Este documento trata sobre el cálculo diferencial en funciones de varias variables. Introduce conceptos como límites y continuidad, derivadas parciales, diferencial de una función, derivadas direccionales y gradiente. Explica funciones reales de varias variables reales, su dominio e imagen, y cómo representarlas de forma explícita, implícita o paramétrica. También describe la gráfica de una función y los conjuntos de nivel.

1. CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES DE
VARIAS VARIABLES
• Introducción
• Límites y Continuidad
• Diferenciabilidad
• Derivadas parciales
• Diferencial de una función
• Diferencial de la función compuesta
• Derivadas direccionales y gradiente
• Aplicaciones de la derivación
• Función implícita e inversa
• Extremos de funciones

2. INTRODUCCIÓN: Función
Una variable es un símbolo que representa un número
dentro de un conjunto. Dos variables X y Y están asociadas
de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por
alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente
un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de
X. La variable X, a la que se asignan libremente valores,
se llama variable independiente, mientras que la variable Y,
cuyos valores dependen de la X, se llama variables
dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el
dominio de definición de la función y valores que toma Y
constituye su recorrido." Dirichlet (1805-1859)
Función real de variable real
(Matemáticas I)
Dominio de la función
Imagen de la función
Gráfica
Límite
Continuidad
Derivabilidad
…
Leibniz acuñó el término
«función» en el siglo XVII.

3. Función real de varias variables reales. (Matemáticas II)
 1 2
:
, ,..., ( )
p
p
f D I
x x x x D y f x
  
   
¡ ¡
r r
 
2
2 2
:
, ( , )
f D I
x y D z f x y x y
  
    
¡ ¡
p-tupla

4.  
3
:
, , ( , , )
P
x y z P x y z


¡ ¡
Click para video
 
3
:
, , ( , , )
T
x y z T x y z


¡ ¡
Campos escalares
«En matemáticas y física, un campo escalar
representa la distribución espacial de una magnitud
escalar, asociando un valor a cada punto del
espacio. En matemáticas, el valor es un número; en
física, una magnitud física. Los campos escalares se
usan en física, por ejemplo, para indicar la
distribución de la temperatura o la presión de un gas
en el espacio.» (Wikipedia)

5.    
 
1 2 1 2
1 2
:
, ,..., ( ) , ,...,
, ,...,
p q
p q
i i p
F D I
x x x x D y F x y y y
y f x x x
  
    

¡ ¡
r r r
Función vectorial de varias variables reales.
«En matemáticas, un campo vectorial
representa la distribución espacial de
una magnitud vectorial. Es una
expresión de cálculo vectorial que
asocia un vector a cada punto en el
espacio euclidiano. Los campos
vectoriales se utilizan en física, por
ejemplo, para representar la velocidad y
la dirección de un fluido en el espacio, o
la intensidad y la dirección de fuerzas
como la gravitatoria o la fuerza
electromagnética.» (Wikipedia)

6. Función real de varias variables reales. Dominio e Imagen
 
 
 
1 2
:
, ,..., ( )
Dominio de :existe con ( )
Imagen de :existe con ( )
n
p
n
n
f D I
x x x x D y f x
f D x y f x y
f I y x f x y
  
   
    
    
¡ ¡
r r
r r
¡ ¡
r r
¡ ¡
 
2
Ejemplo:
:
, ( ) ( , ) 3 2 7
f D I
x x y D f x f x y x y
  
      
¡ ¡
r r
2
Dominio
Imagen
f D
f I
 
 
¡
¡

7. Im(f)
Dom(f)
x
y
z

8.  
2
2 2
Ejemplo: :
1
, ( , )
1
f D I
x y D f x y
x y
  
  
 
¡ ¡
2
(0,1]
D
I


¡

9.  
2
2 2
Ejemplo: :
, ( , ) 4 4
f D I
x y D f x y x y
  
    
¡ ¡
2
2 2 2 2
( , ) tal que: 4 4 0; 1
4
[0,2]
x
D x y x y y
I
 
       
 

¡

10.  
2
2
Ejemplo: :
3 5
, ( , )
f D I
x y
x y D f x y
y x
  

  

¡ ¡
 2 2 2
( , ) / 0D x y y x y x
I
     

¡
¡

11.  
2
Ejemplo: :
, ( , ) 2arcsin
f D I
y
x y D f x y
x
  
 
    
 
¡ ¡
   2
, talque 1; 0 = ,
y
D x y x I
x
 
 
     
 
¡

12. Función real de varias variables reales. Operaciones
:
( ) ( )
:
( ) ( )
:
( )
con ( ) 0
( )
n
n
n
f g D
x D f x g x
f g D
x D f x g x
f
D
g
f x
x D g x
g x
  
  
  
  
 
  
¡ ¡
r r r
¡ ¡
r r r
¡ ¡
r
r r
r

13. Función real de varias variables reales. Operaciones
Sean: : :
( ) ( )
( ) :
( ) ( ( ))
n
f gn
f D g D
x D f x z g z
g f
x f x g f x
   
  
 
 
¡ ¡ ¡ ¡
r r
o ¡ ¡ ¡
r r r
2 2
2 2 2 2
( , )
( )( , ) ( ( , ))
( )
( )
f x y x y
g f x y g f x y
g z z
g x y x y
  
 
 
   
o
    
2 2
2
( , )
( ) , ( , )
( )
y y
z
f x y x y
g z z f g x h y f x e x e
h z e
 

   
 

14. Función real de varias variables reales. Expresiones
Forma explícita:
( , )
( , ) 3 2
Forma implícita:
( , , ) 0 ; ( , , ( , )) 0
3 2 0
Forma paramétrica:
( , ); ( , )
( , ) ; ( ( , ), ( , ));
z f x y
z f x y x y
F x y z F x y f x y
z x y
x x t s y y t s
z f x y z f x t s y t s

  
 
  
 
 

15. 2 2
2
2
Forma implícita:
( , ) 0 ; ( , ( )) 0
( , ) 1 0
Forma explícita:
( )
1
1
F x y F x f x
F x y x y
y f x
y x
y x
 
   

 
  
Forma paramétrica:
𝑥 = 𝑥(𝜃) = cos𝜃
𝑦 = 𝑦(𝜃) = sin𝜃
𝜃 ∈ [0,2𝜋)

16. Función real de varias variables reales. Gráfica de una función
Sea , se define la gráfica de la función
como el subconjunto de dado por:
: p
f D I  ¡ ¡
f 1p
¡
1
1 2 1 2Graf ( , ,...... , ( , ,.... )) p
p pf x x x f x x x 
 ¡
 
 
2
3
Sea : :
, ( , )
Se define la gráfica de como
el subconjunto de puntos de :
( , , ) ( , , ( , ))
Por ejemplo:
( , ) 8
Graf ( , , ) ( , , 8 )
f D
x y f x y z
f
x y z x y f x y
f x y x y
f x y z x y x y
 
 

  
   
¡ ¡
¡

17. Función real de varias variables reales.
Identificación de la gráfica de una función
 
2
2 2
Sea : :
, ( , )
) Intersección con los planos de coordenadas
f D
x y f x y x y
I
 
  
¡ ¡
Paraboloide elíptico

18. Antenas parabólicas del radiotelescopio "Very Large Array"
en Nuevo México,EE.UU.

19.  
2
2 2
Sea : :
, ( , )
) Intersección con los planos de coordenadas
f D
x y f x y x y
I
 
  
¡ ¡
Paraboloide hiperbólico
(silla de montar)

20.  
 
   
   
2
2 2
2 2
22 2
:
, ( , ) 2
, ( , ) 9
, ( , )
, ( , ) sin
f D
x y f x y x y
x y f x y x y
x y f x y x y
x y f x y x y
 
  
   
  
  
¡ ¡

21. Función real de varias variables reales. Conjuntos de nivel de una función
 
2
2 2
Sea : :
, ( , )
f D
x y f x y x y
 
  
¡ ¡

22.  
2
2 2
Sea : :
, ( , )
Buscamos (x, ) ,
intersecciones con planos horizontales
f D
x y f x y x y
f y k
 
  

¡ ¡
 2 2
Las son los conjuntos de puntos
= (x, y) tal que (x, ) .
Se corresponden con las proyecciones de las
intersecci
curvas
ones sobre el plano 0.
de nivel
kD f y x y k
z
  

La separación entre curvas de nivel nos desvela
la velocidad de crecimiento o decrecimiento de
la función.

23. En cartografía, las curvas
de nivel unen los puntos de
un mapa que se encuentran
a la misma altura (cota).
Cuando representan los
puntos de igual profundidad
en el océano y en el mar, así
como en lagos de grandes
dimensiones, se denominan
isóbatas
En meteorología, las
curvas de nivel se suelen
usar para unir puntos que
tienen la misma presión
(isobaras).
En electromagnetismo, las
curvas o superficies de nivel
pueden representar
conjuntos que tienen un
mismo potencial
(equipotenciales).

24. 2 2
( , )f x y x y 

25.    
2 22 2 2 2
2 2
2 2
( , ) . Curvas de nivel: ( , )
1
f x y x y f x y x y k
x y
x y k Hipérbola
k k
    
    

26. 2 2
2 2 1
( , ) ( 2 ) x y
f x y x y e  
 

27. ( , ) cos( )f x y y x 

28. )

31. Repetición/recordatorio:

33. CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES
DE VARIAS VARIABLES
• Introducción
• Límites y Continuidad
• Diferenciabilidad
• Derivadas parciales
• Diferencial de una función
• Diferencial de la función compuesta
• Derivadas direccionales y gradiente
• Aplicaciones de la derivación
• Función implícita e inversa
• Extremos de funciones

34. 0
0
0
x x
Sea : y sea x y .
lim ( ) si , tal que si x x ( ) b
f D D b
f x b f x   

   
       
¡ ¡ ¡
Función real de variable real. (Matemáticas I)
0
Puedo quedarme tan cerca
de b como quiera ( pequeño),
que siempre encontraré un
valor de tal que, si está a
una distancia de menor que
, entonces ( ) b
x
x
f x


  
0x
b


¡

35. 0
0
0
x x
Sea : y sea x y .
lim ( ) si 0, 0 tal que si x x ( ) b   

   
         
¡ ¡ ¡f D D b
f x b f x
Función real de variable real. (Matemáticas I)
0x
b
¡

36. 0
0
0
x x
Sea : y sea x y .
lim ( ) si 0, 0 tal que si x x ( ) b   

   
         
¡ ¡ ¡f D D b
f x b f x
Función real de variable real. (Matemáticas I)
0x
b


¡

37. 0
0
0
x x
Sea : y sea x y .
lim ( ) si 0, 0 tal que si x x ( ) b   

   
         
¡ ¡ ¡f D D b
f x b f x
Función real de variable real. (Matemáticas I)
0x
b


¡

38. 0
0
0
x x
Sea : y sea x y .
lim ( ) si 0, 0 tal que si x x ( ) b   

   
         
¡ ¡ ¡f D D b
f x b f x
Función real de variable real. (Matemáticas I)
¡
0x
b


0
0
0
Para cualquier entorno (de radio ) de , encuentro un
entorno (de radio )de cuyos elementos (sin contar
) tienen sus imágenes dentro del entorno de
localmente acotada en un entorno
o
d
(c
e
x
x
f x




l
l
l
0
ndición necesaria para que haya límite)
Para cada hay infinitos ’ posibles
El valor de en no interviene en la definición del
límite. Puede no existir o no ser igual al límite
f
s
x
 


39. 0
0
x x
0
Sea : y sea x y .
lim ( ) si 0, 0
tal que si x x ( ) b
f D D b
f x b
f x
 
 

   
    
    
¡ ¡ ¡
0x
b
1
0x
b
2
2 2( )  1 1( )  

40. Límites y continuidad
l
l
l
0x
0x 0x 
Por muy pequeño que haga
siempre me salgo de [ , ]

  l l

41. 0 2x 


2
x 2
2
x 2
2 2 2 2 2
Ejemplo: Sea ( ) 4 . Usando la definición
de límite, probemos que lim ( ) 4.
lim ( ) 4 si , tal que si 2 4 (-4)
4 (-4) 4 4 ( 2) ( 2)
f x x x
f x
f x x x x
x x x x x x
   
 


 
 
         
          
Para cada encuentro un ( ).    

42. Función real de dos variables reales.
 2
0 0Sea : y sea , punto de acumulación de y .f D x y D l  ¡ ¡ ¡
0 0
Puedo quedarme tan cerca de
como quiera ( pequeño),
que siempre encontraré un valor
de tal que si( , ) está a una
distancia de ( , ) menor que
( , ) .
l
x y
x y
f x y l


   0 0(x , y )
l


2
¡
   
   
0 0x,y ,
0 0
1.) lim ( , ) si , tal que si
, , ( , ) .
x y
f x y l
x y x y f x y l
 
 

  
    

43. Función real de dos variables reales.
   0 00, 0 tal que si , , ( , )x y x y f x y l           
 
2 2
0 0
( , ) ( 1) ( 1) 1
, (3,3)
f x y x y
x y
    


44.    0 00, 0 tal que si , , ( , )x y x y f x y l           
 
2 2
0 0
( , ) ( 1) ( 1) 1
, (3,3); 9.
f x y x y
x y l
    
 

45.    0 00, 0 tal que si , , ( , )x y x y f x y l           
 
2 2
0 0
( , ) ( 1) ( 1) 1
, (3,3); 9.
f x y x y
x y l
    
 

46.    0 00, 0 tal que si , , ( , )x y x y f x y l           
 
2 2
0 0
( , ) ( 1) ( 1) 1
, (3,3); 9.
f x y x y
x y l
    
 

47. 2 2
(x,y) (0,0)
Ej.: Sea ( , ) . Probadque lim ( , ) 0.f x y x y f x y

  


48. 


2 2
(x,y) (0,0)
Ej.: Sea ( , ) . Probadque lim ( , ) 0.f x y x y f x y

  

49. 



{
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
Tomando la
raiz positiva
( , ) (0,0) ( 0) ( 0)
.
Para cualquier , puedo encontrar .
Si quiero que 0
basta .
0
x y x y
x y
x y
x y x y
x y

 

 
 
    
  
  

   
   
2 2 2 2
(x,y) (0,0)
2 2
( , ) . lim 0 si , tal que
si (x,y) (0,0) (0) .
f x y x y x y
x y
 
 

     
     
Distancia entre (x,y) y (0,0)

52. 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2
(x,y) (0,0)2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
(x,y) (0,0)
Vamos a operar un poco
( )
0 = 0
Entonces lim 0
x y x y x y x x x y
x
x y x y x y x y
x y
x y


 
    
   


2 2
2 2
(x,y) (0,0)
La definición resulta poco práctica, normalmente basta
con sustituir el valor del punto en la función y ver que
valor toma. Sin embargo hay casos...
Sea ( , ) . Hallad lim ( , ).
x y
f x y f x y
x y 


IDEA FELIZ
0
Si sustituimos (0,0) . Trataremos de ver si la diferencia entre
0
la función y el límite se hace tan pequeña como queramos.
f 
Pincha

53. 0
0
0 0
0 0 0
0
x x
x x
x x x
Sea :
Si tiene límite en x , el límite es único
Si lim lim
Si lim entonces lim
Sean , :
Si lim lim entonces lim
i i
p q
i i
x x
x x
p q
x x x
f D
f D
f b f b
f b c f c b
f g D
f b y g c f g b c
 
 
  
 
 
   
    
 
     

¡ ¡
¡ ¡
0 0 0
0 0 0
x x x
x x x
Si lim lim entonces lim
Si lim 0 lim entonces lim
x x x
x x x
f b y g c f g b c
g c
f b y g c
f b
  
  
    
    

55. 1
0
2
0
1 0 1
x
2 0 2
x
La unicidad del límite es fundamental. Supongamos que
lim cuando x por la trayectoria
No existe límite.
lim cuando x por la trayectoria
C
x
C
x
f b x C
f b x C


 


  

2 2
(x,y) (1,1)
( , ) sin( ) lim ( , ) sin(2)f x y x y f x y

  

56. 2 2
(x,y) (1,1)
( , ) sin( )
lim ( , ) sin(2)
f x y x y
f x y

 

2
3
1
sin
2
2
x
C
C x y
y
C x y

 
  
 
   
 
g
g
g

57. (x,y) (0,0)
2 2
2 2
Por ejemplo, demostremos que no existe lim ( , )
si ( , ) .
f x y
x y
f x y
x y




1 1
2 2
2
1 2
2
2(x,y) (0,0) (x,y) (0,0)
2
2 2
(x,y) (0,0) (x,y) (0,0)
0 ( , ) (0, )
lim ( , ) lim 1
0 ( , ) ( ,0)
lim ( , ) lim 1 1
C C
C C
y
C x f x y f y
y
y
f x y
y
x
C y f x y f x
x
f x y
 
 

    

  
    
 
g
g

58. 2 2
2 2
( , )



x y
f x y
x y

59. 1 1
2
2 2
( )
2 2
2
( )
1 2 (x,y) (0,0) (x,y) (0,0)
2
( )
2 2 (x,y) (0
5.5 Hallad los límites direccionales en (0,0) de ( , )
0 ( , ) (0, ) lim ( , ) lim 1
0 ( , ) ( ,0) lim

 





           
      
g
g
C C
C
x y
y y y
x x
x y
f x y e
x y
y
C x f x y f y e e f x y e
y
x
C y f x y f x e e
x 2
2
2
,0) (x,y) (0,0)
2
(1 )
2 2 (x,y) (0,0)
2 2
(1 )
2 2(x,y) (0,0)
( , ) lim 1
(1 )
( , ) ( , ) lim ( , )
(1 )
(1 ) (1 )
lim
(1 ) (1 )





 

      

 
 
 
g
C
C
C
x
x m
x m
f x y e
m
C y mx f x y f x mx e f x y
m
m m
e
m m
: son los límites según trayectorias rectas de pendiente
1. , , a las que añadimos
2. 0 , (queno se puede alcanzar para ningún valor de )
m
y mx m
x m
 

Límites direccionales
¡

60. 1 1
2
2
2 2(x,y) (0,0)
2 2
1 2 (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) y 0
2 2 2
2 2 2 2 2(x,y) (0,0) 0
Buscar lim ( , ) ( , )
0 ( , ) (0, ) lim ( , ) lim lim 0
( , ) ( , ) lim ( , ) lim 0
1
C C
C
x
y
f x y si f x y
x y
y y
C x f x y f y f x y y
yy
m x m
C y mx f x y f x mx f x y x
x m x m

  
 


        
       
 
g
g
2 2
2
2
Por trayectorias no he sido capaz de demostrar la NO existencia de limite, pero
sé que de existir el límite debería ser 0. Uso la definición :
Sabiendo Busco = ( ) tal que ( , ) 0
( , ) 0
x y f x y
y
f x y
x
       
 

2 2
2 2
( , ) (0,0)2 2 2
2 2
0
( , ) 0
x y
y x
x y
y x y
f x y x y  


   

    
Pincha

61. 2 2
5.3 Probad que ( , ) no tiene límite cuando (x,y) (0,0)
yx
f x y
x y
 

· 𝐶1 ≡ 𝑥 = 0 ⇒ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(0, 𝑦) =
0
𝑦2
⇒
lim
(x,y) 𝐶1
(0,0)
𝑓(𝑥, 𝑦) = lim
(x,y) 𝐶1
(0,0)
0
𝑦2
= 0
· 𝐶2 ≡ 𝑦 = 𝑥 ⇒ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑥) =
𝑥2
2𝑥2
⇒
lim
(x,y) 𝐶2
(0,0)
𝑓(𝑥, 𝑦) = lim
𝑥→0
1
2
=
1
2

65. 2
5 2(x,y) (0,0)
Buscar lim ( , ) ( , )
yx
f x y si f x y
x y


Pincha
1 1
2
1 2
2(x,y) (0,0) (x,y) (0,0) y 0
3
2 5 2 2
3 2(x,y) (0,0) 0
0
0 ( , ) (0, )
0
lim ( , ) lim lim 0
( , ) ( , )
lim ( , ) lim 0
C C
C
x
C x f x y f y
y
f x y y
y
m x
C y mx f x y f x mx
x m x
mx
f x y
x m
  
 
     
  
     

 

g
g
3
5
3 3
3 5 6
5
5 6(x,y) (0,0) 0 0
¿Vuelvo a aplicar la definición? Mejor pruebo otro camino...
( , ) ( , )
1
lim ( , ) lim lim 1 ( )
1C
x x
x
C y x f x y f x x
x x
x
f x y Noexiste límite
x x x  
     

  
 
g

66. -1
-0.5
0
0.5
1
x
-1
-0.5
0
0.5
1
y
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
z
-1
-0.5
0
0.5
1
x
0 0
0 0
0
0
x x
x x
x
Sean , :
Si lim ( ) 0 y ( ) está acotada en x , entonces lim ( ) ( ) 0.
Si lim ( ) y lim ( ) y h( ) es tal que ( ) ( ) ( )
entonces lim ( ) .
p q
x x
x x
x
f g D
f x g x f x g x
f x l g x l x g x h x f x
h x l
 
 

 
   
    

¡ ¡
2
2 2
5.4 Probad que ( , ) tiene límite 0 cuando (x,y) (0,0)
yx
f x y
x y
 

2 22
2 2 2 2 2
(x,y) (0,0)
2
2 2(x,y) (0,0)
Como 0 ( , ) y lim 0
lim 0
yx yxyx
y
x y x y x
f x y y y
yx
x y


  
 
  
 


67. Podemos extender el cálculo de límites usando trayectorias
en coordenadas polares, por ejemplo.
cos
sen
x r
y r




( , )x y

r
(x,y) (0,0) r 0
cos
sen
(x,y) (0,0)
r 0
Bajo ciertas condiciones lim ( , ) lim ( , )
Si al hacer el cambio a polares:
( , ) ( , ) ( ) ( , ) tal que:
( , ) está acotada
lim ( , )
lim ( ) 0
x r
y r
f x y F r
f x y F r g r h r
h r
f x y
g r



 

 





 

  
g
g r 0
lim ( , ) 0F r 


(x,y) (0,0)
0r




68. 3 3
2 2(x,y) (0,0)
x
Ej Estudiar: lim
y xy
x y


}
3 3 4 3 3
cos
sen2 2 2 2 2
( ) ( , )
2
0
Sustituyendo (x,y)=(0,0) Indeterminación
0
Uso polares:
x (cos sen cos sen )
( , ) ( , )
(cos sen )
cos sen
( , ) cos sen está acotado (-1
x r
y r
g r h r
y xy r
f x y F r
x y r
r
h r



   

 
 
  



 
   
 
  
  
6 4 7 4 8
 
3 3
2
2 2(x,y) (0,0) 0
( , ) 1), entonces:
x
lim lim cos sen 0
r
h r
y xy
r
x y

 
 


   


69. 2
2 2(x,y) (0,0)
x
Estudiar: lim
x y 
}( , )
2 2 2
cos 2
sen2 2 2 2 2
2
2r 0 (x,y) (0,0)
0
Sustituyendo (x,y)=(0,0) Indeterminación. Uso polares:
0
x cos
( , ) ( , ) cos
(cos sen )
x
( , )está acotado, pero lim ( , ) depende de lim
h r
x r
y r
r
f x y F r
x y r
h r F r
x




 
 
  


 

   
 
 
 2
1 2
2
2 2(x,y) (0,0)
En estos casos la dependencia de la función según el valor de , hace pensar que
el límite va a variar para diferentes trayectorias (diferentes ángulos ). Veamoslo:
C 0 C 0
x
lim C
y
x y
x y



   

1 2
2 2
2 2 2 2y 0 (x,y) (0,0) x 0
0 x
lim 0 lim lim 1C x
y x y x  
   


70. 3 5
2 4(x,y) (0,0)
x
Estudiar: lim
y
x y


1
1
3 5 5
2 4(x,y) (0,0) y 0
0
Sustituyendo (x,y)=(0,0) Indeterminación
0
Es más fácil demostrar que el límite no existe encontrando (si las hay)
trayectorias en las cuales este es distinto.
C 0
x
lim limC
x
y y
x y 

 



2
4 y 0
2
3 5 3
2 4 2(x,y) (0,0) x 0 0
lim 0
C 0
x
lim lim lim 0C
x
y
y
y
y x
x
x y x

  
 
 

  


71. }( ) ( , )
3 5 3 3 5 5 3 3 2 5
cos
sen2 4 2 2 4 4 2 2 2 4
Podría seguir probando diferentes trayectorias pero voy a hacer el cambio a polares.
x cos sen cos sen
( , ) ( , )
cos sen cos sen
g r h r
x r
y r
y r r r r
f x y F r
x y r r r r



   

   


  
    
  
G
(x,y) (0,0) r 0
(x,y) (0,0)
No está claro que ( , ) esté acotado, luego no puedo afirmar que:
lim ( , ) lim ( , )
No queda más remedio que aplicar la definición:
Supongo lim ( , ) 0
h r
f x y F r
f x y


 



5555555555H

72. 3 5
2 4
2 2 2 2
3 5 3 5 3 53 5
2 4 2 4 2 4 2 4 2 4
2 2 2 2 2 2
x
Tengo que probar que , ( )tal que si (x,y) (0,0) (0)
(x,y) (0,0) ( 0) ( 0)
x x xx
2 Como quiero que esto se
y
x y
x y x y
y y yy
x y
x y x y x y x y x y
x y x y x y
    



      

       

       
   
      
3 5
2 4(x,y) (0,0)
a
2
x
Utilizando la definición he probado que el lim 0
y
x y

 

  




73. Tabla de infinitesimos equivalentes:
Serie de Taylor
Infinitésimos.
Notación de Landau
1
32
)1(Ln
!3!2
1
!4!2
1cos
!5!3
sin
32
32
42
53




x
xx
xx
z
xx
xe
x
xx
x
x
xx
xx
x





75. Cuando al sustituir el punto en la función obtenemos una indeterminación es
relevante estudiar cómo el numerador y denominador se aproximan a ese valor.
En el caso de funciones de una variable la conocida usa la derivada
para estimar esa "velocidad"
En varias variables usamos una técnica equivalente.
Sea : , se dice que
es un infinitesimo cuando , punto de acumulación d
 
 
¡ ¡p
f D
f x a
Regla de L'Hopital
e , si lim ( ) 0
( )
Si y son infinitésimos en y lim 0 ( ) ( ( ))
( )
( )
Si y son infinitésimos en y lim ( ) ( ( ))
( )




   
   
x a
x a
x a
D f x
f x
f g a f x o g x
g x
f x
f g a l f x O g x
g x
Infinitésimos. Notación de Landau.

77. Resumen de herramientas para calcular límites:

78. Continuidad de una función en un punto
5
3
(1,1)
2 2
: Estudiar la continuidad de la función
2 ( , ) (1,1)
( , )
5 ( , ) (1,1)
Ej
x y x y
f x y
x y
  
 

   
   
0 0
0 0
0 0
, ,
0 0
2 2
, 1,1
Tal y como está definida la función,
en cualquier punto ( , ) (1,1)
( , ) lim ( , )
En ( , ) (1,1)
lim ( , ) 2 1 1 3 5 (1,1)
La función no es continua en (1,1)
x y x y
x y
x y
f x y f x y
x y
f x y f





     
0
0
0 0
x x
0
Sea : y sea x .
Se dice que ( ) es continua en x si lim ( ) ( ). Se dice que ( )
es continua en si lo es x .
n
f D D
f x f x f x f x
D D

  

 
r r
r
¡ ¡
r r r r r
r
CONTINUIDAD

79. CONTINUIDAD

80. 2
2 2
: Estudiar la continuidad de la función:
3
( , ) (0,0)
( , )
0 ( , ) (0,0)
Ej
x y
x y
f x y x y
x y


 
 
   
   
0 0
0 0
0 0
, ,
0 0
, 0,0
2
cos
sen2 2
Tal y como está definida la función en cualquier punto ( , ) (0,0)
( , ) lim ( , ) es continua.
En ( , ) (0,0)
0
lim ( , ) Utilizo el cambio a polares.
0
3
( , )
x y x y
x y
x r
y r
x y
f x y f x y
x y
f x y
x y
f x y
x y












   
Acotado
3 2
2
2 2 2 2
, 0,0 0
3 cos sen
( , ) 3 cos sen
cos sen
lim ( , ) lim ( , ) 0 (0,0) Función continua
x y r
r
F r r
r r
f x y F r f
 
  
 

 
   

  
G555555H

83. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA