO
Lógica
GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada
Reglas de Inferencia
Modus ponens
→
∴
Modus tollens
→
~
∴ ~
Modus tollendo ponens
∨
~
∴
Ley de la conjunción
∴ ∧
Ley de simplificación
∧
∴
(Nota: El resultado
podría ser q)
Ley de adición
∴ ∨
Donde q es una
proposición cualquiera.
Silogismo hipotético
(regla de intercambio)
→
→
∴ →
Dilema constructivo Dilema destructivo
Forma 1
→
→
∨
∴ ∨
Forma 1
→
→
∼ ∨ ∼
∴ ∼ ∨ ∼
Forma 2
→ ∧ →
∨
∴ ∨
Forma 2
→ ∧ →
∼ ∨ ∼
∴ ∼ ∨ ∼
Leyes bicondicionales Disyunción exclusiva
↔ ↔ → ∧ →
↔ ↔ ∧ ∨ ~ ∧ ~
↔ ↔ ~ ∨
∨ ↔ ∧ ~ ∨ ~ ∧
∨ ↔ →
5. FORMULARIO
Lógica
GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada
Otras equivalencias lógicas
∧ ↔ ~ ∼ ∨∼ ~ ∼ ∨ ↔ ∧ ~
~ ∨ ~ ∧ ↔ ~ ∧ ∧ ~ ~ ∧ ∧ ∧ ↔ ∧ ∨ ~ ∧
Dada la condicional… Su recíproca es… Su inversa es… Su contrapositiva es…
→ → ~ → ~ ~ → ~
CUANTIFICADORES
FORMA UNIVERSAL EXISTENCIAL
AFIRMATIVA Todos son Algunos son
NEGATIVA Ninguno es Algunos no son
Definición
Un argumento es una afirmación de que una colección dada de proposiciones , , . . . , , llamadas
premisas, dan como consecuencia a otra proposición , que se denomina conclusión. Un argumento se
denota por: , , . . . , ⊣
Un argumento , , . . . , ⊣ se dice válido, si es verdadera, cuando todas las premisas
, , . . . , , sean verdaderas. Un argumento que no es válido se denomina falacia.
Teorema: El argumento , , . . . , ⊣ es válido si y sólo si la proposición ∧ ∧. . .∧ → es
una tautología.
Prueba formal de validez
Consiste en deducir la conclusión de un argumento extenso, a partir de sus premisas, mediante una serie
de argumentos elementales, cada uno de los cuales se conoce como válido.
6. FORMULARIO
Lógica
GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada
Demostración de un Teorema
Informalmente, podemos decir que una demostración de un teorema es un argumento lógico que le da
validez al mismo. Consiste en una sucesión de premisas, tales que cada una de ellas va dando mayor
justificación a su validez, siendo la última afirmación, la tesis que queremos demostrar.
ESQUEMA DE LAS DEMOSTRACIONES
Demostración Directa
Demostración por
Contrarrecíproca
Demostración por
Contradicción de una
Proposición
Proposición: Si p, entonces q.
Demostración: Supongamos p.
⋮
Por lo tanto: q. ∎
Proposición: Si p, entonces q.
Demostración:
por Contrarrecíproca
Supongamos ~q.
⋮
Por lo tanto: ~p. ∎
Proposición: P.
Demostración:
Por Contradicción
Supongamos ~ .
⋮
Por lo tanto: r∧ ~r. ∎
Demostración por
Contradicción de una
Proposición Condicional
Demostración de una
Proposición Bicondicional Inducción Matemática
Proposición: p ⇒ q.
Demostración:
Por contradicción
Supongamos p y ~q.
⋮
Por lo tanto: r∧ ~r. ∎
Proposición: p ⇔ q.
Demostración:
Demuestre p ⇒ q usando una
Demostración directa,
por Contrarrecíproca o por
Contradicción .
Demuestre q ⇒ p usando una
Demostración directa,
por Contrarrecíproca o por
Contradicción . ∎
Proposición: Las
proposiciones
P 1 , P 2 , P 3 , ..., P n , ...
son todas verdaderas.
Demostración:
por Inducción
1 Se demuestra que P 1
es verdadera.
2 Dado k ≥ 1, se
demuestra que P k ⇒
P k+1 es verdadera.
Se sigue por Inducción
Matemática que cada P n
es verdadera. ∎