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- 1. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Muestreo en tiempo y espacio 1/9 Generalidades de métodos basados en vibraciones ambientales (pasivos) Seminario Internacional de Ingenierı́a Sı́smica y Geotécnica Universidad Nacional San Agustı́n - Arequipa, 15-18 de Mayo 2017 Esteban Sáez Departamento de Ingenierı́a Estructural y Geotécnica - Pontificia Universidad Católica de Chile 19 de Mayo 2017
- 2. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Ruido Principio Muestreo en tiempo y espacio 2/9 Origen del ruido ◮ Variación de la amplitud espectral horizontal en función del tiempo para frecuencias de 1 T Actividad diaria Oleaje 1
- 3. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Ruido Principio Muestreo en tiempo y espacio 2/9 Origen del ruido ◮ Variación de la amplitud espectral horizontal en función del tiempo para frecuencias de 1 T ◮ Rangos Rango Origen Denominación < 1 Hz oceánico y fluctuaciones mete- reológicas de gran escala Microseism ≈ 1 Hz viento y condiciones mete- reológicas locales l > 1 Hz Actividad humana Microtremors Bonnefoy-Claudet, 2004
- 4. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Ruido Principio Muestreo en tiempo y espacio 2/9 Origen del ruido ◮ Variación de la amplitud espectral horizontal en función del tiempo para frecuencias de 1 T ◮ Rangos ◮ Diferencias Caracterı́stica Microseism Microtremos Fuente Lejana Cercana Clase de onda Sólo superficie Superficie + cuerpo Tipo de onda sup. Sólo Rayleigh Rayleigh + Love Modo Sólo fundamental fundamental + altos Bonnefoy-Claudet, 2004
- 5. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Ruido Principio Muestreo en tiempo y espacio 2/9 Origen del ruido ◮ Variación de la amplitud espectral horizontal en función del tiempo para frecuencias de 1 T ◮ Rangos ◮ Diferencias Caracterı́stica Microseism Microtremos Fuente Lejana Cercana Clase de onda Sólo superficie Superficie + cuerpo Tipo de onda sup. Sólo Rayleigh Rayleigh + Love Modo Sólo fundamental fundamental + altos Bonnefoy-Claudet, 2004 La proporción R/L varı́a con la frecuencia !!! Frencuencia Rayleigh ( %) Love ( %) 3 − 10 Hz < 50 % > 50 %
- 6. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Ruido Principio Muestreo en tiempo y espacio 3/9 Principio de los métodos de ondas superficiales ◮ Idea: aprovechar la naturaleza dispersiva de las ondas superficiales en semi-espacios estratificados Wathelet, 2012
- 7. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Ruido Principio Muestreo en tiempo y espacio 3/9 Principio de los métodos de ondas superficiales ◮ Idea: aprovechar la naturaleza dispersiva de las ondas superficiales en semi-espacios estratificados ◮ Procedimiento: ◮ Definir un arreglo: ¿ Cuántas estaciones y cómo distribuirlas ? ◮ Registrar: ¿ Cuánto grabar ? ◮ Procesar: ◮ Arreglos 2D: f − k y SPAC ◮ Arreglos 1D: ReMi y MASW RoadSide ◮ Invertir: métodos de gradientes o globales
- 8. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Muestreo en tiempo y espacio Nociones Ejemplo Tiempo Espacio 1D Espacio 2D Resumen 4/9 Muestreo en tiempo y espacio ◮ Sea uz = uz(x, t) = uz(x, y, t) el movimiento vertical de una partı́cula en la superficie x y z b uz(x, t)
- 9. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Muestreo en tiempo y espacio Nociones Ejemplo Tiempo Espacio 1D Espacio 2D Resumen 4/9 Muestreo en tiempo y espacio ◮ Sea uz = uz(x, t) = uz(x, y, t) el movimiento vertical de una partı́cula en la superficie ◮ Transformada de Fourier en tiempo ûz(x, ω) = Z ∞ −∞ uz(x, t) e−iωt dt donde ω = 2πf uz(x, t) = 1 2π Z ∞ −∞ ûz(x, ω) eiωt dω
- 10. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Muestreo en tiempo y espacio Nociones Ejemplo Tiempo Espacio 1D Espacio 2D Resumen 4/9 Muestreo en tiempo y espacio ◮ Sea uz = uz(x, t) = uz(x, y, t) el movimiento vertical de una partı́cula en la superficie ◮ Transformada de Fourier en tiempo ûz(x, ω) = Z ∞ −∞ uz(x, t) e−iωt dt donde ω = 2πf uz(x, t) = 1 2π Z ∞ −∞ ûz(x, ω) eiωt dω ◮ Transformada de Fourier en espacio ûz(kx, ky, t) = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ uz(x, y, t) ei(kxx+kyy) dx dy = Z ∞ −∞ uz(x, t) eik x dx uz(k, t) = 1 (2π)2 Z ∞ −∞ ûz(k, t) e−ik x dω número de onda : k = 2π λ = 2π v f = ω v
- 11. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Muestreo en tiempo y espacio Nociones Ejemplo Tiempo Espacio 1D Espacio 2D Resumen 4/9 Muestreo en tiempo y espacio ◮ Sea uz = uz(x, t) = uz(x, y, t) el movimiento vertical de una partı́cula en la superficie ◮ Transformada de Fourier en tiempo ◮ Transformada de Fourier en espacio ◮ Combinando la transformada en tiempo y espacio ûz(kx, ky, ω) = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ uz(x, y, t) e−i(ωt−kxx−kyy) dx dy dt = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ uz(x, t) e−i(ωt−k x) dx dt Espectro f − k: frequency-wavenumber
- 12. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Muestreo en tiempo y espacio Nociones Ejemplo Tiempo Espacio 1D Espacio 2D Resumen 4/9 Muestreo en tiempo y espacio ◮ Sea uz = uz(x, t) = uz(x, y, t) el movimiento vertical de una partı́cula en la superficie ◮ Transformada de Fourier en tiempo ◮ Transformada de Fourier en espacio ◮ Combinando la transformada en tiempo y espacio ûz(kx, ky, ω) = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ uz(x, y, t) e−i(ωt−kxx−kyy) dx dy dt = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ uz(x, t) e−i(ωt−k x) dx dt Espectro f − k: frequency-wavenumber y su inversa uz(x, t) = 1 (2π)3 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ ûz(k, ω) ei(ωt−k x) dk dω
- 13. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Muestreo en tiempo y espacio Nociones Ejemplo Tiempo Espacio 1D Espacio 2D Resumen 5/9 Onda plana armónica unitaria ◮ Sea uz(x, t) = ei(ω0t−k0 x) x y z k0 ◮ La velocidad de propagación es: v0 = ω0 |k0| ◮ La longitud de onda es: λ0 = 2π |k0|
- 14. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Muestreo en tiempo y espacio Nociones Ejemplo Tiempo Espacio 1D Espacio 2D Resumen 5/9 Onda plana armónica unitaria ◮ Sea uz(x, t) = ei(ω0t−k0 x) ◮ Aplicando la transformada frecuencia-número de onda ûz(k, ω) = δ2 (k − k0) δ(ω − ω0) kx ky ω k0 b ◮ La onda plana es un punto en el espacio k − ω ◮ La transformada f − k permite identificar ondas planas para una frecuencia dada
- 15. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Muestreo en tiempo y espacio Nociones Ejemplo Tiempo Espacio 1D Espacio 2D Resumen 5/9 Onda plana armónica unitaria ◮ Sea uz(x, t) = ei(ω0t−k0 x) ◮ Aplicando la transformada frecuencia-número de onda ûz(k, ω) = δ2 (k − k0) δ(ω − ω0) ◮ El cálculo anterior corresponde a un muestreo continuo en espacio (x) y en tiempo (t) lo que no es factible en la práctica → Un muestreo discreto tendrá un impacto en los valores de k0 y ω0
- 16. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Muestreo en tiempo y espacio Nociones Ejemplo Tiempo Espacio 1D Espacio 2D Resumen 6/9 Muestreo en tiempo ◮ Supongamos que se registra durante un intervalo de tiempo T vz(x, t) = w(t) uz(x, t) donde w(t) = 1 0 ≤ t ≤ T 0 t T t 0 donde w(t) es la función de windowing
- 17. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Muestreo en tiempo y espacio Nociones Ejemplo Tiempo Espacio 1D Espacio 2D Resumen 6/9 Muestreo en tiempo ◮ Supongamos que se registra durante un intervalo de tiempo T vz(x, t) = w(t) uz(x, t) donde w(t) = 1 0 ≤ t ≤ T 0 t T t 0 donde w(t) es la función de windowing ◮ Aplicando la transformada de Fourier en tiempo v̂z(x, ω) = Z ∞ −∞ w(t) uz(x, t) e−iωt dt = Z ∞ −∞ ŵ(ω−ξ) ûz(x, ξ) dξ donde |ŵ(ω)| = T sin(ωT 2 ) ω T 2
- 18. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Muestreo en tiempo y espacio Nociones Ejemplo Tiempo Espacio 1D Espacio 2D Resumen 6/9 Muestreo en tiempo ◮ Supongamos que se registra durante un intervalo de tiempo T ◮ Aplicando la transformada de Fourier en tiempo ◮ Gráficamente −3/T −2/T −1/T 0 1/T 2/T 3/T 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 fr = 1 T f (Hz) | ŵ(ω)| ◮ El espectro se “expande” sobre un rango de frecuencias mayor: leakage ◮ Se define como “resolución” (capacidad de diferenciar frecuencias cercanas) a la mitad del lóbulo central: fr
- 19. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Muestreo en tiempo y espacio Nociones Ejemplo Tiempo Espacio 1D Espacio 2D Resumen 6/9 Muestreo en tiempo ◮ Supongamos que se registra durante un intervalo de tiempo T ◮ Aplicando la transformada de Fourier en tiempo ◮ Gráficamente ◮ Otra consecuencia es el aliasing: fs es la frecuencia de muestreo
- 20. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Muestreo en tiempo y espacio Nociones Ejemplo Tiempo Espacio 1D Espacio 2D Resumen 6/9 Muestreo en tiempo ◮ Supongamos que se registra durante un intervalo de tiempo T ◮ Aplicando la transformada de Fourier en tiempo ◮ Gráficamente ◮ Otra consecuencia es el aliasing: ◮ Supongamos que el muestreo se efectúa a intervalos regulares ∆t, entonces la frecuencia máxima que puede ser registrada es: fNyquist = 1 2∆t ◮ Todas las componentes de frecuencias mayores a fNyquist van a ser aliased en el rango 0 ≤ f ≤ fNyquist ◮ La solución es filtrar las señales con un filtro low-pass análogo para remover f fNyquist antes de digitalizar
- 21. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Muestreo en tiempo y espacio Nociones Ejemplo Tiempo Espacio 1D Espacio 2D Resumen 7/9 Muestreo en espacio ◮ Consideremos un caso 1D: kx 6= 0 y ky = 0. Sea D la apertura del muestreo x z D
- 22. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Muestreo en tiempo y espacio Nociones Ejemplo Tiempo Espacio 1D Espacio 2D Resumen 7/9 Muestreo en espacio ◮ Consideremos un caso 1D: kx 6= 0 y ky = 0. Sea D la apertura del muestreo x z D ◮ Entonces vz(x, t) = w(x) u(x, t) donde w(x) = 1 0 ≤ x D 0 x D x 0 v̂z(kx, t) = Z ∞ −∞ w(x) uz(x, t) eikxx dx = Z ∞ −∞ ŵ(kx−ξ) ûz(ξ, t) dξ |ŵ(kx)| = D sin kxD 2 kxD 2
- 23. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Muestreo en tiempo y espacio Nociones Ejemplo Tiempo Espacio 1D Espacio 2D Resumen 7/9 Muestreo en espacio ◮ Consideremos un caso 1D: kx 6= 0 y ky = 0. Sea D la apertura del muestreo ◮ Entonces ◮ Gráficamente −4pi/D −2pi/D 0 2pi/D 4pi/D 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 kr = 2π D kx (rad/m) | ŵ(k x )| ◮ El muestro se “expande” sobre un rango de frecuencias mayor y la resolución cae ◮ Si D crece, mejora la resolución espacial: kr
- 24. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Muestreo en tiempo y espacio Nociones Ejemplo Tiempo Espacio 1D Espacio 2D Resumen 8/9 Muestreo con arreglos ◮ Supongamos que se trata de un arreglo 2D de M receptores w(x) = M X m=1 wm δ(x − xm)
- 25. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Muestreo en tiempo y espacio Nociones Ejemplo Tiempo Espacio 1D Espacio 2D Resumen 8/9 Muestreo con arreglos ◮ Supongamos que se trata de un arreglo 2D de M receptores ◮ Si el muestreo es uniforme: wm = 1 ∀m ŵ(k) = M X m=1 wm eik xm
- 26. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Muestreo en tiempo y espacio Nociones Ejemplo Tiempo Espacio 1D Espacio 2D Resumen 8/9 Muestreo con arreglos ◮ Supongamos que se trata de un arreglo 2D de M receptores ◮ Si el muestreo es uniforme: wm = 1 ∀m ◮ Este muestreo también origina aliasing espacial kNyquist = π dmin donde dmin es la distancia mı́nima entre geofónos
- 27. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Muestreo en tiempo y espacio Nociones Ejemplo Tiempo Espacio 1D Espacio 2D Resumen 9/9 Consideraciones para construir arreglos ◮ kr = 2π Dmax controla la resolución espacial (kmin) ◮ kNyquist = 2π λmin = π dmin controla el aliasing → El objetivo es que haya al menos 3 puntos por longitud de onda λ dmin Dmax b b b b b b λ
- 28. UNSA 19/05/17 UNSA Técnicas pasivas Muestreo en tiempo y espacio Nociones Ejemplo Tiempo Espacio 1D Espacio 2D Resumen 9/9 Consideraciones para construir arreglos ◮ kr = 2π Dmax controla la resolución espacial (kmin) ◮ kNyquist = 2π λmin = π dmin controla el aliasing → El objetivo es que haya al menos 3 puntos por longitud de onda λ dmin Dmax b b b b b b λ ◮ Entonces si ◮ Si Dmax crece → mejora la resolución ◮ Si dmin crece → empeora el aliasing → Las funciones de apertura o transferencia de los arreglos es la mejor forma de estimar la calidad de un arreglo en función de resolución y apertura