Unefm Tecnología Ingeniería Civil - Introducción a la Dinámica de Estructuras

1.
UNEFM Introducción a la Dinámica de Estructuras Ing. Glorimer Miquilena
UNIDAD IV. SISTEMA DINÁMICO DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
4.1. Sistemas Dinámicos de Varios Grados de Libertad.
Son aquellos sistemas que requieren de N coordenadas independientes para determinar
las posiciones de sus masas. Por ejemplo en la figura 1 se muestra un sistema con varios
grados de libertad (4 GDL), por lo tanto, posee 4 ecuaciones diferenciales del movimiento.
Para realizar el estudios a este tipo de sistemas, se necesita la formulación matricial y las
propiedades de la algebra lineal. Por otro lado, se utiliza el Análisis Modal para el
desacoplamiento de las ecuaciones diferenciales del movimiento.
Otro ejemplo son las estructuras, las cuales poseen numerosos puntos que pueden
moverse independientemente, y que por regla general, aunque no siempre, suele tomarse
los desplazamientos de los nodos (ver figura 2).
4.2. Idealización de los Sistemas Dinámicos de varios Grados de Libertad.
Para la idealización de las estructuras se realizarán algunas consideraciones para
ensamblar las ecuaciones de equilibrio, por ejemplo la masa se concentra en el centro y
el amortiguamiento se introducirá posteriormente que se defina la solución.
En las estructuras aporticadas su idealización puede realizarse como un conjunto de
elementos (vigas, columnas, muros) interconectados en los nodos. Los desplazamientos
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de los nodos son los grados de libertad. En general, un nodo en un marco plano de dos
dimensiones tiene tres grados de libertad (dos traslaciones y una rotación).
Por ejemplo en la figura 3, se muestra una estructura aporticada en el plano, de 3 niveles,
con 6 nodos, que arrojan 18 grados de libertad (ver figura 3a). Si las deformaciones
axiales en las vigas y en las columnas se desprecian, el sistema solo tiene 9 grados de
libertad (ver figura 3b). Esta es la idealización estructural que se utiliza para ilustrar un
enfoque general en la formulación de ecuaciones.
También existen idealizaciones de sistemas estructurales que lo común es considerar las
deformaciones laterales, estableciendo la losa y vigas infinitamente rígidas a flexión, y
despreciando las deformaciones axiales en vigas y columnas, lo cual el sistema cuenta
con solo 3 grados de libertad. Este es un modelo de Edificio de Cortante, y solo puede
ser posible para estructuras con vigas o losas de gran altura, columnas esbeltas (ver figura
3c).
Un nodo en un marco tridimensional tiene seis grados de libertad: tres traslaciones (las
componentes x, y, z) y tres rotaciones (alrededor de los ejes x, y, z). En la figura 4a, se
tienen una estructura con 24 grados de libertad. Las estructuras de planta asimétrica antes
una fuerza dinámica, considerando la losa como un diafragma rigido, experimentan un
movimiento lateral en dos direcciones horizontales (x, y) y una torsión alrededor del eje
vertical (z) (ver figura 4b)

2.
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En la figura 5, se presenta la idealización de una estructura en el plano de N niveles, solo
considerando las deformaciones horizontales y la masa concentrada, sometida a fuerzas
externas y cuando esta amortiguada.
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4.3. Ecuaciones de Equilibrio Dinámico en Sistemas de varios Grados de Libertad.
Modelo Ecuación del Movimiento
Vibración Libre
0
(ec. 1)
Excitación
Arbitraria (ec. 2)
Excitación en la
Base (ec. 3)
4.4. Modelación Matemática de la Estructura.
El modelo matemático es un proceso que permite describir el comportamiento de los
sistemas dinámicos ante unas solicitaciones preestablecidas. Si el modelo no describe el
comportamiento adecuadamente, todo el esfuerzo realizado en el análisis puede ser inútil.

3.
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El análisis dinámico de un sistema de N grados de libertad no es muy diferente del de 2
GDL, se pueden emplear vías y métodos análogos para hacer sus análisis y hallar sus
soluciones. Sin embargo, debido al gran número de ecuaciones del movimiento que existe
debido a la escogencia y la localización de los grados de libertad que se fijaron en la
idealización del sistema, existirán N las frecuencias naturales y N respuestas, los cuales
generalmente requiere mucho más trabajo matemático para llegar a su solución.
Las ecuaciones de movimiento de los sistemas de varios grados de libertad que se
mostraron anteriormente, se derivan utilizando la segunda ley del movimiento de Newton
y el principio de D´Alembert. Su solución en forma escalar implica manejos algebraicos
complicados, por lo tanto se utiliza la representación matricial. Al expresar el sistema
acoplado de N ecuaciones en forma matricial, se identifica las matrices de masa,
amortiguamiento y rigidez.
La derivación de las ecuaciones de movimiento del sistema de vibración forzada
amortiguada que se muestra en la figura 6, aplicando la segunda ley de Newton es la
siguiente:
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
. 4
Las ecuaciones del movimiento de las masas y , al establecer que i = 1, junto con
0, e i = N, 0, se obtiene que
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ . 5
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ . 6
La expresión matricial de las ecuaciones de movimiento es la siguiente:
. 7
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4.4.1. Matriz de Masa:
La matriz de masa m es cuadrada y depende de los grados de libertad.
⋯
⋮ ⋱ ⋮
⋯
4.4.1.1. Matriz de Masa Distribuida.
Cuando se tiene un sistema con masas
distribuidas en los tramos, se puede proceder
a aproximar la representación de la masa de la
viga concentrándolas en los nodos (ver figura
6). Como alternativa se puede introducir una
matriz de masa “consistente” que se obtiene
ensamblando la contribución de cada tramo,
pero de este modo se obtiene un acoplamiento
en la matriz de masa que hace los cálculos
más laboriosos sin que se justifique por la
precisión de los resultados.
∗ ∗
420
156 22 54 13
22 4 13 3
54 13 156 22
13 3 22 4
4.4.1.2. Matriz de Masa Concentrada.
Es una matriz diagonal ya que la aceleración de
cualquiera de los grados de libertad dinámica
no genera fuerzas de inercia en los restantes
grados de libertad.
⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯
La matriz de masa del sistema de la figura 6 es la siguiente
 = Densidad.
A = Área
L = Longitud

4.
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0 0 ⋯ 0
0 0 ⋯ 0
0 0 ⋯ 0
⋮ ⋯
0 0 0 ⋯
Cuando el sistema de coordenadas coincide con el centroide de la placa y se considera la
masa de las columnas despreciable, la matriz de masa de la losa queda (ver figura 4b):
0 0
0 0
0 0
∗
4.4.2. Matriz de Rigidez.
La Rigidez se define como la fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario
en la dirección de la carga. La matriz de rigidez se puede expresar:
K
⋯
⋮ ⋱ ⋮
⋯
La matriz de rigidez para varios sistemas, se muestran a continuación:
24 6 6
6 4 4 2
6 2 4 4
A = Área
∗
∗
(momento polar de inercia)
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12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
La matriz de rigidez del sistema de la figura 6 es la siguiente
0
⋮
⋮
⋮
0
0 0
0
0 0
0
0
⋯ 0 0
⋯ 0 0
⋯
⋯
0 0
4.4.3. Matriz de Amortiguamiento.
La forma general de la matriz de amortiguamiento es la siguiente:
⋯
⋮ ⋱ ⋮
⋯
La matriz de amortiguamiento del sistema de la figura 6 es la siguiente
0
⋮
⋮
⋮
0
0 0
0
0 0
0
0
⋯ 0 0
⋯ 0 0
⋯
⋯
0 0

5.
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4.6. Solución de la Respuesta Dinámica para Sistemas con Varios Grados de
Libertad.
Existen varias formas de solución, entre las que se tiene, el Análisis Modal, que se define
como el proceso de determinación de las características dinámicas inherentes a un
sistema mecánico, y necesarias para la posterior formulación de un modelo matemático
del comportamiento dinámico de dicho sistema. Esta modelización dinámica se lleva a
cabo en base a los parámetros modales (frecuencias naturales, modos de vibración y
relaciones de amortiguamiento) propios del sistema, y que dependen de la distribución de
sus características de masa, rigidez y amortiguamiento.
Su objeto primordial consiste en convertir el sistema de ecuaciones diferenciales
simultáneas y linealmente dependientes, en un conjunto de ecuaciones de equilibrio
independiente.
4.6.1. Vibración Libre sin Amortiguamiento en Edificios.
Suponiendo que no actúan cargas exteriores y que no hay términos disipativos, las
ecuaciones diferenciales de equilibrio se reducen a:
0 . 8
En donde las matrices , , y los vectores y se definen como:
⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯
K
⋯
⋮ ⋱ ⋮
⋯
⋮ ⋮
Se postula que la solución del sistema anterior de ecuaciones diferenciales simultáneas
es del tipo:
∗ 1,2,3 … . , . 9
donde se conoce como los modos de vibración.
La variación de los desplazamientos se describe mediante la función de vibración
simple:
∗ ∗ ∗ ∗ . 10
donde y son constantes que pueden determinarse a partir de las condiciones
iniciales que inician el movimiento.
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Si se combinan las ecuaciones 9 y 10:
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ . 11
Al derivar dos veces contra el tiempo la ecuación 11 se obtiene la siguiente ecuación de
aceleraciones:
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ . 12
Reemplazando las ecuaciones 9 y 12 en la (ec.8), se obtiene:
∗ ∗ ∗ ∗ 0 . 13
Esta ecuación 13 puede satisfacer de dos maneras:
 Si 0, implica que 0, y que el sistema no tiene movimiento (solución
conocida como trivial), o
 Si se hace ∗ ∗ ∗ . 14 , (ecuación conocida como problema
matricial de valor característico o eigenvalor), implica que ambos lados de la
ecuación dependen de los valores de la frecuencia, ya que las matrices de rigidez
k y masa m son conocidas.
Por lo tanto la solución formal de la ecuación 14, es:
∗ 0 . 15
que puede interpretarse como un conjunto de N ecuaciones algebraicas homogéneas para
los N elementos (j = 1, 2, …, N). Este conjunto siempre tiene la solución trivial 0,
que no es útil porque implica que no existe movimiento. Se tienen soluciones no triviales
si:
det 0 . 16
Al expandir el determinante se encuentra la ecuación frecuencial, que es un polinomio de
grado N. Esta ecuación tiene N raíces reales y positivas para porque, las matrices de
masa y rigidez estructurales, son simétricas y positivas definidas.
4.6.1.1. Modos de Vibración.
Para cada valor de la frecuencia natural ( existe un vector independiente {∅ } que es
una solución no trivial del sistema de ecuaciones simultáneas, que se conoce como vector
característico, Eigenvector.
Cada modo se puede excitar independientemente y el movimiento del conjunto de masas
se moverá con la forma del modo y con una frecuencia natural asociada al modo. El
movimiento general de un sistema de N grados de libertad se representa por la
superposición de los modos del sistema.

6.
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Entonces para cada valor de se obtiene los modos de vibración, a través de la siguiente
ecuación:
∅ 0 . 17
4.6.1.2. Ortogonalidad de los Modos.
Cada modo corresponde a una frecuencia natural ( diferente que satisface la siguiente
condición de ortogonalidad. Cuando .
∅ ∅ 0 . 18 ∅ ∅ 0 . 19
La ortogonalidad de los modos naturales implica que las siguientes matrices cuadradas
son diagonales:
Φ Φ . 20 Φ Φ . 21
Φ ó
donde los elementos de la diagonal son
∅ ∗ ∗ ∅ . 22 ∅ ∗ ∗ ∅ .23
Como y son matrices positivas definidas, los elementos diagonales de K y m son
positivos y se relacionan mediante
∗ . 24
4.6.1.3. Normalización de los Modos.
En ocasiones, se aplican factores de escala a los modos naturales para estandarizar sus
elementos asociados con varios grados de libertad. Este proceso se llama normalizacion.
Una manera de normalizar los modos es que:
∅ ∗ ∗ ∅ 1 . 25
Es común normalizar los modos respecto a la matriz de masa, es decir que la j-ésima
masa tenga valores unitarios, esta normalización se conoce como masa ortonormal.
La normalización de los modos, se obtiene por:
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1
∅ ∗ ∗ ∅
. 26
∅ ∗ ∅ . 27
En los análisis es común normalizar los modos, de manera que:
∅ ∗ ∗ ∅ 1 . 28 Φ ∗ ∗ Φ .29
4.6.1.4. Desacople de las Ecuaciones de Movimiento.
Los modos naturales son un conjunto de N vectores independientes que pueden utilizarse
como una base para representar cualquier otro vector de orden N. Por lo tanto, una
expansión modal de cualquier vector de desplazamiento u tiene la forma:
∗ Φ ∗ . 30
Si se deriva la ecuación 30 dos veces:
Φ ∗ . 31
Y se reemplaza en la ecuación 8:
∗ Φ ∗ ∗ Φ ∗ 0 . 32
Si se multiplica la ecuación 32 por Φ
Φ ∗ Φ ∗ Φ ∗ Φ ∗ 0 . 33
Por el principio de ortogonalidad:
Φ Φ Φ Φ
Si se sustituye en la ecuación 33:
∗ ∗ 0
Esto implica que se tienen N ecuaciones independientes de un grado de libertad del tipo:
∗ 0 . 34

7.
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Para solucionar esta ecuación diferencial se aplican los mismos métodos que se usan
para resolver sistemas de un grado de liberad. Donde la solución de la ecuación
diferencial de cada grado de libertad generalizado es:
Φ ∗
∗ ∗ ∗ ⋯ ∗ . 35
4.6.2. Vibración Forzada en Edificios.
El tratamiento de las vibraciones forzadas en sistemas sin amortiguamiento es análogo al
realizado para las vibraciones libres. La ecuación matricial de equilibrio es en este caso:
. 36
La solución de respuesta:
∗ ∗ ∗ ⋯ ∗ . 37
En donde
1
. . 38
∗ ∗ . 39 ∗ . 40
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BIBLIOGRAFÍA
Díaz F. (2011). Texto Guía de Vibraciones Mecánicas. Departamento de Ingeniería. Facultad de
Estudios Superiores Cuautitlán. México.
Rao S. (2012). Vibraciones Mecánicas. Quinta Edición. Editorial Pearson. México
García L. (1998). Texto Guía de Dinámica Estructural Aplicada al Diseño Sísmico. Facultad
de Ingeniería. Impresos por la Universidad de los Andes de Colombia. . Colombia
Paz M. (1992). Dinámica Estructural. Teoría y Cálculo. Editorial Reverte, S.A. España.
Chopra A. (2014). Dinámica de Estructuras. Cuarta Edición. Editorial Pearson. México.
Hurtado J. (2000). Texto Guía de Introducción a la Dinámica de Estructuras. Primera Edición.
Impresos por Centro de Publicaciones Universidad Nacional de Colombia. Sede Manzanales.
Colombia.

8. EJERCICIO DE UN SISTEMA DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
Para el edificio simple, representado
en la figura siguiente, determine la
respuesta del movimiento
permanente. Considerar viga y
columna rígida.
SOLUCIÓN
1. Matriz de Rigidez (K):
0
0
2 ∗
12 ∗ ∗ 24 ∗ 30 10
600
333,33
2 ∗
12 ∗ ∗ 24 ∗ 15 10
500
288
2 ∗
12 ∗ ∗ 24 ∗ 15 10
400
562,5
621,33 288 0
288 850,5 562,5
0 562,5 562,5
2. Matriz de Masa (m):
0 0
0 0
0 0
2000
980
2,0408
1000
980
1,0204
2,0408 0 0
0 1,0204 0
0 0 1,0204
3. Frecuencia, Periodo y Modos de Vibración:
| ∗ | 0
Si
| ∗ | 0
621,33 288 0
288 850,5 562,5
0 562,5 562,5
∗
2,0408 0 0
0 1,0204 0
0 0 1,0204
0
621,33 2,0408 ∗ 288 0
288 850,5 1,0204 ∗ 562,5
0 562,5 562,5 1,0204 ∗
0
621,33 2,0408 ∗ ∗ 850,5 1,0204 ∗ ∗ 562,5 1,0204 ∗ 0 ∗ 288
∗ 562,5 0 ∗ 562,5 ∗ 288
0 ∗ 850,5 1,0204 ∗ ∗ 0 621,33 2,0408 ∗ ∗ 562,5
∗ 562,5 562,5 1,0204 ∗ ∗ 288 ∗ 288 0
53999460 1141822,72 ∗ 3589,3974 ∗ 2,1249 ∗ 0
57,2445 → 57,2445 7,566 /
344,46 → 344,926 18,572 /
1287,04 → 1287,04 35,875 /
Modos de Vibración ∅ :
∗ ∗ ∅ 0
 Para 57,2445 /
621,33 288 0
288 850,5 562,5
0 562,5 562,5
57,2445 ∗
2,0408 0 0
0 1,0204 0
0 0 1,0204
∗
∅
∅
∅
0
504,505424 ∗ ∅ 288 ∗ ∅ 0 ∗ ∅ 0
288 ∗ ∅ 792,087712 ∗ ∅ 562,5 ∗ ∅ 0
0 ∗ ∅ 562,5 ∗ ∅ 504,087712 ∗ ∅ 0

9.
∅ 1 ⇒
∅ 1,752
∅ 1,955
 Para 344,46 /
621,33 288 0
288 850,5 562,5
0 562,5 562,5
344,46 ∗
2,0408 0 0
0 1,0204 0
0 0 1,0204
∗
∅
∅
∅
0
82,5949808 ∗ ∅ 288 ∗ ∅ 0 ∗ ∅ 0
288 ∗ ∅ 498,5375096 ∗ ∅ 562,5 ∗ ∅ 0
0 ∗ ∅ 562,5 ∗ ∅ 210,5375 ∗ ∅ 0
∅ 1 ⇒
∅ 3,487
∅ 2,672
 Para 1287,04 /
621,33 288 0
288 850,5 562,5
0 562,5 562,5
1287,04 ∗
2,0408 0 0
0 1,0204 0
0 0 1,0204
∗
∅
∅
∅
0
2005,26123 ∗ ∅ 288 ∗ ∅ 0 ∗ ∅ 0
288 ∗ ∅ 462,795616∅ 562,5 ∗ ∅ 0
0 ∗ ∅ 562,5 ∗ ∅ 750,795616 ∗ ∅ 0
∅ 1 ⇒
∅ 0,192
∅ 1,335
TABLA N° 1. Frecuencias, Periodos y Modos de Vibración
Frecuencia / Periodo 2 ∗ ∅
7,566 0,83
1
1,752
1,955
18,572 0,338
3,487
1
2,672
37,875 0,175
0,192
1,335
1
4. Ortogonalidad de los Modos de Vibración:
∅ ∗ ∗ ∅ 0 ∅ ∗ ∗ ∅ 0
1 1,752 1,955 ∗
2,0408 0 0
0 1,0204 0
0 0 1,0204
∗
3,487
1
2,672
0,0018 0
3,487 1 2,672 ∗
2,0408 0 0
0 1,0204 0
0 0 1,0204
∗
0,192
1,335
1
0,0020 0
0,192 1,335 1 ∗
2,0408 0 0
0 1,0204 0
0 0 1,0204
∗
1
1,752
1,955
0,000082 0
La otra forma:
1 1,752 1,955 ∗
621,33 288 0
288 850,5 562,5
0 562,5 562,5
∗
3,487
1
2,672
0,37 0
3,487 1 2,672 ∗
621,33 288 0
288 850,5 562,5
0 562,5 562,5
∗
0,192
1,335
1
0,37 0
0,192 1,335 1 ∗
621,33 288 0
288 850,5 562,5
0 562,5 562,5
∗
1
1,752
1,955
0,084 0
5. Normalización de los Modos:
1
∅ ∗ ∅
1 1,752 1,955 ∗
2,0408 0 0
0 1,0204 0
0 0 1,0204
∗
1
1,752
1,955
9,073
1
√9,073
0,332

10. ∅ 0,332 ∗
1
1,752
1,955
0,332
0,582
0,649
3,487 1 2,672 ∗
2,0408 0 0
0 1,0204 0
0 0 1,0204
∗
3,487
1
2,672
33,12
1
√33,12
0,174
∅ 0,174 ∗
3,487
1
2,672
0,607
0,174
0,465
0,192 1,335 1 ∗
2,0408 0 0
0 1,0204 0
0 0 1,0204
∗
0,192
1,335
1
2,914
1
√2,914
0,586
∅ 0,586 ∗
0,192
1,335
1
0,113
0,782
0,586
6. Ecuación del Movimiento Vibración Forzada:
1
⇒
7. Desacople de los Modos:
∅ ∗ ∗ ∅
0,332 0,582 0,649 ∗
621,33 288 0
288 850,5 562,5
0 562,5 562,5
∗
0,332
0,582
0,649
57,266
0,607 0,174 0,465 ∗
621,33 288 0
288 850,5 562,5
0 562,5 562,5
∗
0,607
0,174
0,465
346,117
0,113 0,782 0,586 ∗
621,33 288 0
288 850,5 562,5
0 562,5 562,5
∗
0,113
0,782
0,586
1287,627
∅ ∗
0,332 0,582 0,649 ∗
1000
2000
1500
2469,5
0,607 0,174 0,465 ∗
1000
2000
1500
438,5
0,113 0,782 0,586 ∗
1000
2000
1500
572
8. Solución Definitiva de la Respuesta:
∅ ∗
1 /
2469,5
57,266 1
1
7,566
∗ 1 ∗ 43,89 ∗ cos
438,5
346,117 1
1
18,572
∗ 1 ∗ 0,276 ∗ cos
,
,
∗ 1 ∗ 0,444 ∗ cos cm
0,332
0,582
0,649
∗ 43,89 ∗ cos
0,607
0,174
0,465
∗ 0,276 ∗ cos
0,113
0,782
0,586
∗ 0,444 ∗ cos
14,689 ∗ cos
25,843 ∗
28,096 ∗ cos
‐40
‐30
‐20
‐10
0
10
20
30
40
0 2 4 6 8 10 12 14 16
u(t) (cm)
t(s)
Respuesta del Desplazamiento u(t)1
u(t)2
u(t)3