Analisis sismico de edificios

VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS
GRADOS DE LIBERTAD
8.1 INTRODUCCIÓN
Cuando se trata con sistemas estructurales reales es necesario, en general,
considerar varios grados de libertad, cada uno correspondiente a una coordenada
independiente. En general podría pensarse que una estructura real tiene infinitos
grados de libertad, sin embargo es posible reducir su número a uno finito
considerando el hecho que los desplazamientos intermedios de los elementos
pueden ser expresados en función de los desplazamientos de los nudos extremos.
El número de grados de libertad debería ser igual al número de componentes de
desplazamiento necesario para definir adecuadamente la deformada del sistema
bajo el tipo de excitación de interés, y como consecuencia poder determinar las
fuerzas internas de manera suficientemente aproximada.
En el caso de los edificios sometidos a cargas sísmicas, la excitación principal
son aceleraciones horizontales (y una vertical que es poco importante en general o
que en caso de serlo puede ser tratada independientemente). Esto se traduce en
fuerzas de inercia horizontales que imprimen a la estructura una deformación
lateral y cuyos grados de libertad independientes importantes son los
desplazamientos horizontales de los nudos.
Existen otras consideraciones aplicables a este caso, como el hecho que la masa
está principalmente concentrada en el nivel de cada entrepiso y por consiguiente las
fuerzas de inercia son fuerzas horizontales aplicadas al nivel de cada entrepiso.
Esto sugiere que los grados de libertad dinámicos independientes son aquellos
asociados con la dirección de las fuerzas. Lo cierto es que un edificio sometido a
la acción de un sismo es un sistema de varios grados de libertad por lo que es
importante analizar teóricamente el tratamiento de dichos sistemas.
2 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
En las secciones iniciales del presente capítulo se fundamentará, basados en los
conceptos básicos del análisis dinámico de edificios, las simplificaciones hechas a
ciertos sistemas. Dichas simplificaciones son aceptadas por muchos reglamentos
modernos de construcción cuando hacen uso de métodos dinámicos de diseño. En
la Secc. 8.2 se verá la diferencia entre un modelo de acoplamiento cercano y lejano,
usando para esto un pórtico de 3 niveles. Después en la Secc. 8.3 y 8.4 con la
finalidad de que los conceptos fundamentales y procedimientos numéricos sean
asimilados con facilidad haremos uso de una estructura sencilla ( pórtico de 2
niveles mostrado en la Fig. 8.3 ). Ello significa que para sistemas más complejos
los conceptos también son válidos, tal como se verá en la Secc 8.4., con la única
diferencia de que en la mayoría de los casos se tendrá que recurrir a programas de
computo avanzados para realizar el análisis, sin embargo, la última palabra la tiene
el Ingeniero a cargo del análisis y no la computadora que no es mas que una
herramienta [ Ref. 11 ]. Finalmente, en la Secc. 8.5 se tocará el tema acerca de los
sistemas continuos que son los que en realidad nos permiten representar a los
sistemas estructurales con su masa y rigidez a lo largo de los elementos que los
componen.
8.2 MODELOS
El modelo más simple de un sistema de varios grados de libertad corresponde a una
serie de masas interconectadas por resortes sin peso, como se muestra en la Fig. 8.1.
Este modelo se denomina un sistema de acoplamiento cercano. Estrictamente sólo es
aplicable a las vibraciones laterales de un pórtico con vigas infinitamente rígidas y
despreciando la deformación axial de las columnas, o también a algún sistema
vibratorio cuyas deformaciones sean principalmente desplazamientos laterales. Por
esa razón también se lo denomina modelo tipo cortante.
Fig. 8.1 Modelo de acoplamiento cercano
En una estructura real, sin embargo, las masas están conectadas por elementos
flexibles y el modelo anterior no es aplicable. El modelo real sería uno en que las
1m
2m
3m
2m
1P
2P
3P
1k
2k
3k
2P
)( 233 uuk −
)( 122 uuk −
22um &&

SECC. 8.3: GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS 3
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
masas se encuentran todas interconectadas dando origen a lo que se denomina modelo
de acoplamiento lejano. Este modelo se representa en la Fig. 8.2.
Fig. 8.2 Modelo de acoplamiento lejano
8.3 GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS
Los grados de libertad dinámicos son aquellos en los cuales se generan las fuerzas
inerciales ( masa por aceleración o momento de inercia por aceleración angular). Por
ende, dichos grados son los que interesarán para realizar el análisis.
En la Fig. 8.3.a se muestra se muestra el modelo de una edificación de 2
niveles, conformada por vigas y columnas. Su planta esta esquematizado en la
Fig. 8.3.b, en ella se resalta las columnas cuyos ejes fuertes son paralelos al eje “ y
”. En la Fig. 8.3.c se muestra un pórtico secundario típico. Finalmente en la Fig.
8.3.d se puede apreciar un pórtico principal típico, el cual será usado, de aquí en
adelante, para poder explicar los conceptos.
1m
2m
3m
1P
2P
3P
Fig. 8.3 Edificación de 2 niveles: ( a ) Modelo. ( b ) Planta. ( c ) Pórtico Secundario.
( d ) Pórtico Principal.
1L 1L 1L
2L
2L
x
y
( a ) Modelo de una edificación de 2 niveles.
( b ) Planta de la edificación.
x
( c ) Pórtico secundario
típico. Elevación “ y ”.
( d ) Pórtico Principal
Típico. Elevación “ x ”.
z
2L2L
1L 1L 1L
z
y
x
y
z
[Figura obtenida del programa SAP 2000 versión educacional]

SECC. 8.3: GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS 5
Si se quisiera analizar el pórtico plano principal ( ver la Fig. 8.3.d ) considerando
todos sus grados de libertad (GDL) , vemos que este tendría 24 GDL estáticos tal como
se muestra en la Fig. 8.4.
Fig. 8.4 Pórtico plano principal con sus 24 GDL estáticos.
Sin embargo, al ocurrir movimiento lateral, solo serían importantes las fuerzas de
inercias generadas por el peso de cada piso (ver Fig. 8.5 ) en los que además las
deformaciones en su plano son despreciables. Lo cual indicaría que ahora tenemos un
sistema de 2 GDL dinámicos, que son precisamente los desplazamientos laterales 1 y
2.
Fig. 8.5 Pórtico plano principal con 2 GDL dinámicos.
Lo dicho en el párrafo anterior no implica que los restantes giros y desplazamientos
se anulen, sino que, aunque asuman valores distintos a cero, las fuerzas de inercia son
tan pequeñas que pueden despreciarse.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1m
1
2m
2
Es común que cuando se analicen edificaciones se suponga que los pisos son
diafragmas rígidos en su plano ( Fig. 8.5 ), lo que permitiría expresar el movimiento de
cualquier punto del piso en términos de tres grados de libertad: un giro alrededor de
un eje vertical y dos desplazamientos horizontales. Cuando un pórtico, en este caso el
de la Fig. 8.5, esta ligado a un piso rígido, los valores que tomen los tres GDL
mencionados son los que definirán el desplazamiento lateral en cada nivel. Por otro
lado, debido a que mayor parte de las masas están directamente soportada por los
pisos, es aceptable suponer que las masas están concentradas en los mismos, de
manera que las fuerzas de inercia generadas por desplazamientos laterales se pueda
expresar como productos de la masa en cada piso por sus aceleraciones lineales ( en
dos direcciones horizontales perpendiculares, para nuestro caso ejes “ x e y ” ) y del
momento de inercia de dicha masa por la aceleración angular alrededor del eje vertical
que pasa por el centro de masas.
Según lo anterior, realizar el análisis dinámico de un edificio con modelos que
tiene tres grados de libertad por piso(un giro en planta y un desplazamiento en x e y)
es aceptable. Pero se debe tener presente que la hipótesis de que los pisos se
comportan como diafragmas rígidos implica que las vigas no tienen deformaciones
axiales.
Cuando por simetría los pisos no rotan alrededor de ejes verticales, el edificio o sus
componentes se puede modelar como un sistema de 1 GDL (desplazamiento lateral )
por piso ( u1 y u2 ) como se puede ver en la Fig. 8.6, que es una simplificación del
pórtico plano principal con 2 GDL dinámicos mostrado en la Fig. 8.3. En la Fig. 8.4
se puede observar además que “ k1 y k2 ” son las rigideces laterales de cada piso (el
cálculo aproximado de dichas rigideces fue enseñado en el Cap. 7).
Fig. 8.6 Simplificación del pórtico plano principal con 2 GDL dinámicos
Se ha podido apreciar como se redujo un sistema de 24 GDL, lo cual implicaba
una matriz de rigidez de 24x24, a uno de 2 GDL que implica el trabajar con una
matriz de rigidez de 2x2. En resumen lo hecho fue una “ condensación estática ”,
quedando así matrices de rigideces y de masas que corresponden a los mismos
grados de libertad.
1m
2u
1u
2k
1k
2m

SECC. 8.4: VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GDL. AMORTIGUAMIENTO 7
8.4 VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS
DE LIBERTAD (GDL). AMORTIGUAMIENTO
En esta sección nuestro estudio estará basado en el sistema simplificado de 2 GDL
Dinámicos visto en la Fig. 8.6, en el que además de las fuerzas inerciales también
se considerarán fuerzas actuantes en cada GDL tal como se puede observar en la
Fig..8.7. Primeramente obtendremos una expresión general para la vibración
forzada del sistema no amortiguado. Luego haremos algunas simplificaciones para
poder obtener la vibración libre (en la Secc. 8.4.2 presentaremos la expresión
general que considera el amortiguamiento). Para poder estudiar las propiedades
básicas de un sistema como el que se muestra en la Fig. 8.7 se hará uso del modelo
tipo cortante (ver Secc. 8.2).
Fig.8.7 Sistema no amortiguado simplificado mas fuerzas actuantes.
El desplazamiento relativo es esquematizado en la Fig. 8.8 debido a su
importancia mencionada en el Cap..5. Puesto que para poder obtener las fuerzas
del resorte, en el diagrama de cuerpo libre del sistema que se muestra en la Fig.
8.9 se emplea el desplazamiento relativo.
Fig.8.8 Desplazamiento relativo generado en un sistema de 1 GDL
V
k
∆
∆kV =
1m
)(2 tfP
)(1 tfP
2k
2m
1k
Fig.8.9 Diagrama de cuerpo libre ( DCL ) del Sistema Simplificado.
De la Fig.8.9 aplicando equilibrio dinámico para el primer y segundo nivel,
resulta:
)()()()( 1221211111221111 tfPukukkumtfPuukukum =−++→=−−+ &&&& (8.1)
)()()( 2221222212222 tfPukukumtfPuukum =+−→=−+ &&&& (8.2)
Ordenando matricialmente las Ecs. (8.1) y (8.2) se tiene:
)(
0
0
2
1
2
1
22
221
2
1
2
1
tf
P
P
u
u
kk
kkk
u
u
m
m
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−+
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
&&
&&
O lo que es lo mismo escribir:
)(tfFKUUM =+&& (8.3)
donde:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
2
1
2
1
2
1
,
P
P
Fy
u
u
U
u
u
U
&&
&&
&&
son el vector aceleración, desplazamiento y fuerza (P1 y P2 son constantes) en
ese orden; y
2u
2∆
1m
2m
1k
2k
11um &&
)(2 tfP
)(1 tfP
1u
1∆
1111 ukk =∆
)( 12222 uukk −=∆
)( 12222 uukk −=∆
22um &&

SECC. 8.4: VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GDL. AMORTIGUAMIENTO 9
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−+
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
22
221
2
1
0
0
kk
kkk
Ky
m
m
M
son la matriz masa y de rigidez respectivamente.
Antes de proseguir con la simplificación de la Ec. (8.3) es necesario enfatizar
que de manera análoga, a lo que hemos hecho con 2 GDL, se procede cuando se
tiene un sistema de n GDL (ver Fig. 8.10), el cual tendrá por consiguiente n
frecuencias naturales y n formas modales o modos asociados.
Fig. 8.10 Modelo de acoplamiento cercano para un sistema forzado de “ n ” GDL sin
amortiguamiento
Haciendo el diagrama de cuerpo libre de cada masa (solo se muestra para m2), la
correspondiente ecuación de equilibrio dinámico puede escribirse como:
)()( 111 tfP=)uu(kuukum iiiii iiii −−−+ ++−&&
ordenando: nipara)t(fP=uk-u)k+k(+uk-um iiiiiiiiii <<+++− 11111&&
)(1 12212111 tfP=uk-u)k+k(+um=iPara && (8.4)
)(tfP=uk-u)k+k(+uk-um2=iPara 2332321222 &&
)(tfP=uk+uk-umniPara nnn1-nnnn &&=
Hay tantas ecuaciones de movimiento como grados de libertad. Luego, expresando
las ecuaciones anteriores en forma matricial se tiene:
1m
2m
nm
2m
)(1 tfP
)(2 tfP
)(tfPn
1k
2k
3k
)(2 tfP
)( 233 uuk −
)( 122 uuk −
22um &&
:
:
)(tfFKUUM =+&& (8.5)
que es la misma Ec. (8.3) pero aplicado a sistemas de n GDL. Para el modelo
simple considerado, o en general cuando se trata con masas concentradas y usando sus
desplazamientos como grados de libertad, la matriz de masas M es una matriz
diagonal con la masa m,i iésima , como el elemento diagonal iésimo .
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
n
n
m
m
m
m
m
M
0...000
0...000
::::::
00..00
00...00
00...00
1
3
2
1
(8.6)
K es la matriz de rigidez del sistema que relaciona los grados de libertad dinámicos
escogidos a las fuerzas correspondientes. Para el sistema de acoplamiento cercano en
estudio tiene la siguiente forma:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−+
+−
−+−
−+
=
−
nn
nnn
kk
kkk
kkk
kkkk
kkk
K
...000
...000
::::::
00..0
00...
00...0
1
433
3322
221
(8.7)
Nótese que en este tipo de modelo el acoplamiento de las n ecuaciones
diferenciales es proporcionado solamente por la matriz de rigidez.
8.4.1 Vibración Libre de Sistemas de Varios Grados de Libertad
Como en el caso de los sistemas de 1 GDL, es útil estudiar el comportamiento de un
sistema sin amortiguamiento cuando está sometido a una perturbación inicial. Se sabe
además que la vibración libre se da cuando no hay fuerzas actuando sobre los GDL
dinámicos del sistema. Prosiguiendo con el estudio de nuestro modelo de 2 GDL y
haciendo el vector fuerza de la Ec. (8.3) igual a un vector nulo se tiene:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
0
0
2
1
P
P
F

SECC. 8.4: VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GDL. AMORTIGUAMIENTO11
0
0)(
=+∴
==+⇒
KUUM
tfFKUUM
&&
&&
(8.8)
SECC. 8.4.1.1: ECUACIÓN CARACTERÍSTICA 11
donde 0 representa un vector con n componentes, todas ellas cero. Las condiciones
iniciales son:
00 )0()0( UUyUU && ==
Recordemos que en el Cap. 5 se observó que un sistema de 1 GDL sometido a una
perturbación inicial desde su posición de equilibrio estaría forzado a vibrar con un
movimiento periódico de período T o frecuencia circular π/Tω = 2 , que es una
característica del sistema = k/M)ω( 2
. Por analogía es interesante averiguar si un
sistema de varios grados de libertad, al que se le imponen un juego inicial de
desplazamientos (o velocidades) vibrará armónicamente, manteniendo la forma
relativa de estos desplazamientos y variando solamente sus amplitudes por un factor de
proporcionalidad. Basado en esto, para nuestro sistema de 2 GDL el vector de
desplazamientos vendría a ser:
)t(SenXU)t(Sen
x
x
)t(Senx
)t(Senx
u
u
U φωφω
φω
φω
+=→+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
2
1
2
1
2
1
donde “ x1 y x2 ” son los máximos desplazamientos de los pisos 1 y 2
respectivamente (los cuales obviamente no son función del tiempo).
Derivando la Ec. (8.9) dos veces, obtenemos:
)t(SenXU φωω +−= 2&& (8.10)
Reemplazando las Ecs. (8.9) y (8.10) en la Ec. (8.8) se tiene:
( ) ( ) 02
=+++− )t(SenXK)t(SenXM φωφωω
Al simplificar la última expresión se obtiene:
02
=− XMXK ω (8.11)
8.4.1.1 Ecuación Característica
El problema, en la Ec. (8.11), es determinar si es que hay valores de
2
ω y
vectores correspondientes X que satisfacen esta ecuación matricial, además de la
solución trivial 00 , X =ω = . Este es un problema matemático llamado de
valores característicos o de valores propios [ Ref. 9 ].
Al factorizar el vector de máximos desplazamientos en la Ec. (8.11), el
problema a considerar resulta de la forma:
0)( 2
=− XMK ω (8.12)
(8.9)

La Ec. (8.12) también es válida para sistemas de n GDL. Observándose que dicha
ecuación representa un sistema de n ecuaciones algebraicas lineales con n incógnitas
(las componentes del vector X ). Como el segundo miembro es igual a cero, éste es un
sistema homogéneo. No tendrá una solución única (la solución trivial 0=X ) si el
determinante de la matriz de coeficientes ( )MK 2
ω− se hace cero (matriz singular).
La expansión del determinante:
02
=−⇒ MK ω (8.13)
resultará en una ecuación algebraica de grado n en 2
ω , llamada la ecuación
característica. Las raíces de esta ecuación serán los valores deseados de 2
ω que
hacen cero el determinante.
Si ω2
i es la raíz iésima de la ecuación característica, y es una raíz simple, el rango de
la matriz )(
2
MK iω− será 1-n , indicando que el sistema de ecuaciones:
0)(
2
=− XMK iω (8.14)
tiene una ecuación que es una combinación lineal de las otras. Esto implica que uno
puede eliminar esta ecuación, dar un valor arbitrario a una de las componentes del
vector X y resolver un sistema de 1-n ecuaciones con 1-n ingógnitas (las
componentes restantes de X ) cuyo segundo miembro ya no es cero. Este se obtiene
pasando al segundo miembro los términos que contienen las componentes
seleccionadas de X . Así es posible encontrar las otras 1-n componentes y definir un
vector iX tal que:
iii XMXK
2
ω= (8.15)
Es importante resaltar que si a la componente de X escogida arbitrariamente (el
desplazamiento de la última o la primera masa, por ejemplo) se le hubiera dado un
valor doble que el supuesto, todas las otras componentes del vector hubieran sido
multiplicadas por dos. Por consiguiente el vector Xi se define en función de un factor
multiplicador constante y todas sus componentes pueden ser escaladas arbitrariamente
para arriba o para abajo (Es claro que para cualquier vector Xa=Y ii ,
iiiiii YMXMaXKaYK
22
ωω === , y entonces iY también es una solución).
Para nuestro sistema de 2 GDL, al hallar la solución de la Ecuación
Característica , Ec. (8.13), obtendríamos los siguientes valores característicos:
.
los cuales son valores positivos (por ser términos cuadráticos) cuyos subíndices
se designan luego de haberlos ordenado de menor a mayor, adquiriendo de esta
2
22
2
11 ωλωλ == y
SECC. 8.4.1.2: FRECUENCIAS Y PERIODOS NATURALES 13
manera dichas frecuencias un significado físico. En general para un sistema de “ n
” GDL se tiene:
nidondeii ,...,1
2
== ωλ
además:
nn
nn
TTTT
y
>>>>
<<<<
−
−
121
121
...
... ωωωω
(8.16)
Siendo llamado T1 “ Periodo Fundamental ” por ser el mayor periodo
correspondiente a la menor frecuencia angular.
8.4.1.2 Frecuencias y Periodos Naturales
Para ilustrar estos conceptos nos basaremos en nuestro sistema de 2 GDL.
Reemplazando las matrices en la Ec. (8.13) se tiene:
00
0
0
2
2
22
21
2
21
2
12
22
221
=
−−
−−+
→=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−+
mkk
kmkk
m
m
kk
kkk
ω
ω
ω
Al resolver y ordenar el determinante se tiene:
( )( ) ( )( )
( ) 0)(
0..
2121221
2
21
4
222
2
21
2
21
=+++−→
=−−−−−+
kkkkmkmmm
kkmkmkk
ωω
ωω
Cuyas soluciones de la ecuación cuadrática generada son:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++==
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++==
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
12
22
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
12
11
411
2
1
411
2
1
m
k
m
k
m
m
m
k
m
k
m
m
m
k
m
k
m
k
m
k
m
m
m
k
m
k
m
m
m
k
m
k
ωλ
ωλ
8.4.1.3 Formas de Modo
Haciendo uso de la Ec. (8.12) factorizada tenemos para ( i = 1 , 2 ):
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−+
0
0
2
1
2
2
22
21
2
21
i
i
i
i
x
x
mkk
kmkk
ω
ω
donde

Debido a que el sistema presenta un grado de dependencia sólo se puede usar una
ecuación. En general para un sistema de “ n ” GDL se despejan (n-1) valores de “ x ”
en función del restante. Para nuestro caso en particular, usando la primera fila tenemos:
( ) ( ) 02211
2
21 =−−+ iii xkxmkk ω (8.17)
Despejando la Ec. (8.17) para:
( )
( )
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
−+
=
=→=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
−+
=
=→=
22
12
2
12
2
1
2
221
22
2212
21
11
1
11
2
1
2
121
21
2111
/2
/1
x
x
X
x
k
mkk
x
ctexxi
x
x
X
x
k
mkk
x
ctexxi
ω
ω
se ve además de la Ec. (8.17) que constante para cualquier valor de la
frecuencia.
Finalmente, basados en la la Ec. (8.9), los modos ( ver Fig. 8.11 ) vendrían a
ser:
Fig. 8.11 Modos de vibración de la sistema.
=ii xx 21 /
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
21
11
1
x
x
X
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
22
12
2
x
x
X
11x
21x
12x
22x
)( 111 φω += tSenXU )( 222 φω += tSenXU
( a ) Modo 1 ( b ) Modo 2
SECC. 8.4.1.4: NORMALIZACIÓN DE LAS FORMAS DE MODO 15
“ Se debe resaltar que los modos se dan únicamente en el rango elástico, ya que
desaparecerán cuando se entre al rango inelástico ( para sismos severos )”.
8.4.1.4 Normalización de las Formas de Modo
Debido a que las formas modales están siempre definidas en términos de un factor
constante, es posible escalarlas arbitrariamente. Se pueden usar diferentes criterios
para lograr ello.
1.-) A veces los vectores se escalan de manera que la máxima componente en
términos absolutos se iguala a la unidad.
2.-) En otros casos una componente dada (por ejemplo el desplazamiento de la
masa del último piso) es seleccionada arbitrariamente e igualada a la unidad en
todos los modos. En general, esto se logra haciendo las componentes de
los respectivos modos , siendo dicha componente “ r ” arbitraria. Luego los
componentes restantes de cada modo “ i ” serán calculados en función de dicha
componente “ r ”.
3.-) Desde el punto de vista del cálculo sin embargo, se prefiere escalar o
normalizar los vectores con respecto a la matriz de masas “ M ” de manera que
1=i
T
i M ΦΦ (8.18)
para todos los i , en vista de que este producto se repite constantemente en el
denominador de muchas expresiones. Donde iΦ se obtiene al dividir las componentes
de Xi obtenidas de la solución del problema de valores característicos entre la raíz
cuadrada de i
T
i XMX . Cuando las formas modales se escalan de esta última forma
se dice que están normalizadas. Entonces:
( )∑
=
=
=
n
j
jijj
i
i
i
T
i
i
i
)x(m
X
ó
XMX
X
1
2
Φ
Φ
(8.19)
Por ejemplo la Ec. (8.15) al premultiplicarla por X
T
i ésta queda reducida a:
ωi
2
i
T
i =XKX
Asimismo, cabe mencionar que las formas modales normalizadas pueden
ensamblarse como las columnas de una matriz Q que es llamada la matriz modal.
iX
1=rix

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
...
...
...
...
...
21 nXXX
=Q
(8.20)
Usando la propiedad de la ortogonalidad de los modos, el producto QMQ
T
es
una matriz identidad (matriz diagonal con todos los términos de la diagonal iguales a la
unidad) y el producto QKQ
T
es una matriz diagonal cuyo término diagonal iésimo es
igual a
2
iω .
8.4.1.5 Propiedades Matemáticas de los Modos de Vibración.
Condición de Ortogonalidad
Cuando las matrices K y M son simétricas, como en este caso, y una de ellas es
positivamente definida (K lo es cuando la estructura es estable) varias propiedades del
problemas de valores característicos pueden ser automáticamente garantizadas:
1.-) Si el sistema tiene n grados de libertad, la ecuación característica tendrá n
raíces reales 1
2
ω a n
2
ω . (Nótese que una raíz puede tener un orden de multiplicidad
-es decir repetirse- mayor que uno. Si el orden de multiplicidad es r, deberían contarse
como r raíces. Este es el caso de un edificio simétrico con la misma rigidez en ambas
direcciones principales). De los “ n ” periodos el mayor es el fundamental.
2.-) Para cada valor propio o característico (frecuencia natural) iω de multiplicidad
1 hay una forma modal iX definida en función de un factor. Lo que implica que
imponiendo al sistema un juego de desplazamientos con la forma del vector Xi , éste
vibrará con la frecuencia ωi .
Para recordar con facilidad la relación entre las frecuencias y los modos, se
hace la siguiente analogía:
Dada(o) un(a):
Se define su
correspondiente
:
BailedelForma
Modo
Baile
frecuencia
↔
SECC. 8.4.1.5: PROPIEDADES MATEMÁTICAS DE LOS MODOS. CONDICIÓN DE ORTOGONALIDAD
17
3.-) Condición de Ortogonalidad; esta propiedad nos indica que las formas
modales X,X ji
correspondientes a dos frecuencias naturales ωω ji ,
, son tales
que:
jiparaxmxXMX
k
kjkkij
T
i ≠== ∑ 0 (8.21)
Se dice que los vectores XyX ji son ortogonales con respecto a la matriz de
masas M (La sumatoria sólo es válida cuando la matriz de masas es diagonal). Debe
notarse que las formas modales también son ortogonales con respecto a la matriz de
rigidez K , de manera que:
jiparaxxkXKX
l n
njlilnj
T
i ≠== ∑∑ 0 (8.22)
en resumen la condición de ortogonalidad establece:
(8.23)
siendo C la matriz de constantes de amortiguamiento. La construcción de dicha
matriz es análoga a la de K como se verá en la Secc. 8.4.2, claro esta, en su forma
mas simple.
Nota: Se dice que dos vectores son perpendiculares y no ortogonales para un
sistema de 1, 2 ó 3 GDL.
4.-) Una raíz de la ecuación característica de multiplicidad r tiene asociada
con ella r formas modales independientes que siempre pueden ser escogidas de
modo que satisfagan la condición de ortogonalidad entre ellas. También
satisfarán esta condición con respecto a las formas modales correspondientes a
otras frecuencias.
5.-) El conjunto de n formas modales de XaX n1 constituye un juego completo
de vectores que definen un espacio vectorial de orden n . Esto implica que cualquier
vector V con n componentes puede ser expresado como una combinación lineal de
las formas modales:
jiparaXKX
jiparaXCX
jiparaXMX
j
T
i
j
T
i
j
T
i
≠=
≠=
≠=
0
0
0

IERÍA SISMORRESISTENTE
Xa=V i1
n
1=i
∑
(8.24)
Los coeficientes ai se obtienen usando las condiciones de ortogonalidad.
Siendo “ai(t)” una variable dependiente del tiempo que expresa la contribución ó
participación dinámica (ello se verá en el Cap. 9).
Pre-multiplicando ambos lados de la ecuación por la matriz M y el vector X
T
j :
i
T
j
n
i
i
T
j XMXaVMX ∑
=
=
1
(8.25)
pero como 0=j
T
i XMX para i diferente de j :
i
T
i
T
i
i
XMX
VMXa = (8.26)
Esta propiedad es extremadamente importante porque permite expresar la solución
de cualquier problema dinámico como una sumatoria donde cada término representa la
contribución de un modo. Permite reducir la solución de un sistema de n grados de
libertad a la solución de n sistemas independientes de 1 GDL, desacoplando así las
ecuaciones de movimiento.
8.4.1.6 Aplicación y Verificación de las Propiedades de las Formas de
Modo de Vibración Libre
Para el sistema mostrado calcule:
a ) La ecuación característica.
b ) Las frecuencias y los periodos.
c ) Formas de modo.
d ) Normalizar las formas de modo.
e ) Verificar las propiedades.
Datos:
1m
2u
1u
2k
1k
2m
m
t
ky
m
t
k
m
st
gpesomm
88,279387,6893
437,11/
21
2
21
==
−
===
SECC. 8.4.1.6: APLICACIÓN Y VERIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS DE MODO
19
Solución:
a) Sabemos que para este tipo de sistema la ecuación característica, por ser de
vibración libre (ver Secc 8.4.1.1, Ec.(8.13)), viene dada por:
02
=− MK ω
ó
00
0
0
2
2
22
21
2
21
2
12
22
221
=
−−
−−+
→=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−+
mkk
kmkk
m
m
kk
kkk
ω
ω
ω
Siendo las matrices K (de rigidez) y M (de masas) al reemplazar los datos:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=→⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=→⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
9,27939,2793
9,279375,9696
437,110
0437,11
0
0
22
221
2
1
K
kk
kkk
K
M
m
m
M
Luego el determinante de la ecuación característica vendría dado por:
0
437,119,27939,2793
9,2793437,1175,9696
2
2
=
−−
−−
ω
ω
b) Es la solución del determinante la que nos permitirá la obtención de las
frecuencias y los periodos. Luego, operando el determinante:
0)9,2793()437,119,2793).(437,1175,9696( 222
=−−−− ωω
Resolviendo esta última ecuación, sabiendo que es el valor
característico, se tiene:
0988,51692133,8962
=+− λλ
Esta última ecuación es llamada el polinomio característico. Polinomio cuyas
raíces nos proporcionarán las frecuencias y periodos, para ello es necesario que
las frecuencias angulares se ordenen de menor a mayor:
2
ωλ =
077,777059,119
:
21 == λλ y
pordadasvienenraícesCuyas

Frecuencias angulares:
21
21
:
/876,27/91,10
ωω
ωω
<
==
queObserve
sradysrad
Como el periodo natural se define como:
s,Tys,T 22505760 21 ==
Observe que según la Ec. (8.16): 21 T)damentalPeriodoFun(T >
Frecuencias naturales:
21
21
:
44,474,1
ffqueObserve
HzfyHzf
<
==
c) Las Formas de modo se obtendrán a partir de las frecuencias angulares ya
calculadas. De la siguiente igualdad (ver Secc 8.4.1.3) :
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−+
0
0
2
1
2
2
22
21
2
21
i
i
i
i
x
x
mkk
kmkk
ω
ω
Al usar la primera fila, puesto que la segunda fila es dependiente de la primera
o viceversa, tenemos:
( ) ( ) 02211
2
21 =−−+ iii xkxmkk ω
Reemplazando:
( ) ( ) 09,2793437,1175,9696 21
2
=−− iii xxω
Notar que cada producirá una forma de modo distinta , cuyas
componentes, al despejar la última ecuación, serían:
( )
( ) i
i
i
i xy
x
x 22
2
1
437,1175,9696
9,2793
ω−
=
Se suele hacer , es decir la componente segunda en cada modo tomará
el valor de uno. En general para sistemas de “ n ” GDL se hace siendo
dicho valor a elegir arbitrario.
ii λω +=
i
iT
ω
π2
=
i
i
T
f
1
=
iω iX
12 =ix
1=nx
(ordenamiento que se ha hecho para obtener T1>T2 )
21
Recordar que en la Secc 8.4.1.3 se despejó en función de . En este
problema optaremos por despejar en función de , que es equivalente a lo
hecho en la sección antes mencionada puesto que la única finalidad es obtener de
manera cualitativa las formas de modo correspondientes a . Luego para:
( )
( )
)(
1
5848,0
5848,0
91,10437,1175,9696
9,2793
1/91,10:1
1111
1
21
11
1
11
211
212
1121
2
11
211
φω
ω
ωω
+=∴
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
=→
−
=
−+
=
====
tSenXU
X
x
x
Xluego
x
x
x
x
mkk
k
x
xysradi i
( )
( )
)(
1
7104,1
7104,1
876,27437,1175,9696
9,2793
1/876,27:2
2222
2
22
12
2
12
212
222
2121
2
12
222
φω
ω
ωω
+=∴
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧−
=⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
−=→
−
=
−+
=
====
tSenXU
X
x
x
Xluego
x
x
x
x
mkk
k
x
xysradi i
iX iω
ix1ix2
)876,27(
1
7104,1
2]2[
22 φ+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧−
=
→=
tSenU
Modoi
)91,10(
1
5848,0
1]1[
11 φ+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
→=
tSenU
Modoi
121 =x
5848,011 =x
122 =x
7104,112 −=x
⎯→⎯
⎯→⎯

d) La Normalización de las formas de modo será hecha basada en la Secc 8.4.1.4 :
d.1 ) Se deja como ejercicio para el lector.
d.2 ) Haciendo las componentes de los correspondientes modos ,
siendo dicha componente “ r ” arbitraria. Luego los componentes restantes de
cada modo “ i ” serán calculados en función de dicha componente “ r ”.
En la parte ( c ) se ha visto cuando . A continuación veremos el caso
cuando , para lo cual es necesario dividir su valor actual (positivo o
negativo) al modo correspondiente, obteniendo modos equivalentes “ e ”. Esto se
verá a continuación:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
==
→=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
==
→=
5848,0
1
)7104,1(1
1
2]2[
7097,1
1
5848,01
1
1]1[
)(
22
)(
12)(
2
1222
1212
12
2)(
2
)(
21
)(
11)(
1
1121
1111
11
1)(
1
e
e
e
eeequivalent
e
e
e
eeequivalent
x
x
X
xx
xx
x
X
X
Modoi
x
x
X
xx
xx
x
X
X
Modoi
d.3 ) Normalizando con respecto a la matriz de masas “ M ” :
1=i
T
i M ΦΦ
de donde:
-
( )∑=
=Φ=Φ n
j
jij
i
i
i
T
i
i
i
xm
X
ó
XMX
X
1
2
)(
iX1=rix
12 =ix
11 =ix
23
Observar que son los modos normalizados con respecto a la matriz de
masas. Trabajando con los vectores normalizados de la parte ( c ) del problema
tenemos para:
iΦ

INGENIERÍA SISMORRESISTENTE
[ ]
[ ]
)1493,0(437,11)2553,0(437,11)(
1
1493,0
2553,0
1
7104,1
8956,44
1
8956,44
)1(437,11)7104,1(437,11
1
7104,1
437,110
0437,11
17104,1
1
7104,1
:2]2[
)!(1
)2553,0(437,11)1493,0(437,11)(
1
2553,0
1493,0
1
5848,0
3484,15
1
3484,15
)1(437,11)5848,0(437,11
1
5848,0
437,110
0437,11
15848,0
1
5848,0
:1]1[
22
2
1
2
222
22
22
12
2
22
2
2
22
22
22
22
22
12
2
11
22
2
1
2
111
11
21
11
1
11
1
1
11
22
11
11
21
11
1
xxmMcomo
Moverificand
MXX
X
luego
MXX
xxMXX
MXX
x
x
XconModoi
OkM
xxmMcomo
Moverificand
MXX
X
luego
MXX
xxMXX
MXX
x
x
XconModoi
j
jjj
T
T
T
T
T
T
T
j
jjj
T
T
T
T
T
T
+−==ΦΦ
=ΦΦ
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=Φ⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧−
==Φ
=
+−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=→=
≅ΦΦ
+==ΦΦ
=ΦΦ
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=Φ⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
==Φ
=
+=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=→=
∑
∑
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
25
e) La Verificación de las propiedades de las formas de modo será hecha basada en
la Secc 8.4.1.5. Luego, siendo las matrices de masas ( M ) y rigidez ( K )
simétricas y K corresponde a una estructura estable, podemos garantizar que:
e.1 ) Existen tantas frecuencias angulares como grados de libertad se han
considerado. Es decir, si existen “ n = 2 ” GDL, entonces, existirán “ 2 ”
frecuencias naturales y por ende “ 2 ” periodos siendo el mayor el fundamental.
e.2 ) Para cada frecuencia existe una única forma de modo. Esto se ha podido
observar durante la solución del problema.
e.3 ) Condición de Ortogonalidad; las formas de modo que corresponden a dos
frecuencias naturales son ortogonales (perpendiculares para un sistema uno, dos ó
e tres grados de libertad ).
Cumpliéndose:
Siendo C la matriz de constantes
de amortiguamiento. La construcción de dicha matriz es análoga a la de K como se
verá en la siguiente sección. Verificando la condición de ortogonalidad por ejemplo
para:
[ ]
0
)11(437,11)7104,1()5848,0(437,11
1
7104,1
437,110
0437,11
15848,0
21
21
21
=→
+−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
MXX
xxxxMXX
MXX
T
T
T
Los demás productos con M, C, K y combinaciones de formas modales, de 2 en 2,
son análogos.
e.4 ) Para nuestro caso, no se tienen multiplicidad en la raíces por tratarse de un
sistema sencillo de 2 GDL.
ijparaXKX
ijparaXCX
ijparaXMX
j
T
i
j
T
i
j
T
i
≠=
≠=
≠=
0
0
0

SECC. 8.4.2: VIBRACIÓN FORZADA DE SISTEMAS DE VARIOS GDL CON AMORTIGUAMIENTO 25
e.5 ) El conjunto de formas modales constituye un sistema de referencia (espacio
vectorial) con respecto al cual puede expresarse cualquier vector “ V ”. Siendo “ a i (t)
” una variable dependiente del tiempo que expresa la contribución ó participación
dinámica (ello se verá en el siguiente capítulo). Es decir:
Permitiéndonos ésta última propiedad expresar la solución de cualquier problema
dinámico como una sumatoria ( o combinación lineal ) donde cada término representa
la contribución de cada modo.
8.4.2 Vibración Forzada de Sistemas de Varios GDL Considerando
Amortiguamiento
En toda la presentación anterior se supuso por simplicidad que el sistema no estaba
amortiguado. Sin embargo, las edificaciones en realidad tienen diferentes mecanismos
de disipación de energía mientras vibran bajo la acción de un sismo. Las pérdidas de
energía (y por consiguiente el amortiguamiento) ocurrirá debido a la fricción interna
en las uniones, o entre los muros y los pórticos y si las deformaciones son grandes
debido a deformaciones plásticas.
Las ecuaciones de movimiento del sistema considerando el amortiguamiento bajo
una matriz C serán:
)t(fFKUUCUM =++ &&& (8.27)
)t(fFX)t(a)t(a)t(a T
iiiiii =++
2
2 ωωβ &&& (8.28)
Si se va a usar análisis modal no es necesario contar con una matriz de
amortiguamiento. Todo lo que se requiere es introducir la fracción de
amortiguamiento crítico o porcentaje de amortiguamiento β en la iésima ecuación
modal.La determinación de la matriz C sólo es necesaria si no se va a usar análisis
modal y se va a integrar numéricamente todo el conjunto completo de ecuaciones.
Este es el caso si se va a realizar un análisis dinámico nolineal (inelástico) y se desea
agregar a la estructura una cantidad adicional de amortiguamiento además del que
resultará del comportamiento inelástico (lazos histeréticos).
Hay varias técnicas para determinar esta matriz C . Si se conocen todas las formas
de modo y frecuencias naturales la forma más simple es definir:
MQBQMC T
= (8.29)
i
n
i
i XtaV ∑
=
=
1
)(
donde M es la matriz de masas, Q la matriz modal (conteniendo todas las formas
modales como columnas, ver Secc. 8.4.1.4) y B es una matriz diagonal cuyo término
iésimo es igual a ii2 ωβ (recordar que para 1 GDL se tiene
ω
β
m
c
c
c
crítico 2
== ).
Otra forma de determinar C es considerar:
Ka+Ma=C 10 (8.30)
donde los parámetros oa y 1a se seleccionan de manera que la variación de β
sobre el rango de frecuencias de interés sea pequeño (según la Norma Peruana de de
Diseño Sismorresistente ).
Considerando amortiguamiento para nuestro sistema simplificado de 2 GDL
Dinámicos visto en la Secc. 8.3, en el que además de las fuerzas inerciales también
posee fuerzas actuando en cada GDL (Fig. 8.12).
Fig.8.12 Sistema forzado con amortiguamiento.
la ecuación para este sistema amortiguado forzado vendría a estar dado por la
Ec..(8.27). Si en este sistema el amortiguamiento a considerar es en su forma más
simple entonces la construcción de la matriz de amortiguamiento será análoga a la
construcción de la matriz de rigidez, o sea:
1m
)(2 tfP
2k
1k
2m
1c
2c
)(1 tfP
%5=β

SECC. 8.5: SISTEMAS CONTINUOS O DE MASA DISTRIBUIDA: VIGA DE CORTE, VIGA DE FLEXIÓN
27
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−+
=⇒
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−+
=
22
221
22
221
cc
ccc
C
kk
kkk
KSi
8.5 SISTEMAS CONTINUOS O DE MASA DISTRIBUIDA: VIGA DE CORTE
Y VIGA DE FLEXIÓN
Los sistemas estructurales reales son en realidad sistemas continuos con su masa y
rigidez distribuida a lo largo de los elementos. Algunas estructuras, como los pórticos,
poseen características de comportamiento ante las cargas sísmicas que justifican la
reducción del número de grados de libertad. Hay otras que por estar constituidas por
un número pequeño de elementos, como un emparrillado o una chimenea, pueden
representarse adecuadamente por un sistema lineal de masa distribuida como los que se
presentan a continuación. Por último es posible usar los resultados calculados usando
estos modelos para predecir aproximadamente el comportamiento de estructuras más
complejas.
La viga de corte es un elemento ideal que se utiliza para representar sistemas
físicos que se caracterizan por comportarse presentando una deformación lateral
similar a la deformación por corte, o sea únicamente una distorsión lateral. Por
ejemplo, los edificios de altura mediana aporticados a base de elementos de rigidez
similar, cuando son sometidos a cargas laterales experimentan desplazamientos
laterales al nivel de sus entrepisos, manteniéndose éstos prácticamente horizontales.
Esta deformación de todo el pórtico es similar a la de una viga de corte. Los estratos
de suelos sometidos a sismos que experimentan solamente deformaciones laterales son
a veces representados por vigas de corte. De hecho la teoría simplificada de
amplificación de ondas hace uso de estas hipótesis.
8.5.1 Viga de Corte. Ecuación Diferencial
Cuando en un elemento prismático la deformación por corte transversal al eje del
elemento es la única que se supone actuando se tiene una viga de corte.
INGENIERÍA SISMORRESISTENTE
Fig. 8.13 Viga de Corte
En la Fig. 8.13 se observa una viga que presenta una distribución uniforme del
esfuerzo cortante en su sección transversal. El desplazamiento lateral (en este caso
horizontal) está representado por la letra v . De la Resistencia de Materiales se
conocen las siguientes relaciones que nos permiten establecer la ecuación diferencial
que gobierna el comportamiento de la viga de corte:
q-=
xd
vd
GA 2
2
(8.31)
Si se considera la fuerza distribuida, q , aplicada a la viga como compuesta por una
fuerza de inercia más una porción "excitadora":
t
v
A-t)q(x, 2
2
δ
δρ
(8.32)
obtenemos la ecuación diferencial de movimiento para la viga de corte.
t)q(x,-=
t
v
A-
x
v
GA 2
2
2
2
δ
δρ
δ
δ
(8.33)
8.5.1.1 Vibración Libre: Viga en Voladizo
Cuando no existe fuerza pulsante o excitadora, el sistema vibrará libremente. La
ecuación de movimiento se transforma en la siguiente (ecuación homogénea cuyo
segundo miembro igual a cero)
0=
t
v
A-
x
v
GA 2
2
2
2
δ
δρ
δ
δ
(8.34)
Para determinar las condiciones bajo las cuales esta ecuación tiene solución, se
supondrá la existencia de una vibración que sigue una amplitud o curva determinada

SECC. 8.5: SISTEMAS CONTINUOS O DE MASA DISTRIBUIDA: VIGA DE CORTE, VIGA DE FLEXIÓN
29
con una frecuencia Ω .Resolviendo el problema resultante para esas incógnitas
obtendremos que la solución corresponderá a las características de la vibración libre.
Fig. 8.14 Viga de Corte en Voladizo
Supóngase que la viga vibrará siguiendo una función t)v(x, dependiente de la
altura de la viga y del tiempo, que es a su vez función de una "forma" (x)v0
independiente del tiempo y de una función armónica de frecuencia Ω ,
)+tsen( ΨΩ .
)+tsen().x(v)t,x(v o ΨΩ= (8.35)
Sustituyendo esta función y sus derivadas en la ecuación diferencial anterior se
tiene:
0=vp+
xd
vd
0
2
2
2
(8.36)
donde:
G
=p
2
2 Ωρ
(8.37)
Obsérvese que la solución de esta ecuación diferencial proveerá la forma de la
función (x)v0 que será la que adoptará la viga al vibrar libremente con la frecuencia
Ω incluida en el parámetro p . En buena cuenta representa la forma modal y Ω la
frecuencia modal asociada.
La solución general de la ecuación diferencial Ec. (8.36) es:
Bsenpx+pxA=v0 cos
(8.38)
Para el caso de la viga en voladizo las condiciones de borde son (Fig. 8.14):
SECC. 8.5.1.1: VIGA LIBRE: VIGA EN VOLADIZO 29
- desplazamiento en la base cero v(0) = 0
- giro en la parte superior cero, porque el cortante en el extremo es cero y por
consiguiente en este caso eso requiere que la primera derivada del desplazamiento
en ese punto sea cero, o sea 0=(H)v′ . Se obtiene como solución no trivial:
/(2H)1)-(2n=p π (8.39)
o expresado en términos de la frecuencia Ω :
ρπΩ G//(2H)]1)-[(2n=n
(8.40)
Las frecuencias naturales corresponderán a valores sucesivos de 3;2;1:n
El término ρG/ corresponde a la velocidad de propagación de las ondas de
corte, V s , en un estrato de suelo que se modela elásticamente como si fuera una viga
de este tipo para las ondas transversales que causan esa deformación.
Los períodos se expresan como:
Ωπ/2=Tn (8.41)
V1)-4H/(2n=T sn
(8.42)
El período fundamental, cuando 1=n viene dado por la expresión:
V4H/=T s1 (8.43)
Las formas modales vienen expresadas por (Fig. 8.15)
x/2LBsenn=(x)von π (8.44)

Fig. 8.15 Viga de Corte en Voladizo: Modos
8.5.2 Viga de Flexión. Ecuación Diferencial
El elemento básico en flexión es una viga prismática de sección constante sometida a
deformaciones flexionantes. Las relaciones constitutivas son ampliamente conocidas.
Aquí nos limitaremos s listar las ecuaciones aplicables para el comportamiento
dinámico de una viga simple.
La ecuación diferencial de movimiento para la viga de flexión es:
p=
t
v
m+)
x
v
(EI
x
2
2
2
2
2
2
δ
δ
δ
δ
δ
δ
(8.45)
8.5.2.1 Vibración libre: Viga en voladizo
Para el caso de la viga en voladizo se obtienen las siguientes expresiones para las
frecuencias y las formas de modo:
Frecuencias:
m
EI
L
)(0.597
= 2
2
1
π
ω
(8.46)
1>n
m
EI
L4
)1-(2n
= 2
22
n
π
ω
(8.47)
Formas de modo:
)xphsenxphcosxsenpxp(cosB)x(v nnnnon +−−= (8.48)
donde: EI
m
p
2
4 Ω
=
8.5.3 Estimación de Períodos para Edificios
Una aplicación muy útil de estos sistemas continuos es la estimación aproximada
de los períodos de los modos altos. La Ec. (8.42) indica que los períodos en la
viga de corte varían inversamente a los números impares. Es decir que siguen una
serie inversa a 1; 3; 5; 7.... De esta manera si se considera el período fundamental
de un edificio aquel calculado por métodos rigurosos (véase Ref. 12, Cap. 5),
entonces los períodos de los modos superiores pueden estimarse directamente
dividiendo éste del modo fundamental por los factores mencionados.
En el estudio de la Ref. 9, se demuestra que para pórticos sin muros de
concreto o placas, la correlación entre los períodos exactos y los que predice la
SECC. 8.5.3: ESTIMACIÓN DE PERIODOS PARA EDIFICIOS 31
viga de corte es sorprendentemente buena. En el Cuadro 8.1 se muestra la
comparación para un pórtico de 12 pisos, sin muros o placas.
Ti
Pórtico de 12
pisos sin placas
Períodos (s)
Viga de corte
en voladizo (V.C.)
Períodos (s)
T1 0,993 0,993
T2 0,346 0,331
T3 0,197 0,199
T4 0,132 0,142
T5 0,099 0,110
T6 0,076 0,090
Cuadro 8.1 Comparación entre períodos de una viga de corte con los de un
pórtico de 12 pisos sin placas o muros de corte [ Ref. 9 ]
Cuando el pórtico tiene muros de corte o placas la correlación con la viga de corte
ya no se mantiene. En este caso es necesario usar como referencia también la viga de
flexión o de Timoshenko. Que no es otra cosa que una viga en voladizo cuya
deformación proviene primariamente de la flexión. En este caso de edificios con
placas, la deformación lateral tiene una forma más cercana a la de una viga en volado
a flexión. Estos períodos varían inversamente proporcional a (2n-1) al cuadrado del
número del modo, o sea como 9; 25; 49; etc. considerando que el primero es como
1.426. Luego los períodos de los modos 2 al 6 varían inversamente proporcional a
6,31; 17,36; 34,37; 56,82; 84,87. También en la [ Ref. 9 ] se comprobó que los
períodos calculados para un edificio con muros o placas y aquellos que se obtenían
promediando los obtenidos usando la viga de corte y la de flexión eran
suficientemente cercanos como para ser considerados como una buena referencia. En
el Cuadro 8.2 se muestra la comparación mencionada para un edificio de 12 pisos,
pero esta vez con placas o muros de corte.
Ti
Pórtico de 12
pisos con placas
Período (s)
Viga de flexión
en voladizo
(V.F.)
Período (s)
Viga de corte
en voladizo
(V.C.)
Período (s)
Promedio de
V.F. y V.C.
Período (s)
T1 0,733 0,733 0,733 0,733
T2 0,212 0,117 0,244 0,181
T3 0,103 0,042 0,147 0,095
T4 0,064 0,021 0,105 0,063
T5 0,045 0,013 0,081 0,047

Cuadro 8.2 Comparación de períodos promedio entre una viga de corte y una
de flexión con los de un pórtico de 12 pisos con placas o muros de
corte [ Ref. 9 ]
REFERENCIAS 33
REFERENCIAS
1. Biggs, J.M., "Dynamic Analysis of One-Degree Systems", en Notas del
curso Fundamentals of Earthquake Engineering for Buildings . Massachusetts
Institute of Technology. Cambridge, Massachusetts. 1972
2. Röesset, J.M. "Structural Dynamics". Notas de clase. Massachusetts Institute
of Technology. Cambridge, Mass. 1974.
3. Biggs, J.M., Introduction to Structural Dynamics. McGraw-Hill. New York.
1964
4. Craig Jr., R.R., Structural Dynamics. John Wiley & Sons. New York. 1981
5. Clough, R.W. & Penzien, J. Dynamics of Structures. McGraw-Hill. New
York. 1975
6. Okamoto, S. Introduction to Earthquake Engineering. Halsted Press. John
Wiley & Sons. New York. 1973
7. Hurty, W.C. & Rubinstein, M.F. Dynamics of Structures. Prentice Hall. New
Jersey 1964.
8. Bathe, K.J., Wilson, E.L. Numerical Methods in Finite Element Analysis,
Prentice-Hall. Englewood Cliffs, New Jersey. 1976
9. Wilkinson, J.H., The Algebraic Eigenvalue Problem, Clarendon Press.
Oxford. . 1965
10. Piqué, J., Echarry, A. "A Modal Combination for Dynamic Analysis of
Reinforced Concrete Frames". 9a. Conferencia Mundial de Ingeniería
Antisísmica. Tokyo-Kyoto. Japón. 1988
11. Bazán, E., Meli, R. Diseño Sísmico de Edificios, Editorial Limusa.
Balderas, México. 2002
12. Piqué, J., Scaletti, H., Análisis Sísmico de Edificios, Ediciones Capítulo de
Ingeniería Civil. Lima, Perú. 1991

34 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD ANEXO - CAP. 8: COCIENTE DE RAYLEIGH 35
ANEXO
COCIENTE DE RAYLEIGH
Factorizando el vector de máximos desplazamientos en la ecuación
característica, Ec. (8.11), el problema a considerar resulta de la forma:
0)( 2
=− XMK ω (8.49)
reordenando esta última ecuación se tiene:
XMXK 2
ω= (8.50)
Suponiendo que se conoce la solución Xi de la Ec. (8.50), entonces se cumple que:
iii XMXK
2
ω= (8.51)
y haciendo ii λω =
2
la Ec. (8.51) queda:
iii XMXK λ= (8.52)
multiplicando la Ec. (8.52) por T
iX :
i
T
iii
T
i XMXXKX λ= (8.53)
despejando la Ec. (8.53) :
i
T
i
i
T
i
ii
XMX
XKX
==
2
ωλ (8.54)
El cociente de Rayleigh nos permite calcular el valor de iλ conocido su
correspondiente vector característico iX . Esto se puede apreciar en la Ec. (8.54).
Debido a que la Ec. (8.54) puede ser usada con aproximaciones a los vectores
propios [ Ref. 12 ], entonces, suponiendo que se conoce una forma de modo de
manera aproximada:
VX i ← (8.55)
Reemplazando la Ec. (8.55) en la Ec. (8.54) se tiene:

VMV
VKV
T
T
ii ==
2
ωλ (8.56)
Las fuerzas aplicadas serían:
FVK = (8.57)
Al reemplazadas deichas fuerzas en la Ec. (8.56) tenemos:
VMV
FV
T
T
i =λ (8.58)
La Ec. (8.58) escritas en forma de sumatorias es:
( )2
1
1
j
n
j
j
j
n
j
j
i
vM
vF
∑
∑
=
=
=λ (8.59)
donde jj vyF son elementos de los vectores columnas VyF , y jM es un
elemento que pertenece a la diagonal principal de la matriz de masas M.
Como
2
ii ωλ = , entonces la Ec. (8.59) quedaría:
( ) ( )2
1
1
2
1
12
j
n
j
j
j
n
j
j
i
j
n
j
j
j
n
j
j
ii
vM
vF
vM
vF
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=→== ωωλ (8.60)
Si en la Ec. (8.60) se trabaja con pesos en vez de masas, entonces:
( )2
1
1
.
j
n
j
j
j
n
j
j
i
VP
VFg
∑
∑
=
=
=ω (8.61)
Y como se conoce que
i
iT
ω
π2
= , entonces el periodo correspondiente a la forma
de modo Xi según la Ec. (8.61) sería:
ANEXO - CAP. 8: COCIENTE DE RAYLEIGH 37
( ) ( )
j
n
j
j
j
n
j
j
j
n
j
j
j
n
j
j
i
vFg
vP
vF
vM
T
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
==
1
2
1
1
2
1
.
.2.2 ππ (8.62)
EJEMPLO:
Para el siguiente sistema que se muestra calcule de manera aproximada el periodo:
Solución:
Suponiendo de manera aproximada las fuerzas aplicadas, se tiene:
1m
2m
3m
m
t
k 000101 =
m
t
k 00082 =
m
t
k 00083 =
m
st
m
2
1 10
−
=
m
st
m
2
2 9
−
=
m
st
m
2
3 8
−
=
1m
2m
3m
tF 000101 =
tF 000202 =
tF 000303 =

Resumiendo todos los cálculos en tablas se tiene:
Nivel
j
kj
(t/m)
Fj supuestas
(t)
V’j = Fj acumuladas
(t) j
j
j
k
V '
=∆
v j= ∆ j
acumuladas
3 8 000 30 000 30 000 3,75 16,00
2 8 000 20 000 50 000 6,25 12,25
1 10 000 10 000 60 000 6,00 6,00
Nivel Mj
(t-s2
/m)
Mj .vj
2
Fj .vj
3 8 2 048,00 480 000
2 9 1 350,56 245 000
1 10 360,00 60 000
∑= 3 758,56 ∑= 785 000
Usando la Ec. (8.60): sTT 435,0
000785
56,7583
2 =→= π
1v
2v
3v
3∆
2∆
1∆

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