te servira

1. Probabilidad
y estadística
Aplicaciones
a la ingeniería
y las ciencias
Eduardo Gutiérrez González
Profesor de matemáticas de la UPIICSA–IPN
Sección de Estudios de Posgrado e Investigación
Olga Vladimirovna Panteleeva
Profesora de matemáticas de la UACH
Área de matemáticas
PRIMERA EDICIÓN
MÉXICO, 2014

2. Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinadora editorial: Estela Delfín Ramírez
Supervisor de preprensa: Gerardo Briones González
Diseño de portada: Juan Bernardo Rosado Solís/Signx
Imágenes: Adrian Zamorategui Berber
Fotografías: © Thinkstockphoto
Revisión Técnica:
Alex Polo Velázquez
Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco
Probabilidad y estadística. Aplicaciones a la ingeniería y las ciencias
Derechos reservados:
© 2014, Eduardo Gutiérrez Gónzalez/ Olga Vladimirovna Panteleeva
© 2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.
Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca
Azcapotzalco, México D. F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industrial Editorial Mexicana
Registro Núm. 43
ISBN: 978-607-438-766-7
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presenta obra en cuales-
quiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México
Printed in Mexico
Primera edición: 2014
info editorialpatria.com.mx
www.editorialpatria.com.mx

3. Eduardo Gutiérrez González
Doctor en Ciencias (f ísico-matemáticas), realizó estudios de licenciatura, maestría y doctorado en la Universidad Estatal de San
Petersburgo, Federación Rusa en análisis matemático de 1984-1994. Doctor en Ciencias (estadística), realizó estudios de maestría de
2002-2004 y doctorado de 2005-2009 en el Colegio de Posgraduados-México en el programa en Estadística. Maestro en ingeniería,
realizó estudios de maestría en el Posgrado de Ingeniería de la UNAM-México, en Ingeniería de Sistemas en el campo disciplinario
de Investigación de Operaciones de 2004-2006. Actualmente académico de tiempo completo en la Sección de Estudios de Posgrado
e Investigación deUPIICSA-IPN,becario por la DEDICT-COFAA y E.D.D.
Olga Vladimirovna Panteleeva
Maestra en Ciencias Físico-Matemáticas (matemáticas aplicadas), realizó estudios de licenciatura y maestría en la Universidad Es -
tatal de San Petersburgo, Federación Rusa, en Matemáticas aplicadas y procesos de control de 1986-1992. Doctora en Ciencias (esta-
dística), realizó estudios de maestría de 2005-2007 y doctorado de 2008-2012 en el Colegio de Posgraduados-México en el programa
en Estadística. Actualmente académica de tiempo completo en la Universidad Autónoma de Chapingo en el área de matemáticas.
Agradecimientos
Cuando se termina una obra existen infinidad de compañeros y colegas a los que se les debe en cierta forma la conclusión de e sta y
sin hacer a un lado a nadie, agradecemos infinitamente a todos nuestros compañeros de trabajo, tanto de las Academias de Matemá-
ticas como de Investigación de Operaciones y de la Sección de Graduados de UPIICSA -IPN, así como a los compañeros del Programa
en Estadística del colegio de Posgraduados campus montecillo, donde adquirimos grandes conocimientos sobre la probabilidad y la
estadística que han hecho posible la escritura de este texto. Muy en particular agradecemos a los compañeros del grupo Gitam (Gru-
po de Investigación y Trabajos Académicos de Matemáticas, de las academias de matemáticas de UPIICSA -IPN, fundado en 2013) a
través de la línea 2 de investigación sobre probabilidad y estadística por las aportaciones obtenidas durante el Seminario de Probabi-
lidad y Estadística (2013--), así como a los integrantes del Diplomado en Formación Docente en Probabilidad y Estadística con vigen-
cia 2013-2015. Por último, agradecemos a todos los revisores de la editorial cuyas contribuciones han sido inmejorables para que el
texto tenga una mejor presentación y calidad en su desarrollo.
Eduardo Gutiérrez y Olga Vladimirovna

4. Palabras de los autores
En términos generales el libro está divido en tres partes. En la
primera trabajamos con los fenómenos probabilísticos; en la se-
gunda con la estadística tanto descriptiva como inferencial y
en la tercera los modelos de regresión lineales. Con estas tres
partes, el libro se perfecciona con un avance completo de los con-
ceptos básicos que tienen mayor aplicación en problemas prác-
ticos de las diferentes esferas de la ingeniería.
La primera parte del libro inicia con la explicación de las
diferentes corrientes que existen en la asignación de probabili-
dades a un suceso. Durante los primeros tres capítulos se realiza
una construcción matemática de la teoría de las probabilidades,
apoyada con los espacios muestrales, el álgebra de eventos, téc-
nicas de conteo, probabilidad condicional y eventos indepen-
dientes.
En los capítulos 4 al 8 se introduce al estudio de las funcio-
nes al cálculo de probabilidades, por medio del concepto de
variables aleatorias. Es decir, de manera más formal se inicia el
uso de funciones, tanto discretas como continuas, en el de-
sarrollo de la teoría de las probabilidades. El paso que se da en
estos capítulos es uno de los más trascendentales en el desarrollo
de la obra, debido a la introducción a las funciones en el es-
tudio de las probabilidades, formaliza la creación de una ver-
dadera ciencia matemática de las probabilidades. El capítulo 8
tiene una relevancia teórica que forma el vínculo para pasar de
la probabilidad a la estadística. En este capítulo se revisan las
transformaciones de las variables aleatorias por medio de los
métodos más comunes como: la función de distribución acumu-
lada,la función generatriz de momento y la técnica de los ja-
cobianos. Con estas técnicas se sustenta la demostración de la
mayoría de fórmulas que utilizamos en la segunda parte del tex-
to sobrela estadísticainferencial.
La segunda parte del libro la dedicamos al estudio dela
estadística; se inicia en los capítulos 9 y 10 con la parte descrip-
tiva. En el capítulo 9 revisamos la estadística descriptiva para da-
tos no agrupados, donde analizamos las diferentes medidas, tanto
centrales como de desviación. Dentro de las medidas centrales
estudiamos la media, mediana, moda, media geométrica, me-
dia ponderada, media armónica y cuantiles. En las medidas de
desviación analizamos el rango, la varianza y la desviación es-
tándar. Revisamos los coeficientes de variación y covarianza, y
los parámetros de forma para un conjunto de datos; al final se
revisan algunas aplicaciones delos datos no agrupados a in-
versiones. En el capítulo 10 realizamos un trabajo bastante
completo sobre la estadística descriptiva para datos agrupados.
Estudiamos las clases de frecuencias y sus medidas centrales
(antes mencionadas) y cuantiles. Agregamos un apartado para
las gráficas de las clases de frecuencia, con las que se analizan
las distribuciones de los datos; simetría, sesgo y curtosis. Por úl-
timo, revisamos la técnica gráfica Q-Q, para realizar una prue-
ba de bondad de ajuste.
El estudio sobre las distribuciones muestrales lo iniciamos
en el capítulo 11 donde se explica a detalle sobre las distribucio-
nes muestrales de la media y diferencia de medias para varia-
bles normales. Ampliamos las distribuciones muestrales para
la suma y el promedio de las distribuciones más comunes estu-
diadas en la teoría de las probabilidades. Es decir, en el caso dis-
creto, hablamos sobre las distribuciones Bernoulli, binomial,
geométrica, Poisson, etc., mientras que en el caso continuo nos
referimos a la familia exponencial, beta, Pareto, etc. Continua-
mos el capítulo con una breveintroducción sobrelas estadís-
ticas de orden. Al final, hacemos una revisión detallada del
Teorema Central del Límite en sus diferentes presentaciones,
media,suma y distribuciones específicas.
En el capítulo 12 se habla de manera breve sobre los estima-
dores puntuales y sus propiedades más importantes: suficiencia,
insesgamiento, eficiencia relativa y varianza mínima. Veremos
algunas propiedades asintóticas deseables de una sucesión de
estimadores. Después, revisamos con mucho detalle los inter-
valos de confianza. Iniciamos con los conceptos básicos sobre
las propiedades de un buen intervalo de confianza, con estos
conceptos revisamos a detalle la parte metodológica de los
intervalos de confianza para los parámetros de poblaciones
normales o aproximadamente normales, para una población
y comparación de estas. Al final con intervalos de confianza
para proporciones y diferencia de proporciones en muestras
grandes.
En el capítulo 13 hacemos una revisión similar a la del capí-
tulo 12, pero ahora utilizamos las pruebas de hipótesis. Se inicia
con la descripción de los conceptos básicos sobre pruebas de
hipótesis y su metodología. Primero revisamos qué es una hipó-
tesis estadística y cuáles son los errores que cometemos al lle-
var a cabo una prueba. Asimismo, tratamos a detalle la potencia
de la prueba. Hacemos un resumen de los casos más comunes
en las pruebas de hipótesis: simple contra simple, simple contra
Prefacio

5. compuesta y compuesta contra compuesta, donde tratamos so-
bre la prueba uniformemente más potente. Al final, revisamos a
detalle la parte metodológica de las pruebas de hipótesis para
los parámetros de poblaciones normales o aproximadamente
normales y poblaciones tipo Bernoulli.
En la tercera parte del texto en un solo capítulo hacemos
una revisión detallada de los modelos de regresión tanto sim-
ples como múltiples. En el primer caso explicamos cómo llevar
• Toma de decisiones
• Evaluación de proyectos
• Entre muchas otras
Unas palabras del estilo
y forma de escritura
Prefacio v
a cabo un análisis sobre la regresión, desde la construcción de
un diagrama de dispersión, hasta los intervalos de confianza y
pruebas de hipótesis de los parámetros de regresión. Durante el
desarrollo de los resultados de una regresión vemos cómo en-
contrar e interpretar su ecuación, cómo obtener predicciones
y cómo calcular intervalos de confianza para estas. Con la
regresión múltiple ampliamos los modelos a regresiones curvi-
líneas, casos con errores multiplicativos y problemas de Cobb-
Douglas. Además de explicar a detalle los diferentes problemas
que se pueden presentar con las observaciones de una muestra
como puede ser la multicolinealidad, datos aberrantes, trans-
formaciones Box-Cox para variables de respuesta no normales,
etcétera.
Sin importar los avances que tengamos en computación y
en la teoría dela estadística en los textos metodológicos so-
bre aplicaciones de la estadística inferencial se conserva el viejo
esquema del uso exclusivo de la distribución normal para las
fórmulas y métodos que se acostumbra usar en los intervalos de
confianza y prueba de hipótesis. Por otro lado, los textos que
hablan sobre las bases teóricas para diferentes tipos de distri-
buciones resultan ser demasiado teóricos de manera que a un
lector sin formación matemática se le dificulta comprender el
desarrollo del libro.
En la presente obra damos un enfoque teórico y metodoló-
gico. Así, el lector que solo tenga interés en la parte metodológi-
ca de la estadística descriptiva e inferencial podrá avanzar en su
estudio sin problemas. De manera paralela a la metodología
damos un desarrollo teórico de la probabilidad, así como de la
estadística descriptiva e inferencial. De esta manera los lectores
más avanzados podrán comprender las bases teóricas para la
creación de otros estimadores puntuales de los parámetros de
poblaciones diferentes a la normal. Es decir, con estas bases los
lectores más avanzados estarán en posibilidad de construir in-
tervalos de confianza y llevar a cabo pruebas de hipótesis para
parámetros de poblaciones diferentes a la normal.
Otra aportación de transcendencia de la presente obra con
respecto a otras reside en que la parte de probabilidad la mayo-
ría de los autores se refieren a esta como un simple escalón para
el desarrollo de la estadística. En este texto mostramos parte de
su importancia, además de resaltar las aplicaciones actuales
de la teoría de las probabilidades, en diferentes áreas de las cien-
cias,por ejemplo:
• Administración
• Ingeniería
• Informática
• Simulación de sistemas
• Control de calidad
El estilo de escritura del libro es muy sencillo,muestra con-
ceptos que son la base para los desarrollos teóricos. Cada tema
tratado en el libro está reforzado por una gran cantidad de
ejemplos y ejercicios prácticos, en cada sección abarcan di-
ferentes formas de ver un problema (en total se tienen más de
1 600 ejercicios que incluyen más de 2 800 incisos). Las solu-
ciones y sugerencias a la mayoría de los problemas están en
el CD-ROM y fueron hechas en Excel-Microsoft bajo la con-
sideración de todos los dígitos, por estas razones las solucio-
nes que obtenga el lector pueden variar ligeramente respecto a
las mostradas en el CD-ROM, pero estas variaciones deben ser
mínimas.
El libro está escrito de la siguiente forma: Cada sección se
escribe con el número del capítulo al que pertenece, seguida de
un punto y el número correspondiente a la sección dada; se ini-
cia con la sección uno en cada capítulo. Ejemplo 4.3, significa la
sección 3 del capítulo 4. En el caso de las subsecciones, se utiliza
una tipografía diferente para diferenciarlos.
Bases teóricas requeridas
Para la comprensión de los temas se requiere solo conoci-
mientos básicos de los cursos de cálculo diferencial e integral.
En algunos temas tal vez no sea necesario el manejo de las
demostraciones, pero en los ejemplos y ejercicios correspon-
dientes sí.
Objetivos del texto
El objetivo de este libro es presentar, a los futuros profesionistas,
herramientas cuantitativas que puedan aplicar en los problemas
que les corresponda resolver dentro de su ámbito laboral, y así
llegar a una mejor toma de decisiones. Al final del texto espe-
ramos queel lector sea capaz de:
• Describir las diferentes corrientes de la probabilidad de
eventos.
• Definir el concepto de variable aleatoria.
• Nombrar los tipos de modelos discretos y continuos más
comunes.
• Identificarel tipo de modelo al quepertenece el experi-
mento.
• Ejemplificar las diferentes corrientes de probabilidad y los
modelos más comunes de probabilidad.
• Resolver problemas para el cálculo de probabilidades.
• Aplicar los diferentes modelos en su área de trabajo.
• Proponer e investigar experimentos aleatorios para crear
modelos probabilísticos.

6. vi Prefacio
• Describir las diferentes técnicas de la estadística descripti-
va, para llevar a cabo un estudio detallado del comporta-
miento de los datos.
• Definir los conceptos de parámetros y estadísticos.
• Nombrar las diferentes técnicas que se pueden utilizar
para realizar inferencias.
• Identificar en un problema dado, cuándo un dato se refie-
re a un parámetro y cuándo a un estadístico.
• Ejemplificar las diferentes técnicas para estimar un pará-
metro, tanto puntual como por intervalos.
• Aplicar las inferencias a su área laboral.
• Experimentar desde el punto de vista de la estadística in-
ferencial.
• Proponer e investigar experimentos donde se tengan dis-
tribuciones muestrales para hacer inferencias con respecto
a sus parámetros.
• Aplicar la regresión lineal para determinar relaciones en-
tre variables y poder lograr hacer predicciones en situacio-
nes de su área laboral.

7. A g r a d e c i m i e n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
CAPÍTULO 1 Bases de la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Modelos determinísticos y probabilísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Interpretaciones de la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Corriente frecuentista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Corriente clásica (a priori ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Corriente subjetivista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Corriente bayesiana (a posteriori ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Álgebra de e v e n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Conceptos fundamentales de eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Relaciones fundamentales entre eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Diagramas de V e n n - E u l e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Operaciones fundamentales entre e v e n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Particiones de eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Generalización de la unión e intersección de e v e n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Leyes del álgebra de e v e n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Axiomatización de la p r o b a b ili d a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
CAPÍTULO 2 Técnicas de conteo y probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1 Regla de la mu lt i p l i c a ci ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Diagrama de árbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Arreglos con y sin r e p e t i c i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Arreglos con repetición (reemplazo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Arreglos sin repetición: p e r m u t a c i o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Permutaciones con elementos indistinguibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Permutaciones c i r c u l a r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Contenido

8. viii Contenido
k
2.4 Combinaciones ........................................................................................39
Propiedades en el cálculo de Cn.....................................................................40
Combinatorias multinomiales .......................................................................41
2.5 Regla de la suma.....................................................................................42
2.6 Aplicación de las técnicas de conteo a la probabilidad..........................46
Probabilidad condicional ..........................................................59
3.1 Probabilidad condicional.......................................................................60
Comprobación de los axiomas de Kolmogórov para P (A B )..................................................61
Tabla de probabilidad conjunta ...................................................................................................62
3.2 Regla de la multiplicación de probabilidades......................................65
Generalización de la regla de multiplicación de probabilidades .....................................66
Empleo de los diagramas de árbol en la probabilidad condicional ................................67
3.3 Teorema de Bayes ...................................................................................70
3.4 Eventos independientes........................................................................78
Elecciones sin reemplazo en poblaciones grandes ............................................................81
Generalización de eventos independientes ....................................................81
Eventos independientes aplicados a circuitos ................................................83
Variables aleatorias discretas.....................................................95
4.1 Variables aleatorias................................................................................96
Generalización de la asignación de probabilidades a los valores de la variable . 98
4.2 Variables aleatorias discretas .............................................................99
Distribución de probabilidad .........................................................................99
4.3 Función de una variable aleatoria discreta........................................103
4.4 Valor esperado de una vad...................................................................105
Propiedades del valor esperado de una vad .................................................106
4.5 Variancia de una vad............................................................................108
Propiedades de la variancia de una vad .......................................................109
4.6 Generadores de números aleatorios discretos .....................................114
Modelos discretos de probabilidad ..........................................123
5.1 Modelo uniforme discreto ...................................................................124
Cálculo de probabilidades ..........................................................................125
CAPÍTULO 3
CAPÍTULO 4
CAPÍTULO 5

9. Contenido ix
5.2 Modelos de Bernoulli y binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Notación de la función de distribución acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Cálculo de probabilidades de los modelos binomiales y uso
de tablas binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Modelos “aproximadamente binomiales” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.3 Modelo g e o m é t r i c o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Cálculo de probabilidades de un modelo geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.4 Modelo de Pascal o binomial negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.5 Modelo hipergeométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Aproximación hipergeométrica por binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.6 Modelo de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Cálculo de probabilidades de modelos de Poisson y uso de tablas . . . . . . . . . . 150
Aproximación de la binomial por Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
CAPÍTULO 6 Variables aleatorias continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1 Variables aleatorias continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Función de densidad de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Función acumulada de una variable aleatoria continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Propiedades de una función de distribución acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Cálculo de probabilidades mediante la función de distribución acumulada . . . . 172
6.2 Valor esperado y variancia de una variable aleatoria continua . . . . 174
Propiedades del valor esperado de una vac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Variancia de una variable aleatoria continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Propiedades de la variancia de una vac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.3 Desigualdad de Ch e b ysh e v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.4 Generadores de números aleatorios con la función
de distribución acumulada, caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
CAPÍTULO 7 Modelos continuos de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.1 Modelo uniforme continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.2 Modelo triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.3 Modelo exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Relación entre las distribuciones exponencial y de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.4 Modelo normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Cálculo de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

10. x Contenido
Propiedades de la distribución normal estándar ...........................................205
Uso de tablas de la función acumulada ........................................................205
Uso de tablas porcentuales ........................................................................208
7.5 Aproximación de la binomial por la normal........................................211
7.6 Modelos de probabilidad tipo gamma ................................................213
Propiedades de la función gamma .............................................................214
7.7 Modelos de probabilidad tipo Erlang ..................................................217
7.8 Modelos de probabilidad tipo Weibull ........................................................217
7.9 Modelos lognormal ...............................................................................220
7.10 Modelos de probabilidad tipo beta......................................................222
7.11 Distribución ji cuadrada.......................................................................226
Uso de tablas de la distribución ji cuadrada ..................................................226
7.12 Distribución t-Student..........................................................................228
Uso de tablas de la distribución t-Student.....................................................228
7.13 Distribución F..........................................................................................230
Uso de tablas de la distribución F...............................................................230
Variables aleatorias conjuntas y transformaciones ...........................241
8.1 Multivariables discretas.......................................................................242
Distribución de probabilidad conjunta discreta..............................................242
Función de distribución acumulada............................................................243
Función de probabilidad marginal ..............................................................245
Función de probabilidad condicional..........................................................246
Variables aleatorias independientes .............................................................246
Valor esperado ............................................................................................248
Covariancia..................................................................................................249
Distribución multinomial..............................................................................254
8.2 Multivariables continuas......................................................................255
8.3 Transformación de variables con la función de distribución
acumulada...............................................................................................265
Caso discreto...............................................................................................265
Caso continuo .............................................................................................266
8.4 Funciones generadoras de momentos ..............................................267
Momentos....................................................................................................267
Función generatriz de momentos...............................................................269
Función generatriz de momentos y variables independientes ......................................272
CAPÍTULO 8

11. Contenido xi
n
8.5 Técnica de jacobianos para transformar variables aleatorias.................273
Transformaciones uno a uno .....................................................................274
Transformaciones que no son uno a uno .....................................................279
8.6 Transformaciones y relaciones entre normales χ2
, t y F.........................281
CAPÍTULO 9 Estadística descriptiva para datos no agrupados . . . . . . . . . . . . 287
9.1 Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
9.2 Población y muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Probabilidad contra estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Caracteres y variables estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Escalas de medición de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Escalas de medidas cuantitativas o métricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
9.3 Técnicas de mu e s t r e o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Muestreo aleatorio simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Muestreo estratificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
Muestreo sistemático con iniciación aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Muestreo por c o n g l o m e r a d o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Tamaño de la muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Uso de tablas de números aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
9.4 Parámetros y e st a d í s t i co s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
9.5 Medidas centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
La media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
La mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
La moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Otros valores medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
9.6 Cuantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
9.7 Medidas de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Variancia y desviación estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Desviación media. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
Rangos intercuantiles o intercuantílicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Coeficiente de variación y covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
9.8 Parámetros de forma en la distribución de la muestra . . . . . . . . . . 318
9.9 Aplicación de las medidas para datos no agrupados a inversiones . 323
Estadística descriptiva para datos agrupados.......................................333
10.1 Clases de frecuencia ...........................................................................334
Cálculo de las frecuencias acumuladas .......................................................335
CAPÍTULO 10

12. xii Contenido
Distribución de frecuencias para variables cualitativas ...................................................336
Distribución de frecuencias para variables cuantitativas.................................................336
10.2 Medidas centrales en clases de frecuencia...........................................341
Media por clases de frecuencia ..................................................................341
Moda en clases de frecuencia ....................................................................342
10.3 Cuantiles ..................................................................................................342
Cálculo de los cuantiles ..............................................................................343
Clasificación de los cuantiles......................................................................344
10.4 Medidas de dispersión en clases de frecuencias .................................345
10.5 Gráficos ....................................................................................................347
Gráfico de barras.........................................................................................348
Gráficos lineales, polígonos de frecuencias .............................................................................352
Diagrama de tallo y hoja (stem-leaf )..........................................................354
Diagrama circular o de pastel.....................................................................356
Desviación cuartil y cajas de dispersión .......................................................357
10.6 Asimetría y curtosis ..............................................................................360
10.7 Aplicación de las gráficas a pruebas de bondad de ajuste..................362
Técnica gráfica Q-Q para una prueba de ajuste de distribuciones ...................................362
Ejemplo de la técnica gráfica Q-Q para una prueba de normalidad............................362
Técnica analítica Q-Q, para una prueba de normalidad.......................................................365
CAPÍTULO 11 Distribuciones muestrales y teorema central del límite . . . . . . . 377
11.1 Muestra aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
11.2 Estadísticas imp o r t a n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
Media y varianza de la media muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
Media y varianza de una diferencia de medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
Media y varianza de la varianza m u e s t r a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
Media y varianza de una combinación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
11.3 Distribuciones muestrales asociadas a la normal . . . . . . . . . . . . . . 386
Sumas, promedios y combinaciones lineales de variables aleatorias
normales con la misma media y varianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
Cálculo del tamaño de la muestra en distribuciones normales . . . . . . . . . . . . . 388
Fórmulas para el tamaño mínimo de muestra en distribuciones normales . . . . 390
Diferencia de medias de distribuciones n o r m a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
Cálculo del tamaño de la muestra para diferencia de medias . . . . . . . . . . . . . . 393
11.4 Distribuciones de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
Distribución de la suma de variables de Bernoulli (Binomial) . . . . . . . . . . . . . . 395
Media y varianza de una p r o p o r c i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

13. Contenido xiii
Media y varianza de una diferencia de proporciones ....................................................396
Distribución muestral de la suma y media de otras distribuciones ...........................397
11.5 Introducción a las estadísticas de orden.........................................398
11.6 Teorema central del límite media y suma muestral...........................400
Teorema central del límite para la media de variables .................................................400
Teorema central del límite suma de variables .................................................................402
11.7 Teorema central del límite para diferencia de medias ......................404
11.8 Teorema central del límite para proporciones....................................407
Teorema central del límite para diferencia de proporciones .......................................407
Cálculo del tamaño mínimo de muestra para proporciones
muestras grandes ................................................................................408
11.9 Teorema central del límite para distribuciones específicas ..............411
Teorema central del límite para distribuciones discretas .............................................413
Distribuciones a las que no se puede aplicar el teorema central del límite ...........414
11.10 Ley de los grandes números...........................................................414
Desigualdades de Markov y Chebyshev....................................................415
Convergencias en probabilidad y distribución............................................415
Demostración del teorema central del límite ..............................................416
Estimación puntual y por intervalos de confianza .............................423
12.1 Conceptos básicos sobre estimadores puntuales................................425
Espacio paramétrico...................................................................................425
Valores de los estimadores puntuales..........................................................427
Estimadores insesgados............................................................................428
Estimadores insesgados de distribuciones específicas...................................................431
12.2 Estadísticas suficientes ......................................................................433
Propiedad de invarianza.............................................................................434
Búsqueda de estimadores insesgados.........................................................436
Estimadores insesgados con menor varianza ..............................................436
12.3 Error cuadrado medio..........................................................................437
12.4 Propiedades asintóticas deseables de los estimadores......................440
12.5 Conceptos básicos de los intervalos de confianza...............................442
12.6 Intervalos de confianza para los parámetros de una
población normal...................................................................................443
Intervalos de confianza para la media de poblaciones normales
o aproxi madamente normales cuando se conoce s .......................................443
Intervalos de confianza para medias de poblaciones normales
o aproxi madamente normales cuando se desconoce s..................................443
CAPÍTULO 12

14. xiv Contenido
Ejemplos variados para la estimación de la media..............................................................445
Intervalos de confianza para la varianza de poblaciones normales...............................448
Ejemplos variados para varianzas..............................................................................................449
12.7 Intervalos de confianza para comparar dos poblaciones
normales....................................................................................................452
Resultados posibles de las comparaciones entre dos medias.........................................453
Intervalos de confianza para la diferencia de medias, poblaciones
aproximadamente normales cuando se conocen s1 y s2............................................453
Intervalos de confianza para la diferencia de medias de poblaciones
normales cuando se desconocen s y s , pero se sabe que s2 = s2........................454
1 2 1 2
Intervalos de confianza para la diferencia de medias de poblaciones
normales cuando se desconocen s y s , pero se sabe s2 ≠ s2.................................455
1 2 1 2
Intervalos de confianza para la diferencia de medias de poblaciones
aproximadamente normales, se desconocen s1 y s2 muestras grandes................456
Intervalos de confianza para la diferencia de medias de observaciones
pareadas con diferencias normales.....................................................................................458
Ejemplos variados para la estimación de diferencia de medias......................................460
Intervalos de confianza para la razón entre varianzas
de poblaciones normales.........................................................................................................464
12.8 Intervalos de confianza para proporciones .............................................470
Intervalos de confianza para proporciones muestras grandes.........................................470
Ejemplos variados para proporciones.......................................................................................471
Intervalo de confianza de diferencia de proporciones muestras grandes....................473
Metodología para pruebas de hipótesis sobre los parámetros
de una distribución normal..........................................................................485
13.1 Conceptos básicos sobre pruebas de hipótesis......................................486
Regiones de rechazo y no rechazo............................................................................................487
Tipos de errores en una prueba de hipótesis.........................................................................488
Función de potencia y tamaño de la prueba..........................................................................491
Elección de la hipótesis nula y alterna.....................................................................................494
Cálculo de las probabilidades para los dos tipos de errores............................................494
Conceptos básicos sobre los tipos de pruebas de hipótesis.............................................498
13.2 Pruebas de hipótesis para los parámetros de una
distribución normal.....................................................................................499
Pruebas de hipótesis para la media de poblaciones aproximadamente
normales cuando se conoce s.....................................................................499
Pruebas de hipótesis para la media de poblaciones aproximadamente
normales cuando se desconoce s.................................................................505
Pruebas para la varianza de poblaciones normales............................................................508
CAPÍTULO 13

15. Contenido xv
13.3 Pruebas de hipótesis para comparar dos poblaciones
normales....................................................................................................513
Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias sobre poblaciones
aproximadamente normales cuando se conocen s2 y s2 ...........................................514
1 2
Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias sobre poblaciones
aproximadamente normales cuando se desconocen s2 y s2
1 2
pero s2 =s2............................................................................................ 517
1 2
Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias sobre poblaciones
aproximadamente normales cuando se desconocen s2 y s2
1 2
pero s2 ≠s2 ........................................................................................... 520
1 2
Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias de observaciones
pareadas con diferencias normales.....................................................................................523
Pruebas de hipótesis para la razón entre varianzas de poblaciones
normales................................................................................................... 527
13.4 Pruebas para poblaciones tipo Bernoulli, proporciones ........................ 533
Descarga el capítulo
Regresión lineal simple y múltiple (véase en el CD-ROM)
14.1 Regresión lineal simple
Diagrama de dispersión
Supuestos de la variable dependiente en el análisis de regresión
14.2 Método de mínimos cuadrados para optimizar el error
Supuestos del error en un modelo lineal
14.3 Error estándar de estimación y propiedades de los estimadores
14.4 Prueba de hipótesis para el parámetro de la pendiente
14.5 Coeficientes de correlación y determinación
Coeficiente de correlación lineal
Coeficiente de determinación
14.6 Intervalos de confianza para la predicción y estimación
14.7 Regresión lineal múltiple
Planteamiento general del modelo de regresión lineal múltiple
Generalización de resultados de la regresión lineal y prueba F
Uso de Excel de Microsoft para la regresión lineal múltiple
Solución de un modelo de regresión lineal múltiple
Análisis de residuales en la regresión lineal múltiple
Problem as en la regresión lineal múltiple
Regresión curvilínea
Modelos de regresión con variables de respuesta transformadas
CAPÍTULO 14

16. Objetivos generales Objetivos específicos
Bases de la
probabilidad
• Demostrar que en la actualidad los fenómenos aleatorios que
ocurren en la industria, las ciencias sociales, los estudios de
mercado y los juegos de azar deben ser estudiados mediante
modelos aleatorios.
• Explicar que la probabilidad, aunque se utiliza con base en
diferentes corrientes, constituye un área de la ciencia que
está bien estructurada y tiene una justificación matemática
consistente, razón por lo que es estudiada más allá de los
problemas de juegos de azar.
• Explicar qué es un modelo probabilístico.
• Describir y enumerar los espacios muestrales de
experimentos probabilísticos.
• Ejemplificar los eventos de un experimento probabilístico.
• Describir las cuatro principales corrientes de la probabilidad.
• Definir las operaciones fundamentales del álgebra de eventos.
• Resolver problemas de operaciones entre eventos mediante
sus definiciones y diagramas de Venn.
• Calcular probabilidades de eventos con base en los
principales teoremas de la probabilidad axiomática.
1

18. 2 CAPÍTULO 1 BAses de LA Pr OBABiLid Ad
Desde su aparición en la faz de la Tierra, el ser humano siempre ha estado en contacto con situaciones aleatorias, ya sean de experien-
cias natural es o de juegos que él mismo crea, en las cuales prevalece la incertidumbre. Por ejemplo, en las tumbas egipcias s e han
encontrado restos de dados cúbicos que datan del año 2000 a.C. con marcas idénti cas a las de los dados actuales; más aún, hay indi-
cios de que cerca del año 3500 a.C. los egipcios practicaban juegos de azar con objetos de hueso.
Porestas razones,elestudio de la incertidumbre siempre ha tenido un interés particularpara la humanidad, desde conocerel
clima, el resultado del lanzamiento de una moneda o un dado, hasta situaciones modernas, como la cantidad de artículos defect uosos
en un lote de tamaño n, cambios de voltaje en un circuito eléctrico, curso del valor del dólar en un día determinado y los movimien-
tos en la bolsa de valores para conocer cuáles acciones tienen mayor o menor riesgo en su inversión, entre otras.
Así, desde su aparición, los juegos con incertidumbre han dejado un gran reto a diferentes matemáticos para calcular las prob a-
bilidades de éxito que tiene un jugador en un juego de azar. De manera que, haciendo un poco de historia, resulta que la crea -
ción de la probabilidad s e atribuye a los matemáticos franceses del siglo Xvii Blaise P ascal (1623-1662) y Pierre de F ermat (1601-1665)
cuando lograron obtener probabilidades exactas para cierto tipo de problemas relacionados con el juego de los dados; por ejemplo,
la solución al problema propuesto por el noble francés Antoine Gombauld (1607 -1684), qui en preguntó a P ascal, “¿cuál es la proba-
bilidad de que ocurran dos seises al menos una vez al lanzarun parde dados 24veces?” Aunque algunos matemáticos anteriores,
como Gerolamo C ardano (1501 -1576) y Galileo Galilei (1564-1642), en el siglo Xvi, ya habí an realizado i mport antes contribuciones
a su desarrollo calculando algunas combinaciones numéricas para ciertos problemas relacionados con los dados. Uno d e los proble-
mas clásicos con los que dio inicio el cálculo de probabilidades consiste en saber cuántos dados hay que lanzar para que la p robabi-
lidad de que salga algún 6 supere 50%. En la actualidad, en México hay una gran cantidad de juegos de azar para los cuales se
requi ere efectuar ciertos cálculos de probabilidades; por ejemplo, lotería, juegos de quinielas deportivas, juegos de quiniel as numéri-
cas,entre muchos otros.
La historia nos muestra que la teoría de la probabilidad dio sus pri meros paso s en el siglo Xvi con Gerol amo Cardano y Galileo
Galilei; posteriormente, en el siglo Xvii, con Blaise P ascal, Pierre de F ermat, Jean y Jacques B ernoulli (1654-1705) y De Moivre (1667-
1754); en el siglo Xviii, con Daniel Bernoulli (1700-1782), Kart Friedrich Gauss (1777-1855) y Siméon Denis P oisson (1781-1840); en
el siglo XX, con A. Markov, Chebyschev y Liapunov, entre otros. Pero, sin duda, qui en sentó las bases t eóricas para formalizar el de -
sarrollo de la teoría de las probabilidades fue el matemático ruso Kol mogórov, en 1933, al introducir la teoría de la medida en el cálcu-
lo de probabilidades.
Durante todo este texto se habla de probabilidad, pero, ¿qué se entiende por esta ciencia?
Probabilidad es la rama de las matemáticas que se ocupa de medir o det erminar cuantitativamente la posibilidad de que ocurra
un determinado suceso.
Así, en el desarrollo del texto, principalmente en los pri meros capítulos, se analiza cómo, en general, la probabilidad e stá basada
en el estudio de la Teoría combinatoria, ampliándose al cálculo, gracias al uso de las funciones.
Hoy día, l a teoría de la probabilidad es una herramienta important e en la mayoría de las áreas de ingeniería, ciencias y admi nis-
tración. De manera que realizar un estudio adecuado de la probabilidad es fundamental para el éxito de muchas compañías, en
particular las de seguros, ya que estas evalúan las probabilidades de los sucesos que les interesan (p. ej., accidentes de autos, in unda-
ciones, epidemi as, etc.) mediant e una minuciosa recopilación de datos (experi encias) que permiten inferir dichas probabilidad es con
suficiente aproxi mación como para poder asignar las cuotas o costos de manera que la aseguradora no sufra pérdidas. Ad emás de las
compañías de seguros, la probabilidad tiene diversas aplicaciones en otras áreas como medicina, meteorología, mercadotecnia, pre-
dicciones de terremotos, comportamiento humano, finanzas, etcétera.
En el presente capítulo trat amos los fundamentos teóricos en los que se basa la construcción de l a T eoría de las probabilidades.
Portanto,el capítulo inicia con el tratamiento de los modelos y su importancia en elestudio de los diferentes fenómenos; de igual
forma se hace énfasis en los modelos matemáticos, los cuales se clasifican en:
• Determinísticos.
• Probabilísticos.
Después,definimos los experimentos aleatorios y determinísticos. Por su parte,elestudio de las bases de la probabilidad co-
mienza con una discusión acerca de las diferentes corrientes para la asignación de probabilidades a un suceso, como:
• Corriente frecuentista.
• Corriente clásica.
• Corriente subjetiva.
• Corriente bayesiana.
Enseguida, se aborda la construcción matemática de la Teorí a de l as probabilidades, introduciendo los axiomas de Kolmogórov,
con los que prácticamente iniciamos un estudio formal de las probabilidades como una ciencia.
Introducción

19. 1.1 Modelos determinísticos y probabilísticos 3
a x + a x + a x +e = x
1.1 Modelos determinísticos y probabilísticos
Ejemplos 1.1 Modelos determinísticos
Es important e resaltar que la axiomatización de la Teoría de las probabilidades s e conserva hasta el final de l a presente obra. P ara
el desarrollo de esta se introduce una sección referente a la teoría de conjuntos a la que llamamos álgebra de eventos, la cual, junto con
los axiomas de Kolmogórov, constituyen la base científica del desarrollo de la probabilidad.
El capítulo continúa con la formulación y demostración de diferentes t eoremas y finaliza con una breve explicación de la apli ca-
ción de estos en el cálculo de probabilidades. Para terminar, revisamos algunas funciones en Excel para el cálculo de probabilidades.
Uno de los objetivos del estudio de las ciencias es desarrollar estructuras conceptuales que permitan comprender los fenómeno s que
ocurren en la naturaleza para poderpredecir los efectos que de ellos se deriven. De la experiencia científica,se deduce fácilmente
que para poder estudiar un fenómeno es necesaria su imitación o reproducción en una cantidad suficiente, a fin de que su inve stiga-
ción sea lo más precisa posible. Esta necesidad es lo q ue da origen a los modelos. Ahora bien, ¿qué entendemos por modelo y qué lo
origina?
Por modelo, entenderemos la representación o reproducción de los fenómenos.
Los modelos pueden ser de diferentes tipos, pero para los obj etivos de este texto, son de interés los modelos matemáticos. Ve a-
mos a continuación la definición de modelo matemático que se utiliza durante todo eltexto.
Un modelo matemático es unarepresentación simbólicade un fenómeno cualquiera, realizada con elfin de estudiarlo mejor, dichas
representaciones puedeser fenómenos f ísicos, económicos, sociales, etcétera.
Los modelos matemáticos pueden cl asificarse en determinísticos y probabilísticos, y para poderlos diferenciar es necesario cono-
cer su definición y algunos ejemplos. Primero, presentamos la definición de modelos determinísticos.
Cuando se realiza el modelo matemático de un fenómeno y en este se pueden manejar los factores que intervienen en su estudio con el
propósito depredecir sus resultados, sellamará modelo determinístico.
A continuación se presentan algunos ejemplos de modelos determinísticos.
1. El lanzamiento de una moneda con ambos lados iguales (p. ej., águilas). Al plantear este modelo es posible determinar que siem-
pre es posible predecir el resultado (suponiendo que la moneda no puede quedar en posi ción vertical), puesto que solo hay una
opción: águila.
2. Cuando tenemos una inversión c a una tasa r, podemos calcular su Valor Presente Neto, VP N (c). El modelo es determinístico,
puesto que tiene una inversión fija c a una tasa fija r; portanto,es posible predecir el resultado que ocurrirá al cabo de n años
mediante el uso de la siguiente fórmula:
VPN(c)=
c
.
(1+ r )n
Por ejemplo, si vamos a recibir c = 150 000 pesos dentro de cuatro años, pero queremos saber cuánto vale hoy, VP N(c), debemos
descontar los intereses que s e generan desde hoy hasta dentro de cuatro años. Si el interés anual es de 8% en operaciones a cuatro
años,entonces eldía de hoy debemos invertir:
VPN(c)=
150 000
=110 254.50 .
(1+ 0.08)4
Entonces, si iniciamos la inversión con 110 254.50 al cabo de cuatro años tendremos 150 000 pesos.
3. Sea una economía en equilibrio determinada por el modelo económico de entradas y salidas de Wassiley Leontief, aplicado a
tres empresas distintas.
a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + e1 = x1
a21x1 + a22 x2 + a23 x3 + e2 = x2
31 1 32 2 33 3 3 3
Donde: xi representa la producción de la empresa i; ei representa la demanda externa sobre la empresa i; y aij representa el núme-
ro de unidades de producto de la empresa i necesarias para producir una unidad de producto de la industria j. Conociendo la

20. 4 CAPÍTULO 1 BAses de LA Pr OBABiLid Ad
i
V-Voltaje
R-Resistencia
Ejemplos 1.2 Modelos probabilísticos
demanda externa porempresa y la demanda interna entre empresas,con este modelo es posi-
ble predecir la producción de cada empresa.
4. El modelo de una compañía donde se elaboran dos productos al pasar en forma consecutiva, a
través de una línea de producción, por tres máquinas distintas. En este caso, el tiempo por
máquina asignado a los dos productos está limitado por una cantidad determinada de horas
pordía; el tiempo de producción y la ganancia por artículo de cada producto se pueden esta-
blecer de manera que al combinar los productos podemos obtener una ganancia óptima.
En el modelo anterior se puede notar que estamos controlando los diferentes parámetros
que intervienen. Por tanto,alestablecerel modelo matemático correspondiente y los valores
para los factores es posible predecir su resultado.
5. Se puede diseñar un modelo que muestre la influencia de la fuerza de fricción sobre un cuerpo
que se mueve en una superficie. Con este modelo se puede concluir que en superficies más
ásperas se tiene mayor fuerza de rozamiento.
El modelo anterior es determinístico, ya que en este se manejan superficies y se puede pre-
decir el resultado. Por ejemplo, la distancia a la que se puede detener el móvil; esto es,si se
mueve el cuerpo con una fuerza inicial y cambiamos las asperezas podremos establecer una
fórmula matemática que indique (como resultado de un cálculo numérico) la distancia en la
que se detendrá elmóvil.
6. La caída de voltaje en una resistencia de un circuito eléctrico se puede observar en la figura 1.1.
Figura 1.1 Circuito eléctrico con una resistencia.
Por los cursos de f ísica sabemos que la Ley de Ohm indica que la caída de vol -
taje en este circuito eléctrico con una resistencia está dada por V = Ri, donde, R
representa l a resistencia, medida en ohms; i la corriente medida en amperes, y V el
voltaje medido en volts.
Elotro tipo de modelos que revisamos ocurre cuando no podemos controlar
los factores que intervienen en dichos modelos. A partir de lo cual surge la defini -
ción de modelo probabilístico o estocástico.
Los modelos probabilísticos o modelos estocásticos son aquellos modelos ma-
temáticos de los fenómenos en los cuales no se pueden controlar los factores que
intervienen en su estudio, además de que dichos factores ocurren de tal manera
que no es posible predecir sus resultados.
Los modelos probabilísticos son de gran interés en el texto; por tanto, para
una mejor comprensión de estos se presentan los siguientes ejemplos.
1. Los modelos clásicos probabilísticos s e refieren a los juegos de azar, como el lanzamiento de una moneda equilibrada o l egal (es de-
cir, que no está cargada a ningún lado), para determinar el resultado que va a ocurrir. En el lanzami ento de un dado no carga do
(esto es, que un lado del dado no pesa más que los otros) no es posible predecir qué número quedará en la parte de arriba del dado.
Wassiley Leontief nació el 5
de agosto de 1906, en San
Petersburgo, y murió el 5 de
febrero de 1999, en Nueva York.
Inició sus estudios superiores en
la universidad de San Petersburgo
y terminó el doctorado en la
universidad de Humboldt, Berlín
en 1928. En 1931 emigró de
forma definitiva a Estados
Unidos de América. El modelo de
entradas y salidas fue presentado
por primera vez en el artículo de
Leontief Quantitative Input and
Ouput Relations in the Economic
System of the United States,
Review of Economic Statistics
18 (1936), pp. 105-125. Una
versión actualizada del modelo
aparece en el libro de Leontief,
Input-Output Analysis, Nueva
York, Oxford University Press,
1966. Leontief ganó el premio
Nobel de Economía en 1973
por su desarrollo del análisis de
insumo y producción de
entradas y salidas.
En general, sabemos que cualquier modelo físico es
una aproxim ación de la realidad; no obstante, este
no la puede representar en forma exacta, esto
se debe a que en cada fenómeno intervienen
infinidad de factores y no es posible involucrarlos a
todos en el modelo. Por esta razón, salvo que se diga
otra cosa, en el texto se consideran los modelos
conocidos sobre diferentes fenómenos físicos como
determinísticos. Por ejemplo, en el circuito anterior,
la caída real de voltaje está influenciada por los
factores: humedad, calentamiento del alambre
conductor, temperatura, etcétera, que para fines
prácticos se pueden considerar despreciables. De
manera similar, en el modelo del movimiento de un
cuerpo sobre una superficie con fricción, se
considera que las otras fuerzas que intervienen son
despreciables.

21. 1.1 Modelos determinísticos y probabilísticos 5
Ejemplos 1.3 Experimentos aleatorios
2. En el lanzamiento de una moneda equilibrada 10 veces para obtener cinco águilas, el modelo es de tipo probabilístico, puesto
que no podemos predecir el resultado que va a ocurrir en el siguiente lanzamiento.
3. Las cartas o fichas que le tocarán a una persona al inicio de una partida de un juego de cartas o domino, respectivamente.
4. En el ej emplo 2 de la lista 1.1 de ejemplos, la tasa anual de inversión para un año determinado en realidad está condicionada a
situaciones de incertidumbre del país; por consiguiente, bajo estas condiciones no podemos predecir el VP N para un año deter -
minado sino conocemos con anterioridad la tasa r.
5. En una línea de producción, al realizar el control de calidad de los artículos se detecta cierta cantidad de productos defectuosos;
no es posible determinar la cantidad o porcentaje de estos en la línea.
6. Si deseamos conocer los ingresos por acción para una compañía de teléfonos, estos se pueden estimar mediante el P IB (Produc -
to Interno Bruto) que se mide en millones de pesos. Entonces, establ ecemos, medi ante una ecuación, un modelo para su estima -
ción, pero no podemos sabercon exactitud sus resultados.
7. El conocimiento del curso de una acción referent e a una empresa en la bolsa de valores es uno de los principales problemas qu e
todo accionista quisiera saber cómo predecir. Este es un problema financiero muy complejo que depende de muchos factores,
incluyendo los políticos, por lo que no se puede controlar el curso de la acción ya que esta se encuentra envuelta en mucha in -
certidumbre; portanto,solo es posible indicarun rango de valores posibles en elque se tengan evidencias que podrán encon-
trarse en el curso de la bolsa para dicha acción. En el caso del dól ar podrí amos tener evidenci as de que al dí a siguiente su costo
estará entre 12.40 y 12.80 pesos, pero en realidad no conocemos cuál será su cotización exacta, puesto que est e estará influi do
porfactores que pueden tenermucha incertidumbre, como situaciones políticas.
8. Si deseamos conocer el lugar de caída de un satélite que se salió de su órbita y se dirige a la Tierra no podemos predecir el lugar
donde caerá,puesto que no es posible controlarsu movimiento; portanto,solo es posible indicar una región en donde se cree
que caerá, con un valor numérico que represente la aseveración.
9. La posición de un electrón en un momento dado, la cual no es posible establecer, pues, de los cursos de f ísica sabem os que un
electrón no tiene una posición fija, ya que cambia constantemente, sin reglas en su movi miento. En tal caso, solo podemos est a-
blecer un área en la que supongamos con un cierto valor numérico la posibilidad de que el electrón se encuentre ahí.
10. Si en el circuito eléctrico del ejemplo 6 de la lista 1.1 de ejemplos consideramos los demás factores que intervienen en el c ircui-
to y medimos los voltajes con un voltímetro de alta calidad, podremos apreciar que al tomar diferentes mediciones existen
cambios pequeños en estas. En estas condiciones, podremos considerar a la caída de voltaje V = Ri como un modelo probabi-
lístico.
Al reproducir cualquier fenómeno, ya sea de manera determinística o probabilística, estamos experimentando, por lo que es
necesario aclarar lo siguiente: ¿qué entenderemos porexperimento al utilizar un modelo matemático de tipo probabilístico (cabe
aclarar que hasta este momento no se ha dado la definición de probabilidad)? Así, para ir aclarando los conceptos, a continua ción se
presenta la definición formal de experimento aleatorio.
Llamaremos experim ento aleatorio al proceso de obtención de una observación en que se cumple alguna de las siguientes condiciones:
a) Todos los resultados posibles son conocidos.
b) Antes de realizar el experimento el resultado es desconocido.
c) Es posible repetir el experimento en condiciones ideales.
Ahora, con el propósito de acl arar mejor la definición de experimentos aleatorios, en los siguient es ejemplos ilustramos algu nos
procesos aleatorios que muestran este tipo de experimentos.
1. Lanzamiento de tres monedas hasta obtener dos águilas.
2. Lanzamiento de una moneda tres veces hasta obtener dos águilas. ¿Existe alguna diferencia con el inciso anterior?
3. Lanzamiento de una moneda tres veces y la realización del conteo referente a la cantidad de soles que aparecen en estos lanza-
mientos.
4. Lanzamiento de un dado, observando la cara superior que resulte.
5. Lanzamiento de dos dados y la realización del conteo de la suma que resulta en sus caras superiores.
6. Un inspectorde control de calidad analiza lotes de 60 artículos cada uno.El proceso de controlde calidad consiste en elegir
cinco artículos sin reemplazo y determinar sison buenos o defectuosos.
7. Sea un lote de 60 artículos que tiene 10 defectuosos. Entonces, se define el proceso de seleccionar los artículos sin reemplazo y
anotarlos resultados hasta obtenerelúltimo defectuoso.

22. 6 CAPÍTULO 1 BAses de LA Pr OBABiLid Ad
Ejemplos 1.4 Experimentos determinísticos
Ejemplos 1.5 Espacios muestrales
8. Observar las cantidades máxima y mínima de personas que llegan a la estación Potrero del metro en la Ciudad de México, cada
día, en intervalos de cinco minutos.
9. Medir cada 10 minutos la caída de voltaje en un circuito eléctrico con una sola resistencia.
Además de los experimentos aleatorios, también tenemos los deter-
minísticos, de los cuales enseguida se present a su definición y se muestran
algunos ejemplos para su mejor comprensión.
1. En un modelo de valor presente neto de una serie de flujos de efectivo Vi de una inversión c, a una tasa fija r, podemos calcular
su VPN(c) al cabo de n años,el cual se calcula de la siguiente forma:
VPN(c)=−inversión(c)+ ∑ Vi
.
i=1 (1+ r )i
2. El tiempo de caída libre de un objeto. Si se conoce la altura y no existen fuerzas externas, el tiempo de caída se puede predecir
por medio de la expresión obtenida en el curso de f ísica: h =−
1
gt
2
, donde h es la altura, g la aceleración de la gravedad y t el
2
tiempo de caída.
3. La mezcla de sustancias químicas para la obtención de algún compuesto.
Después de realizar un experimento, por lo general se registran sus resultados para obtener
las conclusiones correspondientes al fenómeno en estudio, por lo que surge la necesidad de intro -
ducir un nuevo concepto referente al conjunto de todos los resultados del experi mento. El concep -
to de espacio muestralse emplea en la sección 1.3, junto con sus propiedades de conjuntos; por
ahora es suficiente introducir su definición.
Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento probabilístico lo llamaremos espa-
cio muestral del experimento y lo denotaremos por S. A su vez, a los elementos de un espacio
muestral los llamaremos puntos muestrales.
Los espacios muestrales forman una part e primordial en el desarrollo de la teoría de las pro -
babilidades, por lo que es indispensable mostrar algunos ejemplos de estos. Aunque de aquí en
adelante se hablará de estos en los capítulos subsecuentes.
1. El experimento sobre el lanzamiento de una moneda se realiza tres veces y se anotan sus posibles resultados.
El espacio muestral está representado por a, en el caso de águila, y por s, en el caso de cara o sol. Por tanto:
S ={sss, ssa, sas, ass, saa, asa, aas, aaa} .
2. El experimento sobre el lanzamiento de una moneda se realiza tres veces y se anota la cantidad de águilas que aparecen. De es te
modo, 0 representa la ausencia de águilas, 1 representa la presencia de un águila, etcétera. De este modo,el espacio muestral
sería:
S ={0, 1, 2, 3} .
Compare los resultados de los ejemplos 1 y 2, ¿qué puede concluir?
3. Se realiza el experimento sobre el lanzamiento de dos dados y se anota la suma de las caras superiores que resultan. En este caso,
el espacio muestral estará formado por:
S ={ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} .
Al proceso por el cual se describen los fenómenos cuyos
resultados pueden predecirse, lo llamaremos experimento
determinístico.
Entendemos por conjunto a una
colección de objetos bien definida
mediante alguna o algunas
propiedades en común. En tanto,
por objeto comprendemos no
solo cosas físicas (como discos,
computadoras, entre otras), sino
también cosas abstractas, como
los números o las letras. A los
objetos que forman el conjunto,
los llamamos elementos del
conjunto.
n

23. 1.1 Modelos determinísticos y probabilísticos 7
Ejemplos 1.6 Eventos simples
4. Se realiza el experimento de lanzamiento de dos dados, de los cuales s e toma l a diferencia del valor mayor menos el valor menor
que resulta en sus caras superiores.En este caso,elespacio muestralresultante es:
S ={0, 1, 2, 3, 4, 5}.
5. Se realiza el experi mento de lanzamiento de un dado dos veces, de las cuales se toma l a diferencia del valor del primer resul tado
menos el valor del segundo resultado de las caras superiores. El espacio muestral resultante es:
S ={−5, −4 , −3, −2 , −1, 0, 1, 2 , 3, 4 , 5}
6. Suponga que se tiene un lote de tres refrigeradores de tamaño 3 (dos de estos están en buen estado y uno está defectuoso). En-
tonces,se realiza elexperimento de extraerdos refrigeradores del lote,sin que haya un reemplazo. Denotando al refrigerador
bueno porb y al defectuoso pord,determine el espacio muestral.
a) Si en el parelegido se consideran diferencias solo entre los dos buenos,no importa el orden. Cuando se trata de conjuntos
sabemos que no importa el orden en que se coloquen sus elementos. Entonces, denotando a los artículos buenos por b1 y b2 ,
respectivamente, se tiene:
S ={{b1 , b2 }, {b1 , d}, {b2 , d}}
b) Si en el par el egido se consideran diferencias entre los dos buenos y el orden de extracción, para distinguir el orden de ext rac-
ción de los refrigeradores, los pares elegidos se escriben juntos sin separarlos, indicando que el de la izquierda se extrae antes
que el de la derecha:
S ={b1b2 , b2b1, b1d , db1 , b2d , db2 }.
c) Solo es de interés si el refrigerador es bueno o defectuoso, no importa el orden:
S ={{b, b}, {b, d}}.
d) En el par elegido los dos buenos son indistinguibles, pero sí importa el orden de extracción:
S ={bb, bd , db}.
Después de tratar con los espacios muestrales, entonces nos preguntamos: ¿qué pasa si solo consideramos una parte de estos?
Para poder dar una respuesta a la pregunta es necesario definir qué es un evento y qué es un evento simple.
Dado un experimento aleatorio y su espacio muestralS, sellama evento aun conjunto deresultados posibles de S. Podemos notar que
un evento no es más que un subconjunto de un espacio muestral.
A continuación definimos los eventos que contienen uno y solo un elemento del espacio muestral, y que serán utilizados de
forma implícita en la siguiente sección cuando hablemos sobre la corriente clásica de probabilidad.
Al evento que consta de un solo elemento le llamaremos evento simple.
Obtenga el evento indicado en los espacios muestrales de los ejemplos anteriores.
1. Se lanza una moneda tres veces y se anotan los resultados posibles. Sea el evento E: “Aparece una sola águila”. Representando
águila pora y solpors, el evento será:
E ={ssa, sas, ass} .
2. El lanzamiento de una moneda tres veces y el conteo de la cantidad de águilas que aparecen. Sea el evento E : “aparece un águila”,
E ={1}.
3. El lanzamiento de un dado y la cara superior que resulta.Sea E el evento que denota:“el número de la cara que resulta no es
mayor a 4”.
E ={1, 2, 3, 4}

24. 8 CAPÍTULO 1 BAses de LA Pr OBABiLid Ad
Ejercicios 1.1
4. El lanzamiento de dos dados de los cuales se cuenta la suma que resulta en sus caras superiores. Sea el evento E: “la suma de las
caras resultantes es mayorque 4”.
E ={5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12} .
No obstante lo tratado hasta aquí, aún no hemos visto cómo asignar probabilidades a los eventos ni cómo definir a esta. La res-
puesta está en la siguiente sección.
1. Suponga que se lanzan tres monedas no cargadas y s e obser-
va la cantidad de águilas que quedan hacia arriba.
a) Establezca los elementos del espacio muestral de este ex -
perimento.
b) Sea A el evento: “obt ención de al menos un águila”. Escri-
ba los elementos de A.
2. Suponga que se lanzan tres monedas no cargadas y s e obser-
van las combinaciones posibles de resultados que pueden
ocurrir con las tres monedas.
a) Establezca los puntos muestrales de este experimento.
b) Sea A el evento “Observar al menos un águila”. Obtenga
los puntos muestrales de A.
3. Un aparato electrónico contiene cuatro sistemas electróni-
cos. Al azar s e seleccionan dos de estos cuatro sistemas para
someterlos a pruebas rigurosas y clasificarlos como defec-
tuosos o no defectuosos. Si dos de los cuatro sistemas en
realidad son defectuosos, encuentre el espacio muestral del
experimento suponiendo que:
a) No se diferencia entre uno y otro bueno, ni entre uno y
otro defectuoso, ni importa el orden entre bueno y defec-
tuoso,solo importa cuántos buenos y cuántos defectuo-
sos hay.
b) Sí existe diferencia entre uno y otro bueno, y entre uno y
otro defectuoso; sin embargo,no importa el orden entre
bueno y defectuoso, solo importa cuántos buenos y
cuántos defectuosos hay.
c) No se diferencia entre uno y otro bueno, ni entre uno y
otro defectuoso,pero síimporta el orden entre defectuo-
so y bueno.
d) Sí existe diferencia entre uno y otro bueno, y entre uno y
otro defectuoso; además, sí importa el orden entre defec-
tuoso y bueno.
4. Una agencia comercial compra papelerí a a uno de tres ven -
dedores V1 , V2 , V3 . El pedido s e ordena en dos días sucesivos
(sin repetir vendedor), un pedido por día, tal que V1V3, lo
que significa que el vendedorV1 recibe el pedido el primer
día y el vendedor V3 lo recibe el segundo día. Establ ezca los
puntos muestrales de este experimento.
5. En un experimento que consiste en lanzar un dado no car-
gado una vez,al salir un número par entonces se lanza una
moneda no cargada. En cambio, si el lanzamiento del dado
no resulta par, entonces se lanza el dado por última vez.
Describa el espacio muestral para este experimento.
6. El administrador de una red logística de autobuses tiene que
tomar la decisión de cómo distribuir dos de tres autobuses
para viajar a otra ciudad. Represente con a1 , a2 y a3 a los tres
autobuses y describa el espacio muestral del experimento:
“Seleccionar dos autobuses para viajar a la otra ciudad”.
7. El administrador de una red logística de autobuses debe to-
mar la decisión de cómo ordenar la distribución de dos de
tres autobuses con elfin de que viajen a otra ciudad en dos
días sucesivos (sin repetir un autobús). R epresente con a1 , a2
y a3 los tres autobuses. Ordene los viajes de tal forma que
a1 a3 , lo que significa que el autobús a1 viaja a la otra ciudad
el primer día y el autobús a3 el segundo día.
a) Establezca los puntos muestrales de este experimento.
b) ¿Qué diferencia observó con la respuesta del problema
anterior?
En la actualidad, la palabra probabilidad es empleada con demasiada frecuencia por las personas; por ejemplo, en expresiones como:
“Es p robab le que hoy estudie estadística”; “El equipo mexicano de fútbol está jugando mal , y es muy probable que en su siguiente
partido pierda”; “El cielo está bastante despejado; por tanto, no hay muchas posibilidades de que llueva”; entre otras. Como se pue-
de notar en las expresiones anteriores, las palabras relacionadas con la p robab ilidad tienen la característica de basarse en sucesos
que pueden serverdaderos, además de que a causa de los hechos observados (resultados preliminares,tiempo,etcétera),se puede
hablar de la posibilidad de su ocurrencia.
A pesar de los esfuerzos realizados por muchos matemáticos para asignar de forma única la probabilidad a un suceso, todo
ha sido en vano, pues desde los inicios de su estudio hasta nuestros días no existe una forma única de asignación de probabil idades.
Solo contamos con diferentes corrientes de probabilidad, las cuales se aplican para asignar un valor numérico a la posibilidad de la
1.2 Interpretaciones de la probabilidad

25. La frecuencia relativa de un
suceso es igual al cociente de
la cantidad de veces que ocurre
el suceso entre el total de veces
que se repite el experimento.
1.2 Interpretaciones de la probabilidad 9
ocurrencia de algún suceso probabilístico.1 De hecho, el verdadero significado de la probabilidad aún se considera conflictivo; por
tanto, en lugar de iniciar el siguiente texto con una definición formal de probabilidad, pri mero trataremos sus cuatro corrie ntes más
comunes.
Corriente frecuentista
En la corriente frecuentista —tal vez una de las más empleadas— se asigna un valor de probabilidad a un evento E, a partir del cual se
considera que ocurrirá. La definición o interpretación de la probabilidad está basada,como su nombre lo indica, en la frecuencia
relativa con la cual se obtendría E, si el experimento se repite una gran cantidad de veces, en con-
diciones similares (no idénticas, puesto que en este caso el proceso no sería aleatorio).
Un ejemplo de la frecuencia relativa de un suceso es un experimento en el que se lanza una
moneda tres veces y se cuenta la cantidad de sol es que aparecen. Así, sea el evento E: “obtención
de dos soles en los tres lanzamientos”; la pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el
evento E?
Para responder a la pregunta desde el punto de vista frecuentista, se debe realizar el experimento una gran cantidad de ve -
ces. Supóngase que el experimento se repite 1 000 veces en condiciones similares y como resultado se obtienen 400 casos con dos
soles; en tal situación, se diría que la probabilidad de que ocurra E, será:
400
= 0.4. Ahora bien, si el experimento se repite 100 000
1 000 38 000
veces, de las cuales 38 000 resultan con dos soles, diríamos que la probabilidad de que ocurra E es:
100 000
= 0.38, de esta forma po-
dríamos repetir nuestro experimento tantas veces como se quiera y obteneruna frecuencia relativa para la probabilidad del evento
E. Entonces, surge la siguiente pregunta: ¿por qué diferentes resultados para un mismo evento? La respuesta está en la interpretación
de qué entendemos por: “repetir el experimento una gran cantidad de veces”,¿qué se entiende poruna gran cantidad de veces?,y
¿cuál sería dicha cantidad de repeticiones? Dichas condiciones son muy vagas para servir de base en una definición científica de
probabilidad. Aunado a lo anterior, no es posible repetir una gran cantidad de veces muchos de los fenómenos, por ejemplo:
a) Para calcular la probabilidad de que el lanzamiento de un cohete resulte exitoso, evidentemente no es posible realizar una gran
cantidad de lanzamientos de cohetes; por tanto, la probabilidad se obtiene en forma frecuentista del éxito de un lanzamiento.
b) ¿Cómo calcular la probabilidad de que Manuel viva 70 años? ¿Cuáles serían las repeticiones?
c) Para cal cular la probabilidad de que Juan P érez se case este año, tampoco podemos realizar una gran cantidad de repeticiones
del experimento; por tanto, s e indica el valor numérico que represente desde el punto de vista de la frecuencia relativa que Juan
Pérez se case o no este año.
Corriente clásica (a priori)
En la corriente clásica se consideran espacios muestrales uniformes, es decir, se asignan probabilidades a eventos con base en resul-
tados equiprobables (igualmente verosímiles). Esto es, los clasistas asignan la misma probabilidad a cada punto del espacio muestral
1
(es decir:
n
, donde n es la cantidad de elementos del espacio muestral); posteriormente, para obtener la probabilidad de la ocurrencia
de un evento E, se suma la cantidad de elementos de E y se multiplica por la probabilidad de un elemento del espacio muestral
1
.
°n
Cabe apuntar que de lo anterior se deduce que la probabilidad de los puntos muestrales se establece a priori; es decir, antes de cual-
quier experimento.
Resolviendo el ejemplo anterior en la forma clásica tendremos, lo siguiente:
Se lanza una moneda equilibrada tres veces y se anotan los resultados posibles que aparecen; sea el evento E: “obtención de dos soles
en los tres lanzamientos”, la pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento E?
Para responder a la pregunta, primero obtenemos el espacio muestral desde el punto de vista clásico; de este modo, representan -
do águila pora y solpors, tendremos:
S ={sss, ssa, sas, ass, saa, asa, aas, aaa}.
En estos casos, ssa representa que los primeros dos lanzamientos resultaron soles y el tercer lanzamiento águila. Considerando
que cada punto del espacio muestral es equiprobable con probabilidad de ocurrencia
1
, tendremos que la probabilidad del evento E
8
(resulten dos soles en los tres lanzamientos) se resuelve al conocer la cantidad de elementos del evento:
1
Existe una gran cantidad de sucesos en los que cada una de sus alternativas tiene varias soluciones, pero sin que se tenga la posibilidad de una asignación numérica
de probabilidad, en tal casose dice que el suceso ocurre bajoincertidumbre.

26. 10 CAPÍTULO 1 BAses de LA Pr OBABiLid Ad
E ={ssa, sas, ass}.
En este caso, como E contiene tres elementos tenemos que la probabilidad de que ocurra el evento E es:
Probabilidad de E = 3×
1
= 0.375.
8
Algunas de las dificultades por las cuales atraviesa esta interpretación de probabilidad son:
• En primer lugar, al hablar de resultados equiprobables (que tienen la misma probabilidad) estamos empleando el concepto que
estamos definiendo.
• En segundo lugar, cuando los resultados no son equiprobables (en este caso el ejemplo 3 de la sección 1.5, sobre el lanzamiento
de los dos dados, donde se anota la suma de los números resultantes S ={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, sus elementos no son
equiprobables. ¡Calcúlelos!).
• En tercer lugar no se indica un método para realizar el cálculo de las probabilidades.
• En otros casos como los siguientes, la probabilidad clásica no da respuesta:
a) Para calcul ar la probabilidad de que el lanzami ento de un cohete resulte exitoso, no podemos asignar probabilidades igual es
a los resultados del experimento; por tanto, es necesario un método diferente para el cálculo de probabilidades.
b) Para calcular la probabilidad de que una persona se case este año, no podemos hablar de resultados equiprobables para
determinar el valor numérico que represente la probabilidad de que dicha persona se case este año,considerando a todos
los años equiprobables.
Corriente subjetivista
En la corriente subj etivista (interpretación de la probabilidad que es muy empleada en el estudio del análisis de d ecisiones ) se asig-
nan probabilidades a eventos basándose en el conoci miento o experiencia que cada persona tiene sobre el experimento; por tant o, la
probabilidad asignada está sujeta al conoci miento que el científico tenga con respecto al fenómeno estudiado. De este modo, para un
mismo experi mento las probabilidades asignadas por diferentes personas pueden ser distintas. En el ejemplo anterior del lanza mien-
to de la moneda tres veces, donde se realiza el conteo de la cantidad de soles que aparecen, el evento E se definió como l a obtención
de dos sol es en los tres lanzamientos. La pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento E? P ara responder a la pregun-
ta anterior, desde el punto de vista subjetivista, la respuesta dependerá del conocimiento que se tenga del lanzamiento de la moneda.
Porejemplo, si el individuo que lanza la moneda puede tenercierta habilidad en el lanzamiento,dará una probabilidad mayor a la
verosimilitud del evento E; por el contrario, si el sujeto no tiene tal habilidad, la probabilidad será pequeña.
La probabilidad subjetiva se suele asignar cuando se tiene poco o nada de conocimiento previo sobre el evento. Es decir, cuan do
los eventos se presentan solo una vez o un número muy reducido de veces. P or ej emplo, si en una empresa se está programando l a
logística de distribución de material final, la asignación de probabilidad de que los recorridos se realicen con éxito al no tener infor-
mación de datos históricos,se puede asignarde forma subjetiva.
La interpretación subjetiva de l a probabilidad tiene diferentes dificultades, y una de las principales es la dependencia en e l juicio
de cada persona al asignarla, además de que tal juicio debe estar complet amente fuera de contradicciones, lo que es sumamente di-
f ícil por depender de la persona que la asigna. Como se hizo mención antes, a un mismo experimento se le pueden asignar dife rentes
probabilidades de éxito,dependiendo delcientífico que lo está realizando,aun en el caso de que dos o más científicos trabajen en
conjunto. Finalmente, podemos mencionar que en la asignación de probabilidades subjetivas se emplea, en muchos casos, el cono ci-
miento frecuentista que se tenga delexperimento.
La asignación subjetiva de probabilidades fue introducida en 1926 por Frank Ramsey en su libro T he Foundation of Mathematics
and other Logical Essays. P osteriormente, B ernard Koopman, Richard Good y Leonardo S avage fueron perfeccionando esta manera
de asignarprobabilidades.
Corriente bayesiana (a posteriori)
En la corriente bayesiana se asignan probabilidades a los eventos después del experimento. Es decir, la asignación de probabi lidades
está basada en el conoci miento de la ocurrencia de eventos que estén en dependencia con el evento de estudio. Por ejemplo, si que-
remos asignar una probabilidad al evento de que el día 3 de septiembre llueva y tenemos la siguiente información:
a) Los días 1 y 2 de septiembre no llovió.
b) Los días 1 y 2 de septiembre llegó un huracán a 400 kilómetros de distancia y llovió ambos días.
Es obvio suponerque la asignación de probabilidades en ambos casos es muy diferente,ya
que tenemos información que hace cambiar nuestra asignación de probabilidades. En tal situación
decimos que la información obtenida influyó en la asignación de probabilidades. Otro ej emplo, es el
caso anterior cuando se lanza una moneda equilibrada tres veces y se cuenta la cantidad de soles
Las probabilidades de este tipo
se estudian en el capítulo 3,
Probabilidad condicional.

27. 1.3 Álgebra de eventos 11
Ejercicios 1.2
que aparecen, el evento E: “obtención de dos sol es en los tres lanza-
mientos”; la pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el
evento E?, si se sabe que el primer lanzamiento resultó sol.
Esta corriente de probabilidad es la base motora de la teoría
de decisiones, puesto que cualquier toma de decisiones está influi -
da portodo tipo de información que se pueda tenersobre un fenó-
meno en estudio. El uso de esta corriente es posible en la parte de
decisiones llamada árboles de decisión.
1. ¿En qué se basa la definición frecuentista para calcular la
probabilidad de un evento?
2. ¿Cómo se considera el espacio muestral en la corriente clá-
sica de probabilidad?
3. ¿Cómo es la asignación de probabilidades en los eventos de
la corriente subjetiva?
4. ¿Por qué a la corrient e bayesiana s e le conoce también con el
nombre de a posteriori?
5. ¿Cuáles son las dificultades por l as que atravi esa la interpre-
tación clásica para l a asignación de probabilidades a los dife-
rentes eventos?
6. Si quiere abrir un negocio en cierta localidad y desea esti-
mar una probabilidad de éxito, qué tipo de corri ente de pro-
babilidad aplicaría en cada una de las situaciones indicadas
considerando lo siguiente:
a) Cuenta con una gran cantidad de datos históricos sobre
éxitos y fracasos en la apertura de negocios del mismo
ramo que el de usted en localidades semejantes.
b) No tiene datos que le muestren algún histórico sobre las
probabilidades de éxito de su negocio.
7. ¿Cómo asignaría probabilidades a los siguientes eventos?
a) La probabilidad de que salga una carta roja al seleccionar
una carta de una baraja de 52.
b) La probabilidad de que salga un 2 o una carta negra al
seleccionaruna carta de una baraja de 52.
c) La probabilidad de que salga un 7 o un 8 al seleccionar
una carta de una baraja de las 52 cartas que contiene el
mazo.
d) La probabilidad de que en 2018 Marcelo Ebrard gane las
elecciones para presidente .
e) La probabilidad de que 10 de los siguientes 80 usuarios
del metro en la estación Universidad sean estudiantes.
f) La probabilidad de que el siguiente edificio más alto que
se construye en China se caiga en 40 años.
8. En los siguientes ejemplos, ¿qué tipo de corriente se pudo
haber utilizado para la probabilidad asignada?
a) La probabilidad de que Víctor llegue temprano al trabajo
es de 0.65.
b) La probabilidad de que Raquel decida casarse este año es
de 0.90.
c) La probabilidad de que Morelia gane el siguiente partido,
si ha ganado los cuatro últimos juegos, es de 0.79.
En la sección 1.1 se definieron los conceptos de espacio muestral y evento, entendiendo por este último un subconjunto del es pacio
muestral, entonces es posible utilizar los resultados obtenidos en la teoría de conjuntos p ara los esp acios mu estrales y los even tos
para construir un álgebra de eventos.
Conceptos fundamentales de eventos
El espacio muestral fue denotado por S, los eventos con letras mayúsculas, A, B, C, etcétera, mientras que los resultados del experi-
mento que cumplen las condiciones del evento se representan con letras minúsculas a, b, etcétera. Si el resultado a pertenece al
evento A, lo simbolizamos a ∈ A ; en caso contrario, por a ∉ A . Los eventos también s e represent an con llaves, dentro de las que se
escriben sus elementos (¡sin repetirlos!), o las propiedades que dichos elementos cumplen, por ejemplo:
A ={x |x es el lado que queda arriba al lanzar un dado} evento por comprensión.
A={1, 2, 3, 4, 5, 6} evento por extensión.
Los eventos que revisamos en el texto se pueden clasificar en dos grandes grupos. El primero de ellos se define y ejemplifica a
continuación.
1.3 Álgebra de eventos
Después de revisar las corrientes de probabilidad y ver que no tenemos
una forma universal de asignación de probabilidades para un evento,
concluimos que no es posible construir una teoría matemática formal
de las probabilidades. Por tanto, es necesario estructurar a la
probabilidad sobre una base axiomática que le dé el formalismo que
el álgebra, la geometría y las otras áreas de las matemáticas tienen,
lo cual se logra haciendo uso de la teoría de conjuntos aplicada a los
eventos, formando lo que denominaremos álgebra de eventos.

28. 12 CAPÍTULO 1 BAses de LA Pr OBABiLid Ad
Ejemplos 1.7 Eventos finitos
Ejemplos 1.8 Evento vacío
Ejemplos 1.9 Eventos numerables
Si al contar los elementos de un evento, el proceso de conteo termina en el tiempo, es decir, resulta una cantidad determinada, entonces
dicho evento se llama finito.
1. A: Número par resultado del lanzamiento de un dado: A ={2, 4, 6}.
2. A: Al menos se observan cuatro soles en seis lanzamientos de una moneda: A ={4, 5, 6}.
A continuación, definimos y mostramos dos ejemplos de eventos que no pueden ocurrir.
El evento que no contiene ningún elemento, esto es, en el que no existe algún resultado del experimento que cumpla las condiciones del
evento, se llama evento vacío. El evento vacío suele denotarsepor ∅ o { }.
1. A: “Lanzamiento de un par de dados y que la suma de los números de sus lados sea mayor a 13”. Es decir, A ={ }, el evento A no
tiene ningún elemento, puesto que la máxima suma de los números de las caras en el lanzamiento de dos dados es 12.
2. En una supervisión para el control de calidad se inspecciona un lote con 30 artículos, entre los cuales hay dos defectuosos. Sea
el evento A: “Extraer cuatro artículos al mismo tiempo que contenga tres defectuosos”. C omo el lote tiene únicamente dos defec-
tuosos, entonces no existen eventos que contengan tres defectuosos; por tanto, A =° .
Ant es de definir al otro gran grupo de eventos en que se pueden clasificar todos estos, aparte
de los eventos finitos, veamos una definición de eventos que no necesariamente son finitos, pero
que sípodemos establecerun proceso de conteo entre sus elementos.
Se dice que un evento A es numerable o contable si entre sus elementos y el conjunto de los números
naturales, , o algún subconjunto de este existe una correspondencia en la que a cada elemento del
evento A le corresponde uno y solo un elemento de (o de algún subconjunto de ), además a cada
elemento de (o de algún subconjunto de ), le corresponde un elemento de A.
A continuación se muestran tres ejemplos de eventos numerables.
Los siguientes incisos son casos particulares de eventos numerables.
1. El conjunto A ={x | x es una vocal}. Este evento es numerable, ya que podemos ponerlo en correspondencia con el subconjun-
to de los números naturales {1, 2, 3, 4, 5} de la siguiente manera:
a 1; e 2; i 3; o 4; u 5
2. El conjunto de los enteros .Este evento es numerable, ya que podemos ponerlo en correspondencia con elconjunto de los
números naturales de la siguiente manera:
0 1 1 3 2 5
−1 2 −2 4 etcétera
En donde, 0 1 significa que al cero le corresponde el uno, de manera similar −1 2 , significa que al −1 le corresponde el
2, etcétera.
3. A ={−8, −6, −4, −2, 0, 2, 4,…}. Este evento es numerable y su correspondencia la podemos establecer por:
−8 1 −2 4
−6 2 0 5
−4 3 2 6 etcétera
Por último, definiremos al otro gran grupo de eventos entre los que podemos clasificar a todos los eventos que no son finitos.
Con la definición de numerable
o contable se puede verificar
que cualquier evento finito es
numerable, ya que siempre será
posible establecer un proceso
de conteo entre sus elementos.

29. 1.3 Álgebra de eventos 13
Ejemplos 1.10 Eventos infinitos
Ejemplos 1.11 Igualdad de eventos
Ejemplos 1.12 Subeventos
Se dice que un evento A es infi-
nito si para cualquier evento
D ={1, 2, 3, 4,…, n} no existe
un valor de n con el que se
puedaestablecer unacorrespon-
dencia biunívoca entre A y D.
A continuación se muestran tres
ejemplos de eventos infinitos.
1. E: “La cantidad de lanzamientos de una moneda hasta obtener la primera águila”, E ={1, 2, 3, …}.
2. El evento cuyos elementos son todos los puntos del intervalo indicado en donde los extremos son diferentes, E = (2, 7).
3. El evento que representa la temperatura corporal de una persona. Este evento es infinito ya que al medir la temperatura puede
ocurrir cualquier valor dentro de un intervalo.
Los conceptos anteriores,aunque sencillos, requieren de gran cuidado en su aplicación. En los casos de eventos infinitos,se
presentan dificultades para encontrarla correspondencia que indique sison o no numerables. Si a esto agregamos que los eventos
infinitos no siempre son numerables y que la demostración de esto no es sencilla surgen muchas dificultades para distinguirentre
eventos numerables y no numerabl es, además de que es necesaria la introducción de algunos otros conceptos que quedan fuera de l
objetivo del libro. En el texto se tiene que los únicos eventos no numerables con los que tratamos son cuando resulten intervalos. Por
ejemplo, cualquier evento cuyos elementos son los puntos del intervalo (a, b) con a ≠ b no es numerable.
Relaciones fundamentales entre eventos
Cuando trabajamos con eventos observamos que entre sus elementos pueden existir algunas relaciones, mismas que revisamos a
continuación.
Los eventos A y B correspondientes a un mismo experimento son iguales, si cualquier resultado de A es también elemento de B y vice-
versa:
A = B, si ° a ∈ A, entonces a ∈ B y viceversa, ∀b ∈ B, entonces b ∈ A.
A continuación se muestra un par de ejemplos de eventos iguales.
1. Los eventos A ={a, e, i, o, u} y el evento B ={x | x es una vocal}; en este caso, A = B.
2. Los eventos A ={1, 3, 5, 7, 9} y el evento B ={x |x es un número dígito impar}; en este caso, A = B.
Una relación muy particular entre los eventos consiste en estudiar los casos cuando todos los elementos de un evento dado están
contenidos en elotro evento,suceso que se define a continuación.
Sean los eventos A y B correspondientes a un mismo experiment o, se dice que A es subevento de B si cualquier elemento que esté en A
estátambién en B. Lo anterior se simboliza A ⊂ B. Es decir, A ⊂ B; si a ∈ A, entonces a ∈ B. Cuando existe al menos un elemento de A que
no estáen B, entonces sedice queA ⊄ B.
Para una mejor comprensión de lo que son los subeventos se proporcionan algunos ejemplos.
1. Dados los eventos A ={a, e, i, o, u} y B ={x |x es una letra del alfabeto}, se cumple A⊂ B .
2. Sean A =[2, 5]y B =[−9, 20], vemos que A⊂ B.
3. Sean A =[2, 5]y B =(2, 10], en este caso A⊄ B, puesto que 2 ∈ A, pero 2 ∉ B .
Con la definición de eventos finitos se puede notar que un evento numerable es infinito, si al contar los
resultados posibles del evento el proceso de conteo no termina en el tiempo. También cualquier evento
no contable es infinito.
La teoría de eventos infinitos requiere una preparación conceptual profunda que sale de los
objetivos del texto, pero se recomienda consultar los trabajos de los mayores exponentes del tema,
como el ruso Georg Ferdinand Ludwing Philipp Cantor (San Petersburgo, Rusia, 3 de marzo de
1845-Halle, Alemania, 6 de enero de 1918) y de los alemanes Julius Wilhelm Richard Dedekind (6 de
octubre de 1831-12 de febrero de 1916) y Friedrich Ludwing Gottlob Frege (8 de noviembre de 1848-
26 de julio de 1925).