Analisis Estructural 2-MATRIZ DE RIGIDEZ EN PÓRTICOS

1. Análisis Estructural 2
MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL EN PÓRTICOS

2.  Primeramente se revisará el concepto de rigidez lateral, y se buscará
simplificar el análisis para modelamientos, tanto en pórticos simples como en
edificios de varios niveles.
 La rigidez lateral nos permite usar un solo valor para representar la rigidez de
un entrepiso en un pórtico elástico rectangular con base fija, sometido a
distribuciones regulares de carga lateral.
 En un pórtico de varios pisos, la matriz de rigidez total es una operación
repetitiva de ensambles de matrices de los elementos, ya sean vigas,
columnas o muros.
 Se ha llegado a considerar que durante la acción sísmica de una edificación
el movimiento del suelo tiene seis componentes de movimiento
independientes, tres traslacionales y tres rotacionales. Dentro de
estas componentes, las traslacionales en las direcciones horizontales suelen
ser tomadas en
cuenta, en forma independiente, para fines de tener condiciones de carga en
los análisis.
Introducción

3. Justificación e importancia
 La matriz de rigidez lateral es fundamental en el análisis estructural, ya que
con ella calculamos los desplazamientos de una edificación, y podemos
comparar si estos están acorde con la norma E-030, de lo contrario se
procederá a cambiar el valor de resistencia del concreto o la sección de los
elementos.

4. Coeficiente de rigidez
 Se define como rigidez lateral, a la oposición de la estructura a ser deformada por las cargas
horizontales, producidas por ejemplo por un sismo. Se diferencian seis tipos de movimientos
independientes, tres rotacionales y tres traslacionales, estás últimas producirán giros pequeños
por lo que se pueden analizar de manera independiente con respecto al eje al cual se aplica.
 Para ensamblar la matriz de rigidez de una viga o columna es fundamental conocer los
coeficientes de rigidez. Diversos métodos del análisis estructural nos arrojan los siguientes
resultados:
Coeficientes de rigidez

5.  Usando este resultado elemental, estamos en la capacidad de formar la
matriz de rigidez para el pórtico mostrado:
𝐻 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎
ℎ = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎
𝐿 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎
𝐸 = 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
 El sistema tendrá 3 grados de libertad, los cuales se muestran a continuación:

6.  El sistema tendrá 3 grados de libertad, entonces su matriz de rigidez será de 3x3
utilizando desplazamientos o rotaciones unitarias obtenemos cada columna de dicha
matriz.
 Se usará un desplazamiento unitario a lo largo del grado de libertad1 manteniendo
los otros grados de libertad nulos: 𝑋1 = 1, 𝑋2 = 𝑋3 = 0

7.  Para la segunda columna de
matriz de rigidez, se realiza una
rotación unitaria a lo largo de
los GL 𝑋2, manteniéndose los
otros GL nulos.
 Para determinar la tercera
columna de matriz de rigidez,
se realiza una rotación unitaria a
lo largo del GL 𝑋3,
manteniéndose los otros GL
nulos:

8. Rigidez lateral de un pórtico simple
 La deformación axial de los elementos no se considera apreciable, entonces los tres grados
de libertad del sistema consisten en un desplazamiento lateral y dos giros en los nudos
superiores.

9. Condensación de la matriz de rigidez
 La condensación estática de la matriz de rigidez, es la base fundamental para el análisis sísmico de
estructuras.
 Se presentan tres formas de encontrar la matriz de rigidez condensada:
 La primera involucra la invensión de una matriz.
 La segunda implica la solución de un conjunto de ecuaciones lineales.
 La tercera mediante la eliminación de Gauss.
Estructura con todos los
grados de libertad
Coordenada en la cual se va a
condensar la matriz de rigidez
Coordenada “a” Coordenada “b”

10. 𝑄 =
𝑄𝑎
𝑄𝑏
𝑞 =
𝑞𝑎
𝑞𝑏
 Al diferenciar la primera estructura con coordenadas “a” y la segunda con coordenadas
“b” el vector de cargas generalizada Q y el vector de coordenadas generalizadas se
particionan, entonces queda de la siguiente forma:
 El análisis estático relaciona el vector de cargas generalizadas “Q” con el vector de
coordenadas generalizadas “q” por medio de la estructura “K” es:
𝑄 = 𝑘𝑞
 Al reemplazar 1.1.1 y 1.1.2 en 1.1.3 y trabajando con submatrices, la matriz de
rigidez de la estructura, también se particionan de la siguiente forma:
(1.1.1) (1.1.2)
(1.1.3)
𝑄𝑎
𝑄𝑏
=
𝐾𝑎𝑎 𝐾𝑎𝑏
𝐾𝑏𝑎 𝐾𝑏𝑏
𝑞𝑎
𝑞𝑏
(1.1.4)
La condensación estática de la matriz de rigidez se da cuando 𝑸𝒂 o 𝑸𝒃 son ceros, los dos casos se
desarrollan a continuación:

11. Condensación a las coordenadas “a”
 Este caso se presenta cuando el vector 𝑄𝑏 = 0
𝑄𝑎
𝑄𝑏
=
𝐾𝑎𝑎 𝐾𝑎𝑏
𝐾𝑏𝑎 𝐾𝑏𝑏
𝑞𝑎
𝑞𝑏
De donde:
𝑄𝑎 = 𝐾𝑎𝑎𝑞𝑎 + 𝐾𝑎𝑏𝑞𝑏
𝑄𝑎 = 𝐾𝑏𝑎𝑞𝑎 + 𝐾𝑏𝑏𝑞𝑏
Luego:
𝑞𝑏 = −𝐾−1
𝑏𝑏𝐾𝑏𝑎𝑞𝑎
𝑄𝑏 = (𝐾𝑎𝑎 − 𝐾𝑎𝑏𝐾−1
𝑏𝑏𝐾𝑏𝑎)𝑞𝑎
(1.1.5)
(1.1.6)
Sea K* la matriz de rigidez condensada a las coordenadas “a”
𝐾∗ = 𝐾𝑎𝑎 − 𝐾𝑎𝑏𝐾−1
𝑏𝑏𝐾𝑏𝑎 (1.1.7)

12.  Se presenta cuando e vector de cargas 𝑄𝑎 = 0. Precediendo en forma
similar se obtiene:
𝑞𝑎 = −𝐾−1
𝑎𝑎𝐾𝑎𝑏𝑞𝑏
𝑄𝑏 = (𝐾𝑏𝑏 − 𝐾𝑏𝑎𝐾−1
𝑎𝑎𝐾𝑎𝑏)𝑞𝑏
Condensación a las coordenadas “b”
Sea K* la matriz de rigidez condensada a las coordenadas “b”
𝐾∗
= 𝐾𝑏𝑏 − 𝐾𝑏𝑎𝐾−1
𝑎𝑎𝐾𝑎𝑏
(1.1.8)
(1.1.9)
(1.1.10)