Manual de practicas

MANUAL DE
PRÁCTICAS
DE
VIBRACIONES
MECÁNICAS

PRACTICA # 1
RESORTES EN SERIE Y EN PARALELO
OBJETIVOS
• El alumno comprenderá el significado de la constante de rigidez de un resorte
y su relación con la fuerza elástica que éste ejerce sobre una masa en un sistema
con movimiento armónico simple.
• Se analizarán las diferencias entre configuraciones de resortes en serie y
paralelo en forma analítica y experimental.
• Se verificarán distintos métodos para determinar la constante de rigidez de un
resorte en forma experimental.
FUNDAMENTOS
Los resortes son elementos ampliamente utilizados para la construcción de
sistemas dinámicos. Dichos elementos tienen la propiedad de ejercer una fuerza
restauradora de naturaleza elástica cuando sufren una deformación relativa
entre sus extremos. Esta fuerza puede ser representada a través de la ecuación
F = −kx (1)
donde el signo negativo indica que un resorte siempre ejercerá una fuerza en
dirección contraria a la direcciónen que es deformado. La naturaleza de la fuerza
restauradora de un resorte es elástica dado que tiene un comportamiento lineal,
como el que puede apreciarse en la fig. 1.
Figura 1.- Representación gráfica de la relación fuerza vs deformación en una
zona elástica enunciada por la Ec. (1).

Cuando se analiza el efecto de las fuerzas ejercidas por los resortes sobre una
o distintas masas en un sistema dinámico se toman en cuenta las siguientes
consideraciones:
a) La masa es despreciable, dado que no contribuye significativamente al peso
del sistema.
b) No existe amortiguamiento interno en el resorte.
La fuerza resultante que ejercen los resortes sobre las masas en los sistemas
dinámicos depende de su configuración espacial en dicho sistema: serie (fig. 2a)
o paralelo (fig. 2b).
Figura 2.- Configuraciones de resorte. (a) Serie, (b) paralelo y (c) sistema
equivalente.
Las configuraciones en serie y paralelo mostradas en la fig. (2) pueden ser
representadas a través de un sistema equivalente. El valor de la constante de
rigidez equivalente para dicho sistema (keq) es diferente para cada una de las
dos configuraciones. Para encontrar el valor de dicha constante se analizarán
ambos casos.

A. Resortes en serie
El diagrama de cuerpo libre de ambos sistemas (serie y equivalente) es el que
aparece en la fig. (3). En ambos casos debe prevalecer la condición de equilibrio
ΣF = 0 (2)
Por lo que
R eq F = F (3)
debe notarse que ambos resortes en serie están sometidos a la misma fuerza.
Esto significa que
F = kδ = k δ (4)
donde δ1 y δ2 son las deformaciones sufridas por los resortes 1 y 2
respectivamente, las cuales se obtienen a partir de la Ec. (4) como
La deformación equivalente δeq es igual a la suma de las dos deformaciones δ1
y δ2 de los resortes en serie
δ =δ +δ (6)
de acuerdo con las Ecs. (1) y (3) la deformación δeq es también

de tal manera que sustituyendo las Ecs. (7), (5a) y (5b) en la Ec. (6) se tiene que
por lo que la constante equivalente de rigidez de un sistema de resortes en serie
es
Figura 3.- Diagrama de cuerpo libre. (a) resortes en serie y (b) sistema
equivalente.

B. Resortes en paralelo
El diagrama de cuerpo libre de ambos sistemas (paralelo y equivalente) es el
que aparece en la fig. (4). En ambos casos debe prevalecer la condición de
equilibrio de la Ec. (2) por lo que
F R1+ F R2 = Feq (10)
debe notarse que ambos sistemas tienen la misma posición de equilibrio, por lo
que la deformación de todos los resortes es la misma
δ1 =δ2 =δeq (11)
sustituyendo Ec. (11) en la Ec. (10) se llega a la expresión
k1δeq + k1δeq = keq δeq
o bien
k 1+ k 1= k eq (12)
Figura 4.- Diagrama de cuerpo libre. (a) resortes en paralelo y (b) sistema
equivalente.

MATERIAL Y EQUIPO A UTILIZAR
• Marco para soporte de sistemas masa – resorte.
• Resortes con diversas constantes de rigidez.
• Medidor Vernier.
• Masas de distintos valores.
• Cronómetro.
PROCEDIMIENTO
Obtenga los valores de las constantes de rigidez utilizando los dos siguientes
métodos:
1. Haga oscilar el sistema masa – resorte colocando una masa conocida y un
resorte de rigidez desconocida. Con la ayuda del cronómetro obtenga la
frecuencia natural de oscilación y posteriormente calcule el valor de k a partir de
la Ec. (13). Nota: recuerde que la frecuencia natural considerada en dicha
ecuación tiene unidades de rad/s y la relación que existe con el periodo T (en
segundos) que usted puede medir con el cronómetro es ω=2π/T.
(13)
2. Fije un extremo del resorte en el marco de soporte y coloque en el otro extremo
una serie de masas conocidas. Para ello comience con una sola masa de tal
manera que produzca una elongación pequeña en el resorte y mida la nueva
longitud del mismo.
Posteriormente coloque otra masa conocida y mida nuevamente la longitud del
resorte. Posteriormente calcule k utilizando la Ec. (14)
(14)
Coloque los resortes y las masas de tal forma que construya distintos sistemas
de resortes: en serie y en paralelo.

REPORTE
1. Obtenga los valores de las constantes de rigidez k de cada resorte en forma
individual utilizando ambos métodos descritos en el procedimiento.
2. Obtenga una constante de rigidez k equivalente para cada configuración de
resortes (serie y paralelo).
3. Encuentre la frecuencia natural del sistema en forma analítica (Ec. (13)) y
experimental.
4. Realice los diagramas y cálculos necesarios para cada sistema.
5. Simule los procesos vistos en el laboratorio utilizando los paquetes Working
Model y
MATLAB. Para estas simulaciones se pide
a) Obtener una gráfica desplazamiento vs tiempo para la masa.
b) Calcular la frecuencia natural del sistema utilizando la gráfica anterior.
c) Calcular los porcentajes de error entre los resultados obtenidos en forma
experimental, analítica y computacional para la frecuencia natural de los distintos
sistemas.
d) Modificar la constante de rigidez k y describir el comportamiento del sistema
a diferentes valores.
RESULTADOS
1. Llene la tabla de resultados que se muestra a continuación. En ella evalúe la
confiabilidad de las técnicas aplicadas en los espacios designados para tal fin.
PROGRAMA DE MATLAB
Grabe en un archivo llamado “smra.m” las siguientes líneas
function yprime=smra(t,y)
f=2;
m=2.036;
b=0;
k=327;
yprime=[y(2)
f/m-b*y(2)/m-k*y(1)/m];

Grabe en otro archivo con el nombre que desee “nombre.m” las siguientes líneas
rango=[0 5];
val_in=[0; 0];
[t,y]=ode45('smra',rango,val_in);
x=y(:,1);
v=y(:,2);
plot(t,x,t,v,'--')
xlabel('Tiempo, [s]')
ylabel ('Des., [m], Vel., [m/s]')
title ('Sistema Masa - Resorte')
grid
Figura 5.- Gráfica desplazamiento vs. Tiempo obtenida utilizando MATLAB.
Guarde ambos archivos “***.m” en el mismo directorio y ejecute el archivo
“nombre.m” desde la ventana de comandos (Command Window) de MATLAB.
REFERENCIAS
[1] Rao, Singiresu S. “Mechanical Vibrations”, Fourth Edition, Pearson. USA
2003.
[2] Steidel, Robert F. “An introduction to mechanical vibrations”, Third Edition,
John
Wiley, USA 1989.

PRÁCTICA #2
DETERMINACIÓN DE MOMENTOS DE INERCIA Y
LOCALIZACIÓN DEL CENTRO DE GRAVEDAD Y DE PERCUSIÓN
OBJETIVOS
 El alumno determinará el momento de inercia de un cuerpo cualquiera y
encontrará su centro de percusión.
 Se estudiarán las diferentes características del centro de percusión con
respecto al centro de pivoteo y su relación con la frecuencia de oscilación
de un sistema.
FUNDAMENTOS
Momentos de inercia
Los momentos de inercia de área juegan un papel importante en el diseño de
estructuras, especialmente para el análisis estático del funcionamiento de dichas
estructuras. Un ejemplo muy claro e ilustrativo son los momentos de inercia de
área utilizados en el análisis de vigas y columnas. El momento de inercia de área
es una medida de la distribución del área alrededor de un eje de giro y es una
propiedad constante de la sección transversal en vigas y columnas para dicho
eje. En contraste, el momento de inercia de masa es un indicador de la
distribución de la masa alrededor de un eje de giro, razón por la cual el momento
de inercia de masa es importante para el análisis dinámico de cuerpos con
movimiento de cuerpo rígido.
La ecuación de movimiento de rotación alrededor de un eje normal al plano de
movimiento para un cuerpo rígido contiene una integral que depende de la
distribución de la masa con respecto al momento del eje. Esta integral debe
calcularse cuando el cuerpo rígido tiene una aceleración angular en el eje de
rotación
I = ∫ r2 dm (1)
Esta integral representa una propiedad importante del cuerpo y está envuelta en
el
análisis de cualquier cuerpo que tiene una aceleración angular en el eje de giro.
Así como la masa m de un cuerpo es una medida de su resistencia a la
aceleración de traslación, el momento de inercia I es una medida de la
resistencia a la aceleración angular que presenta un cuerpo sujeto en un eje. El
momento de inercia de masa es un término inconveniente y difícil de calcular.
Esta propiedad nunca es calculada directamente de la geometría del cuerpo o
utilizando la Ec. (1), excepto por las geometrías elementales. El momento de
inercia puede ser medido con precisión observando su efecto en la respuesta
dinámica del cuerpo rígido ante aceleración angular midiendo la frecuencia de
oscilación del cuerpo en vibración libre.

Existen otras formas de medir el momento de inercia. Si la masa del cuerpo rígido
es concentrada en un círculo delgado, el cual tiene las mismas propiedades
inerciales de resistencia a la aceleración angular como el cuerpo rígido, el radio
de este círculo o anillo puede ser el radio de giro K0. Si toda la masa es
concentrada en un punto, la distancia de dicho punto al eje fijo puede ser q0. Ese
punto es llamado centro de percusión. La localización del centro de percusión y
del radio de giro está relacionada con la localización del centro de masa y el
centro de rotación en donde r es la distancia radial al centro de masa desde el
eje fijo. Si el momento de inercia de masa es reemplazado por esta equivalencia
I0=m q0 r, la frecuencia natural del sistema será
Este término tiene una utilidad simple para que el centro de percusión y el centro
de oscilación puedan ser intercambiados y resulte la misma frecuencia natural
en cada caso. Sistemas de un grado de libertad en vibración libre sin
amortiguamiento
Para estos tipos de sistemas es posible tener diferentes casos de
comportamiento, los cuales pueden ser
En el caso c) tiene sentido calcular el momento de inercia de masa, pues
contrario a los casos a) y b) la masa no está concentrada en un solo punto y el
cuerpo presenta una rotación de cuerpo rígido en un eje perpendicular al plano
de movimiento y que pasa por el punto 0. Para este caso, la sumatoria de
momentos externos en el punto en cuestión debe ser igual a la sumatoria de
momentos efectiva.
En la fig. (2) se aprecia un diagrama de cuerpo libre del péndulo compuesto de
la fig. (1c). Utilizando dicho diagrama y la Ec. (3) es posible concluir que

Pero 𝑟∅ = 𝑎 𝑡
̈ , en consecuencia
donde claramente puede reconocerse 𝐼0 como el teorema de ejes paralelos como
por lo que después de sustituir la Ec. (6) en la Ec. (4) se obtiene que
la Ec. (7) es una ecuación diferencial de segundo orden no lineal y homogénea.
Dicha ecuación es no lineal porque contiene una función senoidal en la variable
dependiente. Si se divide dicha ecuación entre 𝐼0 se podrá escribir en su forma
estándar
si se suponen oscilaciones pequeñas (ángulos ∅ pequeños) puede
transformarse la Ec. (8) en una ecuación lineal de la forma

Forma de determinar el centro de percusión para un péndulo compuesto
En la fig. (3) se muestra un diagrama de cuerpo libre para determinar las
fuerzas momentos con respecto al punto 0. Si se definió q0 como la distancia
que hay del punto 0 al centro de percusión, entonces se obtiene lo siguiente
por lo tanto la sumatoria de momentos es
y la sumatoria de fuerzas es igual al producto de la masa por la aceleración
a partir de las Ecs. (12) y (13) se obtiene que
recordando la teoría de radio de giro, que es el punto donde se concentran todas
las masas, entonces podemos definirlo con dependencia en la masa y su centro
de gravedad
donde 𝑘 𝐺 es el radio de giro. De acuerdo con la Ec. (15) la Ec. (14) puede
escribirse como

si se desea representar la frecuencia natural de un péndulo compuesto en
función de su centro de percusión se tiene que
• Objeto a oscilar.
• Péndulo simple.
• Calibrador Vernier.
• Cronómetro.

• Cinta métrica.
• Báscula.
PROCEDIMIENTO
Para medir las frecuencias de oscilación realice lo siguiente:
1. Ponga a oscilar el volante por hasta contar 20 ciclos completos y
midiendo el tiempo que se tarda en completar los ciclos.
2. Repita el paso 1 tres veces y obtenga un tiempo promedio.
REPORTE
Utilizando las mediciones experimentales elabore un reporte en el que se
muestre lo siguiente:
1. Calcule la frecuencia natural de oscilación del volante.
2. Localice el centro de gravedad y de percusión de la pieza.
3. Calcule el momento de inercia con respecto al centro de pivote 𝐼0 en
forma analítica.
4. Calcule el momento de inercia con respecto al centro de gravedad 𝑙 𝐺
aplicando el teorema de los ejes paralelos puntual en forma analítica.
5. Utilice un paquete CAD para determinar los momentos de inercia
anteriores y compare con los resultados obtenidos analíticamente.
INVESTIGACIÓN
1. Explique algún método para calcular el momento de inercia de los
cuerpos.
2. Investigue todo lo posible sobre el centro de percusión en los cuerpos.
REFERENCIAS
2003.
John
Wiley, USA 1989.
[3] Thomson, William T. “Theory of vibrations: applications”. Second Edition,
Prentice
Hall, USA 1982.
[4] Stile, Hidgon. “Ingeniería Mecánica, tomo II: Dinámica Vectorial”. Prentice
Hall,
1982.

PRACTICA # 3
VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD CON
AMORTIGUAMIENTO
OBJETIVO
El alumno determinará experimentalmente los parámetros para representar el
comportamiento de un sistema oscilatorio amortiguado de un grado de libertad.
FUNDAMENTOS
En la vida real es posible apreciar que las vibraciones libres no son infinitas. Este
fenómeno puede verificarse con facilidad observando que las vibraciones libres
en realidad disminuyen su amplitud de oscilación con respecto al tiempo. La
ecuación diferencial utilizada para representar un sistema masa – resorte como
el que se muestra en la figura 1 es
ΣF = ma
mẌ+ kx = 0 (1)
(a) (b)
Fig. 1.- (a) Sistema masa – resorte de un grado de libertad. (b) Diagrama de
cuerpo libre de dicho sistema.
La solución de la Ec. (1), como se discutió en la práctica anterior, tiene la forma
(2)
donde C1 y C2 son constantes que se definen a partir de las condiciones iniciales
del sistema oscilatorio y a través del uso de la identidad
(3)

La Ec. (2) puede escribirse como
x (t ) = A1 cosωnt + A1 sinωnt (4)
Es posible apreciar a partir de la Ec. (4) que el desplazamiento es periódico(dada
la naturaleza de las funciones seno y coseno) en el tiempo e infinito. Sin
embargo, esto no concuerda con la mayoría de los sistemas vibratorios a nuestro
alcance, los cuales oscilando libremente se detienen conforme transcurre el
tiempo.
Lo anterior sugiere entonces la existencia de formas de disipación de energía
(conocidas también como mecanismos de amortiguamiento) en los sistemas
vibratorios las cuales producen el fin de los movimientos oscilatorios de dichos
sistemas. Durante el amortiguamiento la energía del sistema vibratorio es
disipada como fricción, calor o sonido. Los mecanismos de amortiguamiento
existen de varias formas, por ejemplo:
• Amortiguamiento de Coulomb o de fricción seca. - En este caso la fuerza
amortiguadora la fuerza es constante.
• Amortiguamiento sólido o de histéresis. - Este es causado por la fricción
interna de un sólido al oponerse a entrar en vibración.
• Amortiguamiento turbulento. - En este caso la fuerza de amortiguamiento es
proporcional al cuadrado de la velocidad promedio.
• Amortiguamiento en fluido viscoso. - En este caso la fuerza de
amortiguamiento es proporcional a la velocidad.
El mecanismo de amortiguamiento más utilizado es el amortiguamiento viscoso,
en el cual la fuerza de amortiguamiento es proporcional a la velocidad de
movimiento. Este tipo de fenómenos de amortiguamiento se presentan
estrictamente cuando se tiene un flujo laminar de un fluido viscoso a través de
una ranura como por ejemplo: un absorbedor de impacto, el amortiguamiento
que acontece alrededor de un pistón en un cilindro, el mecanismo de
amortiguamiento de puertas abatentes de cierre automático, los amortiguadores
de automóviles, etc.
Amortiguamiento
Un sistema vibratorio básico como el que se muestra en la figura 2 cuenta
esencialmente con:
• Masa (m), la cual se encuentra relacionada directamente con la energía
cinética del sistema.
• Resorte (k), cuya función es almacenar energía potencial.
• Amortiguador (c). - cuya función es disipar la energía vibratoria del sistema.

A partir de un análisis del diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura 2 es
posible obtener la ecuación de movimiento
(5)
La Ec. (5) es una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea, por lo
que su solución contiene dos partes. La primera, que se refiere al caso de una
vibración libre, es cuando f(t)=0 es obtenida para resolver una ecuación
diferencial homogénea de segundo orden, la cual corresponde físicamente a el
caso de un sistema vibratorio amortiguado (fig. 2) el cual podrá representar mejor
las oscilaciones que tradicionalmente apreciamos en la vida real.
(a) (b)
Fig. 2.- (a) Sistema masa – resorte – amortiguador de un grado de libertad. (b)
Diagrama de cuerpo libre de dicho sistema.
La ecuación diferencial homogénea que debemos resolver para esta práctica
está dada por
(6)
Una aproximación tradicional para resolver la ecuación diferencial (6) es asumir
que la solución tiene la forma
(7)
Con
(8)
donde r es una constante. Al sustituir las Ecs. (7) y (8) en la ecuación diferencial
(6) se obtiene
(9)

La Ec. (9) es satisfecha para todos los valores de t cuando la ecuación
característica es igual a cero, esto es
(10)
La Ec. (10) tiene las raíces
(11)
de tal manera que es posible encontrar la siguiente solución general para el
desplazamiento
(12)
donde C1 y C2 son constantes que dependen de las condiciones iniciales del
movimiento, mientras que los términos dentro del radical de la Ec. (12) nos
indicará tres casos distintos de amortiguamiento con sus respectivas curvas
características, las cuales se discutirán a continuación.
1. CASO SOBREAMORTIGUADO:
En este caso el radical es real y las raíces r1,2 expresadas en la Ec. (11) serán
reales y distintas. El movimiento del sistema es dominado por el
amortiguamiento. Esto significa que el sistema se acercará a su posición de
equilibrio en forma exponencial sin que se presente oscilación alguna y jamás
regresará a su posición original (a partir de la cual se produjo el movimiento).
Ejemplos de este tipo de amortiguamiento pueden observarse en los
mecanismos que sirven para el cerrado automático de puertas. Este movimiento
es expresado por la Ec. (12) y puede apreciarse gráficamente en la figura 3(a).

2. CASO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO:
En este caso el radical es igual a cero y las raíces r1,2 serán reales e iguales.
En este caso se dice que el sistema se encuentra críticamente amortiguado. A
este valor de la constante de amortiguamiento se le conoce como constante
crítica de amortiguamiento ccr y su valor depende exclusivamente de k y m.
(13)
A la relación entre el amortiguamiento del sistema y su constante crítica de
amortiguamiento se le conoce como razón de amortiguamiento y se le denomina
por la letra griega ζ
(14)
la cual es un parámetro adimensional.
En una oscilación críticamente amortiguada, el sistema amortiguado es llevado
a su posición de equilibrio en forma exponencial en un tiempo mínimo sin que se
presente oscilación.
En este caso, el desplazamiento será representado también por la ecuación (12),
la cual puede escribirse como la Ec. (15) recordando que el radical es igual a
cero
(15)
El movimiento de un sistema oscilatorio críticamente amortiguado puede
apreciarse en la figura 3(b).

3. CASO SUB AMORTIGUADO:
En este caso se presentará un movimiento oscilatorio harmónico alrededor de
una posiciónde equilibrio en el cual la amplitud disminuirá con el tiempo en cada
oscilación. En este caso, dado que el radical es negativo, las raíces r1,2 son
complejas y conjugadas teniendo la forma
(16)
donde
(17a)
(17b)
y la solución en este caso tendrá la forma
(18)
que también puede escribirse - utilizando la Ec. (3) – como
(19)
donde
(20)

Fig. 3.- Respuesta de un sistema oscilatorio ante distintas condiciones de
amortiguamiento [2].

Péndulo Torsional
Si un cuerpo rígido oscila alrededor de un eje específico de referencia se dice
que el movimiento resultante es una vibración torsional. En este caso, el
desplazamiento del cuerpo es medido en términos de una coordenada angular
denotada porθ. En este tipo de vibración, el momento restaurativo puede
deberse a la torsión de un cuerpo elástico o al desbalance de una fuerza.
(a) (b)
Fig. 4.- (a) Péndulo torsional no amortiguado. (b) Diagrama de cuerpo libre de
dicho sistema [1].
En la figura 4 se muestra un disco con momento de inercia de masa J0 montado
al final de una flecha circular sólida, la cual se encuentra empotrada en el otro
extremo. Si el movimiento del disco es angular y está descrito por la coordenada
θ, a partir de la teoría de torsión de flechas circulares es posible obtener la
relación
(21)
donde Mt es un par que produce el la rotación θ, G es módulo de corte, l es la
longitud de la flecha y Jbarra es el momento polar de inercia de la sección
transversal de la barra, el cual está dado por
(22)

d es el diámetro de la flecha. Si el disco es desplazado un ángulo θ a partir de
su posición de equilibrio, la flecha presenta un par de restauración (semejante a
la fuerza restauradora de un resorte) de magnitud Mt. En consecuencia, la
constante de rigidez para un resorte torsional como la barra de la figura 4 es
(23)
La ecuación de movimiento de un péndulo torsional se obtiene a través de la
segunda ley de Newton o a través de algún método energético. Considerando el
diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura 4(b) para un péndulo torsional
con amortiguamiento se tiene
(24)
y escribiendo la Ec. (24) como
(25)
donde el momento de inercia del disco J0 es
(26)
a partir de la Ec. (25) se obtiene la frecuencia natural de oscilación
(27)
y finalmente
(28)

• Sistema masa – resorte.
• Péndulo torsional.
• Analizador de vibraciones.
• Aceite.
PROCEDIMIENTO
A. Sistema masa – resorte – amortiguador
1. Determine analíticamente la frecuencia natural de oscilación del sistema ( wn).
No olvide para ello encontrar el valor de la constante de rigidez del resorte
utilizando cualquiera de los métodos vistos en la práctica 1.
2. Determine experimentalmente el valor de la frecuencia natural de oscilación
(ωn) utilizando el analizador de vibraciones y compárelo con el valor teórico
esperado.
3. Determine experimentalmente el valor de la frecuencia amortiguada de
oscilación (ωd) con la ayuda del analizador de vibraciones. Para ello utilice un
recipiente con aceite en el cual las aletas de la masa estén totalmente en
contacto con el aceite.
4. Determine el valor de la razón de amortiguamiento (ζ).
5. Determine analíticamente el valor de la constante crítica de amortiguamiento
(ccr).
6. Determine el valor de la constante de amortiguamiento proporcionada por el
aceite (c).
B. Péndulo torsional
1. Determine analíticamente la frecuencia natural de oscilación del sistema.
Utilice las Ecs. (22) y (23) para determinar el valor de la constante torsional de
rigidez (kt).
2. Determine experimentalmente el valor de la frecuencia natural de oscilación
(ωn) utilizando el analizador de vibraciones y compárelo con el valor teórico
esperado.

3. Determine experimentalmente el valor de la frecuencia amortiguada de
oscilación
(ωd) con la ayuda del analizador de vibraciones. Para ello utilice un recipiente
con aceite en el cual el disco se encuentre sumergido en aceite.
4. Determine el valor de la razón de amortiguamiento (ζ).
5. Determine analíticamente el valor de la constante crítica de amortiguamiento
torsional (cct).
6. Determine el valor de la constante de amortiguamiento torsional
proporcionada por el aceite (ct).
REPORTE
1. Una vez que haya seguido el procedimiento reporte los siguientes valores

INVESTIGACIÓN
1. Problema de diseño.
Si bien a diario encontramos un gran número de ejemplos de amortiguamiento,
uno de los más ilustrativos es el del automóvil. Para nuestro caso, el automóvil
que vamos a estudiar tiene una masa de 1520 kg y está soportado por sus cuatro
resortes y cuatro amortiguadores. Si la elongación estática de los resortes debida
al peso propio del automóvil es de 0.20 m, ¿Cómo determinaría la constante de
amortiguamiento requerida en cada amortiguador para obtener el caso de
amortiguamiento crítico?.
Asuma que el auto tiene solo un grado de libertad. Antes de determinar la
constante crítica de amortiguamiento (ccr), mencione cuáles son las
suposiciones que tomó en cuenta para llegar a su resultado.
2. Compare sus resultados con el Working Model y MATLAB. Haga
comentarios.
REFERENCIAS
2003.
John Wiley, USA 1989.
Prentice Hall, USA 1982.
[4] Kelly, Graham S. “Fundamentals of mechanical vibrations”. Second Edition.
McGraw Hill. USA 2000.
[5] Stile, Hidgon. “Ingeniería Mecánica, tomo II: Dinámica Vectorial”. Prentice
Hall, 1982.

PRACTICA # 4
VIBRACIÓN FORZADA SIN AMORTIGUAMIENTO DE SISTEMAS DE UN
GRADO DE LIBERTAD
OBJETIVO
El alumno comprenderá el comportamiento de un sistema vibratorio debidoa una
fuerza externa excitadora.
El alumno comprenderá el fenómeno de transmisibilidad en sistemas de un grado
de libertad no amortiguado.
FUNDAMENTOS
Movimiento vibratorio forzado
Las vibraciones se denominan libres cuando las mantienen fuerzas elásticas y
en algunos casos la fuerza gravitacional; un movimiento vibratorio libre (vibración
natural) oscila con su frecuencia natural. Una fuerza externa periódica de
excitación que actúa sobre un sistema produce y mantiene en éste una vibración
forzada cuya frecuencia es igual a la frecuencia de la fuerza.
Por otra parte, el movimiento de una partícula o cuerpo posee un grado de
libertad, cuando este movimiento está restringido en tal forma que la posición se
define completamente al especificar una coordenada.
Las oscilaciones al comienzo del movimiento de un cuerpo sometido a la acción
de una fuerza periódica y a condiciones iniciales arbitrarias son una combinación
de vibración libre y forzada.
Sin embargo, en las situaciones reales las fuerzas de amortiguación eliminan las
vibraciones libres y el movimiento que permanece se denomina vibración
estable. El periodo y la frecuencia de las vibraciones libres dependen de la masa
del cuerpo, de la rigidez del apoyo elástico y del coeficiente de amortiguamiento.
La amplitud de las vibraciones libres depende de las condiciones iniciales de
movimiento y de la frecuencia. Por otra parte, la frecuencia de las vibraciones
forzadas estables depende de la frecuencia de la carga aplicada y es
independiente de las características del cuerpo que oscila.
La amplitud de las vibraciones forzadas estables depende de la magnitud y
frecuencia de la carga aplicada y de la frecuencia de las vibraciones libres, pero
es independiente de las condiciones iniciales del movimiento. Cualquier fuerza
que varía periódicamente produce vibraciones forzadas; una fuerza variable de
tipo común se expresa como una función senoidal o cosenoidal.

Ecuación de movimiento
Si una fuerza F (t) se aplica a un sistema masa-resorte amortiguado como el que
se muestra en la Fig. 1, la ecuación de movimiento obtenida a partir de la 2a Ley
de Newton es:
(1)
Figura 1
Debidoa que es una ecuación no homogénea, su solución general x (t) está dada
por la suma de la solución homogénea, xh (t), y la solución particular, xp (t). La
solución homogénea, que es la solución de la ecuación homogénea:
(2)
Representa la vibración libre del sistema, estudiada en la práctica anterior. La
vibración libre termina con el tiempo mediante cualquier condición de
amortiguamiento. Queda entonces el movimiento de estado estable, que estará
presente siempre y cuando exista una fuerza externa presente. Las variaciones
de las soluciones homogénea, particular y general con respecto al tiempo para
un caso típico se muestran en la Fig. 2a y 2b.
Figura 2ª

La razón a la cual el movimiento transitorio decae depende de los valores de los
parámetros del sistema k, c y m.
Figura 2b
Una fuente común de vibración la representan las máquinas con desbalance.
Consideremos un sistema masa-resorte con movimiento vertical exclusivamente,
y excitado por una máquina rotatoria en desbalance como se muestra en la Fig.
3. El desbalance está representado por una masa m con una excentricidad e,
que gira a una velocidad angular ω. Si x es el desplazamiento de la masa que
no está en rotación (M-m) a partir de la posición de equilibrio, entonces el
desplazamiento de la masa m está dado por:
x + e sen ωt (3)
Figura 3

La ecuación de movimiento es:
(4)
Simplificando tenemos
(5)
Es claro entonces que esta ecuación es idéntica a la ecuación (1), donde F (t) es
reemplazada por (meω2) sen ωt, y entonces la solución de estado estable está
dada por:
(6)
Y
(7)
Reduciendo a una forma no dimensional tenemos:
(8)
Y
(9)

Figura 4
SOLUCION PARTICULAR POR MEDIO DE FASORES
Tenemos La ecuación:
Para la solución de esta ecuación se propone, para movimientos senoidales:

Haciendo suma de magnitudes vectores partiendo de la ecuación inicial y la
propuesta tenemos el siguiente resultado:
Con la ayuda del teorema de Pitágoras tenemos las siguientes relaciones
Dividimos todo entre y hacemos sustituyendo tenemos lo
siguiente:
Donde F (t) en este caso es una fuerza centrífuga dada por la siguiente ecuación:

Sustituyendo en la ecuación anterior:
Hacemos
Por lo tanto tenemos
Vibración Forzada
- Sistema masa-resorte
- Fuente de poder variable.
- Analizador de vibraciones.
SE PIDE
1. Obtener la frecuencia natural del sistema en forma teórica y utilizando el
analizador de vibraciones.
2. Calcular el porcentaje de error de las frecuencias naturales.
3. Realizar una tabla teórica en un rango de frecuencia de 500 hasta 2000 rpm
del motor con la siguiente información: Frecuencias de trabajo y amplitud de
vibración.
4. Realizar un barrido de velocidad de rotación al sistema, empezando de 500
hasta 2000 rpm empleando el analizador de vibraciones y tomar datos de las
frecuencias a la que se trabajó con su respectiva amplitud.
5. Realizar una gráfica de amplitud de vibración contra ω/ωn. De los datos
obtenidos en forma teórica y en la experimental.

INVESTIGACION
Problema de diseño
Amortiguadores en automóviles
Un automóvil de diseño convencional sustentado por sus resortes y llantas es un
sistema vibratorio sumamente complicado. En él se encuentran tres "masas"
diferentes: la carrocería, los ejes delanteros y traseros; y ocho diferentes
resortes: los cuatro resortes, propiamente dichos y las cuatro llantas.
FIGURA 5
Problema
1. ¿Qué sucede si los resortes del auto son muy rígidos (k grande)?
2. ¿Qué sucede si los resortes son muy blandos?
3. ¿Por qué resulta indispensable el uso de una llanta de hule, y no de acero?
4. ¿Para qué sirven los resortes del carro, si ya contamos con una llanta?
5. ¿Cuántos Grados de libertad tiene un automóvil convencional?
Acompaña tus justificaciones con gráficas.
Explica bien todo.
BIBLIOGRAFÍA
Mechanical Vibrations, Singiresu S. Rao Addison-Wesley, Segunda Edición,
1990 Capítulos 1, 2.
Theory of Vibration with applications, William T. Thomson Prentice Hall, 1972
Capítulos 2, 3.
Fundamentals of Mechanical Vibrations, S. Graham Kelly, Mc Graw Hill,
Singapore, 1992 Capítulos 3, 4.

PRACTICA # 5
TRANSMISIBILIDAD
Es claro para todos que la condición de resonancia mecánica debe de ser evitada
si nuestro objetivo es un funcionamiento adecuado en la operación de una
máquina. La pregunta que surge es ¿qué tan lejos debo de trabajar de la
condición de resonancia para tener una operación segura?. La respuesta se
encuentra al considerar la fuerza transmitida al sistema.
En un sistema masa-resorte, la fuerza de excitación puede ser transmitida a
través del resorte a la base solamente si el resorte se deforma. Si el
desplazamiento máximo del resorte es X, entonces la fuerza máxima transmitida
es kX. A esto faltaría agregarle la fuerza estática que existe sobre el resorte y la
base.
La relación de transmisión (TR) está definida como el valor absoluto de la
fracción de la fuerza máxima de excitación que es transmitida a la base.
Relación de transmisión =
1
ω
2
1 −
2
ωn
Figura 1
La relación de transmisión se muestra en la Fig. 1. La fuerza transmitida será
menor a la fuerza de excitación solamente si la frecuencia de excitación excede
a la frecuencia natural del sistema por lo menos por un factor de √2.
Esto significa que para una operación suave, la frecuencia natural de la
estructura deberá de considerarse por debajo de la frecuencia de excitación.
Como se muestra en la Fig. 1, para toda la región donde ω/ωn < √2, la relación
de transmisión es >1.

- Sistema motor-compresor-bloque.
- Resortes.
- Acelerómetros.
SE PIDE
1. Obtener el valor de las constates de rigidez para los resortes del sistema en
forma teórica, y a partir de ellas obtenga una k equivalente
2. Obtener la frecuencia natural del sistema MOTOR-COMPRESOR en forma
teórica y experimental, además de calcular su porcentaje de error.
3. Medir la amplitud de la vibración con el analizador.
4. Obtener la relación de transmisión para el motor.
5. Colocar el sistema MOTOR-COMPRESOR-BLOQUE, obtener su frecuencia
natural y repetir los pasos 1, 2 ,3 y 4.
peso k Wn Wn % error Wf X Tr
sistema (kg) equivalente analitica experim ental experimetal (amplitud) transmisibilidad
1 38.4
2 118.4
3 2000
1.-Explique cómo funcionan los acelerómetros
2.-Haga una búsqueda de tipos de acelerómetros y de su definición
3.-Explique cómo funciona el matillo de impacto.
BIBLIOGRAFÍA
Mechanical Vibrations, Singiresu S. Rao Addison-Wesley, Segunda Edición,
1990 Capítulos 1, 2.
Theory of Vibration with applications, William T. Thomson Prentice Hall, 1972
Capítulos 2, 3.
Fundamentals of Mechanical Vibrations, S. Graham Kelly, Mc Graw Hill,
Singapore, 1992 Capítulos 3, 4.

PRACTICA # 6
VIBRACION LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO DE UN SISTEMA CON UN
GRADO DE LIBERTAD
OBJETIVO
El alumno definirá, identificará y analizará un sistema de un grado de libertad en
forma teórica y experimental comparando varios sistemas masa – resorte.
FUNDAMENTOS
Una gran cantidad de sistemas mecánicos y estructurales pueden ser
considerados como sistemas de un grado de libertad. En muchos sistemas
prácticos la masa está distribuida. Sin embargo para simplificar el análisis de
dichos sistemas la masa puede aproximarse a través de una masa puntual,
convirtiendo un problema continuo en uno discreto más fácil de analizar.
Vibración
Cualquier movimiento que se repite a si mismo en intervalos de tiempo es
considerado oscilación o vibración. La teoría de vibraciones estudia este tipo de
movimientos y las fuerzas asociadas con los mismos. Los sistemas vibratorios
tienen, en general, un medio que almacena energía potencial (resorte o
elastómero), un medio que almacena energía cinética (masa o inercia) y un
medio a través del cual se disipa energía en forma gradual (amortiguador).
La vibración de un sistema implica la transferencia de su energía potencial a
energía cinética y la de su energía cinética a energía potencial alternadamente.
Si el sistema está amortiguado, la energía se irá disipando en cada ciclo de
vibración.
Grados de libertad
Es el mínimo número de coordenadas independientes necesarias para
determinar completamente las posiciones de todas las partes de un sistema en
cualquier instante.

Clasificación de las vibraciones
A. Vibración libre
Si un sistema que es perturbado inicialmente se deja vibrando por si mismo se
dice que está en vibración libre. No existe una fuerza externa actuando en el
sistema. La oscilación de un péndulo simple es un ejemplo de vibración libre.
B. Vibración forzada
Si un sistema se sujeta a una fuerza externa, la vibración resultante se conoce
como vibración forzada. Si la frecuencia de la fuerza externa coincide con una
de las frecuencias naturales del sistema, entonces éste entrará en resonancia.
C. Vibración no amortiguada
Si durante un movimiento oscilatorio no se pierde energía en fricción o cualquier
otro tipo de resistencia, la vibración se conoce como vibración no amortiguada.
D. Vibración amortiguada
Si existe pérdida de energía durante un movimiento oscilatorio, la vibración
presente se denomina vibración amortiguada. En muchos sistemas físicos, la
cantidad de amortiguamiento es tan pequeña que puede despreciarse para fines
prácticos. Sin embargo, el considerar el amortiguamiento es sumamente
importante cuando se analizan sistemas de vibración cercanos a resonancia.
E. Vibración lineal
Si todos los componentes esenciales de un sistema en vibración (resorte, masa
y amortiguador) se comportan dentro de su rango lineal, la vibración resultante
se conoce como vibración lineal. Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el
comportamiento del sistema son lineales y en consecuencia el principio de
superposición puede ser empleado, además existen fundamentos matemáticos
para su análisis completamente desarrollado.
F. Vibración no lineal
Si uno de los componentes esenciales de un sistema en vibración se comporta
de manera no lineal, la vibración resultante se conoce como vibración no lineal.
Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento del sistema son
no lineales y el principio de superposición no es válido y las técnicas para su
análisis son más complejas y funcionan a base de aproximaciones.

Ecuación de movimiento: Segunda ley de Newton (sistema masa – resorte)
Este sistema es básico para el estudio de las vibraciones mecánicas. En este
sistema el resorte almacena energía potencial y la masa energía cinética. Existen
esencialmente dos posiciones básicas para este sistema: horizontal y vertical,
sin embargo la ecuación diferencial que gobierna el movimiento de este sistema
en ambas configuraciones es exactamente la misma. Esto significa que el peso
no se verá reflejado en la ecuación diferencial.
A. Posición horizontal
Considere el sistema de libertad mostrado en la figura 1. La masa está soportada
en unos rodillos con fricción nula y puede trasladarse en la dirección del eje x
(horizontal). La fuerza en el resorte es kx y, de acuerdo con la segunda ley de
Newton, la ecuación de movimiento se obtiene a partir de la ecuación
La Ec. (2) puede escribirse en su forma estándar como
Fig. 1.-(a) Sistema masa – resorte de un grado de libertad en posición
horizontal. (b) Diagrama de cuerpo libre de dicho sistema

B. Posición vertical
Una masa se suspende de un resorte que se encuentra montado en un soporte
rígido en su parte superior. Inicialmente la masa se encuentra en una posición
llamada posición de equilibrio (fig. 2a) en donde la fuerza resultante en el resorte
hacia arriba es exactamente igual a la fuerza gravitacional que la masa ejerce.
En esta posición la longitud del resorte es l0+δst, donde δst es la deformación
estática (elongación del resorte debida al peso w de la masa m). De esta manera
de la condición de equilibrio se obtiene
si la masa es desplazada una distancia x(+) con respecto a su posición de
equilibrio estático, la fuerza en el resorte ahora estará dada por –k(x+δst), como
puede apreciarse en la fig. 2c. Aplicando la segunda ley de Newton (Ec.1) para
la masa se tiene
y sustituyendo la Ec. (5) en la Ec. (6) se tiene que
que es igual a la Ec. (2), la cual se dedujo para un sistema masa –resorte en
configuración horizontal.

Fig. 2.- Sistema masa – resorte en configuración vertical. (a)Diagrama de cuerpo
libre mostrando la posición de equilibrio estático. (b) Fuerza ejercida por el
resorte. (c) Fuerza ejercida sobre el resorte por la masa durante el movimiento.
(d) Energía almacenada en el resorte.
Ecuación de movimiento: Conservación de la energía (sistema masa –
resorte)
Para aplicar este principio es necesario notar que el sistema de la fig. 2 es
conservativo debido a que no hay disipación de energía a través de algún
amortiguador. Durante la vibración, la energía del sistema es parcialmente
cinética (T) y parcialmente potencial (U).El principio de conservación de la
energía establece que

Las energías cinética y potencial están dadas por
Sustituyendo las Ecs. (9b) en la Ec.(8) se obtiene nuevamente la Ec.(2)
La Ec. (2) es una ecuación diferencial ordinaria, lineal y de segundo orden. La
solución general puede expresarse como
donde C1 y C2 son constantes que se definen a partir de las condiciones iniciales
del sistema oscilatorio. Utilizando la identidad

la Ec. (10) puede escribirse como
donde A1 y A2 son constantes que se definen a partir de las condiciones iniciales
del sistema oscilatorio. Si los valores de desplazamiento x(t ) y de velocidad x(t)
se especifican como x0 y x0 en t=0, de la Ec. (12) se obtiene lo siguiente
Entonces la solución mostrada en la Ec. (12) es
• Sistema masa – resorte.
• Flexómetro.
• Cronómetro.

PROCEDIMIENTO
1. Obtener el valor de las constantes de los resortes. Para ello se pueden utilizar
dos métodos:
a) Poner a vibrar libremente el resorte con una masa, obtener su frecuencia
natural y posteriormente despejar k de la ecuación
b) Fijar un extremo del resorte y colocarle una serie de masas conocidas en el
extremo libre. Empezar con una masa de manera que la elongación sea mínima
y después incrementar la masa (∆m) e ir midiendo las elongaciones (∆l) en el
resorte. No olvide que
REPORTE
1. Encontrar la frecuencia natural del sistema para cada una de sus tres
posiciones, poniéndolo a oscilar libremente y midiendo el tiempo que tarda en
completar N oscilaciones.
2. Determine la frecuencia natural de forma analítica para cada una de las tres
posiciones que se muestran en la figura 3.
Fig. 3.- Configuraciones de sistema masa – resorte para analizar en el
laboratorio.

Para simplificar los cálculos en el péndulo primero se hará que la masa total del
sistema se concentre en un solo punto, tal y como se muestra en la figura 4. En
dicha figura se representan las distancias entre los centros de masa de la barra
y del cilindro al centro donde quedarían proyectados a1 y a2, y lg que sería la
longitud del centro de masa del sistema al origen. Partiendo de lo anterior se
tiene lo siguiente
Fig.4.- Representación del péndulo.
Es necesario también proyectar el momento de inercia de las dos masas a la
distancia lg utilizando el teorema de ejes paralelos. Para la barra se tiene que

para el cilindro se tiene
Partiendo de la agrupación de ambas masas en un solo punto se realiza una
sumatoria de momentos para deducir las ecuaciones de movimiento del sistema
de un grado de libertad en sus tres diferentes configuraciones.
Caso (a)
A partir de la figura 5 es se obtiene lo siguiente
La sumatoria de momentos en el punto O se muestra a continuación

de tal manera que la frecuencia natural de oscilación del sistema mostrado en la
figura 3(a) es
Fig. 5.- Diagrama de cuerpo libre de la primera configuración del péndulo
estudiado.
Caso (b)
La deducción de la ecuación de movimiento para este caso es muy similar a la
anterior. La sumatoria de momentos en el punto O se muestra a continuación (se
han hecho las mismas suposiciones que en el caso anterior).
por lo tanto la frecuencia natural de oscilación de este sistema es

Caso (c)
La sumatoria de momentos en el punto O se muestra a continuación
por lo tanto la frecuencia natural de oscilación de este sistema es
3. Realice una modelación del sistema en Working Model y en MATLAB de las
tres configuraciones analizadas. Grafique posición, velocidad y aceleración.
Además calcule por medio de la simulación el valor de la frecuencia natural ωn.
4. Obtenga el error relativo entre el método experimental, analítico y
computacional. Para reportar estos resultados llene la siguiente tabla. (No olvide
incluir los cálculos realizados para obtener dichos resultados).

Sistem a Analítico Experimental
Working
MATLAB
Analítico
Analítico Analítico
vs. vs.
Model vs. Exp.
W.M. MATLAB
[rad/s] % Error
A
B
C
Programa de MATLAB
drive.m smra.m
rango=[0 1]; function yprime=smra(t,y)
val_in=[0; 0]; f=2;
[t,y]=ode45('smra',rango,val_in); g=9.81;
x=y(:,1); Lo=0.46;
v=y(:,2); Lg=0.56;
plot(t,x,t,v,'--') m=1.6;
xlabel('Tiempo, [s]') b=0.0;
ylabel('Des., [m], Vel., [m/s]') k=436;
title('Sistema Masa - Resorte') Io=0.4631;
Grid yprime=[y(2)
(f+m*g*Lg)/Io-b*y(2)/Io-(2*k*Lo^2*y(1))/Io];
INVESTIGACIÓN
1. Funcionamiento de un péndulo de reloj.
2. Tipos de péndulo y su funcionamiento.
REFERENCIAS
2003.
John Wiley, USA 1989.
Prentice Hall, USA 1982.
[4] Kelly, Graham S. “Fundamentals of mechanical vibrations”. Second Edition.
McGraw Hill. USA 2000.

PRACTICA # 7
ANÁLISIS DEL PROCESO DE MAQUINADO
MEDIANTE EL SONIDO
OBJETIVO
Comprender e identificar la presencia del fenómeno de auto-excitación
(CHATTER) presentes en el proceso de fresado de una pieza de trabajo.
FUNDAMENTOS
Un mejor acabado superficial y una relación de remoción de material RRM son
factores importantes que deben de llevarse a cabo simultáneamente en el
proceso de fresado. Sin embargo, a altos niveles de RRM surgen severos
problemas de CHATTER durante el proceso de fresado. Por tanto, a menudo
una tasa de avance axial, que inevitablemente conduce a un bajo RRM, tiene
que ser adoptada para evitar problemas de retemblado entre la herramienta de
corte y las pieza de trabajo.
El efecto de Chatter es un fenómeno de autoexcitación, que es provocado por
una intermitente y menos efectiva dinámica de corte, pero determina, en cierta
manera, la vida de la herramienta de corte y la calidad del acabado superficial
de la pieza de trabajo.
Como se muestra en la figura 1, bajo las condiciones ideales de operación, la
fase cambia entre el paso de corte actual y el anterior. Por tanto, la fuerza de
corte puede mantenerse casi constante debido a la profundidad de los bordes
siendo mantenidos casi constantes.
Por otro lado, una vez que el mencionado cambio de fase es evidentemente
presente (ver figura 1), drásticas variaciones en la profundidad de las ondas y
discontinuidades conducen a una alternación intermitente en la fuerza de corte
que ocasiona la presencia del fenómeno de Chatter.
La presencia de Chatter ocasiona pobres acabados y una degradación de la
calidad del producto. Algunos enfoques para controlar e identificar el fenómeno
de Chatter fueron propuestas en la década pasada.

El diagrama de lóbulos de estabilidad, mostrado en la figura 2, es usualmente
utilizado para describir la posibilidad y el grado de Chatter durante las
operaciones de fresado, donde los ejes horizontales y verticales indican la
velocidad del husillo y la profundidad de corte axial, respectivamente. La porción
gris en la figura 2 representa una inestabilidad o región de Chatter. Si el punto
de operación de corte COP por sus siglas en inglés (Cutting Operation Point)
durante el proceso de corte deriva en la zona inestable por cualquier causa
posible, en general, hay tres opciones para desplazar la inestabilidad (COP)
hacia una región estable: reduciendo la profundidad de corte axial (camino C en
la figura 2), ajustando la velocidad del husillo (camino A o B), o restableciendo la
taza de avance. Comparado con las estrategias; reduciendo la profundidad de
corte, reduciendo la taza de avance o ajustar la velocidad del husillo, esta última
resulta relativamente más simple, más eficiente y aceptable para emplearse en
la práctica.
La construcción de los diagramas de lóbulos de estabilidad (figura 4) es llevada
a cabo mayormente por un análisis teórico. En 1995, Altinas y Budak propusieron
una metodología de predicción analítica para la construcción de los límites de
estabilidad para el proceso de fresado, y ambos la frecuencia de Chatter y la
correspondiente profundidad de corte marginal han sido bien definidos. Sin
embargo, de acuerdo al reporte experimental aportado por Faassen, existe cierto
nivel nada despreciable de error en la construcción de los lóbulos de estabilidad
mediante la aplicación de esta metodología. Por tanto, un enfoque modificado ha
sido propuesto por Solís y la exactitud en la estimación de la estabilidad fue
considerablemente mejorada.

Sin embargo, los diagramas de lóbulo de estabilidad tienen que ser construidos
primeramente, antes del uso de estas metodologías.
Las metodologías propuestas para la determinación de las fronteras de
estabilidad, la señal de corte se trata como ruido, el cual es usado para evaluar
el grado de estabilidad en el fresado de alta velocidad. Por otro lado, si la
velocidad del husillo es relativamente baja, la profundidad de corte puede ser
insuficiente para obtener una correspondiente precisión en las fronteras de
estabilidad (ver figura 5). Algunos trabajos recientes se basan en el índice de la
señal acústica de Chatter, que es grabada en tiempo real incluso si la velocidad
del husillo es baja.
Basado en el concepto de monitoreo por sonido, algunos investigadores
plantean la prevención de Chatter mediante retroalimentación (ver figura 3)
partiendo de la señal acústica captada durante el maquinado, ya que
convencionalmente las fronteras para los diagramas de los lóbulos de estabilidad
es mayormente establecido por un planteamiento off-line, y tiende a ser alterado,
en cierta medida, una vez que se emplea en un corte realista. Por tanto, algunos
algoritmos computacionales para el control en tiempo real son diseñados para
establecer una retroalimentación de las señales acústicas que se captan durante
el proceso de corte en tiempo real.

PROCEDIMIENTO
Para la realización de este experimento, se cuenta con un software que muestra
gráficamente la presencia de Chatter mediante el análisis de los lóbulos de
estabilidad.
Para el correcto análisis de autoexcitación presente durante el maquinado, es
necesario primero identificar los parámetros con los cuales opera la máquina
herramienta (fresadora para este caso de análisis). Los parámetros requeridos
por el programa como datos de entrada son:
 Velocidad del Husillo
 Relación de avance de la
herramienta
 Número de bordes (edges)
de la herramienta de corte
 Ancho de la herramienta
 Profundidad de corte
 Material de la pieza de
trabajo
 Tipo de corte a realizar
 Señal de audio captada
durante el maquinado
 Entre otros (ver figura 6)
Fig. 6, análisis de los lóbulos de estabilidad mediante el software
MATERIAL Y EQUIPO
- Máquina herramienta (Fresadora)

- Pieza de trabajo
- Micrófono
- Computadora con el software Harmonizer instalado
- Lentes de trabajo
REPORTE
- Investigue sobre métodos que permiten evitar la presencia de Chatter
durante el maquinado.
- Plantee bajo su propio criterio una alternativa para solucionar los
problemas de autoexcitación durante el maquinado de piezas en máquina
herramienta CNC.
BIBLIOGRAFÍA
- Mechanical Vibrations, Singiresu S. Rao Addison-Wesley, Segunda
Edición, 1990.
- Stability of up milling and down milling, part 2: experimental
verification. B.P. Mann, T. Insperger, P.V. Bayly, G. Stépán. International
Journal of Machine Tools & Manufacture 43 (2003) 35–40.
- Prediction of chatter in milling. M.M. RAVIKUMAR & A.BHASKAR.
Department of Mechanical Engineering, Pallavan College of Engineering.

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